Welcome, Guest. Please login or register.

Autor Subiect: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a  (Citit de 108902 ori)

0 Membri şi 1 Vizitator vizualizează acest subiect.

Offline b12mihai

  • Senior
  • ****
  • Mesaje postate: 1124
  • Popularitate: +2/-0
Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« : Octombrie 29, 2009, 05:16:40 p.m. »
Aici se discuta si se ofera solutii la integrale mai deosebite, care nu sunt rezolvate in manualul de clasa a XII-a de analiza matematica.

Problema din manualul meu de clasa a XII-a, la metode de integrare (mai exact la integrarea prin parti):

\displaystyle\int^1_0 \dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}e^{arctgx}\,dx

Nu am nici cea mai vaga idee cum as putea sa o fac  ??? ??? ??? Ok, metoda ar fi integrare prin parti...am incercat sa iau ca fiind inmultirea dintre  x^2 + x + 1 si  \dfrac{e^{arctgx}}{x^2+1}, care e derivata functiei e^{arctgx} , dar mai departe nu mi-a iesit nimic...ajungeam la 0=0.
« Ultima Modificare: Noiembrie 06, 2009, 04:25:18 p.m. de Adi »
Fiecare are scopul lui in lumea asta nebuna.

laurentiu

  • Vizitator
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #1 : Octombrie 29, 2009, 07:10:20 p.m. »
Rezultatul este e^{\frac{\pi}{4}.Si acum fiindca ai spus ce ai incercat iti dau un indiciu:scrie integrala ca \int_0^1 e^{arctgx}dx+\int_0^1 \frac{x}{x^2+1}\cdot e^{arctgx}dx si pe a2a las-o asa cum tiam zis eu.O sa-ti iasa. :D
« Ultima Modificare: Octombrie 29, 2009, 07:21:31 p.m. de laurentiu »

Offline b12mihai

  • Senior
  • ****
  • Mesaje postate: 1124
  • Popularitate: +2/-0
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #2 : Octombrie 29, 2009, 10:26:51 p.m. »
@laurentiu: Multumesc mult. Am folosit indicatia ta, am calculat si mi-a dat tot e^{\frac{\pi}{4} . Nu m-am gandit o secunda la smecheria aia...
« Ultima Modificare: Octombrie 29, 2009, 10:28:51 p.m. de gothik12 »
Fiecare are scopul lui in lumea asta nebuna.

laurentiu

  • Vizitator
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #3 : Octombrie 29, 2009, 10:48:39 p.m. »
Asta chiar a fost frumoasa integrala ,pt ca nu era nimic de calculat. apropo presupun ca esti in clasa a12-a ..ai ajuns deja la integrala definita? sau inveti inainte?(de ex pt olimpiada)

laurentiu

  • Vizitator
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #4 : Octombrie 29, 2009, 10:55:39 p.m. »
Am verificat si metoda pe care a-i incercat-o tu si pur si simplu ajungi de unde ai plecat.Fara smcheria mea practic n-ai ce sa-i faci ;)

Offline b12mihai

  • Senior
  • ****
  • Mesaje postate: 1124
  • Popularitate: +2/-0
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #5 : Octombrie 30, 2009, 02:22:34 p.m. »
@laurentiu: sunt a XII-a, nu ma pregatesc pt olimpiada. Am ajuns de foarte mult timp la integrala definita si am inceput metodele de integrare. Mai avem metoda schimbarii de variabila. Profesorul nostru preda ceva mai rapid lectiile pt ca vrea sa termine materia de a XII-a mai repede ca sa putem recapitula calumea pentru BAC.

Astazi am mai facut alte integrale de-astea mai ciudate si iata cateva la care m-am incurcat (profu nu a apucat sa le faca, sper sa ni le arate luni, cand avem din nou matematica):

 \int x^2 \cdot e^x\cdot cos2x dx

Am zis ca sa iau ca fiind inmultirea dintre e^x derivat si x^2cos2x...dar ce imi iesea la calcule mai bine nu ma gandesc...Oare asa se face?

