Forumul Scientia

Am deschis acest subiect pentru că am ajuns la niște rezultate interesante, validate oarecum  de formule care pot verifica corectitudinea concluziilor, și aș vrea să știu dacă există pe forum persoane interesate de discuții obiective strict referitoare la problemele din Lista lui Landau (http://camo.ici.ro/neculai/p25a08.pdf),  pe care le găsiți începând cu pagina 7 a pdf-ului din link.

Voi încerca o abordare simplă care conține doar rezultatele principale, deși pe alocuri ar părea să nu fie atât de evidente relațiile de implicare, pentru că nu voi expune toți pașii logici ce trebuie parcurși.

Pentru început, să stabilim o formulă decentă care determină numărul de numere prime mai mici decât o valoare dată n, folosind Ciurul lui Eratostene.
Principiul Ciurului lui Eratostene constă în eliminarea numerelor care nu sunt prime.
Desigur, după eliminarea acestor numere nonprime, cele care rămân sunt numere prime.
Evident, dacă un număr mai mic decât n nu este prim el este obligatoriu divizibil cu un număr prim mai mic/egal decât radicalul lui n.

Pentru început, putem stabili că din toate numerele până la n, [tex]\frac{n}{2}[/tex]  sunt numere care sunt divizibile cu 2.

În concluzie, [tex]n-\frac{n}{2}=n \left ( 1-\frac{1}{2} \right )[/tex] sunt numere care nu sunt divizibile cu 2.

Din toate numerele până la n, [tex]\frac{n}{3}[/tex] sunt numere care sunt divizibile cu 3:

[tex](3\cdot 1), (3\cdot 2),(3\cdot 3), (3\cdot 4),...,\left ( 3\cdot \left [ \frac{n}{3} \right ] \right )[/tex]

Dar observăm că o parte din ele sunt numere divizibile cu 2, iar acestea au fost deja numărate în pasul anterior, prin eliminarea numerelor divizibile cu 2.

Din [tex]\frac{n}{3}[/tex] numere divizibile cu 3, așa cum este arătat anterior, [tex]\frac{n}{3}\left ( 1-\frac{1}{2} \right )[/tex] vor fi numere divizibile cu 3, dar nedivizibile cu 2.

Până acum, putem spune că [tex]n\left( 1- \frac{1}{2} \right ) -\frac{n}{3}\left ( 1-\frac{1}{2} \right )=n\left( 1- \frac{1}{2} \right )\left ( 1-\frac{1}{3} \right )[/tex] sunt numere nedivizibile cu 2 sau/și cu 3.

Procedând în mod similar pentru următorul număr prim, eliminînd numerele care sunt divizibile cu 5, dar nedivizibile cu 2 sau/și 3, pentru că acestea din urmă au fost deja eliminate, putem stabili că din toate numerele până la n, [tex]n\left( 1- \frac{1}{2} \right )\left ( 1-\frac{1}{3} \right )\left ( 1-\frac{1}{5} \right )[/tex] sunt numere nedivizibile cu 2, 3 sau/și 5.

Eliminând în aceeași manieră toate numerele nedivizibile cu [tex]2,3,5,7,11,...,p_{i}[/tex] ajungem să stabilim că numărul de numere prime prime până la n este aproximativ egal cu

(formula 1)  [tex]n\left [\prod_{k=1}^{i}\left ( 1-\frac{1}{p_{k}} \right ) \right ]=n\left [\prod_{k=1}^{i}\left ( \frac{p_{k}-1}{p_{k}} \right ) \right ] [/tex] , unde [tex]p_{i}\leq \sqrt{n}< p_{i+1}[/tex].

Facând ceva calcule putem stabili că această formulă estimează destul de bine numărul de numere prime până la n, evident cu o anumită eroare determinată de faptul că nu a fost folosită partea întreagă.

Oricum, putem stabili că

(relatia 1)  [tex]n\left [\prod_{k=1}^{i}\left ( \frac{p_{k}-1}{p_{k}} \right ) \right ]< \pi (n)< 2n\left [\prod_{k=1}^{i}\left ( \frac{p_{k}-1}{p_{k}} \right ) \right ][/tex] ,

unde [tex]\pi (n)[/tex] este numărul exact de numere prime până la n, iar inegalitatea de mai sus o vom folosi ceva mai târziu.

Să arătăm în continuare un alt rezultat interesant.

Toate numerele impare nedivizibile cu 3, pot fi scrise ca numere de forma 6k+1 și 6k+5:

1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61, 67, 73,..., 6m+1,...
5,11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71, 77,..., 6m+5,...

Folosind același principiu al Ciurului lui Eratostene, prezentat anterior, luând în calcul primele m numere de această formă, putem stabili ca în fiecare șir, numărul de numere prime este aproximativ identic și egal cu [tex]m\left [\prod_{k=3}^{i}\left ( \frac{p_{k}-1}{p_{k}} \right ) \right ][/tex] , unde [tex]p_{i}\leq \sqrt{6m}< p_{i+1}[/tex] .

Desigur, în produsul anterior nu vor fi luate în calcul numerele prime 2 și 3, pentru că în acele două șiruri, numerele nonprime pot fi divizibile doar cu numerele prime [tex]5, 7, 11, ..., p_{i}\leq \sqrt{6m}< p_{i+1}[/tex] .

Aceasta înseamnă că din toate numerele prime mai mici ca n, aproximativ jumătate din ele vor fi numere prime de forma 6k+1, sau numere prime de forma 6k+5.

În mod similar, dacă scriem toate numerele nedivizibile cu 2 și 5, ca numere de forma 10k+1, 10k+3, 10k+7, 10k+9, folosind principiul Ciurului lui Eratostene putem arăta că pâna la 10m, numărul de numere prime de forma 10k+1 este aproximativ egal cu numărul de numere prime de forma 10k+3, aproximativ egal cu numărul de numere prime de forma 10k+7 etc.

În concluzie, putem stabili că din toate numerele prime până la n, aproximativ [tex]\pi (n)\left (\frac{1}{5-1} \right )[/tex] sunt numere prime de forma 10k+1, sau numere prime de forma 10k+3, sau numere prime de forma 10k+7, sau numere prime de forma 10k+9.

În mod similar, putem arăta că pentru orice număr prim impar [tex]p_{k}[/tex], din toate numerele prime până la n, aproximativ [tex]\pi (n)\left (\frac{1}{p_{k}-1} \right )[/tex] sunt numere prime de forma [tex]2p_{k}v+q_{p_{k}}[/tex] , unde [tex]q_{p_{k}}[/tex] este un număr impar diferit de [tex]p_{k}[/tex]  astfel încât [tex]1\leq q_{p_{k}}< 2p_{k}[/tex] .

Folosind un principiu asemănător celui pentru estimarea lui [tex]\pi (n)[/tex] din formula 1, putem stabili că din toate numerele prime mai mici ca n, aproximativ

(formula 2)  [tex]\pi (n)\left [\prod_{k=2}^{i}\left ( 1-\frac{1}{p_{k}-1} \right ) \right ]=\pi (n)\left [\prod_{k=2}^{i}\left (\frac{p_{k}-2}{p_{k}-1} \right ) \right ][/tex]

sunt numere prime care nu sunt de forma 6k+1 (sau 6k+5), nu sunt de forma 10k+1 (sau 10k+3, sau 10k+7, sau 10k+9) etc, iar general, deși exprimarea este cam improprie, nu sunt de forma [tex]2p_{k}v+ q_{p_{k}}[/tex] .

Spre exemplu, din toate numerele prime până la n, aproximativ [tex]\pi (n)\cdot \left [\prod_{p_{k}=3,5,7}\left (\frac{p_{k}-2}{p_{k}-1} \right ) \right ]= \pi (n)\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}[/tex] sunt numere prime care nu sunt de forma 6k+1, nu sunt de forma 10k+9 și nu sunt de forma 14k+5.

Sau, pentru că formula generalizează situația, nu sunt de forma 6k+5, nu sunt de forma 10k+3, nu sunt de forma 14k+11.
În mod asemănător, formula estimează cu o aproximație destul de bună, pentru orice combinație de numere prime de formă generală [tex]2p_{k}v+q_{p_{k}}[/tex] am alege, cu [tex]2 < p_{k} < 11}[/tex] .


Să trecem in continuare la prima problemă din Lista lui Landau - Conjectura lui Goldbach.
Cei familiarizați cu acest tip de probleme știu despre ce este vorba, dar menționăm totuși enunțul acestei conjecturi:

"Orice număr par mai mare ca 2 poate fi scris ca sumă de 2 numere prime."

Dacă nu este improprie folosirea cuvântului "demonstrație", continuu menționând că demonstrația următoare este bazată pe calcularea numărului de reprezentări pentru care un număr par 2n poate fi scris ca sumă de două numere prime.
Arătând că acest număr de reprezentări 2n=p+q este nenul sau este cel puțin o valoare minimă bine determinată, evident, este suficient să demonstreze că acel număr par 2n poate fi scris ca sumă de 2 numere prime p,q, fără a fi necesară determinarea exactă a acelor două numere prime p și q a căror sumă este egală cu acel număr par 2n.

Să considerăm, generalizat, un număr par 2n suficient de mare, pentru că putem verifica ușor conjectura, prin simplu calcul, că primele n numere pare pot fi scrise ca sumă de două numere prime.

Putem stabili că un număr mai mic/egal cu n, care nu este prim, este obligatoriu divizibil cu un număr prim mai mic/egal cu radical din n și, de asemenea, un număr mai mic/egal ca 2n, care nu este prim, este oligatoriu divizibil cu un număr prim mai mic/egal cu radical din 2n.

Este arătat anterior că formula 1 aproximează destul de bine numărul de numere prime până la n si este dată de [tex]n\left [\prod_{k=1}^{i}\frac{p_{k}-1}{p_{k}} \right ][/tex] , unde [tex]p_{k}[/tex] este un număr prim mai mic decât radical din n, notând acest aspect pentru limita superioară "i" cu [tex]p_{i}\leq \sqrt{n}< p_{i+1}[/tex] .

Desigur,  [tex]p_{1}=2, p_{2}=3, p_{3}=5, p_{4}=7, p_{5}=11,p_{6}=13,...[/tex]

Fie un număr impar [tex]up_{k}[/tex] astfel încât [tex]n\leq up_{k}< 2n[/tex] , cu [tex]p_{k}\leq \sqrt{2n}[/tex]

Putem arăta că dacă [tex]2n-up_{k}=2p_{k}v+q_{p_{k}}[/tex] , atunci [tex]2n-(u+2w)p_{k}=2p_{k}(v-w)+q_{p_{k}}[/tex] .

Cu alte cuvinte, dacă un număr impar nonprim din intervalul (n,2n), divizibil cu [tex]p_{k}[/tex] , notat mai sus cu [tex]up_{k}[/tex] , determină prin diferența [tex]2n-up_{k}[/tex] un număr prim de forma [tex]2p_{k}v+q_{p_{k}}[/tex] , atunci toate numerele prime de forma [tex]2p_{k}{v}'+q_{p_{k}}[/tex] , din intervalul (1,n), vor determina prin diferența [tex]2n-\left (2p_{k}{v}'+q_{p_{k}} \right )[/tex]  un număr divizibil cu [tex]p_{k}[/tex] .

Spre exemplu, alegând aleatoriu un număr par 2n, nedivizibil cu 3 și 5, 128 spre exemplu, orice număr prim de forma 6k+5 din intervalul (1,64) va determina prin diferența 128-(6k+5) un număr divizibil cu 3 și de asemenea, orice număr prim de forma 10k+3 din intervalul (1,64) va determina prin diferența 128-(10k+3) un număr divizibil cu 5.

Concluzia este că din toate numerele prime mai mici ca n, trebuie eliminate toate numerele prime de forma [tex]2p_{k}v+q_{p_{k}}[/tex] , unde [tex]q_{p_{k}}[/tex] , așa cum este menționat mai sus, este un număr impar determinat, diferit de [tex]p_{k}[/tex], astfel încât [tex]1\leq q_{p_{k}}< 2p_{k} [/tex], cu precizarea că numărul prim [tex]p_{k}[/tex] nu trebuie să apară în factorizarea lui n.

Evident, dacă n este divizibil cu [tex]p_{k}[/tex] , diferența [tex]2n-up_{k}[/tex] este un număr divizibil cu [tex]p_{k}[/tex] și nu poate fi un număr prim de forma [tex]2p_{k}v+q_{p_{k}}[/tex] .

Este determinată anterior formula 2 care elimină aceste numere prime din toate numerele prime mai mici/egale cu n, iar aceasta este, în forma în care este scrisă [tex]\pi (n)\left [\prod_{k=2}^{i}\frac{p_{k}-2}{p_{k}-1} \right ][/tex].

Însă în acest caz trebuiesc menționate două completări.
Limita superioară în produs va fi în acest caz "j" , unde [tex]p_{j}\leq \sqrt{2n}< p_{j+1}[/tex], pentru că în intervalul (n,2n) pot fi numere nonprime divizibile cu numere prime mai mari decât radical din n, dar mai mici decât radical din 2n, precum și faptul că va trebui să menționăm cumva că în acel produs nu vor fi incluse numerele prime care apar în factorizarea lui n.

Adăugând aceste completări, estimarea numărului de reprezentări 2n=p+q , cu p, q numere prime, este aproximativ egală cu [tex]\pi (n)\left [\prod_{\overset{k=2}{(p_{k},n)=1}}^{j}\frac{p_{k}-2}{p_{k}-1}\right ][/tex] .

Deși formula devine ceva mai lungă, pentru o și mai bună estimare, înlocuim valoarea lui [tex]\pi (n)[/tex] cu formula 1 determinată anterior, iar estimarea numărului de reprezentări 2n=p+q este dată de

(formula 3) [tex]n\left [\prod_{k=1}^{i}\frac{p_{k}-1}{p_{k}} \right ]\left [\prod_{\overset{k=2}{(p_{k},n)=1}}^{j}\frac{p_{k}-2}{p_{k}-1}\right][/tex]

unde [tex]p_{i}\leq \sqrt{n}<p_{i+1}[/tex]  ,  [tex]p_{j}\leq \sqrt{2n}<p_{j+1}[/tex]  , iar [tex](p_{k},n)=1[/tex] reprezintă notația prin care înțelegem faptul că în al doilea produs nu trebuie luate în calcul numerele prime impare care apar în factorizarea lui n.

În cazul în care 2n este o putere de 2 spre exemplu, sau dublul unui număr prim, evident, factorizarea lui n nu conține niciun număr prim mai mic/egal cu radical din 2n, iar în al doilea produs trebuie luate în calcul toate numerele prime mai mici ca radical din 2n.

Să luăm spre exemplu, pentru o scurtă verificare, un număr par care este o putere de 2, să spunem 512 și să vedem care este diferența.
512 se scrie ca sumă de două numere prime de 11 ori, iar prin această formulă obținem :

[tex]256\cdot \left [ \frac{1}{2} \cdot\frac{2}{3} \cdot\frac{4}{5} \cdot\frac{6}{7} \cdot\frac{10}{11} \cdot\frac{12}{13} \cdot \right ]\cdot \left [ \frac{1}{2} \cdot\frac{3}{4} \cdot\frac{5}{6} \cdot\frac{9}{10} \cdot\frac{11}{12} \cdot\frac{15}{16} \cdot\frac{17}{18} \right ]\approx 11,2[/tex]

Putem observa că eroarea obținută este foarte mică.

Să mai dăm un exemplu pentru care 2n conține în factorizarea sa numere prime mai mici decât radical din 2n, să spunem [tex]462=2\cdot 3\cdot 7\cdot 11[/tex] .
Aceasta înseamnă că în al doilea produs nu vom lua în calcul numerele prime 3, 7, 11.
462 se poate scrie ca sumă de două numere prime de 28 de ori, iar formula estimează

[tex]231\cdot \left [ \frac{1}{2} \cdot\frac{2}{3} \cdot\frac{4}{5} \cdot\frac{6}{7} \cdot\frac{10}{11} \cdot\frac{12}{13} \cdot \right ]\cdot \left [ \frac{3}{4} \cdot\frac{11}{12} \cdot\frac{15}{16} \cdot\frac{17}{18} \right ]\approx 26,97[/tex]

Observăm și în acest caz cât de bine estimează formula numărul de reprezentări 2n=p+q, cel puțin pentru valori mici.

Eu am calculat-o pentru toate numerele pare mai mari ca 30 și mai mici ca 1000, iar formula respectivă determină valori cu o eroare mică.

Pentru cei care vor să verifice acest aspect, cel puțin din curiozitate, le pun la dispoziție un site în care pot afla repede de câte ori un număr par poate fi scris ca sumă de două numere prime :
https://plus.maths.org/content/mathematical-mysteries-goldbach-conjecture (https://plus.maths.org/content/mathematical-mysteries-goldbach-conjecture)
însă valoarea determinată de formulă vor trebui să o calculeze manual.

Evident, formula respectivă calculează numărul de reprezentări 2n=p+q cu o anumită eroare, motiv pentru care vom diminua cât de mult posibil valoarea dată de această formulă, stabilind în acest fel "un număr minim de ori" pentru care un număr par 2n se poate scrie ca sumă de 2 numere prime.

