Forumul Scientia

Rezolvare de probleme / teme pentru acasă => Fizică => Subiect creat de: oaia_electrica din Octombrie 26, 2014, 09:33:03 a.m.

Titlu: Cuantificarea sarcinii electrice
Scris de: oaia_electrica din Octombrie 26, 2014, 09:33:03 a.m.
Acum cativa ani m-am lovit de un exercitiu la care mi-am batut capul o vreme, fara rezultat, si descoperind ca acest forum exista  :o mi-a reaparut pe creier.

Ideea e urmatoarea: exista un argument de natura clasica ce sprijina ideea lui Dirac conform careia cuantificarea sarcinii electrice este conditionata de existenta monopolilor magnetici. Iata o parte a argumentului formulata sub forma unei probleme (lucram in unitati gauss):

Fie sarcina electrica  e fixata in punctul  \frac{1}{2}\vec{R} si fie sarcina magnetica  g fixata in punctul  -\frac{1}{2}\vec{R} . Care este densitatea impulsului electromagnetic intr-un punct arbitrar  \vec{r} ? Arata ca densitatea are divergenta nula scriind-o ca un rotor.

Densitatea impulsului electromagnetic are formula generala  \vec{G}=\frac{\vec{E}\times \vec{B}}{4\pi c} . E usor de explicitat in functie de sarcinile e si g si campurile create de acestea, dar n-am reusit niciodata sa arat ca are divergenta nula gasind campul al carui rotor da tocmai densitatea de impuls. Strategia mea a fost sa "ghicesc" campul pentru care aplicarea rotorului conduce la  \vec{G} . Deci, daca are cineva idei, revin cu expresia completa a lui  \vec{G} si le incercam.

P. S. Raspunsul poate sa fie la nivelul oricarui curs avansat de electrodinamica clasica.
Titlu: Răspuns: Cuantificarea sarcinii electrice
Scris de: Stark din Octombrie 26, 2014, 11:42:14 a.m.


Fie sarcina electrica  e fixata in punctul  \frac{1}{2}\vec{R} si fie sarcina magnetica  g fixata in punctul  -\frac{1}{2}\vec{R} . Care este densitatea impulsului electromagnetic intr-un punct arbitrar  \vec{r} ? Arata ca densitatea are divergenta nula scriind-o ca un rotor.

Densitatea impulsului electromagnetic are formula generala  \vec{G}=\frac{\vec{E}\times \vec{B}}{4\pi c} .

Nu cred ca problema ta este formulata corect (mai precis ce am subliniat cu roshu).
Asta pentru ca  un camp cu divergenta nula este automat rotorul unui alt camp (e teorema in algebra operatorilor diferentiali). In cazul de fatza, divergenta vectorului Poynting este zero ptr ca ai campuri stationare (nu se propaga nici un impuls electromagnetic).

Probabil ca problema ta nu consta sa arati ca G are divergenta zero scriindu-l ca rotorul unui alt camp, ci mai degraba sa deduci acel camp {\bf F}, al carui rotor il da pe G, adica sa rezolvi equatia

<br />{\bf G } = \nabla\times {\bf F}<br />

Poate ca trebuie sa dai mai multe detalii legate de contextul argumentului lui Dirac ptr a intelege de ce ar merita efortul sa-l calculam pe {\bf F}.


PS: 1)  In contextul sarcinilor magnetice, ecuatiile Maxwell trebuie revizuite, in sensul ca probabil este prezent un curent de deplasare magnetic (in analogie cu cel electric). Fac precizarea asta, pentru ca demonstratia teoremei Poynting trebuie revizuita ptr a deduce corect fluxul de energie si a arata ca divergenta vectorului Poynting este intr-adevar zero ptr campuri stationare (cum este cazul in problema ta cu cele doua sarcini fixe, electrica si magnetica).


PS: 2) Folosesc fonturi boldate ptr a nota vectori.
Titlu: Răspuns: Cuantificarea sarcinii electrice
Scris de: oaia_electrica din Octombrie 26, 2014, 12:30:48 p.m.
Multumesc pentru raspuns!

