Matematică şi Logică > Algebra

Matrice si determinanti

(1/2) > >>

foton01:
Salut!
Zilele acestea am dat peste mai multe probleme cu determinanti. Toate aveau ceva legat de sau . Este vreo metoda speciala cu care se rezolva tipul acesta de probleme? Au vreo scriere aparte acesti determinanti? Am sa va scriu cele doua problme pentru a exemplifica mai bine.
1.Fie singulare cu proprietatile ,   Calculati
2.Fie doua matrice patratice de ordin trei cu elemente intregi cu proprietatea ca:
si
Sa se arate ca .

Imi puteti da niste idei la aceste probleme va rog ? :)

Mai am si o a 3-a problema care nu are legatura cu cele doua dar nu prea am idei nici aici :)
3.Demonstrati ca daca sunt matrici patrate ce comuta si care au elemente numere naturale, atunci NU poate lua valoarea 2012.

Imi cer scuze ca sunt atatea probleme dar inca nu am invatat pe deplin cum sa lucrez cu determinanti :)

Multumesc ! :D

zec:
 Sunt grele si nu au o particularitate anume.Doar ca la rezolvare trebuie luat in considerare toate datele care le prezinta problemele.De exemplu la 1 matrici singulare inseamna ca au determinaint nul.La problema 2 au elemente numere intregi deci asta inseamna ca valorile determinantilor sunt numai numere intregi.Faptul ca sunt de ordin 3 si la 1 si la 2 e posibil sa iei in considerare matrice .
 Unde ai gasit problemele?

foton01:

--- Citat din: zec din Decembrie 23, 2012, 09:30:45 a.m. --- Unde ai gasit problemele?

--- Terminare citat ---
sunt dintr-o culegere mai veche pentru olimpiada :)

zec:
Am o demonstratie pentru problema 1.Probabil ca dupa ce vei vedea rezolvarea iti vei da seama de dificultatea ei.Apropo asa ca fapt mi-a luat ceva timp de gandire.
Fie si avem conform ipotezei pe de alta parte coeficientul lui este detB=0 care se remarca usor in modul cum se calculeaza un determinant in general.
detA=detB=0 deoarece zice in ipoteza matrici singulare.
Astfel P(x) e un polinom de grad 2 scriind afli imediat din conditiile date ca .
Calculam acuma (aici folosim faptul ca A si B comuta)
Fie
Asemanator cu ideea de la P(x) gradul lui G este maxim 2 intrucat coeficientul lui x3
este detAB=detAdetB=0
Avem G(0)=5; G(-2)=det(A-B)2=(det(A-B))2=1 si analog G(2)=9
Fie G(x)=ax2+bx+c obtinem c=5 imediat
si 4a-2b+5=1;4a+2b+5=9 de unde a=0 si b=2 astfel G(x)=2x+5 iara determinantul cautat este G(-1)=3 .Raspuns 3

zec:
Problema 3.
Ideea demonstratiei se bazeaza pe urmatorul fapt:
Se stie ca daca A si B comuta demonstratia se bazeaza pe urmatorul fapt.  unde .
Nu dau demonstratia dar ca fapt nu e grea se bazeaza pe definitia generala a determinantului si proprietati ale conjugatei unui numar complex.
Astfel unde la final intelegem modul de numar complex din determinant.
Deci unde x,y sunt partea reala respectiv partea imaginara a lui det(A+iB) evident ca x si y sunt numere intregi.
 Acuma nu ramane de aratat decat ca ecuatia nu are solutii intregi.
Genul de ecuatie se bazeaza pe ideea de resturi patratice. poate fi de forma 4k sau 4k+1.Dar 2012 e de forma 4k asta inseamna ca nu putem avea decat 4k+4k=2012 deci x par si y par scriem x=2u y=2v si ecuatia devine dar 503 e de forma 4k+3 si nu poate fi suma de 2 numere de forma 4k sau 4k+1 deci ecuatia data nu are solutii.

Navigare

[0] Indexul de Mesaje

[#] Pagina următoare