Se dă un cablu (poate fi şi un lanţ) care este agăţat de capete. Capetele se află la înălţimi egale. Se dau: masa si lungimea cablului, înălţimile la care sunt suspendate capetele. Aş vrea să aflu tensiunea din punctul de la milocul cablului , sau tensiunile de apăsare dintre două zale (în cazul lanţului).
(//)
O rezolvare nu foarte riguroasa... (vezi pdf-ul) :)
La acelasi rezultat ajunsesem si eu, insa este un caz particular (cand cablul "se aseaza" dupa un arc de cerc, dar se poate "aseza" oare dupa un arc de cerc ?).
Ce se intampla in cazul general? Ar trebui formulata cumva ca o problema de minim cu constrangeri (depinzand de cum este atasat cablul de stalpi)...
Pai.. portiunea aia mica de masa poate fi considerata un arc de cerc cu raza cat inaltimea...dar bine... dupa cum am zis... nici mie nu-mi prea place solutia asta...
Poate ca eu n-am rezolvat corespunzator: am presupus de la inceput ca tot cablul este un arc de cerc. Am agatat niste greutati echidistante si apoi am trecut la limita (nr. de greutati tinde infinit, distanta dintre ele tinde la zero).
Tu te-ai concentrat numai asupra portiunii de jos, si ai obtinut acelasi rezultat... S-ar putea sa nu depinda de forma pe care o ia cablul ?
Din cate stiu eu, forma dupa care se aseaza nu e cea a unui cerc, ci a unui cosinus hiperbolic.
Forma exacta depinde si de cum este legat de stalpi, adica liber, in jos, orizontal ...
Citat din: HarapAlb din Octombrie 14, 2008, 05:47:28 PM
Forma exacta depinde si de cum este legat de stalpi, adica liber, in jos, orizontal ...
Eu cred ca asta ar fi adevarat daca am considera cazul unui cablu care nu e perfect flexibil, ceea ce e putin probabil, dat fiind ca de multe ori se considera un "lantisor" tocmai pentru a elimina "rigiditatea" cablului.
Mai mult, din configuratia propusa, eu vad ca lipseste un parametru, si anume distanta dintre capetele lantului (care trebuie sa fie mai mica decat L ;) ), parametru care chiar influenteaza curba respectiva (mai precis "raza" partii inferioare).
e-
Da, asa zic si eu. Odata ce dai lungimea cablului si distanta intre stalpi si presupui ca stalpii sunt destul de inalti, stiu ca ia forma de cosinus hiperbolic. Nu stiu daca in functie de masa ia diferite forme, dar stiu ca toate ar fi cosinus hiperbolic.
Eu zic... ca nu se merita sa se afle ecuatia curbei... :) (dar cred ca ma insel..)
Citat din: Electron din Octombrie 14, 2008, 06:13:48 PM
Citat din: HarapAlb din Octombrie 14, 2008, 05:47:28 PM
Forma exacta depinde si de cum este legat de stalpi, adica liber, in jos, orizontal ...
Eu cred ca asta ar fi adevarat daca am considera cazul unui cablu care nu e perfect flexibil, ceea ce e putin probabil, dat fiind ca de multe ori se considera un "lantisor" tocmai pentru a elimina "rigiditatea" cablului.
De acord, asta ar fi un caz particular de conditii de frontiera (adica de a lega cablul).
Citat
Mai mult, din configuratia propusa, eu vad ca lipseste un parametru, si anume distanta dintre capetele lantului (care trebuie sa fie mai mica decat L ;) ), parametru care chiar influenteaza curba respectiva (mai precis "raza" partii inferioare).
Nu lipseste, pentru ca rationamentul facut de Alexandru (ca si cel facut de mine) presupune ca, cablul se aseaza dupa un arc de cerc. In cazul asta raza R este legata de lungimea cablului si de distanta dintre stalpi.
Calculele lui Alexandru sunt valabile in orice situatie, cu conditia sa se precizeze R. Raza R la care aproximatia folosita de Alexandru eset valida urmeaza sa se determine cumva, R nefiind egala cu H, asa cum apare in desen.
Exemplu: stalpi lipiti unul de altul -> tensiune zero in extremitatea inferioara a cablului (ceea ce ar fi echivalent cu R=0 in formulele lui Alexandru).
Alexandru, cine este H ?
Citat din: Alexandru Rautu din Octombrie 14, 2008, 08:16:07 PM
Eu zic... ca nu se merita sa se afle ecuatia curbei... :) (dar cred ca ma insel..)