Cred ai tradus mai corect ca mine din engleza in romana enuntul problemei. Cu notatiile tale, cerinta asta chiar aceasta, gasirea campului  \vec{F} ce satisface relatia  \vec{\nabla}\times \vec{F}=\vec{G} . Scrierea aceasta s-ar putea sa fie utila in evaluarea momentului cinetic al campului, care este pasul urmator al problemei.

Intr-adevar, ecuatiile lui Maxwell contin niste termeni suplimentari (densitate de sarcina magnetica in legea lui Gauss pentru campul magnetic si o densitate de curent magnetic in legea lui Faraday) dar nu cred ca aceste lucruri sunt necesare in rezolvare. In problema de fata, campurile ar trebui sa fie

 \vec{E}(\vec{r})=\frac{e}{|\vec{r}-\frac{1}{2}\vec{R}|^{3}}(\vec{r}-\frac{1}{2}\vec{R})

 \vec{B}(\vec{r})=\frac{g}{|\vec{r}+\frac{1}{2}\vec{R}|^{3}}(\vec{r}+\frac{1}{2}\vec{R})

iar  \vec{G} rezulta imediat din efectuarea produsului vectorial (daca mai verifica si altcineva rezultatul ar fi foarte bine):

 \vec{G}=\frac{eg}{4\pi c}\frac{\vec{r}\times\vec{R}}{(r^{2}+\frac{1}{4}R^{2})^{3}}

In componente carteziene, ar rezulta mai departe

 G_{i}=\frac{eg}{4\pi c}\frac{1}{(r^{2}+\frac{1}{4}R^{2})^{3}}\epsilon_{ijk}x_{j}R_{k}

iar noi trebuie sa gasim campul vectorial  \vec{F} care ar satisface pentru fiecare componenta a lui  \vec{G}

 \epsilon_{ijk}\partial_{j}F_{k}=G_{i} .

Problema e din cartea de electrodinamica a lui Julian Schwinger. Asta ma face sa cred ca exista o solutie foarte eleganta si simpla, cu conditia ca cel care se incumeta sa atace problema sa fie suficient de inteligent ca sa o vada. E limpede ca nu a fost cazul meu.  ;D
Titlu: Răspuns: Cuantificarea sarcinii electrice
Scris de: Stark din Octombrie 26, 2014, 02:40:14 p.m.
In problema de fata, campurile ar trebui sa fie

 \vec{E}(\vec{r})=\frac{e}{|\vec{r}-\frac{1}{2}\vec{R}|^{3}}(\vec{r}-\frac{1}{2}\vec{R})

 \vec{B}(\vec{r})=\frac{g}{|\vec{r}+\frac{1}{2}\vec{R}|^{3}}(\vec{r}+\frac{1}{2}\vec{R})

iar  \vec{G} rezulta imediat din efectuarea produsului vectorial (daca mai verifica si altcineva rezultatul ar fi foarte bine):


 \color{red}\vec{G}=\frac{eg}{4\pi c}\frac{\vec{r}\times\vec{R}}{(r^{2}+\frac{1}{4}R^{2})^{3}}



Esti de acord ca rezultatul corect ptr vectorul Poynting este:

 \vec{G}=\frac{eg}{4\pi c}\frac{\vec{r}\times\vec{R}}{\left((r^{2}+\frac{1}{4}R^{2})^2 -(\vec{r}\cdot\vec{R})^2\right)^{3/2}} ?
Titlu: Răspuns: Cuantificarea sarcinii electrice
Scris de: oaia_electrica din Octombrie 26, 2014, 03:30:08 p.m.
Ai dreptate, am scris numitorul gresit in mesajul meu anterior. Tocmai numitorul acela e pacostea in cautarea lui  \vec{F} . Ca o observatie pedanta,  \vec{G} nu este vectorul Poynting, ci doar densitatea de impuls. Vectorul Poynting este de fapt  \vec{S}=c^{2}\vec{G} .
Titlu: Răspuns: Cuantificarea sarcinii electrice
Scris de: Stark din Octombrie 26, 2014, 03:59:08 p.m.

