Problema zilelor de naştere

[morpheus]

Poate părea paradoxal, dar probabilitatea ca într-un grup de persoane alese aleatoriu să se găsească două cu aceeaşi zi de naştere are următoarele valori, în funcţie de numărul de persoane din grup:

- 100% când sunt 367 de oameni (se ia în calcul şi data de 29 februarie);
- 99%  când sunt 57 de persoane;
- 50%  când sunt 23 de persoane.

Se pleacă de la ideea că fiecare zi a anului, cu excepţia lui 29 februarie, prezintă aceeaşi probabilitate de a fi ziua de naştere a unei persoane alese la întâmplare.

Poate explica cineva cum au fost obţinutele ultimele două numere, corespunzătoare procentelor de 99%, respectiv 50%?

[Adi]

Combinatorica se numeste domeniul matemtacii care studiaza asta. Intrebarile tale sunt interesante, dar cum esti moderator, cred ca ai obligatia sa precizezi la fiecare intrebare daca pui intrebari pentru ca nu le stii raspunsul, sau tocmai pentru ca le stii raspunsul si vrei sa animezi forumul. Cred ca e foarte important sa precizezi asta. Altfel, oamenii nu vor fi motivati sa raspunda.

[morpheus]

Imi place sa cred, desi e clar ca ma pot insela, ca sunt genul de intrebari care pot naste dezbateri. Aici e vorba de problema in sine, iar nu de a ajuta pe cineva cu o rezolvare. Chiar si celalalt topic, paradoxul propus de Martin Gardner, ar putea isca anumite polemici, asa cum ai observat si tu.

Practic, e drept ca la o alta scara, e ca si cum as prezenta pe scurt paradoxul bunicului ori al gemenilor ori vreo problema de perspicacitate si as invita lumea la dezbatere. E si asta unul din rosturile unui forum de discutii, cel putin in opinia mea...

De ce ar influenta calitatea mea de moderator numarul de oameni care baga in seama topicul? E ceva interesant, vor participa la discutie. Nu, o sa alunece in uitare subiectul...

[zec]

E bine ca in probleme de genul asta sa o transformi in alta echivalenta dar mai usor de numarat.Adica in loc de zile de nastere sa le zicem numere de la 1 la 366(inclusiv 29 februarie)cu care vom numerota niste bile si le vom pune intro urna.O persoana poate reprezenta doar o bila.Astfel problema poate suna asa ,care este probabilitatea ca intro urna cu 366 de bile numerotate de la 1 la 366  la care extragem cate o bila dupa care o reintroducem la loc in urna  dupa n extrageri sa avem 2 identice?
 .Acest gen de problema e cunoscuta ca si problema bilei revenite.

[tavy]

E bine ca in probleme de genul asta sa o transformi in alta echivalenta dar mai usor de numarat.Adica in loc de zile de nastere sa le zicem numere de la 1 la 366(inclusiv 29 februarie)cu care vom numerota niste bile si le vom pune intro urna.O persoana poate reprezenta doar o bila.Astfel problema poate suna asa ,care este probabilitatea ca intro urna cu 366 de bile numerotate de la 1 la 366  la care extragem cate o bila dupa care o reintroducem la loc in urna.Care e probabilitatea care dupa n extrageri sa avem 2 identice?
 .Acest gen de problema e cunoscuta ca si problema bilei revenite.

Nu ai pus chiar corect problema, la urna ta este aceeași probabilitate de a extrage 29 februarie cu oricare altă zi. Ar trebui ca în urnă să pui 4 bile pentru fiecare zi cu excepția lui 29 februarie pentru care trebuie să pui doar o bilă. Presupunând că ignorăm regula cu anii ne bisecți odată la 100 de ani pentru anii divizibili cu 100 și nedivizibili cu 400. (În enunțul problemei nu se specifică că persoanele din grup ar fi contemporane cu noi nici măcar că ar fi contemporane între ele)
Probabilitatea se calculează, dacă ignorăm anii bisecți, pentru un grup de persoane, astfel:

Mi-e cam lene acum să țin cont și de anii bisecți. Cu formula de mai sus obținem:
- pentru 23 de persoane probabilitate 50,730% ca două să fie născute în aceeași zi a anului.
- pentru 41 de persoane probabilitate 90,315% ca două să fie născute în aceeași zi a anului.
- pentru 57 de persoane probabilitate 99.012% ca două să fie născute în aceeași zi a anului.