În al doilea produs, pentru că toate fracțiile sunt subunitare, dacă vom folosi toate numerele prime mai mici/egale cu radical din 2n, se va obține o valoare și mai mică decât dacă vom utiliza doar numerele prime mai mici ca radical din 2n care nu apar în factorizarea lui n.

Din acest motiv putem stabili că

[tex]\left [\prod_{k=2}^{j}\frac{p_{k}-2}{p_{k}-1} \right ]\leq \left [\prod_{\overset{k=2}{(p_{k},n)=1}}^{j}\frac{p_{k}-2}{p_{k}-1} \right ][/tex]

și de asemenea

[tex]n\left [\prod_{k=1}^{i}\frac{p_{k}-1}{p_{k}} \right ]\left [\prod_{k=2}^{j}\frac{p_{k}-2}{p_{k}-1} \right ] \leq n\left [\prod_{k=1}^{i}\frac{p_{k}-1}{p_{k}} \right ]\left [\prod_{\overset{k=2}{(p_{k},n)=1}}^{j}\frac{p_{k}-2}{p_{k}-1} \right ][/tex]

Al doilea produs din primul termen al inegalității poate fi scris sub forma  

[tex]\left [\prod_{k=2}^{j}\frac{p_{k}-2}{p_{k}-1} \right ] =\frac{1}{p_{j}-1}\left [\prod_{k=3}^{j}\frac{p_{k}-2}{p_{k-1}-1} \right ][/tex] ,

iar pentru un număr par 2n mai mare decât 13 la pătrat,

[tex]\frac{1}{p_{j}-1}\left [\prod_{k=3}^{j}\frac{p_{k}-2}{p_{k-1}-1} \right ]=\left (\frac{1}{p_{j}-1} \right )\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{9}{6}\cdot \frac{11}{10}\cdot \left [\prod_{k=7}^{j}\frac{p_{k}-2}{p_{k-1}-1} \right ][/tex] .

Putem stabili în egală măsură că

[tex]\frac{2\sqrt{2}}{p_{j}-1} < \left (\frac{1}{p_{j}-1} \right )\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{9}{6}\cdot \frac{11}{10}\cdot \left [\prod_{k=7}^{j}\frac{p_{k}-2}{p_{k-1}-1} \right ][/tex] .

Înlocuind în inegalitatea inițială obținem că

[tex]n\left [\prod_{k=1}^{i}\frac{p_{k}-1}{p_{k}} \right ]\frac{2\sqrt{2}}{p_{j}-1} < n\left [\prod_{k=1}^{i}\frac{p_{k}-1}{p_{k}} \right ]\left [\prod_{\overset{k=2}{(p_{k},n)=1}}^{j}\frac{p_{k}-2}{p_{k}-1} \right ][/tex] .

Prin condiția [tex]p_{j}\leq \sqrt{2n}<p_{j+1}[/tex] , inegalitatea anterioară poate fi scrisă  

[tex]\frac{n\cdot 2\sqrt{2}}{\sqrt{2n}}\left [\prod_{k=1}^{i}\frac{p_{k}-1}{p_{k}} \right ] < n\left [\prod_{k=1}^{i}\frac{p_{k}-1}{p_{k}} \right ]\left [\prod_{\overset{k=2}{(p_{k},n)=1}}^{j}\frac{p_{k}-2}{p_{k}-1} \right ][/tex] ,

iar în membrul din stânga simplificăm prima fracție doar cu radical din 2.

Amintim în continuare relația 1 menționată anterior :

[tex]n\left [\prod_{k=1}^{i}\left ( \frac{p_{k}-1}{p_{k}} \right ) \right ]< \pi (n)< 2n\left [\prod_{k=1}^{i}\left ( \frac{p_{k}-1}{p_{k}} \right ) \right ][/tex]

unde [tex]\pi (n)[/tex] este numărul exact de numere prime până la n.

Folosind această inegalitate, putem diminua și mai mult valoarea prin inegalitatea

[tex]\frac{\pi (n)}{\sqrt{n}} < n\left [\prod_{k=1}^{i}\frac{p_{k}-1}{p_{k}} \right ]\left [\prod_{\overset{k=2}{(p_{k},n)=1}}^{j}\frac{p_{k}-2}{p_{k}-1} \right ][/tex]

Așadar, putem stabili că pentru un număr par 2n mai mare decât 169, numărul de reprezentări 2n=p+q , cu p,q numere prime este cel puțin [tex]\frac{\pi (n)}{\sqrt{n}}[/tex] și pentru a completa demonstrația conjecturii trebuie arătat că această fracție este supraunitară.

Dacă conjectura lui Andrica este adevărată, atunci [tex]\frac{\pi (n)}{\sqrt{n}} \geq 1[/tex] , iar în consecință, trebuie demonstrată și conjectura lui Andrica, ceea ce vom arăta separat mai târziu.

În continuare, vom analiza a doua problemă din Lista lui Landau - Conjectura numerelor prime gemene.
Această conjectură afirmă că sunt o infinitate de numere prime consecutive astfel încât [tex]p_{k+1}-p_{k}=2[/tex] .
Primele exemple sunt (3,5) , (5,7) , (11,13) , (17,19) etc.

Și în cazul acestei conjecturi vom folosi formula principală (formula 2) , cu o mică modificare, arătând că aceasta obține valori din ce în ce mai mari, ceea ce înseamnă că până la o valoare n din ce în ce mai mare, sunt din ce în ce mai multe perechi de numere prime gemene.

Să scriem pentru început același șir de numere de două ori, unul sub celălalt :

///1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41,....2n+1
1, 3, 5, 7, 9,11,13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43,...(2n+1)+2
.____X_X______X_________X__________________X___________________X________

La o analiză mai atentă, putem stabili că pentru calcularea numărului de perechi (p, p+2) ambele prime, în primul șir, din toate numerele prime mai mici/egale ca 2n+1, trebuie să eliminăm numerele prime de forma [tex]2p_{k}v+(p_{k}-2)[/tex] expresie folosită la modul general pentru orice număr prim impar [tex]p_{k}[/tex] , cu [tex]p_{k}\leq \sqrt{2n+1}[/tex] .

Dacă notăm m=2n+1, după eliminarea din primul șir a numerelor prime de forma [tex]2p_{k}v+(p_{k}-2)[/tex], numerele prime care rămân sunt numerele prime care satisfac condiția [tex]p_{u}+2=p_{u+1}[/tex] .

Numărul aproximativ al acestora poate fi determinat de formula 2 si este aproximativ :

[tex]m\left [\prod_{k=1}^{i}\frac{p_{k}-1}{p_{k}} \right ]\left [\prod_{k=2}^{i}\frac{p_{k}-2}{p_{k}-1} \right ]=\frac{m}{2}\left [\prod_{k=2}^{i}\frac{p_{k}-2}{p_{k}} \right ][/tex] , cu [tex]p_{i}\leq \sqrt{m}< p_{i+1}[/tex] .

Eu am calculat valoarea dată de [tex]\frac{m}{2}\left [\prod_{k=2}^{i}\frac{p_{k}-2}{p_{k}} \right ][/tex] pentru destul de multe valori aleatorii mai mici/egale cu 100 000 astfel încât să mă convingă că estimarea dată de formulă este foarte bună.

Totuși, pentru a prezenta o mică verificare, spre exemplu, până la 1000 sunt 35 de perechi de numere prime gemene iar formula estimează :

[tex]\frac{1000}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{5}{7}\cdot \frac{9}{11}\cdot \frac{11}{13}\cdot \frac{15}{17}\cdot \frac{17}{19}\cdot \frac{21}{23}\cdot \frac{27}{29}\cdot \frac{29}{31}\approx 31.04[/tex]

Observăm cât de bine estimează formula numărul de numere prime gemene până la 1000.
De altfel, ea estimează la fel de bine, cu eroare mică față de valoarea reală pentru valori mult mai mari ale lui m.

Oricum, trebuie arătat totuși că această formulă obține valori din ce în ce mai mari, pentru valori ale lui m din ce în ce mai mari.

Ne vom folosi de principiul folosit pentru conjectura lui Goldbach, folosind prima expresie din relatia

[tex]m\left [\prod_{k=1}^{i}\frac{p_{k}-1}{p_{k}} \right ]\left [\prod_{k=2}^{i}\frac{p_{k}-2}{p_{k}-1} \right ]=\frac{m}{2}\left [\prod_{k=2}^{i}\frac{p_{k}-2}{p_{k}} \right ][/tex]

și scriind al doilea produs sub forma

[tex]\left [\prod_{k=2}^{i}\frac{p_{k}-2}{p_{k}-1} \right ]=\left (\frac{1}{p_{i}-1} \right )\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{9}{6}\cdot \left [\prod_{k=6}^{i}\frac{p_{k}-2}{p_{k-1}-1} \right ][/tex]

de unde putem stabili că pentru [tex]p_{i}> 11[/tex]

[tex]\frac{2m}{p_{i}-1}\left [\prod_{k=2}^{i}\frac{p_{k}-1}{p_{k}} \right ]\left [\prod_{k=6}^{i}\frac{p_{k}-2}{p_{k-1}-1} \right ]< m\left [\prod_{k=2}^{i}\frac{p_{k}-1}{p_{k}} \right ]\left [\prod_{k=2}^{i}\frac{p_{k}-2}{p_{k}-1} \right ][/tex]

Folosind relatia 1

[tex]m\left [\prod_{k=1}^{i}\left ( \frac{p_{k}-1}{p_{k}} \right ) \right ]< \pi (m)< 2m\left [\prod_{k=1}^{i}\left ( \frac{p_{k}-1}{p_{k}} \right ) \right ][/tex]

precum și faptul că [tex]p_{i}\leq \sqrt{m}< p_{i+1}[/tex]  putem stabili că numărul de numere prime gemene până la m este cel puțin [tex]\frac{\pi (m)}{\sqrt{m}}\left [\prod_{k=6}^{i}\frac{p_{k}-2}{p_{k-1}-1} \right ][/tex] .

Vom arăta ulterior, folosind conjectura lui Andrica, că [tex]\frac{\pi (m)}{\sqrt{m}}[/tex] este o fracție supraunitară, în timp ce produsul

[tex]\prod_{k=6}^{i}\frac{p_{k}-2}{p_{k-1}-1} =\frac{11}{10}\cdot \frac{15}{12}\cdot \frac{17}{16}\cdot \frac{21}{18}\cdot ...[/tex]

va da o valoare din ce în ce mai mare dacă valoarea lui m crește, pentru că până la radical din m vor fi din ce în ce mai multe numere prime, iar toate fracțiile din acest produs sunt supraunitare.

Din punctul meu de vedere, acestea sunt argumente destul de solide pentru a arăta că există o infinitate de numere prime gemene.

Dar, ca și în cazul conjecturii lui Goldbach, trebuie arătat că [tex]\frac{\pi (m)}{\sqrt{m}}> 1[/tex] și vom arăta cum rezultă aceasta folosind conjectura lui Andrica după ce tratăm a treia problemă din Lista lui Landau, pentru că aceasta este o consecință directă a conjecturii lui Andrica.


Să continuăm, așadar, cu a treia conjectură din Lista lui Landau și anume, conjectura lui Legendre.
Aceasta afirmă că între [tex]n^{2}[/tex] și [tex](n+1)^{2}[/tex] există cel puțin un număr prim.

Conjectura lui Andrica demonstrează direct această a treia problemă din Lista lui Landau.
Conjectura lui Andrica afirmă că [tex]\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_{n}}< 1[/tex] .

Această inegalitate poate fi scrisă [tex]\sqrt{p_{n+1}}< \sqrt{p_{n}}+1[/tex] .
Ridicând la pătrat ambii termeni inegalitatea devine [tex]p_{n+1}< p_{n}+2\sqrt{p_{n}}+1[/tex] și rearanjând termenii, putem stabili că enunțul conjecturii lui Andrica este adevărat dacă [tex]p_{n+1}- p_{n}< 2\sqrt{p_{n}}+1[/tex] .

Dacă presupunem că există un număr n astfel încât între [tex]n^{2}[/tex] și [tex](n+1)^{2}[/tex] nu există niciun număr prim, atunci ar fi adevărată relația [tex]p_{i}< n^{2}< (n+1)^{2}< p_{i+1}[/tex] de unde putem stabili că [tex]2\sqrt{p_{i}}< 2n< \left [(n+1)^{2}-n^{2} \right ][/tex] .

Asta ar însemna că [tex]2\sqrt{p_{i}}< 2n< \left [(n+1)^{2}-n^{2} \right ]< \left (p_{i+1}-p_{i} \right )[/tex] ceea ce ar fi în contradicție cu enunțul conjecturii lui Andrica, și anume [tex]2\sqrt{p_{i}} +1> p_{i+1}-p_{i}[/tex] .

Deci, putem stabili că dacă conjectura lui Andrica este adevărată, atunci conjectura lui Legendre este adevărată.
În consecință, pentru a demonstra a treia problemă din Lista lui Landau este suficient să demonstrăm conjectura lui Andrica.

Folosind conjectura lui Legendre putem arăta în continuare că [tex]\frac{\pi (n)}{\sqrt{n}} \geq 1[/tex] , deci, în mod indirect, conjectura lui Andrica demonstrează că [tex]\frac{\pi (n)}{\sqrt{n}} \geq 1[/tex] .

Să notăm, ajutător, [tex]n=\left (\sqrt{n} \right )^{2}[/tex] și putem stabili că  [tex]\pi\left (\left (\sqrt{n} +1 \right )^{2} \right ) - \pi\left (\left (\sqrt{n} \right )^{2} \right )\geq 1[/tex] , dacă între [tex]\left (\sqrt{n} \right )^{2}[/tex] și  [tex]\left (\sqrt{n} +1\right )^{2}[/tex] există cel puțin un număr prim, conform conjecturii lui Legendre.

Să reținem că notația [tex]\pi (x)[/tex] semnifică numărul de numere prime până la x.

Pentru primele n numere, [tex]n\geq 2[/tex] , putem stabili că se verifică relația [tex]\frac{\pi (n)}{\sqrt{n}}\geq 1[/tex] și vom considera orice număr x mai mic/egal ca n, ca îndeplinind relația [tex]\frac{\pi (x)}{\sqrt{x}}\geq 1[/tex] .

Să notăm [tex]\pi (n)=\sqrt{n}+k[/tex] , cu k nenul, iar din relația [tex]\pi\left (\left (\sqrt{n} +1 \right )^{2} \right ) - \pi\left (\left (\sqrt{n} \right )^{2} \right )\geq 1[/tex]  rezultă că  [tex]\pi\left (\left (\sqrt{n} +1 \right )^{2} \right ) \geq 1+ \pi\left (\left (\sqrt{n} \right )^{2} \right )\geq 1+k+\sqrt{n}[/tex] .

În acest fel putem arăta că

[tex]\frac{\pi\left (\left (\sqrt{n} +1 \right )^{2} \right )}{\sqrt{n}+1} \geq \frac{1+k+\sqrt{n}}{\sqrt{n}+1}\geq \frac{\pi\left (\left (\sqrt{n} \right )^{2} \right )+1}{\sqrt{n}+1} \geq 1[/tex]

Cu alte cuvinte, generalizat, este arătat prin inducție că dacă pentru un număr x este adevărată inegalitatea [tex]\frac{\pi (x)}{\sqrt{x}}\geq 1[/tex], atunci și pentru x+1 este adevărat că [tex]\frac{\pi (x+1)}{\sqrt{x+1}}\geq 1[/tex] .

Considerând toate numerele până la n inclusiv îndeplinind această inegalitate, atunci pentru toate numerele până la [tex]\left (\sqrt{n}+1 \right )^{2}[/tex]  inclusiv, de asemenea, inegalitatea este îndeplinită.

Deci în mod indirect, dacă conjectura lui Andrica este adevărată, primele trei probleme din Lista lui Landau sunt adevărate.


Să continuăm, așadar, cu conjectura lui Andrica.
Așa cum a fost menționat și mai sus, enunțul acesteia spune că diferența radicalilor a două numere prime consecutive este mai mic ca 1 și se poate reduce la a arăta că [tex]p_{i+1}-p_{i}< 2\sqrt{p_{i}}+1[/tex] .

Să stabilim mai întâi în ce condiții se poate obține clar o diferență cât mai mare între două numere consecutive care nu se divid cu niciun număr prim [tex]2,3,5,7,11,...,p_{n}[/tex] .
Evident, dacă aceste două numere care nu se divid cu niciun număr prim [tex]2,3,5,7,11,...,p_{n}[/tex] sunt mai mici decât [tex]\left (p_{n+1} \right )^{2}[/tex] acestea vor fi două numere prime.

Aceasta este o implicație directă a faptului că un număr nonprim mai mic ca n este obligatoriu divizibil cu un număr prim mai mic/egal decât radical din n.

Fie produsul  [tex]\prod_{k=1}^{n}p_{k}=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot ...\cdot p_{n}[/tex] .

Putem stabili că toate numerele mai mari ca [tex]\left (\prod_{k=1}^{n}p_{k} \right )-p_{n+1}[/tex] și mai mici decât [tex]\left (\prod_{k=1}^{n}p_{k} \right )+p_{n+1}[/tex] , cu excepția numerelor [tex]\left (\prod_{k=1}^{n}p_{k} \right )- 1[/tex]  și  [tex]\left (\prod_{k=1}^{n}p_{k} \right )+ 1[/tex] vor fi numere divizibile cu cel putin unul din numerele prime [tex]2,3,5,7,11,...,p_{n}[/tex] .

