Welcome, Guest. Please login or register.

Autor Subiect: Timpul tridimensional  (Citit de 325 ori)

0 Membri şi 1 Vizitator vizualizează acest subiect.

Offline ilasus

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 320
  • Popularitate: +0/-13
Timpul tridimensional
« : Februarie 07, 2022, 09:11:03 a.m. »
Ceea ce se află între obiectele materiale din mediul înconjurător poate că este și timp, nu doar distanță, iar obiectele materiale respective, despre care credem că se află doar în locuri din spațiu diferite, poate că se află și în momente de timp diferite. Sau ne putem gândi la ce se află în interiorul obiectelor materiale, de exemplu într-un segment de dreaptă, într-un pătrat, sau într-un cub. Aceste figuri geometrice ni le imaginăm ca fiind alcătuite dintr-o mulțime de puncte materiale așezate unul lângă altul într-o structură unidimensională în cazul segmentului de dreaptă, bidimensională în cazul pătratului, sau tridimensională în cazul cubului, iar locurile pe care le ocupă punctele materiale în spațiu alcătuiesc un ”segment de spațiu”, un ”pătrat de spațiu”, sau un ”cub de spațiu”. În ipoteza timpului tridimensional, punctele materiale respective se află și în momente diferte, iar mulțimea acestor momente formează un ”segment de timp”, un ”pătrat de timp”, sau un ”cub de timp”. Desigur că și mediul înconjurător în care ne considerăm incluși îl putem imagina în acest mod, de exemplu ca un ”cub de spațiu, sau ca un ”cub de timp”, însă așa cum arătăm în continuare, în primul caz vom constata că putem să sesizăm doar una dintre cele trei dimensiuni ale timpului, iar în cazul al doilea vom constata că putem să sesizăm doar una dintre cele trei dimensiuni ale spațiului.

Pe axa pozitivă a absciselor unui referențial R cu originea O considerăm un punct M, iar pe segmentul OM fixăm două puncte A, B astfel că A<B. În acest caz, dacă atribuim rolul de unitate de măsură (segment unitate) segmentului OA, atunci putem să scriem
 
                                                                       OM  =  x AB

unde cu x am notat coordonata punctului M în raport cu punctul unitate A, respectiv lungimea segmentului OM în raport cu unitatea de măsură OA, iar dacă atribuim rolul de unitate de măsură segmentului OB, atunci putem să scriem

                                                                        OM  =  t OB       

unde t reprezintă coordonata punctului M în raport cu punctul unitate B, sau lungimea segmentului OM în raport cu unitatea de măsură OB. În general nu ne referim la lungimi diferte atribuite aceluiași segment, sau la coordonate diferite asociate aceluiași punct, însă în cazul de față există o justificare prin faptul că segmentul OM îl privim atât ca ”segment de spațiu”, cât și ca ”segment de timp”. În primul caz, axa absciselor referențialului R o privim ca axă spațială, coordonata de spațiu a punctului M fiind notată cu x, iar în cazul al doilea, axa absciselor referențialului R o privim ca axă temporală, coordonata de timp a punctului M fiind notată cu t.  Deci în cazul segmentului OM de spațiu, distanța dintre punctele O și M în raport cu segmentul OA, privit ca segment unitar de spațiu, este egală cu x, iar în cazul segmentului OM de timp, intervalul de timp dintre punctele O și M în raport cu segmentul OB, privit ca segment unitar de timp, este egal cu t. Pe de altă parte, dacă segmentul OB îl privim ca segment de spațiu, atunci putem să scriem relația

                                     (*)                                    OB  =  u OA       
           
conform căreia distanța dintre punctele O și B în raport cu unitatea de spațiu OA este egală cu u, iar dacă segmentul OA îl privim ca segment de timp, atunci putem să scriem relația

