Matematică şi Logică > Matematică - probleme generale
Suma a trei patrate perfecte
sicmar:
--- Citat din: zec din Septembrie 23, 2011, 10:05:51 p.m. ---Stiai tu ceva sau ai gasit pe net?Daca tu stiai despre problema aceasta e de apreciat.
--- Terminare citat ---
Soluţia particulară a apărut ca o extensie imediată şi naturală de la cea generară a ecuaţiei , pe care o ştiam: , şi .
Dacă ştiam soluţia generală sau dacă ştiam unde o găsesc scriam de la început, nu dădeam o soluţie particulară, puneam soluţia generală şi referinţa.
Ştiam însă că este o problemă clasică şi am început s-o caut prin cărţi. Printre primele verificate a fost cartea lui Carmichael (pe care o am pe HD în format djvu) în care ştiam sunt tratate la nivel mediu ecuaţiile diofantice. Apoi în Dickson, History of the Theory of Numbers, am verificat dacă sunt indicate soluţii mai vechi. etc.
A.Mot-old:
--- Citat din: zec din Septembrie 23, 2011, 10:05:51 p.m. ---
--- Citat din: sicmar din Septembrie 23, 2011, 07:06:50 p.m. ---Fără pretenţia de-a fi o soluţie generală a ecuaţiei diofantice ,
avem o soluţie ca urmare a identităţii:
.
(Evident, aceasta este sugerată de soluţia ecuaţiei diofantice .)
Edit:
Se pare că R. D. Carmichael este creditat ca fiind cel care a obţinut soluţia generală:
În cadrul Proiectului Gutenberg este digitizată cartea lui Carmichael, "Diophantine analysis", în care apare demonstrarea faptului că aceasta este soluţia generală.
--- Terminare citat ---
Stiai tu ceva sau ai gasit pe net?Daca tu stiai despre problema aceasta e de apreciat.
--- Terminare citat ---
Pentru ce valori ale lui m,n,p,q se obtine x=0?
sicmar:
--- Citat din: A.Mot din Septembrie 23, 2011, 09:48:21 p.m. ---Doi parametri nu sunt suficienti pentru solutia generala?Pentru ce valori m,n,p,q obtinem x=0 si ce valori au y,z,t?Ca sa obtinem x=0 trebuie sa rezolvam alta ecuatie diofantica.
--- Terminare citat ---
1. La ecuaţiile invariante la permutarea unor necunoscute se consideră, de obicei tacit, că odată cu soluţia generală (x, y, z, t) dată ca mai sus sunt date şi soluţiile obţinute din ea prin permutările respective. Similar, în condiţiile în care ecuaţia este invariantă la schimbarea de semn a uneia sau mai multor necunoscute se consideră şi soluţiile obţinute prin schimbările de semn corespunzătoare. Nu toate aceste soluţii sunt diferite între ele dar în mod clar sunt diferite cele care se obţin din (x, y, z, t), (z, y, x, t), (x, y, z, -t) şi (z, y, x, -t). (Sunt, de exemplu, identice soluţiile obţinute din (x, y, z, t) şi (-x, y, z, t) deoarece ele sunt obţinute una din alta prin transformarea (m, n, p, q) -> (n, m, q, p))
În loc de x=0, prin permutare, putem considera z=0 şi cu p=q=0 regăsim soluţia clasică pentru ecuaţia . (Acest procedeu nu garantează că soluţia astfel obţinută este cea generală pentru ecuaţia .)
În general, impunerea unor condiţii suplimentare asupra soluţiilor unei ecuaţii diofantice conduce la reyolvarea de noi ecuaţii diofantice.
2. Soluţia generală nu poate fi scrisă doar cu 2 sau cu 3 parametrii.
Această concluzie derivă din forma lui t, sumă de 4 pătrate. Oricare ar fi q, fixat, unul dintre numerele 1, 7 sau 8 nu poate fi scris sub forma . De exemplu, soluţia particulară pe care am scris-o iniţial (şi care corespunde lui q=0 din forma generală) nu cuprinde soluţia (3, 2, 6, 7) pentru că 7 nu poate fi scris ca sumă de 3 pătrate.