Si inca una, care am impresia ca se face prin metoda schimbarii de variabila, iar eu inca nu am invatat aceasta metoda (bine, la nevoie pot trage cu ochiul in manual sa vad cum e metoda si sa aplic, dar as vrea sa vad daca se poate si FARA aceasta metoda):

 I = \int \frac{sinx+1}{cosx+1}\cdot e^x dx

Asta cred ca mi-a iesit, in mare. Ce am facut...Am scris fractia 1+sinx/1+cosx ca fiind:

 \frac{tgx + sqrt{1+tg^2x}}{1+sqrt{1+tg^2x}}

Bun, si notand tgx cu t, ar trebui sa avem dx = \frac{1}{1+t^2} dt (asa am citit in manual ???)

 I = \int \frac{t + sqrt{1+t^2}}{1+sqrt{1+t^2}}\cdot e^{arctgt} \cdot \frac{1}{1+t^2} dt - si asta ar merge apoi ca integrare prin parti ?!

In concluzie, daca ai idee macar cum sa incep aceste integrale sa le fac...ca nu prea imi dau seama (mai ales la prima  :( )

« Ultima Modificare: Octombrie 30, 2009, 02:26:47 p.m. de gothik12 »
Fiecare are scopul lui in lumea asta nebuna.

Offline Adi

  • Global Moderator
  • *****
  • Mesaje postate: 11298
  • Popularitate: +15/-7
    • Site personal Adrian Buzatu
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #6 : Octombrie 30, 2009, 03:59:21 p.m. »
Vezi ca in latex trebuie scris "\cos x" si nu "cos x", "\sin x" si nu "sin x", "\tan x" si nu "tg x", la fel "\cot x" si nu "cot x".

Apoi ar fi fain ca dupa ce intelegi anumite derivate, precum cea de ieri, sa scrii toti pasii si sa ni-i dai sa ii punem intr-un articol la Stiinta Azi. Am pus deja tabele cu derivate si integrale in ultimele zile si am vrea sa punem si exemple de integrare prin parti ...
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro

Offline b12mihai

  • Senior
  • ****
  • Mesaje postate: 1124
  • Popularitate: +2/-0
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #7 : Octombrie 30, 2009, 06:24:17 p.m. »
Am niste caiete de analiza pline ochi cu calcule de limite de siruri, limite de functii, derivate, integrale...Asta e o formalitate. Ar trebui puse exemple din care elevii sa invete smecheria, ca intr-un manual...Pt ca ce am postat eu, cu ideea de la Laurentiu, nu e chiar ... un exemplu "clasic"...

Am inteles acum cum e si cu latex...dar, na...acum daca a iesit cum ar trebui sa fie...retin pt cand voi redacta in latex. Deci...cum se rezolvau  ???
Fiecare are scopul lui in lumea asta nebuna.

laurentiu

  • Vizitator
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #8 : Octombrie 30, 2009, 07:59:07 p.m. »
Prima n-am facut-o inca ,dar la a2a nu trebuie nicio schimbare de variabila:e simplu scrii integrala ca:\int \frac{1}{1+\cos x}\cdot e^x dx + \int \frac{\sin x}{1+\cos x}\cdot e^x dx si o integrezi pe a2a prin parti ,si ti se va simplifica prima ;)

Offline b12mihai

  • Senior
  • ****
  • Mesaje postate: 1124
  • Popularitate: +2/-0
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #9 : Octombrie 30, 2009, 09:13:51 p.m. »
Laurentiu...esti genial. Mi-a iesit si asta folosind ideea de la tine! Rezultatul este (daca nu cumva am gresit la calcule):

 \frac{e^x\sin x}{1+\cos x}

O sa revin si cu redactarile problemelor la care m-ati ajutat. Le voi scrie pe foaie si apoi le scanez, ca mi-e groaza cand ma gandesc cat e de scris in Latex/Word ...
Fiecare are scopul lui in lumea asta nebuna.