Cred ai tradus mai corect ca mine din engleza in romana enuntul problemei. Cu notatiile tale, cerinta asta chiar aceasta, gasirea campului  \vec{F} ce satisface relatia  \vec{\nabla}\times \vec{F}=\vec{G} . Scrierea aceasta s-ar putea sa fie utila in evaluarea momentului cinetic al campului, care este pasul urmator al problemei.

Chiar nu inteleg unde vrei sa ajungi cu problema asta: de ce s-ar cere calculul de moment cinetic ptr un camp stationar?
In sistemul tau nimic nu variaza in timp: e posibil ca o configuratie de campuri electric si magnetic statice sa posede moment cinetic?

Inteleg ca probabil sunt  si erori de traducere, iar in mesajul anterior era gresita o formula care are o forma algebrica deloc triviala: deci e foarte dificil sa pot urmari si sa inteleg in ce consta problema ta.


Nu ar fi mai bine sa o postezi aici exact asa cum a fost formulata, in limba engleza, ca sa vedem si noi?
Titlu: Răspuns: Cuantificarea sarcinii electrice
Scris de: oaia_electrica din Octombrie 26, 2014, 04:35:46 p.m.
Desigur. Iata enuntul exact:

Electric charge  e is located at a fixed point\frac{1}{2}\vec{R}. Magnetic charge g is stationed at the fixed point -\frac{1}{2}\vec{R}. What is the momentum density at the arbitrary point  \vec{r} ? Verify that it is divergenceless by writing it as a curl. Evaluate the electromagnetic angular momentum, the integrated moment of the momentum density. Recognize that it is a gradient with respect to  \vec{R} . Continue the evaluation to discover that it depends only on the direction of  \vec{R} , not its magnitude. This is the naive, semiclassical basis for the charge quantization condition of Dirac, eg=\frac{n}{2}\hbar c.

Blocajul meu a ramas la partea subliniata. Un tip a publicat un articol in 1976 in care calculeaza momentul cinetic al sistemului din problema direct. Eu doream insa sa ajung la solutie prin pasii mentionati in enunt.
Titlu: Răspuns: Cuantificarea sarcinii electrice
Scris de: Stark din Octombrie 26, 2014, 06:16:46 p.m.
Am o incercare.

Pentru usurinta mea de a scrie si de a explica mai clar cum am ghicit solutia, propun sa schimb sistemul de referinta (pentru tine va trebui ca in final sa faci o simpla translatie de coordonate).

Presupun ca sarcina electrica este in {\bf 0} iar cea magnetica in {\bf R}.
Atunci

<br />{\bf G } = \frac{\bf r \times (r-R)}{r^3|{\bf r -R}|^3}<br />

Am folosit unitati de masura in asa fel incat vectorul Poynting si densitatea de moment sunt date de aceasi formula (ptr tine ar trebui sa fie usor sa transcrii calculele mele tinand cont de constanta de proportionalitate corecta, care iti defineste si unitatile tale de masura preferate).


Mai departe,  observ ca  expresia de mai sus contine "ceva" care arata a camp coulombian  \frac{\bf r}{r^3}, despre care stii foarte bine ca are rotorul zero. Ca sa continui cu "ghicitul" lui F, observa ca este adevarat ca

<br />\nabla\times({\alpha {\bf A}})= \alpha \nabla\time{\bf A}+ \nabla \alpha \time{\bf A} \,\,\,(*)<br />

unde {\bf A} si \alpha sunt respectiv doua campuri: primul vectorial si al doilea scalar.


Il ghicesc pe F ca fiind

<br />{\bf F} = \frac{\bf r}{r^3}\frac{1}{|{\bf r-R}|}\,\,\,\,(**)<br />

Daca aplic identitatea (*) pe formula de mai sus, observa ca daca {\bf A} =\frac{\bf r}{r^3} , atunci \nabla \times{\bf A} = 0 , ptr ca  {\bf A} este camp coulombian si deci irrotational, prin urmare ramane de estimat al doilea termen din membrul drept in (*), adica


<br />\nabla \time{\bf F} = \left(\nabla \frac{1}{|{\bf r-R}|} \right)\times \frac{\bf r}{r^3} <br />

Ceea ce duce la

<br />\nabla \time{\bf F} = \frac{|{\bf r-R}| \times{\bf r}}{|{\bf r-R}|^3 r^3} \prop{\bf G}<br />

adica pana la un semn obtii G, si deci F din formula (**) are forma corecta.