Oooooh... ce greseala am facut! Unghiul arcului de cerc nu e (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5CDelta%5Ctheta%7D), ci (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B2%5CDelta%5Ctheta%7D)! Am corectat greseala...
Citat din: HarapAlb din Octombrie 14, 2008, 08:48:12 PM
Citat
Mai mult, din configuratia propusa, eu vad ca lipseste un parametru, si anume distanta dintre capetele lantului (care trebuie sa fie mai mica decat L ;) ), parametru care chiar influenteaza curba respectiva (mai precis "raza" partii inferioare).
Nu lipseste, pentru ca rationamentul facut de Alexandru (ca si cel facut de mine) presupune ca, cablul se aseaza dupa un arc de cerc. In cazul asta raza R este legata de lungimea cablului si de distanta dintre stalpi.
Calculele lui Alexandru sunt valabile in orice situatie, cu conditia sa se precizeze R. Raza R la care aproximatia folosita de Alexandru eset valida urmeaza sa se determine cumva, R nefiind egala cu H, asa cum apare in desen.
Exemplu: stalpi lipiti unul de altul -> tensiune zero in extremitatea inferioara a cablului (ceea ce ar fi echivalent cu R=0 in formulele lui Alexandru).
Pentru a sti raza corecta, e nevoie de ecuatia curbei, si eu sunt convins ca nu este cerc nici macar atunci cand distanta dintre punctele de suspensie este dublul "burtii" cablului fata de orizontala unde e suspendat. Eu prevad ca forma curbei (si automat raza curburii din punctul median) depinde de L (lungime cablului) si ... D, parametrul care eu spun ca lipseste.
e-
"The graph of the function cosh x is the catenary, the curve formed by a uniform flexible chain hanging freely under gravity." (Graficul functiei coshx este un catenar(?), curba formata de un lant uniform flexibil care atarna liber sub influenta gravitatiei). Restul pe Wikipedia (//http://).
Citat din: Electron din Octombrie 14, 2008, 09:00:14 PM
Pentru a sti raza corecta, e nevoie de ecuatia curbei, si eu sunt convins ca nu este cerc nici macar atunci cand distanta dintre punctele de suspensie este dublul "burtii" cablului fata de orizontala unde e suspendat. Eu prevad ca forma curbei (si automat raza curburii din punctul median) depinde de L (lungime cablului) si ... D, parametrul care eu spun ca lipseste.
De acord. Acelasi lucru spuneam si eu mai sus.
Citat din: Adi din Octombrie 14, 2008, 09:04:08 PM
Curba formata de un lant uniform flexibil care atarna liber sub influenta gravitatiei, este data de functia y(x)=a*cosh(x/a).
Bun. Parametrul
a va fi dat de lungimea cablului.
Citat din: HarapAlb din Octombrie 14, 2008, 09:24:53 PM
Citat din: Adi din Octombrie 14, 2008, 09:04:08 PM
Curba formata de un lant uniform flexibil care atarna liber sub influenta gravitatiei, este data de functia y(x)=a*cosh(x/a).
Bun. Parametrul a va fi dat de lungimea cablului.
Vrei sa spui ca parametrul
a depinde
doar de lungimea cablului?
e-
Citat din: Electron din Octombrie 14, 2008, 11:40:51 PM
Vrei sa spui ca parametrul a depinde doar de lungimea cablului?
Va depinde si de distanta dintre stalpi. Pun un fisier cu niste calcule, verificati daca e bine.
Problema se poate rezolva si folosind rationamentul initial propus de Alexandru. Se dezvolta in serie functiile y(x)=a*cosh(x/a) si ecuatia cercului in jurul lui x=0 (considerand originea axei x la mijlocul distantei dintre stalpi), se retin primii termenii si se egaleaza cele doua expresii. La final rezulta ca R=a 8)
... nici o reactie, ar trebui sa trec la "subiecte fierbinti" precum raza electronului ::)
Stilicho, asta era o tema pentru acasa sau vroiai sa mesteresti ceva cu un cablu prin gospodarie ? :)
Pentru inceput vreau sa va multumesc pentru raspunsuri si pentru rezolvari.
CitatStilicho, asta era o tema pentru acasa sau vroiai sa mesteresti ceva cu un cablu prin gospodarie ?
;) Da, chiar asta era, mai demult aveam de intins niste cabluri lungi prin gradina, cabluri care se incapatinau sa se rupa imediat ce le intindeam. De-aia m-am apucat sa calculez tensiunile din cablu, nu am avut nici material de studiu de unde sa ma inspir ... Acuma lucrurile au mai evoluat, am mai invatzat ceva mecanica/analiza atata cat sa inteleg rezolvarile, am acces la Internet ...