Offline Adi

  • Global Moderator
  • *****
  • Mesaje postate: 11298
  • Popularitate: +15/-7
    • Site personal Adrian Buzatu
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #10 : Octombrie 30, 2009, 09:41:39 p.m. »
Pai ideea e sa le scrii in Latex, ca e usor, si daca gresesti ceva, poti corecta apoi imediat. Dar daca gresesti cumva pe foaie, nu e mai greu sa rescrii totul de la zero? Latex e foarte usor de invatat si apoi il stii toata viata si creeaza aceste ecuatii foarte faine ... Si ar ajuta si alti elevi in tara.
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro

laurentiu

  • Vizitator
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #11 : Octombrie 30, 2009, 11:51:02 p.m. »
Cred ca si prima iese dupa ceva munca de vreo pagina, cel putin se ajunge la ceva de genu \int e^x \sin^2 x dx ,oricum incearca integrala\int e^x x^2 \sin^2 x dx ,care cred ca iti dai seama de unde vine .La asta chiar n-am alta idee pt moment. :(

Offline b12mihai

  • Senior
  • ****
  • Mesaje postate: 1124
  • Popularitate: +2/-0
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #12 : Noiembrie 03, 2009, 08:36:06 p.m. »
@laurentiu, ieri la ora de mate ne-a aratat, in sfarsit, cum se rezolva acea integrala...Nu prea aveam de unde sa intuiesc aceasta rezolvare.

Este vorba despre scrierea unui sir printr-o relatie de recurenta.

Avem:

I_n=\displaystyle\int  x^n e^x \sin 2x\, dx J_n = \displaystyle\int  x^n e^x \cos 2x\, dx (fara semnele alea de intrebare, care nu inteleg de unde apar...)

Cum se va calcula I_n asa se va calcula si J_n, si vom avea ca I_2 = \int  x^2 e^x \sin 2x dx , respectiv J_2 = \int e^x x^2 \cos 2x dx  - cele de care intrebam si nu stiam la momentul respectiv sa le fac (iarasi fara semne de intrebare...nu inteleg de la ce apar, va rog sa ma corectati).

Bun. Calculam intai I_0 = \int e^x \sin 2x dx , folosind metoda integrarii prin parti:

I_0 = \int (e^x)^' \sin 2x dx = e^x\sin2x - 2 \int e^x \cos2x dx = e^x\sin2x - 2 \int (e^x)^' \cos2x dx = e^x\sin2x - 2(e^x\cos2x + 2\int e^x \sin2x dx ) = e^x(\sin2x - 2\cos2x) - 4I_0.

Asadar vom avea (separand necunoscuta de cunoscute - trecand tot ce contine I_0 intr-o parte):

 5I_0 = e^x(\sin2x - 2\cos2x) \Rightarrow I_0 = \frac{e^x}{5}\cdot(\sin2x - 2\cos2x) .

Bun, asadar avem primul element al sirului  (I_n)_{n\ge0} , definit prin I_n=\displaystyle\int  x^n e^x \sin 2x\, dx . Cum nu stim sa calculam acea integrala, am putea obtine o relatie de recurenta (avand I_0:

Observam ca:
 (I_0) ' = e^x \sin2x - derivata si integrala sunt operatii opuse.
I_n= \displaystyle\int  x^n e^x \sin 2x\, dx = \int x^n \cdot (I_0)' . Calculandu-l si pe I_n folosind metoda integrarii prin parti o sa obtinem ca:

I_n = \frac{x^n e^x}{5}(\sin2x - 2cos2x) - \frac{n}{5}I_{n-1} + \frac{2n}{5}J_{n-1}..

Absolut analog se calculeaza J_n si se obtine o relatie analoaga de recurenta si nu ne ramane decat sa calculam elementele din sir de care aveam nevoie (in cazul de fata: tex]I_2 = \int  x^2 e^x \sin 2x dx [/tex], respectiv J_2 = \int e^x x^2 \cos 2x dx  ).
Fiecare are scopul lui in lumea asta nebuna.

laurentiu

  • Vizitator
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #13 : Noiembrie 03, 2009, 10:30:23 p.m. »
Da frumoasa solutie ,eu tot m-am chinuit cu partea aceea cu sin2x(si cu sin^2 x,da nu-mi dadeam seama ce sa-i fac),ca mi-am dat seama ca este ceva ,dar deabia azi am invatat relatiile de recurenta la matematica ,chiar daca aveam eu ceva habar de ele mai demult .

laurentiu

  • Vizitator
Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
« Răspuns #14 : Noiembrie 03, 2009, 10:34:17 p.m. »
Propun moderatorilor sau administratorilor sa modifice titlul topicului(de exemplu sa-l numeasca"Integrale,cls a XII-a") ,pt ca orice are nevoie vreodata de sa poata posta aici fara sa deschida alt topic.