Dacă vom considera că [tex]\left (\prod_{k=1}^{n}p_{k} \right )- 1[/tex]  și  [tex]\left (\prod_{k=1}^{n}p_{k} \right )+ 1[/tex] sunt unul divizibil cu [tex]p_{n+1}[/tex] și celălalt divizibil cu [tex]p_{n+2}[/tex]  obținem o diferență de [tex]2p_{n+1}[/tex] între două numere nondivizibile cu niciun număr prim [tex]2,3,5,7,...,p_{n}, p_{n+1},p_{n+2}[/tex] .

Simplificând, putem spune că prin această metodă de distribuire a factorilor primi [tex]2,3,5,7,...,p_{n}[/tex] , similară cu ordinea de apariție a lor în numere, se poate obține o diferență de [tex]2p_{n-1}[/tex] între două numere consecutive nedivizibile cu niciun număr prim [tex]2,3,5,7,...,p_{n}[/tex] .

De altfel, aceasta este diferența maximă care se poate obține între astfel de două numere consecutive și numai în acest mod de distribuire a factorilor primi, identică cu a apariției lor în numere ca numere prime.

Analizând în altă manieră, folosind principiul Ciurului lui Eratostene, putem stabili că din [tex]p_{n}[/tex] numere consecutive, [tex]\frac{p_{n}}{2}[/tex] sunt numere divizibile cu 2, [tex]\frac{p_{n}}{3}\left ( 1-\frac{1}{2} \right )[/tex] sunt numere divizibile cu 3, dar nedivizibile cu 2 etc, iar continuând în această manieră obținem că din [tex]p_{n}[/tex] numere consecutive, [tex]p_{n}\left [\prod_{k=1}^{n-1}\frac{p_{k}-1}{p_{k}} \right ][/tex] sunt numere nedivizibile cu niciun număr prim [tex]2,3,5,7,...,p_{n-1}[/tex] .

Pentru n mai mare/egal cu 5, valoarea obținută de această formulă este mai mare ca 2,  iar prin această metodă, ar însemna că cea mai mare diferență dintre două numere prime consecutive, mai mici ca [tex]p_{n}^{2}[/tex] este cel mult [tex]p_{n}[/tex] .

Dar din teorema Bertrand-Chebâșev, care afirmă că între n și 2n este cel puțin un număr prim, rezultă că [tex]2p_{n-1}> p_{n}[/tex] , iar asta înseamnă că cea mai mare diferență dintre două numere prime consecutive, mai mici decât [tex]p_{n}^{2}[/tex] poate fi [tex]2p_{n-1}[/tex] .

Iar această diferență se poate obține prin distribuția factorilor primi în modul menționat anterior.

Aceasta înseamnă că între [tex]p_{n}^{2}[/tex] și [tex]p_{n+1}^{2}[/tex] există cel puțin două numere prime pentru că [tex]p_{n+1}^{2}-p_{n}^{2}> 2p_{n-1}[/tex]  și pentru oricare două numere prime consecutive [tex]p_{i}[/tex] și [tex]p_{i+1}[/tex] , astfel încât [tex]p_{n}^{2}< p_{i}< p_{i+1}< p_{n+1}^{2}[/tex] , putem stabili că [tex]2p_{n-1}< 2p_{n}< 2\sqrt{p_{i}}[/tex] , și de asemenea [tex]p_{i+1}-p_{i}\leq 2p_{n-1}< 2p_{n}< 2\sqrt{p_{i}}[/tex] .

În această situație conjectura lui Andrica este adevărată.

Dacă cele două numere prime satisfac relația [tex]p_{i}<p_{n}^{2} < p_{i+1}[/tex], putem arăta de asemenea că [tex]p_{n-1}^{2}< \left (p_{n}-1 \right )^{2}< p_{i}<p_{n}^{2} < p_{i+1}[/tex]  și bineînțeles că [tex]p_{i+1}-p_{i}\leq 2p_{n-1}< 2\sqrt{p_{i}}[/tex] .

Și în această situație, conjectura lui Andrica este adevărată.

Aceasta deoarece cea mai mare diferență dintre două numere consecutive nedivizibile cu niciun număr prim [tex]2,3,5,7,...,p_{n}[/tex] este cel mult egală cu [tex]2p_{n-1}[/tex] , așa cum este arătat mai sus, iar în ambele situații de mai sus aceste două numere sunt două numere prime consecutive și [tex]p_{i+1}-p_{i} \leq 2p_{n-1}[/tex] .

În concluzie, odată demonstrată conjectura lui Andrica, primele trei probleme din Lista lui Landau sunt adevărate.


În continuare vom arăta, într-un mod destul de interesant, că și ultima conjectură din Lista lui Landau este adevărată.

Această conjectură afirmă că există o infinitate de numere prime p de forma [tex]p=n^{2}+1[/tex] .

Analizând factorizarea numerelor de forma [tex]n^{2}+1[/tex] putem stabili că, toate numerele prime care pot divide acest tip de numere sunt numere prime de forma 4k+1.
Bineînțeles, excepție face doar numărul prim par, 2.

Să notăm cu [tex]M(n)[/tex] mulțimea care conține doar numerele prime de forma 4k+1  mai mici/egale cu n și cu [tex]{M}'(n)[/tex] mulțimea care conține doar numerele prime de forma 4k+3  mai mici/egale cu n.
Desigur, cele două mulțimi conțin toate numerele prime impare mai mici/egale cu n.

De asemenea, analizând factorizarea acestor numere de forma [tex]n^{2}+1[/tex] în ordine consecutivă, observăm că dacă [tex]n^{2}+1[/tex] este divizibil cu un număr prim [tex]p_{k}\in M_{n}[/tex] , numărul [tex]\left (n+p_{k} \right )^2+1[/tex] va fi de asemenea divizibil cu acel număr prim, însă există un alt număr [tex]{n}'^{2}+1[/tex] astfel încât [tex]n^{2}+1< {n}'^{2}+1< \left (n+p_{k} \right )^{2}+1[/tex] , divizibil de asemenea cu numărul prim [tex]p_{k}[/tex] .


Pentru a calcula câte numere prime [tex]p=n^{2}+1[/tex] sunt în primele n numere de forma [tex]n^{2}+1[/tex] putem aplica, justificat, formula 2 menționată și folosită anterior, cu mici modificări, iar numărul acestora va fi aproximativ  [tex]\frac{n}{2}\left [\prod_{p_{k}\in M(n)}\frac{p_{k}-2}{p_{k}} \right ][/tex] .

Fie n astfel încât  [tex]\frac{n}{2}\left [\prod_{p_{k}\in {M}'(n)}\frac{p_{k}-2}{p_{k}} \right ]\leq \frac{n}{2}\left [\prod_{p_{k}\in M(n)}\frac{p_{k}-2}{p_{k}} \right ][/tex] .

Înmulțind ambii termeni ai inegalității de mai sus cu termenul din dreapta, în produsul din membrul din stânga vor apărea toate numerele prime impare mai mici/egale cu n, iar inegalitatea devine:

[tex]\frac{n^{2}}{4}\left [\prod_{k=2}^{i}\frac{p_{k}-2}{p_{k}} \right ]\leq \frac{n^{2}}{4}\left [\prod_{p_{k}\in M(n)}\frac{p_{k}-2}{p_{k}} \right ]^{2}[/tex]

cu [tex]p_{i}\leq n< p_{i+1}[/tex] .

Observăm că membrul din stânga are o formă asemănătoare cu formula pentru estimarea numărului de numere prime gemene până la [tex]n^{2}[/tex] .

Dacă notăm pentru simplificare cu [tex]\phi (x) = \frac{x}{2}\left [\prod_{k=2}^{i}\frac{p_{k}-2}{p_{k}} \right ][/tex] numărul de numere prime gemene până la x, unde [tex]p_{i}\leq \sqrt{x}< p_{i+1}[/tex] ,  atunci inegalitatea anterioară devine :

[tex]\frac{\phi (n^{2})}{2}\leq \frac{n^{2}}{4}\left [\prod_{p_{k}\in M(n)}\frac{p_{k}-2}{p_{k}} \right ]^{2}[/tex]

Dacă extragem rădăcina pătrată din ambii termeni obținem :

[tex]\sqrt{\frac{\phi (n^{2})}{2}}\leq \frac{n}{2}\left [\prod_{p_{k}\in M(n)}\frac{p_{k}-2}{p_{k}} \right ][/tex]

unde membrul din dreapta reprezintă estimarea numărului de numere prime [tex]p=n^{2}+1[/tex] din primele n numere de forma [tex]n^{2}+1[/tex] .

În concluzie, putem spune că din primele n numere de forma [tex]n^{2}+1[/tex] cel puțin [tex]\sqrt{\frac{\phi (n^{2})}{2}}[/tex] sunt numere prime.

Din calculele mele, valoarea estimată de radicalul respectiv este aproape jumătate din numărul real.

Oricum, faptul că numărul real este mai mare decat valoarea estimată de [tex]\sqrt{\frac{\phi (n^{2})}{2}}[/tex] nu influențează concluzia finală.

Aceasta este că dacă pentru valori ale lui n ce tind spre infinit, numărul de numere prime gemene, notat cu [tex]\phi (n)[/tex] , tinde către infinit, evident, aceasta înseamnă de asemenea că valoarea obținută de [tex]\sqrt{\frac{\phi (n^{2})}{2}}[/tex] va tinde către infinit dacă [tex]n^{2}[/tex]  tinde către infinit.

În concluzie, din analiza din acest topic rezultă că toate conjecturile din Lista lui Landau sunt adevărate.

a) Asadar pretinzi ca printre altele din lista lui Landau ai demonstrat adevarul conjectuei lui Goldbach?
Asa o fi caci eu nu stiu daca foarte odihnit voi fi in stare sa urmarsc demonstratia ta. Orcum premiul pentru demonstratie e de vre-un milion de dolari asa ca poti oferi 1% din suma primilor doi trei cae-ti verifca calculele si in fine tot ce ai facut.
Gratis nu cred ca vei gasi amatori. Succes! dar eu nu cred ca este demonstrabila din motive mistice.:)
b) Exprimarea ata este foarte neclara s pare a fi un cerc vicios: "Arătând că acest număr de reprezentări 2n=p+q este nenul sau este cel puțin o valoare minimă bine determinată, evident, este suficient să demonstreze că acel număr par 2n poate fi scris ca sumă de 2 numere prime p,q, fără a fi necesară determinarea exactă a acelor două numere prime p și q a căror sumă este egală cu acel număr par 2n"
Nota: este dintre exprimarile care pot fi intelese prin simpla citre ca restul.... :)

Citat din: atanasu din Ianuarie 29, 2016, 06:00:51 PM
a) Asadar pretinzi ca printre altele din lista lui Landau ai demonstrat adevarul conjectuei lui Goldbach?

Salut atanasu !
Nu stiu daca exprimarea pretind ca este tocmai corecta.
De altfel am si mentionat undeva in partea de inceput :
Daca nu este improprie folosirea cuvantului demonstratie...


Cat despre premii...da-le incolo, nu asta este scopul.
Analizez de mult acest tip de probleme si m-as bucura sa stiu ca dupa atata timp de studiu, sa spunem, au aparut si ceva rezultate bune, utile.

CitatSucces! dar eu nu cred ca este demonstrabila din motive mistice.:)

Nu stiu nici eu ce sa spun, de asta am si scris aici toate astea, sa discutam despre ele si sa stabilesc daca este suficient ce-am facut si scris mai sus ca sa le putem eticheta ca si demonstratii.

Citatb) Exprimarea ata este foarte neclara s pare a fi un cerc vicios:
...
Nota: este dintre exprimarile care pot fi intelese prin simpla citre ca restul.... :)

Pai, ce-ai scris in citat pare sa fie contradictoriu, daca am inteles bine.
Din prima fraza reiese ca exprimarea este greoaie, iar din a doua ca este usor de inteles prin simpla citire.

Oricum, sunt sigur ca prin multe locuri exprimarea este greoaie, dar n-am gasit o formulare  mai potrivita si desigur, unde-i cazul, daca cineva vrea sa inteleaga mai exact ce-am vrut sa spun intr-un anumit loc, o sa incerc sa detaliez.

Am si mentionat, adresandu-ma lui electron in celalalt subiect, ca nu analizam calitatea expunerii, la nivel de terminologie si structura, ci  doar corectitudinea ecuatiilor, daca implicatiile logice sunt sunt suficiente si corecte etc.

Ai raspuns aici desi eu am postat eronat aici adica de fapt doream sa pstez la celalalt topic si am si recopiat mesajul acolo si l-am mai si corectat la scris. Dar iti raspund aici unde ai scris:
a) Pretinz cu subiect si predcat ca ai demonstrat conjectura Goldbach. Pentru asa ceva ca si pentru fermat se da un premiu. Eu nu spun ca te intereseaza premiul dar verificarea calculelor tale nu este chiar asa usor si cine o face poate ca daca chiar ai demonstrat ceva trebuie recompensat. Este interesul tau de ati verifica calculele chiar daca personal nu te gandesti la bani. Eu in acest sens ti-am scris
b) Am spus ca acel paragraf este mai inteligibil fiind exprimat in limbaj literar si nu in limbajul matematic al formulelor si simbolurilor dar trecand peste nu mi s-a parut fraza clara si eventual poti sa o redactezi mai bine , desigur daca vrei si daca imi dai dreptate ca nu este foarte clara.
c) Ce ai facut tu se clasifica in zona unde se afla demonstratiile matematice care pot fi corecte, eronate sau chiar aberante. O demonstratie corecta in evul mediu se termina cu QED . Cred ca stii ce inseamna.
Succes si poti sa-mi raspunzi unde vrei, aici sau poate mai bine unde se discuta doar despre conjectura Goldbach si unde a intervenit si Electron

Mă gândesc ca atât timp cât aici este analizată și conjectura lui Golbach, cred că putem discuta și aici, deși n-ar fi o problemă să mutăm discuțiile acolo.

În primul rând QED-ul, pe care l-ai menționat la final.

Așa cum am mai menționat, deși am folosit cuvântul demonstrație, este posibil ca într-un final să se dovedească a nu fi complet/corect  ceea ce am prezentat ca să poată fi numită demonstrație.
Asta de fapt urmăresc eu aici, prin discuțiile cu voi, să vedem cam care sunt aspectele din expunere asupra cărora mai trebuie insistat/analizat/modificat.
Cred că din aceste considerente n-am finalizat cu ceea ce era de demonstrat

Ți-am înțeles punctul de vedere privind premii, bani etc și sunt de acord cu ceea ce susții.
Dar nu vreau să discutăm, deocamdată, acest tip de aspecte, ci strict cele...matematice.

Eu am calculat, desigur, pentru destule valori, mici ce-i drept, în unele cazuri aleatorii, de până la 100 000.
Din punctul meu de vedere, formulele alea obțin estimări foarte bune, dar este posibil într-adevăr, ca pentru valori mult, mult mai mari, pe care nu am posibilitatea să le calculez, situația să fie alta și aproximarea să aibă o eroare mare.
Așa cum spui, părerea cuiva care poate calcula pentru valori foarte mari, ar fi destul de importantă.

Acesta este și motivul pentru care am încercat să minimizez cât de mult posibil valoarea obținută de formule, astfel încât să compenseze eventuale erori mari ale estimării prin formulele alea.

Dacă consideri că ceva nu ți se pare destul de clar, poți să copiezi și să menționezi textul sau relația matematică și voi încerca să detaliez cât se poate de clar ceea ce am vrut să fac sau să spun acolo.

Nu ti-am urmarit latura matematica dar poti sa fci un program in basic de exemplu si sa calculezi cred eu ce ai de calculat pana la valori foarte mari. Maine daca am timp si dimineta o sa incerc sa ma uit la ceva. Indica-mi tu care este cel mai simplu calcul facut ca sa urmaresc mai repede si ce ai urmarit cu el. Ma refer la oricare din problemele abordate si nu neaparat la Goldbach.
Astept si noapte buna.

Ok atanasu.
Dacă tot ai menționat mai mult despre conjectura lui Goldbach, hai să explic, prin exemple, cum trebuie calculat prin formula 3 :

Citatestimarea numărului de reprezentări 2n=p+q este dată de

(formula 3) [tex]n\left [\prod_{k=1}^{i}\frac{p_{k}-1}{p_{k}} \right ]\left [\prod_{k=2/{(p_{k},n)=1}}^{j}\frac{p_{k}-2}{p_{k}-1} \right ][/tex]

unde [tex]p_{i}\leq \sqrt{n}<p_{i+1}[/tex]  ,  [tex]p_{j}\leq \sqrt{2n}<p_{j+1}[/tex]  , iar [tex](p_{k},n)=1[/tex] reprezintă notația prin care înțelegem faptul în al doilea produs nu trebuie luate în calcul numerele prime impare care apar în factorizarea lui n.

Să luăm câteva exemple ceva mai mari, din jurul valorii 10 000.

Numărul par 10 000 se scrie ca sumă de două numere prime de 127 de ori, așa cum poți verifica și pe situl :
https://plus.maths.org/content/mathematical-mysteries-goldbach-conjecture
introducând în caseta respectivă pe acest site numărul par, iar calculatorul respectiv returnează toate perechile de numere prime p, q astfel încât 10 000=p+q.