Cand o sa am timp, o sa incerc sa postez si eu varianta mea de rezolvare.
Citat din: Stilicho din Octombrie 16, 2008, 12:55:37 PM
Pentru inceput vreau sa va multumesc pentru raspunsuri si pentru rezolvari.
... aveam de intins niste cabluri lungi prin gradina, cabluri care se incapatinau sa se rupa imediat ce le intindeam. De-aia m-am apucat sa calculez tensiunile din cablu, nu am avut nici material de studiu de unde sa ma inspir ... Acuma lucrurile au mai evoluat, am mai invatzat ceva mecanica/analiza atata cat sa inteleg rezolvarile, am acces la Internet ...
Sper sa-ti fie de folos. Esti radioamator ?
Nu, nu sunt radioamator.
Nu am inteles ce-i constanta a, daca esti bun sa-mi explici.
CitatThe scaling factor a can be interpreted as the ratio between the horizontal component of the tension on the chain (a constant) and the weight of the chain per unit of length.
citat din Wikipedia
Definitia asta suna foarte neclar pentru mine. ???
Citat din: Stilicho din Octombrie 17, 2008, 12:28:57 PM
Nu am inteles ce-i constanta a, daca esti bun sa-mi explici.
CitatThe scaling factor a can be interpreted as the ratio between the horizontal component of the tension on the chain (a constant) and the weight of the chain per unit of length.
citat din Wikipedia
Definitia asta suna foarte neclar pentru mine. ???
a are dimensiunea de lungime si cum functia depinde de
x/a, atunci a se poate numi
scaling factor (in romaneste ar fi coeficient/factor de normalizare). Interpretarea de raport dintre tensiunea din cablu si greutatea lui inclin sa cred ca este calitativa. Trebuie sa ma uit peste formule.
a e un parametru ce depinde de distanta dintre stalpi
D si de lungimea cablului
L. Practic pentru fiecare pereche de (
D,L) avem un
a, care se calculeaza folosind relatia (2) din fisierul meu pdf (cred ca trebuie calculata numeric pentru ce ecuatia (2) este transcedentala, adica nu are solutie analitica). Daca te intereseaza solutia ecuatiei (2) o sa vedem cum se rezolva numeric.
Citat din: HarapAlb din Octombrie 16, 2008, 12:33:06 PM
... nici o reactie, ar trebui sa trec la "subiecte fierbinti" precum raza electronului ::)
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Cmbox%7BNu%20vreau%20sa%20par%20carcotas,%20dar%20sunt%20cateva%20greseli%20minore%20in%20documentul%20respectiv:%7D%7D)
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Cmbox%7B%201.%20Functia%20%7D%20y(x)%20%5Cmbox%7B%20are%20forma:%20%7D%20%5Cquad%20y(x)=a%5Cleft%20%5B%20%5Ccosh%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bx%7D%7Ba%7D%20%5Cright%20)%20-1%20%5Cright%20%5D%5Cmbox%7B;%20(stiu%20ca%20e%20o%20greseala%20de%20scris,%20dar%20e%20bine%20de%20precizat!)%7D%7D)
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Cmbox%7B%202.%20Functia%20%7D%20%5Ccosh(x)%20%5Cmbox%7B%20poate%20fi%20scrisa%20ca%20o%20serie%20Taylor,%20adica%20%7D%201%20+%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2!%7D%20+%20%5Cfrac%7Bx%5E4%7D%7B4!%7D%20+%20%5Cfrac%7Bx%5E6%7D%7B6!%7D%20+%20%5Cmbox%7B...,%20iar%20pentru%20un%20%7D%20x%20%5Cmbox%7B%20foarte%20mic%20functia%7D%7D)
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Cmbox%7B%5Cmbox%7B%20poate%20fi%20linearizata,%20obtinand%20%7D%20%5Ccosh(x)=1+%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2!%7D%20%5Cmbox%7B.%20Folosind%20rezultatul%20acesta%20pentru%20%7D%20x=%7Bx_1%7D/%7Ba%7D%20%5Cquad%20%5Cmbox%7B%20se%20obtinem%20ca:%20%7D%7D)
