Vectorul de pozitie

[Simona Alexandra]

Buna, cine poate sa-mi dea si mie mai multe informatii despre vectorul de pozitie al unui punct.

[Electron]

Bine ai venit Simona.

In ce clasa esti la scoala, si pentru ce ai nevoie de aceste informatii? Unde ai auzit de acest concept, si cum se face ca nu ai aflat si ce inseamna?

e-

[Simona Alexandra]

Bună, electron, sunt în clasa a IX-a, la mate-info, şi îmi trebuie pentru un referat. Am găsit eu ceva referinţe pe google, dar nu sunt prea bine explicate. În cartea de la şcoală nu scrie decât definiţia. Dacă se poate, doresc nişte explicaţii (eventual cu link) mai pe înţelesul tuturor. Şi aplicabilitatea în cazul unor probleme (de exemplu o problemă rezolvată şi explicată...).

[Electron]

Bună, electron, sunt în clasa a IX-a, la mate-info, şi îmi trebuie pentru un referat.

Ok.

Am găsit eu ceva referinţe pe google, dar nu sunt prea bine explicate. În cartea de la şcoală nu scrie decât definiţia.

Of, si definitia aceea nu e suficienta pentru a intelege acest concept? Poti sa o citezi aici, sa vedem si noi in ce hal au ajuns manualele de azi?

Dacă se poate, doresc nişte explicaţii (eventual cu link) mai pe înţelesul tuturor.

Nu am link-uri despre asta, dar sunt dispus sa explic cu cuvintele mele acest concept, sper pe intelesul cel putin al elevilor de gimnaziu. Prima data vreau sa vad insa definitia deficitara din manual, ca sa stiu de unde plecam.

Apropo, de pe acum iti spun ca NU ai acordul meu sa copiezi cuvant cu cuvant eventualele explicatii de pe acest forum, sa le pui la tine in referat. Daca intelegi explicatiile atunci va trebui sa expui cu cuvintele tale conceptul in referat (si sa ne oferi si noua o copie a acestuia). Drepturile de autor sunt ceva serios, iar "datul mura in gura" pentru temele elevilor este ceva ce NU facem aici. Daca nu esti de acord cu aceste conditii, atunci discutia s-a terminat.

Şi aplicabilitatea în cazul unor probleme (de exemplu o problemă rezolvată şi explicată...).

Asta deja e o cerinta mult mai consistenta, si nu pot promite nimic. Daca vei intelege conceptul vei putea sa-l aplici la probleme. Iar probleme ar trebui sa existe in manual, sau nici atat nu mai fac manualele de azi? 


e-

[Simona Alexandra]

Da, electron, uite definitia din carte:
Definitie. Fie în planul P un punct fixat O. Daca M este un punct din plan atunci vectorul OM il numim vector legat (de punctul O sau de polul O) sau vectorul de pozitie al punctului M.
Eu doresc o explicatie mai pe inteles, pentru mine, ca sa pot sa aplic in rezolvarea unor probleme ( in referat oricum v-a trebui sa scriu definitia din manual). Practic doresc o explicatie mai buna a conceptului. Si sunt de acord sa nu dau copy/paste in referat. Iti multumesc!

[Electron]

Definitie. Fie în planul P un punct fixat O. Daca M este un punct din plan atunci vectorul OM il numim vector legat (de punctul O sau de polul O) sau vectorul de pozitie al punctului M.

Ok, asta imi aduce aminte de definitiile de la geometria analitica... Atat de generale incat ajung la limita abstractului. Ce sa-i faci, asta e matematica.

Bun, acum serios. Sunt de acord cu definitia, adica nu consider ca este incompleta sau deficitara. In geometrie asa se definesc lucrurile.

Pentru a reduce din abstractul acestei definitii, eu propun o aplicatie, din fizica. In fizica, vectorul de pozitie este folosit in definitia vitezei medii unui mobil. In cuvinte, definitia zice asa: "viteza medie (ca vector) a unui mobil este data de raportul dintre delta r (ca vector) si delta t". Delta t se refera la intervalul de timp si este un scalar (un numar), adica diferenta dintre momentul final si cel final (dintre coordonatele temporale respective).

Dar ce este "vectorul delta r" ? Ei bine este diferenta dintre doi vectori, mai precis, dintre vectorii de pozitie ai mobilului la momentul final si respectiv cel initial.