Să vedem acum ce valoare obținem prin formula 3.
Stabilim mai întâi care este cel mai mare număr prim până la radical din 5000, [tex]67\leq \sqrt{5000}< 71[/tex], după care cel mai mare număr prim până la radical din 10 000, [tex]97\leq \sqrt{10000}< 101[/tex] și de asemenea, trebuie să stabilim dacă în factorizarea lui n, apar numere prime mai mici decât radical din 10 000.

Factorizarea lui 10 000 este [tex]10000=5^{4}\cdot 2^{4}[/tex] , iar aceasta înseamnă că în al doilea produs nu luăm în calcul numărul prim 5.

Formula 3 [tex]n\left [\prod_{k=1}^{i}\frac{p_{k}-1}{p_{k}} \right ]\left [\prod_{k=2/{(p_{k},n)=1}}^{j}\frac{p_{k}-2}{p_{k}-1} \right ][/tex] obține

[tex]5000\cdot \left [ \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot ...\cdot \frac{66}{67} \right ]\cdot \left [ \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{9}{10}\cdot ...\cdot \frac{95}{96} \right ]\approx 137,53[/tex]

Deci, în acest caz, 10000 se scrie de 127 de ori ca sumă de 2 numere prime, iar formula 3 obține 138, să spunem.
În acest caz se obține o valoare ceva mai mare decât valoarea reală, cu o eroare mică, aș zice eu, raportată la valoarea lui n.

Să mai luăm un exemplu [tex]10002= 2\cdot 3\cdot 1667[/tex] .
Deci în această situație numărul prim 3 nu va fi luat în calcul în al doilea produs.

[tex]5001\cdot \left [ \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot ...\cdot \frac{66}{67} \right ]\cdot \left [ \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{9}{10}\cdot ...\cdot \frac{95}{96} \right ]\approx 206,33[/tex]

Numărul par 10 002 se scrie ca sumă de două numere prime de 197 de ori, formula estimează 207.

Să luăm un alt exemplu, [tex]10004=2^{2}\cdot 41\cdot 61[/tex] iar numerele prime 41 și 61 nu le luăm în calcul în al doilea produs. Acest număr par se scrie ca sumă de două numere prime de 99 de ori, iar formula estimează 107, 77.

Să luăm un exemplu în care în al doilea produs trebuie luate în calcul toate numerele prime mai mici ca radical din 2n, deci, factorizarea lui n nu conține un număr prim mai mic ca radical din 2n, [tex]9998=2\cdot 4999[/tex] .

Acest număr par se scrie ca sumă de două numere prime de 98 de ori, iar formula estimează 103,12.

În aceste cazuri observăm ca formula estimează o valoare mai mare ca valoarea reală.
Așa cum am menționat și într-un mesaj anterior, din acest motiv am încercat să diminuez cât de mult posibil valoarea obținută de formulă, aducând-o la valoarea minimă de [tex]\frac{\pi (n)}{\sqrt{n}}[/tex] .

În exemplele de mai sus, pe care le-am ales ca valoare unul lângă altul în jurul valorii de 10 000 să ușurez calculul în exemple, fiind vorba de aceleași numere prime ce trebuie luate în calcul în cele două produse, acest minim de ori este  [tex]\frac{\pi (5000)}{\sqrt{5000}}\approx \frac{699}{70}\approx 9.98[/tex] .

Observi cât de mult este diminuată valoarea pentru a compensa eventuala eroare.

În schimb, în ceea ce privește estimarea numărului de numere prime gemene prin formula menționată, situația este cu totul alta, pentru că estimarea pare să fie din ce în ce mai mică față de valoarea reală, cu cât valoarea lui n crește.

Dar pentru moment să ne oprim aici, la conjectura lui Goldbach și să vedem pentru început care este părerea ta.

1. O intrebare: mergand pe linkul dat de tine am aflat ca exita si o conjectura slaba a problemei de tip Goldbach care ar fi fost demonstrata in 2013 de  Harald Helfgott. OK .Foarte frumos dar din exemple mi se pare(observ) ca fiecare numar impar se pune cel putin ca o suma de doua prime egale intre ele si unul diferit .De exemplu: 19=7+7+5 iar 23= 3+3+ 17=5+5+13 = 11+11+1 in timp ce 21=1+1+19= 5+5+11 = 7+7+7 si 27=5+5+17=7+7+13=11+11+5 etc Daca stii ceva de chestia asta
Asta ar fi o alta exprimare a acestei conjecturi slabe?sau daca meri mai departe nu este adevarat ce presupun eu?
2)Eu banuiesc raspunsul dar trebuie sa fi explicit. Cine este n? cel care inmulteste paranteza adica numarul par disutat impartit la 2 sau numarul par care se factorizeaza?

Despre varianta slabă pe care ai menționat-o, n-am analizat-o mai profund, dar înțeleg la ce se referă.
Bănuiesc că exemplele tale sunt mici și pentru a putea fi scris ca sumă de 3 numere prime se folosește același număr prim de două ori în suma respectivă.
Dar, așa cum ți-am spus n-am analizat această variantă la un nivel mai profund.
Poate doar o mică observație, referitoare la 1.
Prin definiție, un număr prim este un număr care are exact 2 divizori, în timp ce 1 are numai unul singur, el însuși.
Din aceste motive, de ceva timp 1 nu mai este considerat număr prim, deși în trecut 1 era considerat număr prim.

Cât despre celelalte întrebări :

Citat2)Eu banuiesc raspunsul dar trebuie sa fi explicit. Cine este n? cel care inmulteste paranteza adica numarul par disutat impartit la 2 sau numarul par care se factorizeaza?

desigur, raspunsul este 2n/2=n, unde 2n este numărul par considerat.

Există o explicație bine justificată pentru folosirea acestui n și nu 2n, numărul n nu este pus la plesneală,  iar dacă vrei îți detaliez, folosind mai mult cuvintele, pentru că am observat că înțelegi ușor ce este explicat în cuvinte.

În mesajul anterior, probabil din grabă, am uitat să menționez peste tot unde nu trebuie luate în calcul anumite numere prime din factorizarea lui 2n că este vorba doar despre numerele prime impare.
În unele locuri, din acest motiv, în loc de factorizarea lui 2n am scris numai factorizarea lui n, pentru că bineînțeles, dacă luăm în calcul doar numerele prime impare, aceste numere prime, apar în factorizarea lui n și desigur, și a lui 2n.

Dar unde m-am exprimat numerele prime care apar în factorizarea lui 2n, am ținut cont în mintea mea că aceste numere prime vor fi folosite în al doilea produs din formula 3, în care prin limita "j" se ia în calcul numerele prime până la radical din 2n.

Sper că exprimarea nu este greoaie și nu produce și mai multă confuzie.

Citat1. O intrebare: mergand pe linkul dat de tine am aflat ca exita si o conjectura slaba a problemei de tip Goldbach care ar fi fost demonstrata in 2013 de  Harald Helfgott. ... Daca stii ceva de chestia asta

Așa, la repezeală, dacă nu mă pripesc să răspund fără o analiză detaliată în prealabil, cred că versiunea tare implică versiunea slabă.

Un număr impar suficient de mare, poate este suficient să fie mai mare/egal cu 9, poate fi scris ca suma unui număr prim și un număr par.
9 =  3+6
11 = 3+8 =  5+6
13 = 3+10 = 5+8 =  7+6
15 = 3+12 = 5+10 = 7+8
17 = 3+14 = 5+12 = 7+10 = 11+6
...

Din varianta tare rezultă că orice număr par, mai mare/egal cu 6, este suma a două numere prime.
Dacă varianta tare este adevărată atunci aceasta implică că și varianta slabă, orice număr impar mai mare/egal cu 9 este suma a trei numere prime, atât timp cât orice număr impar mai mare/egal cu 9 este suma unui număr prim și un număr par mai mare ca 6.

Desigur, așa cum ai remarcat și tu, pentru numere impare mici același număr prim va fi folosit de cel puțin două ori pentru a scrie numărul impar ca sumă de trei numere prime.
Cred că pentru numere impare destul de mari, vei constata că se poate scrie ca sumă de trei numere prime diferite.

De asemenea, la fel de bine poți stabili ulterior prin aceeași metodă că un număr par suficient de mare poate fi scris ca sumă de patru numere prime, dacă orice număr impar mai mare/egal cu 9 poate fi scris ca sumă de trei numere prime.

Pentru că acel număr par, cred că este suficient să fie mai mare ca 12=3+9, poate fi scris ca sumă dintre un număr prim și un număr impar mai mare/egal cu 9, iar acel număr impar poate fi scris ca sumă de trei numere prime, deci acel număr par suficient de mare va putea fi scris ca sumă de patru numere prime.

Analizând în aceeași manieră, poți stabili că dacă conjectura lui Goldbach, varianta tare, este adevărată, atunci poți stabili că orice număr par/impar suficient de mare se poate scrie ca un anumit număr par/impar de numere prime.

Însă implicația nu cred că funcționează în sens invers, adică de la o variantă mai slabă să ajungi la implicația variantei tari, dacă înțelegi ce vreau să spun.

1) Deci la prima observatie a ta ref la varianta slaba nu stiu raspunsul. OK o fi cum o fi de la numere mai mari, ca nu am timp de asta.
2) Ref numarul 1
Opinez ca : Numarul 1 este parintele numerelor deci nu este decat Numarul nici prim nici impar , numerele propriu zise incep cu dedublarea lui unu sau cu adaugarea lui la el insusi obtinandu-se primul numar par urmand primul impar etc
Zero de fapt nu este numar ci nevoia de a descrie nimicul printr-un simbol care pote fi folosit uzand de toate proprietatile nimicului
Este evident ca adunarea nu este o regula de compozitie printre altele  ci mama si tata regulilor de compozitie caci  porneste  de la numarare.
Adica asta consider eu si argumente contrare nu mi se pot aduce decat la nivel de autoritate. Oricum dl Peano a fost criticat pe buna drepate ca atunci cand si-a construit axiomatica cand introducea un numar sa zicem doi deja avea doua peopozitii anterior spuse deci doi era introdus cu o a treia, implicitand astfel pe trei etc
Cred ca unu(una cum spune latinul) si zero trebuiesc introduse cu o singura propozitie astfel incat doi sa fie introdus in a doua.
Unu si zero in opinia mea reprezinta cele doua fete ale foii dialectice; unu este natura este totul este existenta in timp ce zero este nonexistenta. Dar nu ma pot referi la nonexistenta fara sa stu ca exista existenta si invers deci sunt indestructibil legate. Ele sunt doua si nu este intamplator ca binarul cel mai adanc sistem rationabil are doua numere zero si unu.
In natura nu exista decat unu care se multiplica de cate ori doresti.Zeroul de tip limita din 1/n este un infinit mic si nu  ZERO. cred ca zero nu exista decat in forma data mintii noastre, a dialecticii ei asa cum exista si spatiul si timpul tot ca forme apriorice date ratiunii(Kant).In fine destula flozofie...

2) Imi displace profund stilul nepoliticos, nu te supara dar asta este termenul cel mai bland pe care-l folosesc si-l sustin, stil care tinde sa devina chiar  conflictual de tip arici, care de altfel  insoteste pe multi oameni care nu cred ca au ceva bun de asteptat de la semenii lor si totusi ne mergand pana la final cu consecinta logica,  adica pana la izolare totala, tot incearcand sa impace capra cu varza. :)
Daca vom mai discuta, te rog retine ca ref la mine nu poti face afirmatii si nici macar prezumtii, find aproric false, de tipul explicatiei ca n sau 2n as crede eu ca ar fi pus de tine la plezneala.. Daca as crede asa ceva ar fi inutila orice discutie si corect ar fi sa nu mai discutam nimic in continuare.
Suplimentar, inteleg daca ma ostenesc ce este pus si in relatiile algebrice, daca elementele acestora sunt definite anterior, ca doar nu esti extraterestru ca sa procedez ca intr-un  mesaj de tip  ETI(fara metalimbaj),  ci bazat pe definitia tuturor elementelor cum se face in orice discurs logico-matematic. Dar desigur ca si daca aceasta cerinta nu este satisfacuta, interlocutorul poate intelege si preciza sensul pe masura ce descifreaza mesajul, cu o conditie: sa nu fie incalcat principiul identitatii adica un simbol sa pastreze acelasi sens cat timp in mod explicit nu s-ar schimba(eventual) si de regula in demonstraiile matematice nu se schimba, sensul definit cand se introduce prima oara.
Daca pretinzi atentie si deci si munca si eventual ajutor de la altii trebuie sa incepi prin ai respecta si pe ei si munca lor, adica fiecare minut din viata lor pe care ei ti-l fac cadou.  Desigur ca nu sunt obligati, dar tu ai cerut un sprijin si chiar daca imi face placere acest lucru trebuie sa retii ca tu esti vanzatorul si eu cumparatorul si de regula protocolul atarna pe umerii vanzatorului.

3) Si acum sa trec la aspectele de fond adica daca ce scrii tu demonstreaza sau nu inferenta Goldbach

3.1) Ai o formula numita formula 3, care calculeaza  bazat probabil pe niste premize si  pe care nu o voi contrazice in ce urmeaza si sper ca ai demonstrat-o, ca numarul de perechi de sume de numere prime care produc  un anume numar par este dat de respectiva formula, cu aproximatii atat superioare cat si inferioare (dupa exemplele date de tine) Te intreb daca aceasta formula este demonstrata si ce anume este demonstrat in sensul ca ma intereseaza ce iti permite sa propui formula ca una de aproximare in sensul prezentat de tine sau este doar o verificare adica o inductie incompleta daca intelegi ce spun(te parafrazez)
Deasemeni considerand ca iau de buna formula ta, cele doua produse oare nu se pot simplifica?  caci ai niste fractii formate in primul produs din numere prime succesive la numitor si numarul par imediat inferor acestora iar la numaratorul celui de al doilea produs ai aceiasi succesiune de numere(posibil niste diferente la inceputul sirului sau poate pe tot parcursul?) .Infine nu e foarte importanta forma expresiilor fiind finite si calculabile, ci ce reprezinta ele .
3.2) Aplici formula la cateva exemple explicand anume interpretari pe care le faci pentru calcule si obtii niste aproximatii fie superioare, fie inferioare. Nu gasesc nici-o teorie ref la modul in care evolueaza aceste aproximatii sau numere comparate cu numarul de perchi asa cum nu avem nici pentru numerele prime teorii care sa precizeze astfel de evolutii(poate aici gresesc)
Importanta este insa concluzia ca aproxmatia este fie in plus fie in minus.
Daca ar fi numai in minus rezultatul fiind un numar pozitiv chiar si subunitar ar insemna ca Goldbach este demonstrata.
In cazul aproximarii superioare nu stim nimic despre cat de mic poate fi acel numar aproximat superior si daca de exemplu ai avea pentru rezultatul formulei 3 un numar cert subunitar ar rezulta ca nu numai ca nu demonstram Goldbach dar speculam ca nici nu ar fi adevarata.

In ceea ce priveste marimea rezultatului  de la 3 putem fi siguri cum am spus ca este pozitiv. Dar constatand ca ambele produse sunt formate din fractii subunitare al caror produs devine din ce in ce mai subunitar cu cat creste numarul termenilor,  ar fi interesant sa vedem daca exista o limita pentru aceste produse, mai mare decat zero cand mergem la infinit caci daca limita cel putin a unuia este zero evident ca si numarul rezutat este subunitar si deci Goldbach este contrazis. Din exemplele date de tine se pare ca rezultatul formulei 3 este un sir crescator ca tendinta fata de  cresterea numarului par analizat si supraunitar dar nu crescator monoton.
Dar daca am putea demonstra ca  suma acestor perechi de numere va depasi orice numar k odata cu cresterea numarului n evident mai mare decat k si eventual gasi o relatie intre n si k atunci desigur ca conjectura este demonstrata. Nu cred ca spun aici ceva ce nu s-a mai spus dar de fapt nu stiu . Imi vine sa nu cred ca ce am gandit eu acum in cateva minute sa nu fi gandit si altii care s-au aplecat asupra problemei. Ca sa fiu mai clar prezint:

daca 2n=98  atunci k=3; daca 2n=100 atunci k= 6; 2n=102 si k = 8; 2n=104 si k=5;2n=106, k=5; 2n=108 k=8; 2n=110, k=6 ; 2n=112, k=7; 2n=114, k=10
Se vede clar ca tendinta este ca k sa creasca dar in salturi , probabil ca daca s-ar trasa o curba prin metoda celor mai mici patrate s-ar constata ca ar apare o curba statistic crescatoare, poate o dreapta, poate o alta curba.