3. Tipic, dacă o ecuaţie cu n necunoscute admite o infinitate de soluţii atunci ele depind de n-1 parametrii. (Sau, cel puţin, ele pot fi reduse la n-1 parametrii.) Nu acesta este cazul ecuaţiei .
Raţiunea profundă pentru care, aici, sunt necesari 4 parametrii (aşa cum se explică în cartea lui Carmichael) derivă din faptul că mulţimea numerelor de forma nu este închisă faţă de înmulţire (şi se dau 2 exemple: 15(=3*5) şi 63(=3*21) nu pot fi scrise ca sumă de 3 pătrate cu toate că , şi ) dar mulţimea numerelor de forma este închisă. Setul de soluţii al ecuaţiiei este obţinut tocmai folosind închiderea faţă de înmulţire a mulţimii acestora şi el are, aşa cum ne aşteptam, 4 parametrii.
Soluţiile ecuaţiei sunt obţinute din cele ale ecuaţiei pentru u=0, şi de aici "se moştenesc" cei 4 parametrii.
Demonstrarea că nu există alte soluţii decât cele obţinute "prin moştenire" este mai dificilă, făcând apel la rezultate din teoria numerelor (şi doar ea ocupă 5 pagini în cartea lui Carmichael).
Situaţia atipică a ecuaţiei a făcut ca ea să reziste marilor matematicieni ai sec. XVIII-XIX deşi unii s-au aplecat asupra ei.
jane23:
Multumesc pentru explicatii. Eu defapt am pornit de la o problema:
Fie d numar natural. Sa se arate ca numerele 2d-1, 5d-1 si 13d-1 nu pot fi simultan patrate perfecte.
Eu am incercat sa demonstrez prin reducere la absurd. Am notat 2d-1= k2, 5d-1=q2, 13d-1=r2. Inlocuind in a treia egalitate ( 8d + 5d -1 = r2 ) pe d in functie de k repectiv de q, am ajuns la :
r2=(2k)2+ q2 +22 . M-am gandit sa demonstrez ca ecuatia nu are solutii intregi, dar se pare ca are o infinitate : (2 + y2)2= 22+(2y)2 +(y2)2 . Cred ca ar trebui sa ma gandesc la o alta metoda. Voi cum credeti ca s-ar putea rezolva?
A.Mot-old:
--- Citat din: jane23 din Septembrie 24, 2011, 02:56:36 p.m. ---Multumesc pentru explicatii. Eu defapt am pornit de la o problema:
Fie d numar natural. Sa se arate ca numerele 2d-1, 5d-1 si 13d-1 nu pot fi simultan patrate perfecte.
Eu am incercat sa demonstrez prin reducere la absurd. Am notat 2d-1= k2, 5d-1=q2, 13d-1=r2. Inlocuind in a treia egalitate ( 8d + 5d -1 = r2 ) pe d in functie de k repectiv de q, am ajuns la :
r2=(2k)2+ q2 +22 . M-am gandit sa demonstrez ca ecuatia nu are solutii intregi, dar se pare ca are o infinitate : (2 + y2)2= 22+(2y)2 +(y2)2 . Cred ca ar trebui sa ma gandesc la o alta metoda. Voi cum credeti ca s-ar putea rezolva?
--- Terminare citat ---
Cu notatiile facute de tine rezulta un sir de rapoarte egale cu numarul natural d si din acest sir de rapoarte egale rezulta un sistem de trei ecuatii cu necunoscutele k2 , q2 si r2 si din care rezulta considerand parametrul u:
k2=2u+1
q2=5u+4
r2=13u+12 unde u este un numar natural oarecare;daca consderam k,q si r numere naturale atunci din prima relatie rezulta k2-1=2u si deci k-1=2 si k+1=u adica u=4 si din a doua relatie rezulta q2-4=5u si deci q-2=5 si q+2=u adica u=9 ceea ce inseamna ca nu exista patrate perfecte simultane de forma 2d-1, 5d-1 si 13d-1.Ce crezi ca ar rezulta daca numerele k,q si r ar fi numere intregi?
Navigare
[#] Pagina următoare
Du-te la versiunea completă