 

Titlu: Răspuns: Cuantificarea sarcinii electrice
Scris de: Stark din Octombrie 26, 2014, 06:32:18 p.m.
Intre timp am gasit si urmatorul articol, foarte asemanator cu estimarile tale de moment cinetic.

http://nebula.physics.uakron.edu/dept/faculty/benhu/Reprints/EM_momentum_EJP.pdf (http://nebula.physics.uakron.edu/dept/faculty/benhu/Reprints/EM_momentum_EJP.pdf)

Inca nu imi este clar: de ce momentul cinetic ptr campuri stationare poate fi nenul?

Ma gandesc ca in cazul clasic (fara monopoli) campul magnetic este generat de niste sarcini electrice in miscare
si din acest motiv campul generat, chiar daca este static ar avea moment cinetic; dar nu cred ca asta sa fie motivul.
In cazul monopolilor intrebarea mea este si mai acuta: campul magnetic este generat de monopoli, deci nimic in miscare. De unde poate veni momentul ala cinetic?
Titlu: Răspuns: Cuantificarea sarcinii electrice
Scris de: oaia_electrica din Octombrie 27, 2014, 07:36:49 a.m.
Iti raspund si aici, pentru ca poate mai sunt cititori interesati. Ideea ta este foarte buna. Zilele astea cand  am timp reiau problema si vad ce se intampla mai departe. Ca sa-ti raspund asa, oarecum dand din palme, la ultima intrebare, cred ca momentul cinetic apare din faptul ca sistemul are numai simetrie axiala. E suficient sa vizualizezi mental geometria sistemului ca sa realizezi ca daca integrezi momentul vectorului Poynting pe toate directiile, pe axa "dipolului" iti ramane o contributie care nu dispare. Asta se intampla deoarece in expresia vectorului Poynting iti apare produsul vectorial dintre doua campuri coulombiene distincte, unul electric si celalalt "magnetic".

Asa, ca o idee de perspectiva, ar fi de interesant de vazut ce se intampla in limita in care distanta dintre sarcini devine foarte mica, iar sarcinile incep sa oscileze. Imi imaginez ca radiatia emisa are o structura foarte interesanta, chiar daca in momentul de fata pare mai mult sf decat realitate.
Titlu: Răspuns: Cuantificarea sarcinii electrice
Scris de: Stark din Octombrie 27, 2014, 12:07:54 p.m.
Iti raspund si aici, pentru ca poate mai sunt cititori interesati. Ideea ta este foarte buna. Zilele astea cand  am timp reiau problema si vad ce se intampla mai departe. Ca sa-ti raspund asa, oarecum dand din palme, la ultima intrebare, cred ca momentul cinetic apare din faptul ca sistemul are numai simetrie axiala.  E suficient sa vizualizezi mental geometria sistemului ca sa realizezi ca daca integrezi momentul vectorului Poynting pe toate directiile, pe axa "dipolului" iti ramane o contributie care nu dispare. Asta se intampla deoarece in expresia vectorului Poynting iti apare produsul vectorial dintre doua campuri coulombiene distincte, unul electric si celalalt "magnetic".

Ce este subliniat cu roshu nu este un argument suficient: de exemplu un disc volant in repaus are simetrie axia, iar momentul lui cinetic chiar este zero, ceea ce este normal, ptr ca nimic nu se roteste. Campurile tale sunt statice, si nimic nu se roteste, nimic nu se misca in sistem.
Faptul ca afirmi ca momentul cinetic ar fi nenul doar ptr ca asa dau calculele nu e satisfacator: calculele pot fi gresite, sau formula ptr densitatea de impuls poate fi neadecvata ptr sisteme cu monopoli magnetici, sau orice alt motiv imprevizibil.