Mie mi-ar place sa fie o exponentiala si poate voi face un calcul "mistic"(pentru mine transcndenta tine de mistica) de cautat, cum spunea un profesor drag mie "haina matematca a fenomenului studiat si masurat". Oricum constatam ca la nivel de 100 de ori mai mare, adica in jurul lui 2n =10000, k oscileaza intre 98 si 197 adica de la simplu la dublu penru o mica variatie a lui 2n ceea ce ar putea sa trimita la o crestere exponentiala. Asa ceva cred ca nu a facut nimeni pana acum, asa ca poate meita sa o fac eu daca nu se grabeste altul sa-mi ia ideea si sa tranteasca un articolas cine stie unde. :)

Revenind, caci cele de mai sus se refera la calculul exact indicat in linkul dat de tine si nu la formula ta.Daca este asa, singurul lucru care ma incurca considerand ca  formula 3 este demonstrat ca produce ce spui tu ca produce,  este doar aproximarea in plus care nu limiteaza inferior in nici-un fel numarul k de perechi de prime posible a da adunate numarul par discutat iar un grafic pe chestii deja facute nu este o demonstratie, dar poate ar indica matemticienilor o noua cale gandindu-se la exponentiala sau la alta expresie ce ce ar marca existenta unei leg statistice . Pe mine evident ca in concret matematic o astfel de demonstratie m-ar depasi dar ar trebui sa fiu trecut la multumiri alaturi de sotie si copii intelegatori, prieteni si cititori sau crectori de manuscris :)

Deci pana una alta cred ca nu ai demonstrat nimic ci doar odata in plus ai aratat o inductie incompleta care verifica ceea ce deja credem ca este asa dar inca nu stim a demonstra si nici nu voi fi trecut nicaieri la multumiri caci in transcendenta ce oare poti demonstra? :)

4) Ref la varianta slaba este foarte posibil ca ea sa fie adevarata daca cea tare este si nu putem spune nimic despre vreo reciproca caci de la general la particular poti cobora nu si invers.Asta ca sa nu te indoiesti ca inteleg ce spui ,iarasi o insolenta la care o sa-ti raspund precum Hamlet lui Horatiu(parafraza brutala si personalizata ) : Dragule, multe din cele ce sunt si le inteleg eu nu stiu  insa daca le intelegi si tu.:)
Pe fond demonstratia ta asa in fuga facuta mi se pare  corecta doar daca inferenta ta: "Un număr impar suficient de mare, poate este suficient să fie mai mare/egal cu 9, poate fi scris ca suma unui număr prim și un număr par" este valabila, adica daca ai o demonstratie adica ceva care sa nu fie cu "poate". Incearca-ti fortele si poate ca o gasesti deja facuta sau, cine stie ,poate ca o reusesti tu.
Succes!

În primul rând, scuze dacă anumite exprimări deranjează.
Am să încerc să fiu mai atent la asta.

Apoi, ai scris un mesaj lung, în care ai menționat multe aspecte și m-ai cam zăpăcit un pic.
Eu îți propun, dacă ești de acord, să scrii un mesaj scurt, ia cu citat ca să văd exact despre ce vrei să vorbești și discutăm.

Eu doar am prezentat ceva, dacă nu-i corect, nu-i corect și cu asta basta.

Încă o dată, scuze dacă te-ai simțit ofensat de exprimarea mea pe care o să încerc să o corectez.

Eu am raspuns la cele spuse de tine la pct 1 , 2,si 4 iar la 3 am discutat despre relatia ta 3  concluzia mea nu neaparat si adevarata (poate ca nu te-am inteles bine) este ca conjectura Goldbach a ramas nedemonstrata ca si pana acum dar in critica ce o fac celor facute de tine poate ca sunt si niste idei care poate ca pot fi preluate si folosite in continuare.
Sari peste consideratiiile filozofice si citeste raspnsurile ca atare la cele ridicate de tine iar la 3 spun ca nu stiu daca ce-si propune sa produca ea adica o aproximare in plus sau minus a numarului de perchi de nr prime care adunate dau un anume numar par si ca si daca ar fi asa, Goldbach tot nu este demonstrata din cauza ca aproximarea se face atat in plus cat si in minus.

Ok atanasu.
Ai punctat multe aspecte, pe care sunt sigur că nu le înțelegi direct în modul în care sunt prezentate.
Așa cum am și menționat de altfel în partea de început, nu am expus toți pașii logici care implică concluziile doar pentru a nu lungi postarea astfel încât să obosească cititorul.

Să le luăm pe rând.
Prima ta nedumerire pare să fie

CitatTe intreb daca aceasta formula este demonstrata si ce anume este demonstrat in sensul ca ma intereseaza ce iti permite sa propui formula ca una de aproximare in sensul prezentat de tine sau este doar o verificare adica o inductie incompleta daca intelegi ce spun(te parafrazez)

Și cred că în această postare mă voi rezuma doar la a explica asta, pentru că s-ar putea să mă lovesc din nou de dificultatea cu care explic lucrurile, iar pentru că sunt greu de înțeles prin exprimarea folosită este posibil de asemenea să interpretezi ceea ce am prezentat ca fiind greșit.

Nu am experiență în a prezenta lucrurile într-un mod profesionist, cu care ești probabil obișnuit, motiv pentru care s-ar putea să ți se pară o simplă analiză, ca oricare alta ce s-a dovedit într-un final greșită.
O să-ți explic doar așa cum îmi dictează logica.

Așadar, raportat la ceea ce este menționat în citat, cred că te referi la formula 3 pentru estimarea numărului de reprezentări 2n=p+q, în cazul conjecturii lui Goldbach.
3-ul ăla de lângă formulă este o tentativă nereușită de a numerota formulele la recomandarea lui electron, sugestie bine justificată, dar pe care n-am știut să o pun în practică, datorită lipsei mele de experiență într-o expunere matematică profesionistă.

Prima ta întrebare, poate nelămurire, este dacă formula este demonstrată.
În ceea ce privește conjectura lui Goldbach, la aceeași formulă se poate ajunge într-un mod mult mai evident, dar explicația este mult mai complicată.

Dacă vrei neapărat, ți-o prezint și pe aceea și dacă vei înțelege exact ceea ce aș explica te vei convinge că formula este foarte bine justificată.

Evident, când analizăm numerele prime, sunt de părere că nicio formulă nu determină numărul căutat cu o valoare exactă, iar formula 3 nu face excepție de la această...regulă.

Însă, formula 3 este destul de justificată și prin modul în care am ajuns la ea în prezentarea din prima postare.

Reiau, prin cuvinte, ceea ce este arătat oarecum prin relațiile matematice prezentate și o să ți le explic ca și...algoritm.

Aleatoriu, alege un număr prim, care vrei tu, iar pentru a ușura explicația aleg eu unul acum, dar tu poți să iei în calcul oricare vrei tu.

Eu aleg numărul prim 23, fără un motiv anume, așa mi-a venit în minte.
23*2=46
Separă acum numerele prime până la o valoare destul de mare, să spunem cel puțin pătratul lui 23, în numere prime de forma 46k+1, 46k+3, 46k+5,...46k+21,46k+25,...46k+43, 46k+45.
Fă o scurtă verificare și vezi câte numere prime sunt pentru fiecare formă în parte, până la valoarea pe care vrei tu să o iei în calcul, dar cel puțin 23 la pătrat să spunem.
Vei observa că sunt aproximativ același număr de numere prime de fiecare formă, iar valoarea medie, adică numărul aproximativ este pi(n)/(23-1).

Dar asta nu este doar o ghiceală, scuză-mi expresia, ci este justificată această medie.

Pentru că folosind ciurul lui Eratostene, vei observa că vei ajunge să stabilești că această medie, adică numărul aproximativ de numere prime de forma 46k+1, sau 46k+3, sau 46k+5, sau... este determinată de aceeași formulă.

Acum, imaginează-ți că din toate numerele prime până la o valoare n, suficient de mare, vrei să elimini doar numerele prime de forma 6k+1, 10k+7, 14k+3, 22k+9, 26k+19 .
Vei observa că numărul de numere prime care rămâne după eliminarea acestor numere este estimat de formula 2, cu o foarte bună aproximare, aș zice eu, din ceea ce am calculat.

Explicația constă exact în principiul folosit pentru determinarea/estimarea numărului de numere prime până la n, folosind ciurul lui Eratostene.

Elimini mai întâi numerele prime de forma 6k+1.
După aceea elimini numerele prime de forma 10k+7, care nu sunt și de forma 6k+1, pentru că au fost eliminate anterior.
După care elimini numerele prime de forma 14k+3, care nu sunt de forma 6k+1 sau/și de forma 10k+7, pentru că au fost deja eliminate.
etc, etc, etc, până la eliminarea numerelor prime de forma 26k+19 care nu sunt de forma 6k+1, nu sunt de forma 10k+7, nu sunt de forma 14k+3, nu sunt de forma 22k+9.

Vei observa că numărul de numere prime care rămân este aproximativ cel estimat de formula 2, destul de bine justificat.


Acum relaționarea formulei 2 cu conjectura lui Goldbach și cum se ajunge la formula 3.

Să luăm numărul par 128, așa cum l-am dat exemplu în expunere.
128-3=125, iar 125 este un număr de forma 6k+5.
Putem observa că 128 nu se poate scrie ca sumă de două numere prime din care unul este de forma 6k+5, pentru că 128-(6k+5) este un număr divizibil cu 3.
Deci din toate numerele prime până la n, în acest caz 128/2=64 trebuie eliminate toate numerele prime de forma 6k+5.

La fel de bine, putem observa ca 128-5=123, iar 123 este un număr de forma 10k+3.
Aceasta înseamnă că din toate numerele prime până la 64 trebuie să eliminăm toate numerele prime de forma 10k+3, pentru că 128 nu poate fi scris ca sumă de două numere prime din care unul este de forma 10k+3, 128-(10k+3) va fi un număr divizibil cu 5.

Și tot așa pentru orice număr prim mai mic decât radical din 128, pentru că din numerele prime până la 64, adică generalizat până la n, eliminăm toate numerele prime p mai mici/egale cu 64, care prin diferența 128 -p determină un număr divizibil cu un număr prim mai mic decât radical din n, pentru că dacă p este mai mic/egal cu n, 128-p va fi un număr din intervalul (n,2n) și poate fi divizibil cu un număr prim mai mic/egal cu radical din 2n, adică 128 în acest caz.

Dacă, spre exemplu, numărul par 2n este divizibil cu 3, 126 să spunem, 126-3k este un număr divizibil cu 3, deci în cazul acestui număr prim, nu trebuie să anulăm niciun număr prim de formă 6k+1 sau 6k+5 din intervalul (1, 63), iar în al doilea produs din formula 3, numărul prim 3 nu va fi luat în calcul pentru numărul par 126.

Din aceste motive, cu cât un număr par este divizibil cu un număr prim impar mai mic, cu atât el se scrie de mai multe ori ca sumă de două numere prime, față de numerele pare din vecinătate. Vezi exemplele din jurul lui 10000 pe care ți le-am prezentat într-un mesaj anterior.

Sincer, nu știu cum să-ți explic altfel, nu mă duce capul că nu am experiență la reprodus asemenea demonstrații într-un mod profesionist, dar eu știu că am dreptate în ce spun, deși mă lovesc de dificultatea cu care explic lucrurile.
În mintea mea sunt clare aceste lucruri, dar nu prea mă pricep să le explic.

Scuză lungimea mesajului, dar cred că trebuia să menționez toate astea.

Dacă ai înțeles ce-am facut și cum am gândit până acum, trecem la următorul punct.

Te rog sa ma scuzi dar poate ca ai observt ca eu am avut ca premiza ca formula 3 este corecta adica adevarata fiind demonstrata prin procedee matematice complete si suficiente cum ar fi un sir de deductii pornind de la o premiza adevarata la finalui carora se ajunge la formula 3, care daca sirul de deductii respecta logica matematica si daca nu sunt erori de calcul este si ea advarata sau o reducere la absurd(poate intra procedeul ca unul sau mai multi pasi in lantul de deductii sau complet diferit o inductie matematica completa.
Deci pentru moment consider ca 3 este adevarata si nu-mi bat capul cu demonstratia adica te creditez ca este ok.
Dar chiar si daca este corecta ti-am spus ca datorita felului in care ese aproximat in plus sau in minus fara nici-o proprietate suplimentara corelabila cu aceasta aproximare ci doar asa cum spui si arati in cele cateva exemple tiam explicat in textul anterior ca conjectura Goldbach nu este demonstrata. Daca rezulta ca este demonstrata abia atunci trebuia sa-mi bat capul cu demonstratia formulei 3. Cam tot asa ceva ti-am spus si privind inferenta posibila ca daca conjectura grea este adevarata atunc si ce usoarea va fi adevarata(desigur ca nu si invers ) dar o poeza de baza cu acea descompunere a unui impar uficient de mare intr-o suma de par si prim.Si ca sa fiu ma explicit , intrucat partea a doua este adevarata daca ipoteza este adevarata la aceasta demionstratie a ta ref la goldbach tare si slaba, tot asa se pune problema daca find adevarata formula 3 ar fi demonstrata Goldbach dar eu spun ca nu s deci nu ma mai ocul de demonstratia lui 3.
Sper sa fii inteles si sa te ajute la continuarea raspunsului tau.
Noapte buna!

Citat din: atanasu din Ianuarie 31, 2016, 11:26:33 PM
Deci pentru moment consider ca 3 este adevarata si nu-mi bat capul cu demonstratia adica te creditez ca este ok.
Dar chiar si daca este corecta ti-am spus ca datorita felului in care ese aproximat in plus sau in minus fara nici-o proprietate suplimentara corelabila cu aceasta aproximare ci doar asa cum spui si arati in cele cateva exemple tiam explicat in textul anterior ca conjectura Goldbach nu este demonstrata.

Aici, unde am subliniat în citat, cred că ai dreptate.
Și cred că am bazat implicația următoare în expunere doar pe calculele pe care le-am făcut și pe faptul că formula 3 este dedusă logic.

Dacă formula 3 obține o valoare mai mică decât cea reală este ok, pentru că oricum, ulterior valoarea este diminuată pentru a se ajunge la acel minim de ori.
Situația se schimbă dacă formula 3 obține o valoare mai mare ca valoarea reală, iar în această situație trebuie arătată diferența maximă dintre valoarea obținută de formulă și cea reală, ca să putem stabili dacă diminuarea este suficientă pentru a compensa această diferență.
Dacă înțelegi ce vreau să spun.
Într-adevăr, acest aspect mai trebuie arătat/demonstrat.

Ma bucur ca am auns la acest punct important al discutiei noastre.
Si spui foarte corect ca trebuie sa compari ce obtiii prin relatia 3  cu situatia reala. Pai care este situatia reala? O poti decrie matematic ? Nu esti ca si in cazul Goldbach unde inferenta este  verificarta oricat de adanc ai ajunge dar nu poti spune nimic in general? Adica si cu cu formula 3 esti in aceiasi situatie ca si la Goldbach adica inductie matematica incompleta.
Adaug ceva :daca ar rezulta  empiric pentru o alta formula de calcul de tipul 3, adica cum ai procedat tu, ca la orice verificare numerica efectiva ca valoare din 3 este intotdeauna mai mica decat acel k, nu ai realizat nimic ca si la Goldbach rezulta mereu ca este verificata . Si matematica (aritmetca) spune ok si cei cu asta? Daca ai gasi o expresie pentru un numar mai mic sau egal cu k care pentru orce n sa fie asa da ai rezolva Goldbach
Personal cred ca esti intr-o situatie mai rea decat in verificare lui Goldbach, care se verifica mereu , tu neputand decide daca valoarea ta spune ceva doar facand calculul efectiv cu ea, ci doar  dupa ce faci calculul efectiv si ptr Goldbach cu programul de la linkul indicat https://plus.maths.org/content/mathematical-mysteries-goldbach-conjecture
PUNCT.
PS.O intrebare :ai numarat tu cate perechi  de numere prime sunt la 2n=10000 sau ai gasit deja calculat asta si unde? Ca sa incerc sa fac graficul acela de care ti-am spus.

PPS.O sugestie; Nu vrei in caz ca nu este deja dovedita ipoteza ta dela discutia despte varianta slaba adevarata in cazul adevarului variantei tari. Adica sa dovedesti ca este adevarata  inferenta propusa de tine putin aranjata de mne eliminand termenii vagi care nu au ce cauta in aritmetica : "Un număr impar mai mare sau egal cu 9(sau alt numar impar) poate fi scris ca suma unui număr prim și un număr par"

Poate ca asa ceva este mai usor si te-ar ajuta in problemele Landau.

Să încerc să-ți răspund pe rând.

Eu înțeleg ce spui vis-a-vis de

CitatNu esti ca si in cazul Goldbach unde inferenta este  verificarta oricat de adanc ai ajunge dar nu poti spune nimic in general?

Consider totuși că o formulă care estimează numărul de reprezentări 2n=p+q este deja un lucru ajutător.
Însă, într-adevăr, trebuie stabilit un minim și maxim între care se încadrează eroarea aproximării.
Dacă vrei, și nu greșesc, este ca și în cazul estimării numărului de numere prime până la n prin logaritmul natural, din teorema asimptotică a numerelor prime.
Desigur, situația aici e diferită.

Este adevărat și ce spui

CitatAdaug ceva :daca ar rezulta  empiric pentru o alta formula de calcul de tipul 3, adica cum ai procedat tu, ca la orice verificare numerica efectiva ca valoare din 3 este intotdeauna mai mica decat acel k, nu ai realizat nimic ca si la Goldbach rezulta mereu ca este verificata .

Dar, dacă raționamentul meu nu este greșit, plecând de la faptul că formula este determinată pe principii logice corelate cu modul în care se scrie un număr par ca sumă de două prime, iar formula mai și obține o aproximare destul de bună, eu consider că nu este tocmai

CitatSi matematica (aritmetca) spune ok si cei cu asta?