                                      (**)                             OA  =  (1/u) OB       

conform căreia intervalul de timp dintre punctele O și A în raport cu unitatea de timp OB este egal cu 1/u, unde u este un număr real supraunitar (u > 1). Având în vedere (*) și faptul că segmentul OM de spațiu îl putem exprima atât ca un număr de x unități de spațiu, cât și ca un număr de t segmente OB de spațiu

                                                              OM  =  x OA  =  t OB  =  u t OA         
       
rezultă că distanța x dintre punctele O și M, calculată în raport cu unitatea de spațiu OA, o putem exprima ca un număr de t distanțe de mărime u conform egalității

                              (11)                                         x  =  u t

În mod similar, ținând cont de (**) și de faptul că segmentul OM de timp îl putem exprima atâ ca un număr de t unități de timp, cât și ca un număr de x segmente OA de timp

                                                         OM  =  t OB  =  x OA  =  (1/u) x OB     

rezultă că intervalul de timp t dintre punctele O și M, calculat în raport cu unitatea de timp OB, îl putem exprima ca un număr de x intervale de timp de mărime 1/u conform egalității

                               (12)                                     t  =  (1/u) x         
 
La fel putem proceda și în cazul unui punct O’ de pe segmentul OM. De exemplu, să notăm cu x1 distanța dintre punctele O și O’ în raport cu unitatea de spațiu OA, respectiv cu t1 intervalul de timp dintre punctele O și O’ în raport cu unitatea de timp OB. Deoarece punctul O’ se află pe segmentul OM, rezultă că între segmentele OO’ și OM există raportul

                                                                         OO’  =  a OM

iar între coordonatele x1, t1 și x, t ale punctelor O’ și M există relațiile

                                                                    x1  =  a x,    t1  =  a t               
                                                     
unde a este un număr pozitiv subunitar (0 < a < 1). Dacă notăm

                                                                            v  =  a u

atunci putem să reprezentăm segmentul OO’ de spațiu atât printr-un număr de x1 unități de spațiu OA, cât și printr-un număr de t segmente de spațiu OB1 = aOB, adică putem să scriem

                                 OO’  =  x1 OA  =  t OB1  =  a t OB  =  a u t OA  =  v t OA 

de unde rezultă egalitatea

                                  (21)                                     x1  =  v t     

În mod similar, segmentul OO’ de timp îl putem reprezenta atât printr-un număr de t1 unități de timp OB, cât și printr-un număr de x segmente de timp OA1 = aOA, deci putem să scriem

                            OO’  =  t1 OB =  x OA1  =  a x OA  =  a (1/u) x OB  =  (v/u2) x OB         

de unde rezultă egalitatea

                                   (22)                                t1  =  (v/u2) x               
                 
Cum se constată, în relațiile (11) și (21) am exprimat coordonatele de spațiu ale punctelor M și O’ în funcțe de coordonata de timp a punctului M, iar în relațiile (12) și (22) am exprimat coordonatele de timp ale punctelor M și O’ în funcție de coordonata de spațiu a punctului M. Deoarece coordonata pe axa spațială indică locul sau distanța față de originea spațială, iar coordonata pe axa temporală indică momentul sau intervalul de timp în raport cu originea temporală, mai putem spune, conform (11) și (21), că punctele M și O’ se află în același moment t la distanțele x și respectiv x1 în raport cu originea O pe axa spațială, iar conform (12) și (22), că punctele M și O’ se află în același loc x la intervalele de timp t și respectiv t1 în raport cu originea O pe axa temporală. Dacă presupunm că parametrul a ia valori în intervalul de la 0 la 1, atunci punctul O’ devine generic și putem afirma, conform (21), că toate punctele segmentului OM de spațiu se află într-un același moment t pe axa spațială, iar conform (22), că toate punctele segmentului OM de timp se află într-un același loc x pe axa temporală. Prin urmare, pe axa spațială coordonata de timp își pierde semnificația de interval de timp sau de moment unic asociate unui anume punct, în acest caz coordonata de timp devine vizibilă ca moment generic (”momentul prezent”) atribuit tuturor punctelor segmentului OM de spațiu – probabil așa se explică faptul că sesizăm o singură coordonată de timp, dacă mediul în care ne situăm îl privim ca spațiu. În mod similar, pe axa temporală coordonata de spațiu își perde semnificația de distanță sau de loc unic asociate unui anume punct, în aceast caz coordonata de spațiu devine vizibilă ca loc generic atribuit tuturor punctelor segmentului OM de timp.