Intrebarea mea se refera in sens fizic: daca calculele iti indica o valoare nenula ptr moment cinetic, atunci trebuie sa atribui si o explicatie fizica sau o interpretare aferenta rezultatului obtinut.
Titlu: Răspuns: Răspuns: Cuantificarea sarcinii electrice
Scris de: oaia_electrica din Octombrie 27, 2014, 05:07:40 p.m.

Faptul ca afirmi ca momentul cinetic ar fi nenul doar ptr ca asa dau calculele nu e satisfacator: calculele pot fi gresite, sau formula ptr densitatea de impuls poate fi neadecvata ptr sisteme cu monopoli magnetici, sau orice alt motiv imprevizibil.


De acord cu ceea ce spui, dar in cazul partii subliniate trebuie precizat ca formula densitatii de impuls este ok. In masura in care introducerea monopolilor magnetici in teorie se reduce la a completa ecuatiile Maxwell cu o densitate de sarcina magnetica in legea lui Gauss pentru campul magnetic, respectiv densitate de curent magnetic in legea lui Faraday si la a postula un termen la forta Lorentz cuplat la sarcina magnetica g "in oglinda" fata de cea pentru sarcina electrica e (densitatea de sarcina, curent si campul electric pot fi substituite direct cu corespondentii magnetici, dar la substitutia celor electrici in locul celor magnetici toata lumea primeste un semn minus), atunci expresia generala a vectorului Poynting este aceeasi atat in teoria cu monopoli magnetici, cat si in cea fara ei.

O sa revin cu completari mai clare cand mai avansez in problema.
Titlu: Răspuns: Cuantificarea sarcinii electrice
Scris de: Stark din Octombrie 27, 2014, 06:03:55 p.m.
Da, te cred pe cuvant. Sunt convins ca subiectul a fost analizat in literatura de la Dirac incoace, si ca tu esti la current.

Totusi, daca duci problema pan la capat si ai timp, poti sa postezi aici rezultatele obtinute? Cel putin sunt curios sa vad ce
poate iesi din astfel de calcule.

De exemplu in articolul cu pricina reiesea pentru momentul cinetic total ca ar fi dat de produsul dintre sarcina electrica si magnetica,
si sincer chiar nu inteleg: fiind camp stationar de ce momentul cinetic (total???) ar fi nenul (scuze ptr repetitie).

Titlu: Răspuns: Cuantificarea sarcinii electrice
Scris de: oaia_electrica din Octombrie 28, 2014, 05:23:07 a.m.
Desigur, revin aici cand am rezultate noi. Imi imaginez ca pasul la care ti-am cerut ajutorul are tocmai acest rol, e posibil ca scrierea lui  \vec{G} ca rotorul unui camp sa prezinte intr-o lumina noua evaluarea momentului cinetic, din care sa se inteleaga ceva.
Titlu: Răspuns: Cuantificarea sarcinii electrice
Scris de: mircea_p din Octombrie 28, 2014, 03:11:21 p.m.
Faptul ca impulsul si momentul cinetic al campului nu sant nule e intr-adevar contraintuitiv dar nu indica in mod necesar o eroare sau o "problema". Cazul "clasic" (sarcina electrica si magnet permanent) prezinta o comportare asemanatoare.
Feynman discuta asta in capitolul 27 din volumul 2. Si isi pune exact aceeasi problema, cum de avem circulatie de energie, impuls, etc. E un capitol foarte interesant si util pentru a revedea notiunile despre energia si momentul campului. Si intr-un stil probabil unic. Chiar in cartea lui Scwinger, de exemplu,  nu prea se discuta fizica, intuitia, seminifcatia marimilor. Sau daca are sau nu sens ce se obtine dupa manipulari matematice.

Ideea lui Feynman in privinta momentului este ca a fost "creat" cand s-a format sistemul de sarcini sau sarcini +magnet. Nu e nevoie sa se "miste" ceva pentru a avea energie sau moment al campului.