Însă, să nu evităm aspectul principal pe care l-ai menționat, formula nu este suficientă, ci trebuie determinat un maxim al erorii.
Adică, cât de mare poate fi eroarea prin aproximarea determinată de formulă, față de valoarea reală, ca să știm dacă diminuarea valorii obținute de formulă, adică acel minim de ori egal cu [tex]\frac{\pi (n)}{\sqrt{n}}[/tex] este suficientă ca să fie o valoare mai mică decât valoarea reală.

Așa...din ce-am calculat, pentru valori din ce în ce mai mari, acel minim de ori este foarte mic față de valoarea reală, dar astea sunt doar calcule și trebuie arătat matematic această implicație.
Pentru moment însă, aceasta pare să mă depășească și așa cum ai spus, sunt de acord cu tine, demonstrația nu-i completă până nu este arătat acest aspect.
Un ajutor sau vreo idee din partea voastră ar fi binevenite.
Am o oarecare idee despre cum am putea arăta asta, pe care o să ți-o și prezint, dar nu pare să fie destul de evident.

CitatPersonal cred ca esti intr-o situatie mai rea decat in verificare lui Goldbach, care se verifica mereu...

N-aș zice, pentru că verificarea Goldbach, așa cum te exprimi tu, implică procedee de verificare de aceeași complexitate.
Pentru stabilirea numerelor prime care însumate dau un anumit număr par, trebuie să faci calcule de aceeași complexitate, să stabilești dacă numerele p,q sunt prime etc.
Dar s-ar putea să ai dreptate și să fie mai ușor să găsești două asemenea prime, decât să calculezi de câte ori se scrie acel număr par ca sumă de două prime.

CitatPS.O intrebare :ai numarat tu cate perechi  de numere prime sunt la 2n=10000 sau ai gasit deja calculat asta si unde? Ca sa incerc sa fac graficul acela de care ti-am spus.

Le-am numărat efectiv pe acel site, n-am gasit un site care doar îți returnează exact numărul, adică de câte ori se scrie ca sumă de două prime numărul par 2n.

Spre exemplu, pe site-ul
https://primes.utm.edu/nthprime/ (https://primes.utm.edu/nthprime/)
în caseta din mijloc scrii un număr n și-ți returnează valoarea pi(n).
Cam așa ceva cred că te-ar interesa, în ceea ce privește numărul de reprezentări 2n=p+q, dar nu știu vreun site care are un asemenea program.
Când vei face acel grafic vei observa un aspect pe care ți-l pot explica logic și care stă la baza justificării formulei 3 în egală măsură.
Cu cât numărul par se divide cu un număr prim impar mai mic, cu atât el se scrie de mai multe ori ca sumă de două numere prime față de numerele pare din vecinătate.

De asemenea, când am calculat factorizarea, ca să meargă mai repede, pe site-ul
http://www.calculatorsoup.com/calculators/math/prime-factors.php (http://www.calculatorsoup.com/calculators/math/prime-factors.php)
scrii numărul n și-ți returnează factorizarea lui n.

În ceea ce privește sugestia ta din PPS-ul ultimei tale postări, nu înțeleg exact la ce te referi, dar pentru moment încerc să văd cum pot arăta ceea ce ai scos la lumină, vis-a-vis de conjectura lui Goldbach și formula 3.

Sunt prea obosit ca sa-ti raspund azi la altceva decat la ce urmeaza referitor la

a)  faptul ca tu nu ai inteles PPS -ul meu .
Explic din nou: Intr-o postare anterioara scri:

"Așa, la repezeală, dacă nu mă pripesc să răspund fără o analiză detaliată în prealabil, cred că versiunea tare implică versiunea slabă.
Un număr impar suficient de mare, poate este suficient să fie mai mare/egal cu 9, poate fi scris ca suma unui număr prim și un număr par.
9 =  3+6
11 = 3+8 =  5+6
13 = 3+10 = 5+8 =  7+6
15 = 3+12 = 5+10 = 7+8
17 = 3+14 = 5+12 = 7+10 = 11+6"

si apoi arati ca daca ipoteza de mai sus este adevarata atunci rezulta ca versiunea slapa este adevarata

Eu ti-am propus spre demonstrare (daca nu cumva tu o sti a fi demonstrata? ) ipoteza ta putin aranjata ca exprimare matematica si anume:
Un număr impar mai mare sau egal cu 9(sau alt numar impar) poate fi scris ca suma unui număr prim și un număr par

B) Mi se pare interesanta afirmatia ta care nu sunt sigur ca mi-ar aparea in fata la realzarea graficului  decat doar daca as urmari-o in mod special
"Cu cât numărul par se divide cu un număr prim impar mai mic, cu atât el se scrie de mai multe ori ca sumă de două numere prime față de numerele pare din vecinătate".

Tu de ce crezi asta? Spui ca ai un argument logic. Care este acela? Sau poate doar este o observatie empirica?

Citat din: atanasu din Februarie 01, 2016, 04:40:11 PM
B) Mi se pare interesanta afirmatia ta care nu sunt sigur ca mi-ar aparea in fata la realzarea graficului  decat doar daca as urmari-o in mod special
"Cu cât numărul par se divide cu un număr prim impar mai mic, cu atât el se scrie de mai multe ori ca sumă de două numere prime față de numerele pare din vecinătate".

Tu de ce crezi asta? Spui ca ai un argument logic. Care este acela? Sau poate doar este o observatie empirica?

Argumentarea este următoarea.

Să spunem că un număr par nu este divizibil cu 3.
Să luăm același exemplu 128.
Din toate numerele prime până la 128/2=64, trebuie eliminate toate numerele prime de formă 6k+5, adică 5, 11, 17, 23, 29, 41,  47, 53, 59, pentru că 128 - (6k+5) este un număr divizibil cu 3, iar 128 nu poate fi scris ca sumă de două numere prime din care unul este de forma 6k+5.

Pentru numărul par 130, spre exemplu, trebuie să eliminăm din toate numerele prime până la 130/2=65, toate numerele prime de forma 6k+1, și anume 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, pentru că 130 - (6k+1) este un număr divizibil cu 3, iar 130 nu poate fi scris ca sumă de două numere prime din care unul este de forma 6k+1.

Însă, în mod similar, numărul par 126 este divizibil cu 3.
Diferența 126 - (6k+1) sau 126 - (6k+5) nu va fi un număr divizibil cu 3, iar în această situație, nu toate numerele prime de forma 6k+1, sau de forma 6k+5 vor fi eliminate, ci numai acelea care sunt și de forma 10k+1, pentru că 126 - (10k+1) este un număr divizibil cu 5.

Dar până la 126/2=63 sunt mai multe numere prime de forma 6k+1, sau de forma 6k+5, decât de forma 10k+1.

Pentru că până la n, aproximativ n/6 sunt numere de forma 6k+1, și aproximativ n/10 sunt numere de forma 10k+1 și de asemenea, se poate demonstra că printre aceste numere, până la n, sunt mai multe numere prime de forma 6k+1 decât numere prime de forma 10k+1.

Din acest motiv, în exemplele de mai sus, dintre toate aceste 3 numere, numărul par divizibil cu 3 se va scrie ca sumă de două prime de mai multe ori ca celelalte două.

Cred că am găsit și modul prin care putem stabili limita despre care vorbeam amândoi, ca să eliminăm incertitudinea, dar lasă-mă să o mai analizez un pic ca să fiu sigur de ce scriu, după care ți-o prezint.

Despre PPS-ul acela, din nou, n-am înțeles exact ce vrei să spui.
N-am prins nici măcar ideea cu

CitatUn număr impar suficient de mare, poate este suficient să fie mai mare/egal cu 9, poate fi scris ca suma unui număr prim și un număr par.

N-am înțeles ce nu este corect aici, exprimarea nu este corectă din punct de vedere matematic, sau nu este adevărat ce spune enunțul ?
Mă gândesc că prima variantă, exprimarea îți zgârie urechea, și-ți cam dau dreptate, pentru că enunțul este adevărat.

Un număr impar plus un număr par este un număr impar , (2k+1) + (2q) = 2(k+q)+1.
M-am exprimat la modul suficient de mare, pentru ca să acel număr par să poată fi cel puțin 6, iar acel număr impar să fie cel puțin 3.

Așa cum am scris și acolo, dacă am considera că este adevărată conjectura lui Goldbach, atunci orice număr par mai mare/egal cu 6 poate fi scris ca sumă de două numere prime.

Dacă un număr impar mai mare/egal ca 9 poate fi scris ca suma unui număr impar mai mare/egal cu 3 și a unui număr par mai mare/egal cu 6, atunci poți stabili că acel număr impar 2k+1, se poate scrie ca sumă de trei numere prime, atât timp cât considerăm că acel număr par poate fi scris ca sumă de două numere prime.

Dar cred că asta ai înțeles ușor cum reultă, nu este o demonstrație complicată ca să arăți cum rezultă varianta slabă din varianta tare și nu înțeleg exact la ce te referi când spui

CitatEu ti-am propus spre demonstrare (daca nu cumva tu o sti a fi demonstrata? ) ipoteza ta putin aranjata ca exprimare matematica...

OK si eu si tu am cerut cate un ragaz.
Cat despre demonstratia ta a variantei slabe din cea tare ea este corecta numai daca propozitia de tine data este adevarata. Propozitia respectiva este:"Un număr impar suficient de mare, poate este suficient să fie mai mare/egal cu 9, poate fi scris ca suma unui număr prim și un număr par"
Dar de unde stii ca afirmatia este adevarata pentru orice numar impar?
In ultimul tau raspuns spui o banalitate; Un număr impar plus un număr par este un număr impar  :) :) :)

Restul pe maine. N.B

Ahaa...acum te-am înțeles.
Bun.

Dacă numărul impar este mai mare/egal cu 9, atunci el se poate scrie ca sumă dintre un număr impar mai mare/egal cu 3 și un număr par mai mare egal cu 6.

Ceea ce vrei tu să știi acum este cum arătăm că acel număr impar poate fi de fapt un număr prim.
În primul rând 3 e număr prim impar.
Orice număr impar, mai mare/egal cu 9, poate fi scris ca suma 3+2k, unde 2k este un număr par mai mare/egal cu 6 care poate fi scris, considerăm, ca sumă de două numere prime.
3 fiind prim, desigur, acel număr impar 3+2k va putea fi scris ca sumă de trei numere prime.

Dar numărul impar 2q+1, mai mare/egal cu 9, poate fi scris ca sumă dintre un număr impar mai mare/egal cu 3
și un număr par mai mare/egal cu 6 de (q-3) ori

9 = 3+6
11 =3+8 = 5+6
13 =3+10 =5+8 = 7+6
15 =3+12 =5+10=7+8 =9+6
...

Deci, în consecință, putem stabili că numărul impar 2q+1, poate fi scris ca suma unui număr prim impar și un număr par mai mare/egal cu 6 de un număr de ori egal cu numărul de numere prime impare mai mici/egale cu q-3.

Sunt sigur că poți stabili ușor de ce afirmația este adevărată, analizând în continuare șirurile cu sumele de mai sus.

Dacă nu este suficient ce-am scris detaliez mai mult.

Și bineînțeles, dacă orice număr par mai mare/egal cu 6 se poate scrie ca sumă de două prime, atunci orice număr impar mai mare/egal cu 9 este suma a trei prime.
Dar asta nu înseamnă neapărat că se poate scrie ca sumă de trei numere prime de un număr de ori egal cu numărul de numere prime impare mai mici/egale cu q-3..
Este o diferență între concluzia anterioară de mai sus și aceasta din urmă.
Sper că sesizezi diferența, de aceea am și subliniat și bolduit, și te convingi de ce e așa scriind un număr impar ceva mai mare în ambele moduri.

Sunt obosit. Te urmaresc maine.
Dar acum m-am uitat la ce am scris pe celalat fir despre Goldbach unde m-am confruntat cu Meteor care are si el o "demonstratie"
Acolo la comentaii am unul pe care il mentin si azi daca tie putin influentat de tine si uitand ce am scris atunci ti-am spus putin diferit    
Răspuns: Conjectura Goldbach
« Răspunde #18 : Octombrie 24, 2015, 11:27:49

Citeste-l ca sa ma cunosti mai bine. :)

Am citit.
Nu mă interesează partea filozofică, dar sunt de acord cu părerea că nu se poate demonstra (ne)demonstrabilitatea unei probleme.
Sunt de părere că raționamentul folosit pentru a arăta demonstrabilitatea unei ipoteze reprezintă de fapt demonstrația ipotezei.
Dacă o ipoteză este demonstrabilă, aceasta poate fi arătat într-un singur mod, demonstrând ipoteza.
Pentru a arăta că o ipoteză se poate sau nu demonstra trebuie să folosești raționamente, noțiuni și aspecte care sunt direct legate de ipoteza respectivă, iar prin asta se arată în același timp adevărul sau falsitatea ipotezei.
În fine, este doar părerea mea.

Cât despre

CitatPropozitia este : Daca un numar par este egal cu suma a doua numere prime toate numerele pare mai mici satisfac conditia Goldbach.

Demonstratia inferentei lui Goldbach pe baza "teoremei" de mai sus este foarte simpla in sensul ca numerele prime fiind in numar infinit si cele pare obtinute prin dublarea lor merg la infinit si deci paa la infinit inferenta Goldbach este dovedita QED.

eu sunt de părere că nu implică atât de simplu adevărul conjecturii lui Goldbach.

Teorema bolduită spune ca dacă 2n se poate scrie ca sumă de două prime, atunci 2n-2k se poate scrie ca sumă de două prime, pentru k mai mare/egal cu 1.
Cum rezultă asta ?
Din modul în care explici tu ulterior cum rezultă asta din teorema propusă de tine reiese că există o infinitate de numere prime p, deci există o infinitate de numere pare 2p.
Ca toate numerele pare să satisfacă condiția Goldbach asta înseamnă că orice număr impar este un număr prim.
Desigur, asta nu este adevărat.

Dar oricum, acest raționament cu 2p, nu este legat și implicat direct de ceea ce afirmă teorema ta.
Sau poate n-am înțeles eu exact ce-ai vrut să spui.

Scuza-ma azi am avut multe pe cap .Daca observi si aici combat pe multe topicui find oarecumprecum renascentistul invatat Pico della Mirandola care din pacate a murit foarte tanar dar asa era pe atunci durata medie de viata, ori cat am lauda noi cu nostalgie trecutul. Desigur in aceiasi masura si crimele umanitatii pe unitatea de timp erau mai mici .
Revin la ce am reusit sa citesc amanand restul pentru maine si anume ref la ultima ta postare in care te referi la ce am scris eu si anume:

Daca un numar par este egal cu suma a doua numere prime toate numerele pare mai mici satisfac conditia Goldbach.
Aceasta este o teorema care dacac ar fi adevarata dar doar daca eu doar am propus-o este daca vrei tot o conjectura caci se va verifica practic cat vrei tu mereu si mereu dar asta nu dovedeste Goldbach care insa daca asta ar fi adevarata pentru orice numar par ar conduce imediat ca o lema la ceea ce ar deveni atunci Teorema lui Goldbach .Dar asta a aratat ce am dorit eu sa arat cu aceasta oarecum joaca adica cum se poate inlocui o demonstratie cu o alta demonstratie. Desigur ca asa ceva ar fi foarte fertil daca chia inferenta propusa de mine s-ar putea si demonstra dar cred ca ne invartim in cerc adica aia este adevarata daca Goldbac ar fi advarat si invers cum am pus eu problema. Poate asa dar poate ca nu adica poate ca calea de a demonstra infernta propusa de mine este fertila. Eu doar m propus-a in joaca cum o fi facut si Godbach dar nu am nici timp si nici chef sa ma ocup caci de fapt eu cum am spus cred ca mai in detaliu pe firul Goldbach  din motive filozofice(de flozofie a stiintei ) cred ca este nedemonstrabila asa cum nu poti demonstra care este al nn-lea numar prim ca o functie de n fara a parcurge efectiv (eu folosesc termenul fizic) cele n numere prime. De fapt asta este considerendul meu filozofic ca atat Pi cat si e cat si numarul prim au transcendenta in ele si deci nu pot fi parcurse dacat fizic.
Incearca sa dovedesti ca circomferinta cercului este proportional cu diametrul sau raza, sau ca aria este proprtionala cu patratul razei si vei ntelege ce spun. N.B. :)

Ai aici un exemplu de ce face oboseala.
Aseara cand am citit ultima ta postare am crezut ca nu ai inteles ce spun eu. Asa este nu ai ineles, dar este vina mea caci eu nu am exprimat foarte corect motivele pentru care daca ar fi adevarata inferenta urmatoare:
Daca un numar par este egal cu suma a doua numere prime toate numerele pare mai mici satisfac conditia Goldbach.
atunci si conjectura Goldbach ar fi demonstrata si ar deveni o simpla lema fata de aceasta si deci problema Goldbach s-ar muta de la enuntul dat de el, la asta al meu .
Rationamentul foarte simplu este ca odata ce pentru orice un numar par care se obtine din suma a cel putin doua numere prime este satisfacuta aceiasi proprietate pentru toate parele mai mici si cum numerele prime sunt in numar nelimitat, numerele pare care satisafac inferenta propusa de mine merg la infinit si deci Goldbach se verifica prin reducere la absurd fata de inferenta data de mine daca asta ar fi adevarata.
Nu am spus ca am demonstrat-o, a fost un fel de exemplu glumet de a-i arata cred ca lui Meteor, ca inlocuirea unei conjecturi cu alta la fel de indemonstrabile nu inseamna decat pierdere de vreme si daca vrei asta poate fi si o atentionare a ta, dar aupra acestui aspect ma voi pronunta dupa ce voi analiza celelalte postari anterioare ale tale.
Sper ca acum sa fi fost conform lui Descartes clar si cu idei distincte.
Daca am eventuale greseli de tastare sau de exprimare,  intucat acum nu le pot vedea, asta este. O sa le corectez mai tarziu asa ca daca ceva nu este clar, s-ar putea sa devina dupa acea corectie daca ea va exista.

