Puncte extreme - matrice Hesiana

[bacfizica]

Buna seara!

Trebuia pt o functie cu 3 variabile sa ii aflu pct de extrem , si am facut-o cu matricea Hesiana, la care Delta₁=0, Delta₂>0 si Delta₃>0. Si problema este daca punctul respectiv este sau nu este extrem?


Delta₁<0, Delta₂>0 si Delta₃<0, punctul este maxim
Delta₁>0, Delta₂>0 si Delta₃>0, punctul este minim

Va multumesc!

P.s. Se poate sa imi schimbati numele de la avatar 'bacfizica' in altul?

[Pozitron]

P.s. Se poate sa imi schimbati numele de la avatar 'bacfizica' in altul?

Ttrimite un mesaj privat administratorului (Scientia.ro) cu aceasta cerere si noul nume pe care il doresti.

<Pozitron>

[zec]

Ar fi corect sa prezinti si enuntul problemei.
Punctul de extrem se gaseste doar printre radacinile diferentialei.In analiza reala de o singura variabila era in radacinile derivatei.In analiza functiilor reale de mai multe variabile punctele de extrem se gasesc in radacinile diferentialei.Radacinile se afla usor rezolvand sistemul obtinut din derivatele partiale.Aceste puncte sunt numite puncte stationare iara Hessiana specifica in conditiile in care le ai precizat ca sunt puncte de maxime sau minime.In cazul in care unul din minori e egal cu 0 nu putem specifica natura acelui punct prin metoda aceasta.El totusi poate sa fie punct de extrem.
 Astfel metoda sugerata in aceste cazuri e trecerea la diferentiala de ordin 2 si a se vedea daca e pozitiv definita sau negativ definita in punctul respectiv.Sugestie se trece la forma patratica si anume dxdy e tot una cu dydx.De exemplu daca
 f"(a,b,c)=3dx²+dxdydz asta inseamna pozitiv definita si deci punct de minim etc.
 As vrea sa specific ca eu personal foarte rar ma lovesc de studenti si e nevoie de recapitulare pentru a fi expert in domeniu,dar principiile matematice raman.Pana la urma punctele de extrem se afla precum cele din analiza reala in care daca aveai derivata a doua nula consideram acel punct ca fiind punct de intoarcere.Intrucat graficul functiilor de mai multe variabile arata precum o panza la cele de 2 variabile sau a unui obiect voluminos cu suprafete netede la cele de 3,punctele stationare din cauza fenomenului grafic in care functia nu are extrem le numim puncte sa.

[bacfizica]

Se cerea gasirea puctelor maxime ale functiei.

[zec]

Deci f"(x,y,z)=6xd²x+6yd²y+d²z+24dxdy
Astfel in punctul (0,0,-1) obtii f"(0,0,-1)=d²z+24dxdy care se remarca ca e pozitiv definita astfel ca acest punct e de minim.
Din pacate am gresit grav.Reducerea unei forme patratice la forma canonica se poate face cu ajutorul metodei lui Jacobi de unde si discutia legata de acei minori dar si cu alte metode.
 Sa revizuim cam tot ce am zis legat de pozitiv definita a fost gresit caci ea se interpreteaza pe forme patratice vei considera dx,dy,dz ca un fel de x₁,x₂ si x₃ si problema devine una de algebra liniara.Anume aducerea functionalei
F(x₁,x₂,x₃)=24x₁x₂+x₃² la forma canonica.Se poate folosi metoda lui Gauss sau aflarea valorilor proprii.
Aducerea la forma canonica ne arata daca e pozitiv definita,negativ definita sau nedefinita.
Punand 24x₁x₂=6(x₁+x₂)²-6(x₁-x₂)² remarcam ca F=6y₁²-6y₂²+y₃² ,de unde remarcam ca nu e pozitiv definita.Deci in concluziea punctul dat nu e extrem.
 Eroarea mea a venit din lipsa de exercitiu si graba,sper acuma ca te am lamurit.