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ccosh(x)=1+%5Cfrac%7Bx_1%7D%7B2a%7D%20%5Cmbox%7B,%20pentru%20%7D%20x_1%20%5Cmbox%7B%20foarte%20mic,%20adica%20%7D%20x_1%5Crightarrow%200%5Cmbox%7B,%20si%20facand%20substituirile%20in%20relatia%20(4)%20din%20document%20se%20ajunge%20la%20%7D%7D)
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Cmbox%7Brezultatul:%20%7D%20T=%5Cfrac%7BgMa%7D%7BL%7D%20%5Cmbox%7B%20(in%20cazul%20acesta%20lipseste%202-ul%20de%20la%20numitorul%20fractiei,%20cum%20mi%20se%20pare%20corect)%7D%7D)
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Cmbox%7B%203.%20Faina%20rezolvarea...%7D%7D) ;)
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Cmbox%7BAs%20vrea%20sa%20adaug%20un%20lucru:%20rezultatul%20final%20poate%20fi%20scris%20ca%20o%20functie%20de%20lungimea%20cablului,%20L,%20inaltimea%20de%20la%20%7D%7D)
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Cmbox%7Bcare%20sunt%20suspendate%20capetele,%20H,%20si%20masa%20cablului,%20M,%20adica%20%7D%20T=T%5Cleft%20(%20L,%5Cquad%20H,%5Cquad%20M%5Cright%20)%5Cmbox%7B.%7D%7D)
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Cmbox%7BStiind%20ca%20%7D%20L=2a%5Csinh%5Cleft%20(%20%5Cfrac%7BD%7D%7B2a%7D%20%5Cright%20)%20%5Cmbox%7B%20si%20ca%20%7D%20H%20=%20y%20%5Cleft%20(%20%5Cfrac%7BD%7D%7B2%7D%20%5Cright)%7D=y%20%5Cleft%20(%20-%5Cfrac%7BD%7D%7B2%7D%20%5Cright%20)%20%5Cmbox%7B%20se%20obtine%20urmatorul%20sistem%20de%20ecuatii:%7D)
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5C%20H%20=a%5Cleft%20%5B%20%5Ccosh%5Cleft(%5Cfrac%7BD%7D%7B2a%7D%5Cright%20)%20-1%5Cright%20%5D%20%5C%5C%20%5Cquad%20L%20=2a%5Csinh%20%5Cleft%20(%5Cfrac%7BD%7D%7B2a%7D%5Cright%20)%20%5Cend%7Bcases%7D%7D)
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Cmbox%7Bsi%20folosind%20relatia%20%7D%20%5Ccosh%5E2(t)-%5Csinh%5E2(t)=1%20%5Cmbox%7B,%20pentru%20oricare%20ar%20fi%20%7Dt%5Cmbox%7B%20numar%20real,%20%7D%7D)
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Cmbox%7Bsistemul%20de%20mai%20sus%20devine:%20%7D%5Cquad%5Cleft%20(1+H/a%5Cright%20)%5E2%20-%20%5Cquad%5Cleft%20(%20L/2a%5Cright%20)%5E2=1%5Cmbox%7B.%7D%7D)
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Cmbox%7BCu%20putina%20algebra,%20relatia%20de%20mai%20sus%20poate%20fi%20scrisa:%20%7D%20%5Cquad%20L%5E2%20-8aH%20-%204H%5E2=0%5Cmbox%7B,%20%7D%7D)
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Cmbox%7Bde%20unde%20se%20obtine%20foarte%20usor%20forma%20lui%20%7D%20a=%5Cfrac%7BL%5E2-4H%5E2%7D%7B8H%7D%5Cmbox%7B.%20%7D%7D)
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Cmbox%7BAsadar,%20%7D%20T=gM%5Cfrac%7BL%5E2-4H%5E2%7D%7B8LH%7D%5Cmbox%7B.%20%7D) ;)
Alexandru, multumesc pentru raspuns. Am revazut calculele mele.
1) functia este bine definita, am ales cazul cu y(0)=a.
2) in relatia ce defineste Delta l am uitat sa-l trec la patrat, (Delta l)^2.
3) metodele de calcul trebuie sa dea acelasi rezultat pentru ca aproximatia facuta este aceeasi (se aproximeaza coarda cu segmentul de dreapta ce o subintinde). Eu am pierdut pe drum un 1/2 la dezvoltarea in serie a functiei cosh(x/a). Prin introducerea cosh(x1/a)=1+1/2*(x1/a)^2 in relatia (4) din fisierul meu se obtine rezultatul fara factorul 1/2.
4) In solutia alternativa cu determinarea lui R intervine un factor 2 si vom avea R=2*a.
Bine ca ai eliminat parametrul a, nu ma gandisem sa-l relationez cu "inaltimea" corzii.