Stai liniștit atanasu, nu mă preocupă greșelile de tastare/exprimare, pentru că aici mă interesează doar aspectele din exprimarea ta care privesc matematica, nu cele ale gramaticii limbii române.
Este suficient să înțeleg ce ai vrut să spui, ca să ne putem înțelege, indiferent cum o spui sau scrii.

Acum am înțeles ce spui.
Într-adevăr, ai dreptate.
Dacă pentru orice număr par 2n, toate numerele pare mai mici/egale cu 2n se pot scrie ca sumă de două prime, din punct de vedere logic, enunțul este echivalent cu cel al lui Goldbach.

Nu-i vorba daca te interesaza sau nu si nu trebuie sa ma linistesti caci nu sunt nici tanar si nici nelinistit :)
Dar o tastare eronata chiar si o virgula nepusa sau prost pusa pot afecta sensul .
In rest ok si voi reveni asa cum am spus.

Gata atanasu, cred că am reușit să stabilesc limitele maxime între care se poate încadra eroarea aproximării față de valoarea reală pentru toate formulele pe care le-am scris.
Voi completa ulterior, dar mai întâi vreau să fii de acord cu ce scriu mai jos.

Fie [tex]m[/tex] mai mic decât [tex]n[/tex].

Dacă [tex]n[/tex] nu este divizibil cu [tex]m[/tex], numărul de numere mai mici/egale cu [tex]n[/tex] care sunt divizibile cu [tex]m[/tex]  este egal cu [tex]\left [\frac{n}{m}\right ][/tex], unde parantezele pătrate semnifică partea întreagă a fracției.

De aici putem stabili că  [tex]\frac{n}{m} -\frac{m-1}{m} \leq \left [\frac{n}{m}\right ]\leq \frac{n}{m} [/tex]

Ești de acord cu asta ?

Atunci ai rabdare. O sa dureze cateva zile poate ca mai am si restante si nu vreau sa sar nimic . Dar pot totusi sa-ti garantez ca fata de un numar mai mic m nu se poate pune problema de a fi divizibil cu unul mai mare n.Aici de fapt ma opresc si daca rezolv tot ce am pastrat din urma. :)

Și într-adevăr, se poate.

Spre exemplu, până la n,
numărul de numere impare este aproximativ [tex]\frac{n}{2}[/tex] cu o eroare de [tex]\pm\frac{1}{2}[/tex],

numărul de numere divizibile cu 3, dar nedivizibile cu 2 este aproximativ  [tex]\frac{n}{3}\left ( 1-\frac{1}{2} \right )[/tex]
cu o eroare de cel mult [tex]\pm\frac{1}{2}[/tex],

numărul de numere divizibile cu 5, dar nedivizibile cu 2 sau/și 3 este aproximativ [tex]\frac{n}{5}\left ( 1-\frac{1}{2} \right )\left ( 1-\frac{1}{3} \right )[/tex]
cu o eroare de cel mult [tex]\pm\frac{8}{5}[/tex],

numărul de numere divizibile cu 7, dar nedivizibile cu 2,3, sau/și 5 este aproximativ [tex]\frac{n}{7}\left ( 1-\frac{1}{2} \right )\left ( 1-\frac{1}{3} \right )\left ( 1-\frac{1}{5} \right )[/tex]
cu o eroare de cel mult [tex]\pm\frac{17}{7}[/tex]

Se poate arăta foarte frumos cum reiese asta prin calcul propriu-zis pentru orice alt număr prim [tex]p_{i}[/tex], dar nu găsesc totuși o formulă generală pentru cazul general [tex]p_{i}[/tex] care stabilește limita maximă erorii.
Deocamdată.
Principiul de calcul se poate aplica pentru stabilirea erorii obținute pentru aproape toate celelalte formule pe care le-am folosit, iar o formulă generală pentru determinarea erorii este destul de importantă pentru a valida celelalte detalii din expunere, așa cum ai menționat și tu.

Adica un numar ma mic decat un alt numar ar putea  fi divizil cu acel numar? Raspunde strict cu da sau nu la aceasta intrebare .

Citat din: atanasu din Februarie 03, 2016, 08:47:57 PM
Adica un numar ma mic decat un alt numar ar putea  fi divizil cu acel numar? Raspunde strict cu da sau nu la aceasta intrebare .

Sigur că nu !
Iar într-un mesaj anterior am scris

Citat din: curiosul din Februarie 03, 2016, 03:10:03 PM

Fie [tex]m[/tex] mai mic decât [tex]n[/tex].

Dacă [tex]n[/tex] nu este divizibil cu [tex]m[/tex], numărul de numere mai mici/egale cu [tex]n[/tex] care sunt divizibile cu [tex]m[/tex]  este egal cu [tex]\left [\frac{n}{m}\right ][/tex], unde parantezele pătrate semnifică partea întreagă a fracției.

De aici putem stabili că  [tex]\frac{n}{m} -\frac{m-1}{m} \leq \left [\frac{n}{m}\right ]\leq \frac{n}{m} [/tex]

Citește cu atenție ce-am scris, că nu este vorba despre m mai mare ca n, așa cum probabil ai înțeles, ci invers.

Sau, ca să înțelegi mai bine ce-am vrut să spun, să lucrăm cu exemple.

Fie n=63, iar m=5.
Numărul de numere divizibile cu 5, mai mici/egale decât 63 sunt 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, adică 12 numere.

Ceea ce am spus mai sus este că această valoare este dată de [tex]\left [\frac{63}{5}\right ][/tex], unde parantezele pătrate semnifică partea întreagă a fracției [tex]\frac{63}{5}[/tex] .

Dacă vrem să aflăm câte numere sunt divizibile cu 5, dar nu sunt divizibile cu 2 sau/și cu 3, adică numerele 5, 25, 35, 55 analizăm așa.

Din 63 de numere, [tex]\left [\frac{63}{5}\right ][/tex] sunt numere divizibile cu 5, dar [tex]\left [\frac{63}{10}\right ][/tex] sunt numere divizibile și cu 2.

Deci [tex]\left [\frac{63}{5}\right ]-\left [\frac{63}{10}\right ][/tex] sunt numere divizibile cu 5, dar nedivizibile și cu 2.

Din 63 de numere, [tex]\left [\frac{63}{5}\right ][/tex] sunt numere divizibile cu 5, dar [tex]\left [\frac{63}{15}\right ][/tex] sunt numere divizibile și cu 3, dar din toate acestea divizibile și cu 3, o parte din ele sunt divizibile și cu 2, este vorba despre numerele 30, 60.

În consecință, numărul de numere divizibile cu 15, dar nedivizibile cu 30 este [tex]\left [\frac{63}{15}\right ]-\left [\frac{63}{30}\right ][/tex].

Deci numărul de numere divizibile cu 5, dar nedivizibile cu 2 sau/și 3 va fi egal cu

[tex]\left [\frac{63}{5}\right ]-\left [\frac{63}{10}\right ]-\left (\left [\frac{63}{15}\right ]-\left [\frac{63}{30}\right ]\right )=12-6-(4-2)=4[/tex]

Adică exact numerele 5, 25, 35, 55.

utilizând partea întreagă a fracțiilor obții valoarea exactă.
Însă, dacă nu o utilizezi, valoarea aproximativă va fi
[tex]\frac{63}{5}-\frac{63}{10}-\left (\frac{63}{15}-\frac{63}{30}\right )=\frac{63}{5}\left (1-\frac{1}{2}\right )\left (1-\frac{1}{3}\right )=4,2[/tex]

Analizând varianta cu partea întreagă putem maximiza sau minimiza eroarea obținută până la o valoare care nu poate fi depășită folosind aceea inegalitate pe care am folosit-o într-un mesaj anterior.
Așa am calculat toate limitele maxime ale erorilor obținute și pe care le-am prezentat într-un mesaj anterior.

Înțelegi până aici ce-am făcut ?
După care, dacă vrei, îți prezint și cum se calculează limita maximă a erorii obținute.

Am inteles doar atat adica ce spui tu si nu eu:

"Fie m mai mic decât n.

Dacă n nu este divizibil cu m..."

Asadar m<n prin ipoteza la care se adauga prin dac o conditie si anume ca n numarul m mare sa nu fie divizibl cu m numarul mai mic. Se se poate intelege caci o coitie es ceva care poate avea mai multe valori de adevar or in cazul acesta nici  nu se poate pune problema ca n sa fie altfel decat non divizibil cu m caci n>m
Oricum raspunsul tau a lamurit ca era doar vorba de o greseala de exprimare asa ca pot trece mai departe, dar nu astazi.

Citat din: atanasu din Februarie 04, 2016, 04:34:03 PM
... or in cazul acesta nici  nu se poate pune problema ca n sa fie altfel decat non divizibil cu m caci n>m...

Păi nu-i chiar așa. Spre exemplu 49 este mai mare ca 7 , iar 49 este divizibil cu 7.

Dar în fine...poate n-ai fost suficient de atent.

Da. Am gresit eu . Mi s-a parut ca ai scris:  "Fie n mai mic decat m"  cea ce justifica observatia mea.:)
OK Maine ma uit pe demonstratiile tale si cand termin iti spun ce cred. :)

Imi este foarte greu sa urmaresc toate cate le-ai scris unele ca raspunsuri la iesiri din subiectul strict dar iesiri de care eu sunt vinovat altele facute de tine asa ca in continuare nici-o iesire din subiect care este daca da sau nu existenta relatiei 3 in anumite conditii (claculul) de eroare fata de numarul real de perechi de nr prime care insumate dau numarul par analizat  pentru a se considera conjectura Goldbac demonstrata.
Si ca sa icep incerc sa lamuresc ce scrii tu pe rand si <b>te rog sa nu mai adaugi nimic in plus</b> decat raspunsurile la intrebarea /intrebarile mele  in forma exact cea ceruta de mine.Daca vii cu chestii suplimentare ne incurcam. Ai elemente noi ok dar te rog  tine-le in rezerva pana lamurim tot ce ai scris.
Acum incep cu discutia celor srise de tine,  citatele date fiind  indicate cu nr postarii de unde sunt preluate. Faptul ca ajung la o postare anume nu inseamna ca am inteles tot ce ai scris tu inainte(ma refer la relatiile algebrice)  ci doar ca  cele puse este clar ce vor sa spuna dar nu sunt eu intr-un anume fel lamurit asupra lor.
Chiar daca acum as putea pune mai mult de o singura nelamurire/intrebare, nu voi face asta , voi solicita lamurire doar  pentru una in acest caz pentyu prima si asa voi face si in continuare ca sa nu se mai amestece nici-o problema una cu cealalta
Asadar:
a) in postarea nr 17 din 01 februarie scri urmatoarele  :

Este adevărat și ce spui
Citat:"Adaug ceva :daca ar rezulta  empiric pentru o alta formula de calcul de tipul 3, adica cum ai procedat tu, ca la orice verificare numerica efectiva ca valoare din 3 este intotdeauna mai mica decat acel k, nu ai realizat nimic ca si la Goldbach rezulta mereu ca este verificata "
Dar, dacă raționamentul meu nu este greșit, plecând de la faptul că formula este determinată pe principii logice corelate cu modul în care se scrie un număr par ca sumă de două prime, iar formula mai și obține o aproximare destul de bună, eu consider că nu este tocmai

Daca ce am scris eu si tu citezi este inteligibil, ce scri tu nu este. Explici foarte detaliat unele si la altele importante poate faci salturi logice care te fac ininteligibil .Ori explici aici, ori poti face corectia in textul sursa ca sa nu inmultim inutil postarile. :)

PS Poate ca este mai bine sa scri aici raspunsul ca iarasi riscam sa nu mai pot urmari lucrurile. Sa ramana si sursa dar si corectia ta.

Ok, așa facem.
Sincer, n-am înțeles care este nelămurirea ta.
Am înțeles că răspunsul meu la acel citat ți se pare ininteligibil, așa cum te exprimi tu, dar nu-mi dau seama ce nu înțelegi din răspunsul meu.

Așa că te rog să fi un pic mai clar în ceea ce te nelămurește, ca să știu și ce să-ți răspund și să nu ne depărtăm de aspectele cu care nu ești de acord.

Din mesajul tău anterior, sincer, n-am înțeles decât că este ininteligibil.
Să încerc să-l formulez altfel.

Tu spui că și chiar dacă ai o formulă care se verifică prin calcul că aproximează bine este același lucru cu verificarea prin calcul a conjecturii lui Goldbach în mod direct.
Cu alte cuvinte, nimic nou sub Soare.

Eu ți-am răspuns că totuși, nu-i chiar așa.
Formula este dedusă pe principii logice corelate cu această conjectură.
Și să explic un pic această corelare.
Pentru a găsi numerele prime care însumate sunt acel număr par considerat, trebuie să elimini din numerele prime impare până la n, n=2n/2, numerele prime care sunt de forma 2kp+q, cu p prim impar.
De ce este așa, am explicat de multe ori până acum și cred că ai înțeles. Dacă nu, îți mai explic o dată.
Formula este construită exact pe același principiu, iar asta înseamnă că poate fi folosită pentru estimarea numărului de reprezentări 2n=p+q fără nicio problemă.
Singura problemă este stabilirea erorii, la care încă lucrez și care se pare că poate fi adusă la o expresie foarte frumoasă.

Al doilea aspect menționat în răspunsul meu este că formula mai și obține o aproximare destul de bună.
Normal că obține, motivul este cel de mai sus, dar din nou, nu este suficient, trebuie stabilite limitele maxime ale erorii între care se încadrează aproximarea.

Acum este mai inteligibil răspunsul meu ?
Am fost la obiect sau am deviat iar de la răspunsul pe care-l așteptai ?
Nu pot să explic mai bine și ne oprim aici dacă nu depui și tu un minim efort să înțelegi ce vreau să spun.
Dacă depui și tot nu înțelegi, e vina mea, nu știu să explic, și nu are rost să ne obosim mințele fără rost.

Tie ti se pare ca exprimarea ese inteligibila exprimarea: "Dar, dacă raționamentul meu nu este greșit, plecând de la faptul că formula este determinată pe principii logice corelate cu modul în care se scrie un număr par ca sumă de două prime, iar formula mai și obține o aproximare destul de bună, eu consider că nu este tocmai"

Desigur ca eu pot banui ce doresti sa spui, dar asa cum in chestia cu ecuatia de gradul 2 exprimarea este fara cusur pot sa o pretind si aici de la tine, ca eu poate ca pot gresi, tu insa nu ai interesul sa nu te inteleg cat mai repede si sa pierdem vremea cu discutii de astea.

Tu ai decupat doar atât, dar fraza asta se termină de fapt cu ceea ce era bolduit în citatul următor și mă gândeam că te prinzi:

"Dar, dacă raționamentul meu nu este greșit, plecând de la faptul că formula este determinată pe principii logice corelate cu modul în care se scrie un număr par ca sumă de două prime, iar formula mai și obține o aproximare destul de bună, eu consider că nu este tocmai" ...ok și ce-i cu asta ?

ok și ce-i cu asta era în citatul ulterior care reproducea exprimarea ta.
Acum ți se pare mai inteligibilă fraza ?
Dacă da și acesta era motivul, atunci unde nu ți se pare inteligibil recitește te rog, poate prinzi ideea completă într-un final.

Dacă nu acesta este motivul, nu mă duce capul, nu înțeleg ce nu-i inteligibil.

Intelesesem deja asta .ti-am spus ca pot banui ce spui dar nu-mi place asa si atunci ma blochez si ma opresc si asa voi face in continuare . daca vrei sa particip ncearca sa te exprimi aici cum s-a exprimat autorul de la ecuatia de graul doi caruia nu-i pot gasi nimic de reprosat. Acolo exprimarea este perfecta.
Dar mai multe maine.
PS.Dar in continuare ce vrei sa spui cu principii logice corelate etc...
Ce inseamna un principiu logic aici si care este corelatia

atanasu, ti-am înțeles ideea.
Referitor la aspecte ce țin de exprimarea matematică, nu ești de acord.
Am menționat, nu analizăm calitatea expunerii la nivel de terminologie și structură, ci doar corectitudinea concluziilor.

Ai precizat la un moment dat că anumite concluzii nu rezultă complet, pentru că nu sunt stabilite limitele în care se încadrează eroarea aproximărilor.

Cu asta sunt absolut de acord și lucrez la asta ca să vedem ce putem corecta/completa.

Dacă ai alte întrebări, te rog să fii obiectiv și să întrebi doar cum rezultă egalitatea/inegalitatea x, cum ai ajuns la concluzia cutare și voi detalia, să vedem dacă am gândit corect sau nu.