In fizica, vectorul pozitie este folosit pentru a cunoaste pozitia spatiala a unui punct material, si asta functioneaza nu doar in plan ci si in 3 dimensiuni. (Apropo, in matematica asta functioneaza si in spatiile vectoriale de dimensiune oarecare). In fizica ne putem imagina ca un punct material care se misca in spatiu (daca e un spatiu de 2 dimensiuni atunci poate fi un plan) este mereu "urmarit" de un vector, o sagetuta, cu originea in centrul sistemului de coordonate si varful lipit de punctul material.
A cunoaste vectorul de pozitie al unui punct material la un moment dat, este echivalent cu a cunoaste coordonatele sale spatiale in acel moment. Cum e asta posibil?

Pai daca stim vectorul de pozitie "r" (atentie, la fizica!), ce stim de fapt? Stim totul despre acel vector:
- are originea mereu in centrul sistemului de coordonate (0,0) daca suntem in plan
- are varful in punctul in care se afla punctul material (x,y)
- are un modul bine cunoscut (radical din x²+y²)
(nota: din primele 2 informatii stim exact cum e orientat vectorul in spatiu).

Cu alte cuvinte, daca ni se da "vectorul pozitie" al unui punct material la un moment dat intr-o figura, din coordonatele varfului sau (cand este dus cu originea in centrul sistemului de coordonate) deducem direct coordonatele pozitiei punctului material la momentul respectiv.

Revenim la vectorul viteza medie. Pentru a-l calcula avem nevoie de diferenta dintre vectorii pozitie al punctului material, final minus initial. Diferenta dintre doi vectori este desigur tot un vector. Vectorul obtinut, cu modulul impartit la "delta t" ne da vectorul viteza medie cautat, si are deci aceasi orientare spatiala ca si "delta r". De observat ca vectorul pozitie initial, sa zicem r_i, vectorul pozitie final, sa zicem r_f si "delta r" (ca vector) formeaza laturile unui triunghi, cu un varf in centrul sistemului de coordonate, si celelalte doua varfuri in pozitiile unde era punctul material in momentul initial si respectiv final. De asemenea, ca vectori, avem r_i + delta r = r_f (egalitate care ne ajuta sa determinam geometric sensul lui "delta r" daca avem vreun dubiu, desi e destul de evident ca "delta r" este mereu indreptat spre pozitia finala a punctului material).

Am insistat pe faptul ca ce scrie mai sus este valabil la fizica, deoarece in geometrie nu ne impiedica nimic sa vorbim de vectori pozitie ai unor puncte, fata de diversi poli din plan, in acelasi timp (in geometrie "timpul" e oarecum irelevant ). La fizica, o data fixat un sistem de coordonate, vectorii pozitie sunt mereu relativi la acel sistem de coordonate (adica au toti originea in centrul sistemului de coordonate ales), in plus in fizica, "vectorul pozitie" nu are nici o semnificatie daca nu stim fata de ce sistem de coordonate este obtinut.

Astept in continuare intrebari daca sunt neclaritati, dar in ideea ca ai studiat vectorii la fizica sper ca suntem pe un "teritoriu cunoscut" cu aceasta aplicatie.

e-

[Simona Alexandra]

Bun; asta am inteles, dar poti sa-mi dai un exemplu geometric (o figura)? Mai concret, referitor la vectorul de pozitie al punctului material care imparte un segment intr-un raport dat.

[Electron]

Bun; asta am inteles, dar poti sa-mi dai un exemplu geometric (o figura)? Mai concret, referitor la vectorul de pozitie al punctului material care imparte un segment intr-un raport dat.

Pai care e problema cu acest segment?

Daca avem un sistem de coordonate cu centrul in O, si doua puncte A si B in plan, fiecare o sa aiba un vector de pozitie, OA si respectiv OB. Acum daca avem un alt punct C, astfel incat AC = n* CB, si C are un vector pozitie, anume OC. Din faptul ca avem egalitatea AC = n* CB (vectoriala) si ca si AC si CB sunt diferente de vectori pozitie, poti afla relatia dintre OA, OB si OC. Nu inteleg care e problema. Ce te impiedica sa faci o reprezentare geometrica?


e-