Titlu: Răspuns: Cuantificarea sarcinii electrice
Scris de: Stark din Octombrie 28, 2014, 10:08:15 p.m.
@mircea_p

Da, ai dreptate; de altfel exemplul de acolo cu bobina si sarcinile pe disc a fost discutat si aici pe forum, nu?
Marturisesc ca nici atunci nu am inteles explicatia.  Am volumele lui Feynman la indemana, ma uit si o sa revin.

Citat
Nu e nevoie sa se "miste" ceva pentru a avea energie sau moment al campului.
Pai tocmai ca se misca: campul ala magnetic o fi el static, dar e produs de un curent intr-o bobina, deci sunt sarcini electrice in miscare
care si-ar distribui momentul cinetic cu campul produs si... mai bine ma opresc, ca nu am inteles de ce ar mai fi necesar camp electric.
Mai bine revin!

PS: Dar in cazul de fata ai inteles ca vorbim de campuri statice; plus faptul ca vorbim de monopoli magnetici,
deci campul magnetic este altfel produs.


Titlu: Răspuns: Cuantificarea sarcinii electrice
Scris de: mircea_p din Octombrie 28, 2014, 10:43:39 p.m.
Nu ma refeream la bobine. In exemplul din Feynman era vorba de un magnet permanent si o sarcina electrica statica. Ambele produc campuri statice, nu?

Nu era nici un curent macroscopic. Sigur ca putem imagina campul produs de magnetul permanent ca datorat unor curenti moleculari. Dar stim ca feromagnetismul e datorat mai ales spinului electronului si nu unor curenti microscopici. Pana la urma, daca avem un singur electron, izolat, acesta are si camp electric si camp magnetic. Ambele "statice". Ar fi poate interesant de vazut daca campul sau are sau nu un moment nenul. Nu vad cum s-ar anula peste tot.
Cred  ca idea de baza ar fi ca e ok sa avem campuri statice cu moment (si moment unghiular) nenule.:)

In cazul monopolilor, nu stiu ce ne putem imagina ca se misca. Si de ce ar trebui sa ne punem problema, pana nu se dovedeste ca exista. Sau nu.

PS. exemplul la care ma refer e in capitolul 27, vol 2.
Mai discuta si in alte capitole de momentul campurilor. Poate e si ceva cu o bobina, dar eu nu ma refeream decat la exemplul cu magnetul permanent.
Titlu: Răspuns: Cuantificarea sarcinii electrice
Scris de: oaia_electrica din Octombrie 29, 2014, 09:13:00 a.m.

In cazul monopolilor, nu stiu ce ne putem imagina ca se misca. Si de ce ar trebui sa ne punem problema, pana nu se dovedeste ca exista. Sau nu.


Problema pe care am deschis-o aici n-are alt rost decat sa ofere placere intelectuala. Existenta monopolilor magnetici ar explica insa faptul ca sarcina electrica este cuantificata, deci bataia de cap nu ar fi complet rupta de realitate, si e interesant ca introducerea lor in teorie nu intra in conflict cu nici un alt fenomen cunoscut. Ramane la fel de adevarat ca nu exista in momentul de fata nici macar observatii "tentative" ale acestora. Era vorba la un moment dat sa monteze la LHC un detector foarte ieftin (ceva gen foi de plastic in calea fasciculului  :D) dar nu stiu daca proiectul a fost abandonat sau daca nu a returnat nici un rezultat notabil. Comportamentul de monopol magnetic parca a fost "emulat" in fizica materialelor. Habar nu am insa daca se poate construi un experiment care sa fie echivalentul sistemului tratat in problema.
Titlu: Răspuns: Cuantificarea sarcinii electrice
Scris de: mircea_p din Octombrie 29, 2014, 02:37:27 p.m.
Imi pare rau daca am parut cam "dismissive" in privinta monopolilor. :)
Ma refeream doar la problema concreta a momentului cinetic al campului produs de combinatii de monopoli si sarcini electrice.
Sigur ca e intresant sa ne imaginam si sa fie cautati.