Observații. 1. Concluzia de mai sus o putem remarca și în cazul unui referențial cu două axe de coordonate, caz în care punctele O și M se află la capetele diagonalei unui pătrat, cât și în cazul unui referențial cu trei axe de coordonate, caz în care punctele O și M se află la capetele diagonalei unui cub. În aceste cazuri, punctului M i se asociază aceeași coordonată x de spațiu pe axele referențialului R privite ca axe spațiale, cât și aceeași coordonată t de timp pe axele referențialului R privite ca axe temporale. În cazul tridimensional, dacă notăm cu x1x, y1y, z1z coordonatele proiecțiilor punctului O’ pe axele referențialului R privite ca axe spațiale, cu t1x, t1y, t1z coordonatele proiecțiilor punctului O’ pe axele referențialului R privite ca axe temporale și efectuăm notațiile
 
                                                           vx = axu,  vy  =  ayu,   vz = azu.

unde ax, ay, az sunt numere reale pozitive subunitare care depind de poziția punctului O’ în raport cu punctul M, atunci coordonatele proiecțiilor punctului O’ pe axele spațiale se exprimă sub forma

                      (31)                            x1x  =  vx t,  y1y  =  vy t,  z1z  =  vz t     
                                 
în funcție de coordonata t de timp a punctului M, iar coordonatele proiecțiilor punc
tului O’ pe axele temporale se exprimă sub forma

                      (32)                       t1x  =  (vx/u2) x,  t1y  =  (vy/u2) x,  t1z  =  (vz/u2) x 
           
în funcție de coordonata x de spațiu a punctului M. Deci conform (31), punctele ”cubului de spațiu” cu latura x le regăsim într-um același moment t (”momentul prezent”), iar conform (32), punctele ”cubului de timp” cu latura t le regăsim într-un același loc x. 

2. Putem să presupunem că punctele O’ și M sunt în mișcare rectilinie uniformă în raport cu punctul O atât în spațiu, cât și în timp. Astfel, conform (11) și (21) putem să presupunem că punctele M și O’ s-au deplasat în timpul t pe distanțele x și respectiv x1 cu vitezele u și respectiv v (adică au parcurs distanțele u și respectiv v în unitatea de timp) în raport cu punctul O aflat în repaus relativ în spațiu, iar conform (12) și (22) putem să presupunem că punctele M și O’ s-au deplasat pe distanța x în intervalele de timp t și respectiv t1 cu vitezele 1/u și respectiv v/u2 (adică au parcurs intervalele de timp 1/u și respectiv v/u2 pe unitatea de spațiu) în raport cu punctul O aflat în repaus relativ în timp.

3. Putem să precizăm doar locul și momentul în care se află referențialul R cu originea O, nu și mișcarea acestuia în spațiu și în timp, adică putem să precizăm doar numărul unităților parcurse de referențialul R în spațiu și în timp, nu și valorile acestora în timp și respectiv în spațiu. Cu alte cuvinte, nu putem să precizăm nici distanța (u) care este parcursă de referențialul R în unitatea de timp și nici timpul (1/u) în care referențialul R parcurge o unitate de spațiu.   

4. Conform cu transformările Lorentz care se obțin pentru cazul u = c (c fiind viteza luminii în vid), în cazul schimbării sistemului de referință – de exemplu la trecerea de la referențialul R cu originea O la referențialul R’ cu originea O’, sau invers, distanțele și intervalele de timp se dilată sau se contractă cu factorul Lorentz (am prezentat acest rezultat într-un topic anterior).