Teorema de incompletitudine a lui Godel

[alef]

          Una dintre cele mai mari întrebări de azi este: “ Se poate elabora o teorie fizică care să explice absolut toate fenomenele ce ne înconjoară?” . S – a demonstrat faptul că nu există un set de axiome finit care să fie baza oricărei teoreme matematice, atâta timp cât principiul terţului exclus rămâne valabil. Iată succesiunea faptelor care au dus la această concluzie.


         1.  ( Un paradox celebru). Să facem următorul experiment: scriem pe o foaie de hâtie următoarea propoziţie: “ Această propoziţie este falsă.” . Acuma să vedem dacă este adevărată sau falsă. Mai întâi, să presupunem că propoziţia este adevărată şi sa vedem la ce concluzii ajungem. Deci, propoziţia:  “ Această propoziţie este falsă.” este adevărată. Dar cum poate  să fie adevărată, devreme ce propoziţia însăşi afirmă despre ea că este falsă? Conform principiului terţului exclus, propoziţia este falsă. Asta înseamnă că propoziţia: “ Această propoziţie este falsă.” este falsă. Totuşi, această propoziţie a exprimat un adevăr, deci nu putem spune despre ea că este falsă. Conform pricipiului terţului exclus, ar fi adevărată, dar tocmai am văzut ca şi acest caz duce la o contradicţie. Astfel, nu putem spune despre propoziţia:  “ Această propoziţie este falsă.” că este adevărată sau falsă.

        2.  ( Sistemele de coordonate carteziene şi axioma Cantor-Dedekind ) . Descartes a fost primul om care a avut ideea genială de a reprezenta numere reale pe un sistem de axe perpendiculare, studiind concepte geometrice ca distanţe, drepte prin intermediul algebrei.  Numele său, în limba latină este Cartesius.  De aici vine denumirea de “sistem de coordonate cartezian”. Mai târziu a fost formulată axioma Cantor-Dedekind. Conform acestei axiome, există o corespondenţă unu – la – unu între numere reale şi punctele de pe o dreaptă.

       3.  ( programul lui Hilbert). Hilbert este cel care a propus un set de axiome pentru geometrie.  care să fie bază pentru orice teoremă geometrică. Cam tot în acelaşi timp a aparut axioma Cantor-Dedekind.  Conform axiomei Cantor-Dedekind, există o legătură strânsă între algebră şi geometrie. Se şie, de asemenea, că există o legătură strânsă între algebră şi analiză matematică. Asta l – a determinat pe Hilbert să caute un set de axiome finit pe baza căruia să se poată demnstra orice teoremă matematică.

       4. ( teorema de incompletitudine a lui  Gӧdel). Să presupunem că există un set finit de axiome pe baza căruia să se poată demonstra orice teoremă matematică. Asta înseamnă că, pe baza acestor axiome se poate determina dacă  teorema G este adevărată sau falsă . Teorema G este: “ Teorema G este falsă.” Conform acestui set de axiome, teorema G poate fi adevărată? Dar falsă?

[Sigma2]

Salut alef

Am in biblioteca Sistemul Axiomatic a lui Hilbert, precum si conditiile pe care trebuie sa le indeplineasca un S.A.:adica sa fie complet , liber si necontradictoriu.
Daca te intereseaza ti le pot scana.

[alef]

            Da, m – ar interesa. Mulţumesc mult pentru generiozitate.

[atanasu]

Fizica nu lucreaza cu axiome si nici cu inductie completa, asa ca discutia este lipsita de sens . In opinia mea . Am intervenit observand ca in acest moment cineva a intrat pe acest fir parasit de mult si eu fiind nou nu le cunosc pe foarte multe dar terema GODEL M-A PREOCUPAT CANDVA.
Am tras atunci concluzia ca pentru a putea vedea ceva bine trebuie sa urci undeva in exteriorul domeniului si de acolo vei vedea tot dar nu mai esti in interior si muti paradoxul in exterior . In fizica asta ar fi mutarea la infinit in treut a problemei Big Bangului.

[zec]

Trebuie sa intervin putin la ce a scris alef.
1Acel paradox nu exista ,in matematica o propozitie e logica daca are valoare de adevar.Aceea propozitie nu e logica.
Legat de 3 si de Hilbert.
Aici as vrea sa specific ceva legat de activitatea lui Hilbert.
El a demonstrat pentru prima oara necontradictia geometriei si practic a rezolvat o problema celebra legata de postulatul 5 a lui Euclid.Concret Hilbert a formulat cam in modul urmator :
Punctul poate fi interpretat ca o valoare algebrica data de coordonate ,dreapta ca o ecuatie ,unghiul si masura sa ca un cosinus.In aceste conditii el a formulat in modul urmator o alta intrebare .Daca e ceva stricat in geometrie atunci e stricat si in algebra.E cumva ceva stricat in algebra?Cum nu atunci nici in geometrie nu e nimic stricat.Aceasta idee a aparut datorita unei carti scrise de un sociolog legat de perturbarea sistemelor sociale,carte care a influentat aceasta idee.Astfel dupa remarcarea acestei dependente intre sisteme Hilbert a reaxiomatizat geometria si practic a justificat ce inseamna un sistem de axiome complet ,liber si necontradictoriu.
 Dupa acest moment practic matematica sa reformat ca fundament si structura .Cu toate acestea rezultatul lui Hilbert avea sa fie completat de Godel dar nu la modul cum e prezentata teorema de incompletitudine aici.Godel a justificat faptul ca nu putem demonstra necontradictie cu un sistem formal format din sistemul insasi.Astfel demonstratea necontradictiei unui sistem devine o problema dificila.
Observatie nu spunem  un sistem finit de axiome ,spunem un sistem complet de axiome.
Si daca o teorema G poate deveni falsa si adevarata pe un sistem de axiome atunci acel sistem este incomplet dar si contradictoriu.

[atanasu]

Dar nimeni pana acum, adica pana la mine  nu a spus cu subiect si predicat ca in spatiul euclidian nu exista decat un singur punct si o singura dreapta si o infinitate de orice alte figuri .
PS. Oricum eu am spus asta de multa vreme cam din timpul in care ma jucam de-a Descartes sau Euclid in scoala.

[meteor]

Teorema aia a lui Godel are si ea la rindui la baza niste axiome, asa deci nu stiu de ce unii o considera ca icoana, da cu toateca asa pare ca si este, dar si despre ea nu e demonstrat ca fiind un adevar absolut.

[atanasu]

PS. De fapt nu se leaga atat de pradoxul cretanului mostenit de la  Grecia antica ci cred ca de paradoxul Zermelo-Russell care este paradoxul Multimii tuturor multimilor. Vezi https://ro.wikipedia.org/wiki/Paradoxul_lui_Russell.