Altfel, discutând aspecte de genul fraza asta este ininteligibilă, sau dpdv matematic nu este o exprimare corectă,  umplem inutil paginile topicului.

În ceea ce privește corelarea despre care ai întrebat în ultimul tău mesaj, am explicat-o în postarea mea anterioară și-mi dai de înțeles că nici măcar n-ai citit-o, dacă întrebi despre asta și nu menționezi nimic despre ce am explicat anterior despre asta.

Scuză-mi modul în care-ți răspund acum, dar îmi dai de înțeles că nu depui un minim efort să înțelegi și doar frunzărești  ce scriu.

Dacă răspunsul meu pare ofensiv, îmi cer scuze și mă retrag, pentru că în afară de faptul că ai observat că este absolut necesar stabilirea limitelor erorii formulelor, aspect cu care sunt absolut de acord, discuțiile noastre s-au rezumat doar la părerile tale că exprimarea cutare n-are ce căuta în matematică.

Nici asta nu contrazic, dar nu sunt discuții obiective despre corectitudinea matematică a concluziilor, ori eu asta caut aici.
Eu am scris expunerea asta ca să discut detalii de genul ce-ai făcut aici nu-i corect pentru că..., ce-ai prezentat aici nu-i suficient să implice pentru că... etc, nu discuții de genul deși am înțeles ce spui, fraza asta nu-i inteligibilă și n-are ce căuta în matematică.

Mi-aș fi dorit să scriu un mesaj așa de lung prin care să explic cum am ajuns la formula cutare, cum am dedus inegalitatea cutare, nu să expun aceste aspecte.

Încă o dată, dacă ce-am expus nu-i corect matematic, nu-i corect și cu asta basta, nu trebuie să umplem pagini întregi cu discuții despre exprimarea folosită în expunere, ci cu discuții obiective din care rezultă clar de ce nu-i corect.

Un asemenea aspect l-ai evidențiat și sunt complet de acord cu el.

Hai sa mai lamurim odata problema:
Scrii: "Eu am scris expunerea asta ca să discut detalii de genul ce-ai făcut aici nu-i corect pentru că..., ce-ai prezentat aici nu-i suficient să implice pentru că... etc, nu discuții de genul deși am înțeles ce spui, fraza asta nu-i inteligibilă și n-are ce căuta în matematică"

Eu nu citesc mai departe un text in cae trebuie sa aleg eu una din posibilitatile posibile la interpretare sau pe care trebuie sa-l completez eu pentru ca intuitiv as intelege ce vrea sa spuna interlocutorul, asa ca aici ai dreptate daca intelegi ca nu citescmai departe dar nu ai daca presupui ca citesc mai departe frunzarind. Nu avansez decat daca imi sunt clare sustinerile facute pana acolo unde trebuie sa avensez. Desgur ca alte subiecte corelative care au parazitat oarecum discutia de fond care era despre aproximarea facuta cu formula 3 considerata de mine ca fiind demonstrata, dar daca tu spui ca demonstratiile tale se bazeaza pe o logica care pana acum mi s-a parut ca este mai degraba intuitiva decat deductiva si pe niste corelatii doar pomenite evident ca nu o sa fie suficient , dar revin si spun ca nu mi-am propus sa urmaresc demonstratia formulei 3 in ce se pretinde ca ar oferi ea, adica o aproximare stransa (cat de stransa se pare ca urmaresti acum) a numarului k=p+q de sume de numer prime p si q care ar da numarul par discutat ,2n.
Repet deocamdata iau de buna demonstratia si urmaresc doar cele ce le adaugi din cauza observatiilor mele mai vechi.

O sa spun o chestie interesanta: Descartes spunea ca <b>geometria este arta de a rationa bine pe figuri prost facute</b> . Asa este, dar prin figura prost facuta nu intelegea figuri care sa anuleze ipoteza, de ex  sa nu aiba in figura toate elementele date prin ipoteza, ci doar acelea in care niste, de ex paralele, nu sunt facute ca paralele, un patrat seamana cu un romb adica in care desenul nu este la scara si xact facut, dar ipoteza este prezentata corect si atunci geometrul rationeaza nu pe ce vede ca iese din desen ci pe ce are el in minte din ipoteza, de aceea se si spune ca "le vede", adica de ex nu cauta o coliniaritate ajutatoare la o demonstratie pentruca desenul i-a aratat-o, ci pentruca ratiunea geometrica l-a adus sa o caute, desi pe desenul lui coliniaritatea respeciva nu este vizibila.
Asa ceva doresc sa vad si eu daca este posibil rezultate dovedite si nu doar sugerate prin acea inductie incompleta de care am vorbit.



Trecand de puctul in care am oprit discutia revin la analiza celor scrise de tine in postarea nr 17 / 01.02:

Scrii: "....  trebuie determinat un maxim al erorii.
Adică, cât de mare poate fi eroarea prin aproximarea determinată de formulă, față de valoarea reală, ca să știm dacă diminuarea valorii obținute de formulă, adică acel minim de ori egal cu \frac{\pi (n)}{\sqrt{n}} este suficientă ca să fie o valoare mai mică decât valoarea reală"

Obs :vad ca si aici apar cele observate cu "find" la "ecuatie" deci tu folosesti acele caractere care se apar ca mai sus  cand retranscrii textul s care par a fi dintr-un limbaj de programare;sqrt, frac etc. OK.

Traduc: Acel raport, frac{\pi (n)}{\sqrt{n}} este un minim al lui k aproximat de formula 3 si vrei sa vezi daca este intotdeauna mai mic decat valoarea reala?
Acel raport este mereu pozitiv si deci daca demonstrezi inferenta de mai sus ai rezolvat problema adica k<=1. Am inteles bine?

CitatObs :vad ca si aici apar cele observate cu "find" la "ecuatie" deci tu folosesti acele caractere care se apar ca mai sus  cand retranscrii textul s care par a fi dintr-un limbaj de programare;sqrt, frac etc. OK.

Când scriu ecuațiile, ca ele să poată fi afișate în forma lor corectă dpdv al simbolisticii matematicii eu trebuie să scriu un cod în latex pe care browser-ul îl afișează sub forma ecuației pe care o vezi tu.
Când tu iei cu copy/paste probabil că-ți ia numai codul acela, nu imaginea ecuației, și este foarte probabil să apară prin multe locuri pe internet, iar de aceea cred că îl găsești cu "find".
Dar asta nu înseamnă că am copiat de acolo.
Ție îți apare doar  frac{\pi (n)}{\sqrt{n}} și nu imaginea [tex] \frac{\pi (n)}{\sqrt{n}}[/tex] pentru că acest cod nu este complet scris, iar browser-ul îl recunoaște ca și caractere normale și nu-l transformă în imaginea respectivă.
Pentru asta trebuie să folosești butonul acela cu pi din bara de sus și-ți scrie automat codul cum trebuie ca să fie corect interpretat de browser.
Să trecem peste asta și să ne dirijăm discuțiile către subiectul din topic.

CitatAcel raport, [tex]\frac{\pi (n)}{\sqrt{n}}[/tex] este un minim al lui k aproximat de formula 3 si vrei sa vezi daca este intotdeauna mai mic decat valoarea reala?
Acel raport este mereu pozitiv si deci daca demonstrezi inferenta de mai sus ai rezolvat problema adica k<=1. Am inteles bine?

Da, asta am vrut să spun, cu diferența k>=1, nu k<=1 .
Înțelegi de ce.

OK .Atunci te rog sa ma ajuti si sa extragi din toate postarile ulterioare  lasand deoparte tot ce nu este stict la subiect(sunt de ex si niste elemente la care poate voi reveni cand terminam acest subiect)  caci  acum nu vreau sa mai discut nimic exterior topicului ,  asadar te rog  sa extragi doar propozitiile si relatiile strict la subiect, adica referitor la aproximarea prin formula 3  si limitele ei, ocazie cu care poate le vei si modifica , oricum eu nu le voi confrunta cu cele deja scrise si voi relua discutia doar de la acestea ultimele.Nu te grabi ca am destule altele de facut...

Păi hai să facem așa.
Ai răbdare să pun la punct formula care stabilește limitele maxime în care se poate încadra eroarea aproximării formulei 3, explicată cât se poate de clar ca să evităm discuțiile referitoare la incompletitudinea implicațiilor, o să rescriu doar porțiunea care te interesează și dacă diminuarea prin [tex]\frac{\pi (n)}{\sqrt{n}}[/tex] este suficientă și reluăm discuțiile atunci.

Mai am de analizat un pic pentru că vreau să încerc să deduc o expresie a unei formule care generalizează situația și stabilește eroarea aproximării pentru toate celelalte formule utilizate în expunere.

Spre exemplu, pentru formula 1, cea pentru estimarea lui [tex]\pi(n)[/tex] , dacă n-am greșit nimic până acum în ceea ce am determinat, eroarea acesteia pare să fie de cel mult [tex]\frac{\pi (n)}{\sqrt{n}}[/tex] , expresie care după cum vezi mai apare și prin alte locuri în expunere, iar relația pentru eroarea formulei 1 ar  arăta cam așa :

[tex]\pi (n)\left ( 1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right )< n\left [\prod_{k=1}^{i}\left ( \frac{p_{k}-1}{p_{k}}\right )\right ]+i< \pi (n)\left ( 1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right )[/tex]

unde [tex]p_{i}\leq \sqrt{n}<p_{i+1}[/tex]
Dar înainte vreau să analizez bine dacă este corect ce scriu, așa că lasă-mi un pic de timp, tu fă ce ai de făcut între timp și revenim asupra subiectului când am temele făcute complet și corect.

Astept, dar te intreb ceva si te rog sa nu-mi dai nici-o explicatie ci doar sa raspunzi cu da sau daca este nu sa corectezi inegalitatea  de mai sus.
Adica intreb daca inegalitate, i este adunat la acel produs asa cum apare ?
Daca da, intreb daca poti demonstra relatia in mod riguros . Raspunsul tot cu da sau nu si fara alte amanunte pentru moment.Este un limbaj logico-matematic nu-i asa? :)

PS. Si ca sa stii cu cine discuti: Cu cineva care in clipa asta nu mai stie ciurul lui Eratostene si cred ca nici nu mi-l voi reaminti. Nu am chef  :)

Da, i trebuie adunat așa cum este. Inițial l-am omis din formulă, dar acesta trebuie adunat pentru că el reprezintă primele i numere prime care au fost eliminate ca și numere divizibile cu ele însele. 2 este divizibil cu 2, dar este un număr prim care trebuie luat în calcul etc.

Să nu mă lungesc acum și îți voi explica asta la momentul potrivit.
Riguros matematic, voi încerca să arăt când voi expune, pentru că s-ar putea să mai fie strecurată vreo greșeală.

Te anunț eu când sunt pregătit și am scris ceva..

Am revenit pentru moment, atanasu.
Cred că pot să demonstrez riguros că

[tex]n\left [\prod_{k=1}^{i}\frac{p_{k}-1}{p_{k}}\right ]+\prod_{k=1}^{i}\frac{p_{k}-1}{p_{k}}-\frac{1}{\prod_{k=1}^{i}p_{k}}=\pi(n)-(i-1)[/tex]

cu  [tex]p_{i}\leq \sqrt{n}< p_{i+1}[/tex] ,
de unde, evident, putem stabili limitele maxime ale erorii formulei 1.

Mai verific o dată să fiu sigur că nu am greșit pe undeva, după care voi expune raționamentul într-un alt subiect probabil, ca toate discuțiile despre egalitatea de mai sus să nu fie amestecate și aici.

Sper ca în cursul zilei de astăzi să fie gata.

Edit:

Din păcate nu este corect, m-am grăbit eu.
Luasem în calcul faptul că  [tex]k\left [ \frac{n}{v}\right ]=\left [ \frac{kn}{v}\right ]-\left [ \frac{k}{v}\right ][/tex]
dacă n nu este divizibil cu v, însă aceasta este adevărat doar pentru [tex]n=uv+1[/tex].

Nu te mai grabi ca nu face nimeni ce vrei tu sa faci. Dar inteleg ca ce ai postat chiar si daca era corect se refera la 1) si nu la 3) care este la Goldbach. Noi doi despre G. discutam si de G ai spus acum cateva zile ca te ocupi. Ti-ai schimbat abordarea? Adica prioritatile?

Nu atanasu, n-am schimbat abordarea.
Dar așa cum o să-ți arăt mai târziu, calcularea erorii formulei 3, cea de la G, trebuie să fie asemănătoare cu cea pentru formula 1.
Ai dreptate, ar trebui să nu mă mai grăbesc, dar mai apar și altele de făcut și parcă aș vrea să-mi iau grija odată de Lista asta, că numai asta am în cap până nu-i gata.

De fapt, poate ar trebui să mai scriu din când în când și modul în care analizez, poate mai vine și altuia vreo idee și o scoatem la capăt cu aproximările astea ale formulelor.

În concluzie, desigur, formula 3 este prioritară, dar la un moment i-am diminuat valoarea folosind inegalitatea 1, în care se folosește formula 1 și nici inegalitatea aia nu-i demonstrată clar.
Acesta este un alt motiv pentru care consider că este important să stabilesc eroarea de aproximare și pentru formula 1.

Oricum, te țin la curent când mai apare ceva.

Gata atanasu, cred că i-am dat de capăt.
Ce vreau să te întreb, ca să nu scriu prea mult,
este dacă ai nevoie și de demonstrația relației [tex]\pi(a)-\pi(b)\leq \pi(a-b)[/tex], cu [tex]a>b[/tex].

Eroarea de aproximare a formulei [tex]\pi(n)\approx n\left [\prod_{k=1}^{i}\left(\frac{p_{k}-1}{p_{k}}\right )\right] [/tex] , unde [tex]p_{i}\leq \sqrt{n}< p_{i+1}[/tex] este cel mult

[tex]\left(3\cdot \frac{1}{2}\right)+\left(5\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\right)+\left(7\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\right)+\cdot \cdot \cdot +\left(p_{i}\cdot\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \cdot \cdot \frac{p_{i-1}-1}{p_{i-1}}\right)[/tex]

O să scriu în celălalt subiect cu formula pi(n).

Scuze. Nu ti-am raspuns la ultimul mesaj pentruca nu l-am observat. Mai intrebat atunci ceva .Daca citeam  atunci poate ca iti raspundeam daca am sau nu nevoie .Acum nu stiu si cum am impresia ca ai parasit subiectul poate crezand ca eu l-am parasit nu incerc sa-mi mai reamintesc pentruca nu ma osteneam decat in virtutea dialogului cu tine.
Numai bine.
PS Ce scrii este solutia finala pentru discutia noastra? Adica tu ai finalizat si deci nu mai aveai nimic de scris si urma doar ca eu sa evaluez ce ai facut?

Pai cred ca de  asta nici eu nu m-am mai "ostenit" .
Oricum, "virtutea dialogului cu tine" a fost folositoare pentru ca am inteles un amanunt ce trebuie completat in analiza respectiva.
In rest..."numai bine" si tie.

OK Dar nu mi-ai raspuns la intrebari.Este asa dificil. De fapt eu am fost internat in spital intre 16 februarie-25 februarie si cred ca de aceea nu am vazut ultima ta postare. Ce ai postat este finalul demonstratiei referitoare la punctul 3?
Evident ca daca te bazezi pe o inegalitate aia trebuie demonstrata.

Da, intr-adevar, nu ti-am raspuns la intrebari.
Am incercat eu intr-un fel sau altul, dar nu este suficient de evident si le-am lasat balta. Cel putin pentru moment, pana apare ceva care sa-mi trezeasca din nou interesul sa le reanalizez.

Toate bune si multa sanatate, daca tot ai mentionat despre asta.

Imi pare rau ca din ce ai scris in 15 februarie parea ca ai terminat. Care este problema? Demonstratia inegalitatii
\pi(a)-\pi(b)\leq \pi(a-b), cu a>b? Oricum o sa incerc sa-mi reamintesc unde eram in 11 februarie si ce ai postat in 15 . O sa ma uit si pe firul unde ai facut o alta analiza pentru pi(n).

Nu, inegalitatea aia nu este greu de demonstrat.
Celelalte pe care le-ai mentionat si sunt mai importante sunt mai dificile.
Dar pentru moment nu mai stiu cum sa le analizez si nici nu cred ca mai vreau pentru moment.
Cam ce e scris in prima postare este cam tot ce-am reusit sa fac analizand aceste probleme.
Ce-o fi bun, ce-o fi rau...stabilesc cei care citesc.
Numai bine, atanasu.

OK .Te cred si o iau ca fiind demonstrata si sa vad daca mai pot sa-ti spun ceva util .Dar asta nu chiar imediat. Mai intra cand si cand ca sa vezi daca nu ti-am  mai scris ceva.
idem,curiosule

Iti spun ce se intampla. Am uitat mai tot ce am discutat si vad ca nu-mi amintesc doar frunzarid dialogul nostru. Va trebui sa iau incetul totul de la capat si poate voi putea poate nu.
Inteleg ca nu esti convins ca ai demonstra riguros inferenta Goldbach adica acea formula 3. Cand o vei fi facut pune intregull rationament cu ipoteza si concluzie cum se face in geometrie si fa ce trebie facut. Semnaleaza pseudodemonstratiile bazate pe inductii incomplete,  adica de forma "am verificat cat am putut de mult" ca si Goldbach se verifica cat poti de mult si nu e suficient.
Succes.