APENDIX
Intrucat printre altele discutate pe aici intr-un topic oarecum largit, au fost si idei ale altor geometrii, voi incerca in aceast Apendix anexat sa fac un scurt rezumat privind aceste idei suplimentare subiectului strict, intr-o succesiune cronologica, intrucat daca nu am picat de acord cu Electron privind demonstratia mea finala, putem cadea de acord macar privind date istorice bine stabilite si util a fi prezentate aici in acest topic de geometrie. Doresc sa fac asta intrucat m-am referit mai sus la Legendre si macar in cinstea celui care a fost un mare geometru si nu numai, merita sa fac asta dar si in cinstea tuturor celor al caror nume propriu va fi indicat. Textul va apare numai in acest comentariu , in acest APENDIX pe masura ce va fi redactat(si corectat) si nu pretinde nici-un fel de originalitate in afara de intelegerea personala a celor scrise ca fiind adevarate.
Oricat ar fi de axiomatizata si multispatializata astazi geometria, nu putem face cred eu abstractie de intuitie caci o fi spatiul dupa Kant o idee apriorica totusi noi de fapt stim cert ca doar intuitiv capatam cu primele senzatii si perceptii notiunea de dimensiune, de intindere care-l face pe Legendre sa definesca geometria ca fiind: "o stiinta care are drept obiect masura intinderii (de fapt adaug eu, dupa vechii greci "geometros" este cel care masoara pamantul ) intinderea avand trei dimensiuni: lungime, latime si inaltime".
Si gandind astfel nu s-a simtit jenat ca impreuna cu Gauss(cred ca am scris despre asta si in opusul referitor la Big-Bang) sa discute despre masura sumei unghiurilor intr-un triunghi foarte, foarte intins adica sa apeleze la o dovada prin experiment privind Postulatul (suma unghiurilor in triunghi este 180 grade in realitate si nu doar in consecinta acceptarii Postulatului si reciproc, cum am aratat in #17 : Mai 23, 2018 ), problema care cum vom vedea l-a preocupat in mod deosebit pe Legendre ca si pe Saccheri care impreuna? au dat o teorema in geometria absoluta(neutra) care le poarta numele si dupa care dupa ce Legendre demonstrase ca un triunghi sferic are suma unghiurilor peste Pi, are de data asta in geometria de tip absolut -hiperbolic suma unghiurilor de cel mult Pi.
Nimic dificil de altfel sa constitui fara contradictie, o geometrie cu mai mult de trei dimensiuni dar care nepretandu-se la intuitie decat in anele analogii si alea partial satisfacatore(vezi deasemenea discutiile despre Big Bang) doar in sensul ca in spatiul cu patru dimensiuni volumele in trei dimensiuni au pozitia suprafetelor din cel cu trei dimensiuni, inteligibil intuitiv, dar este de spus ca de fapt aceste spatii cu mai mult de trei dimensiuni nu sunt decat o combinatie logica de simboluri analitice.
Revenind la geometria euclidiana in prima carte a acesteia asa cum a ajuns la noi, se afla o lista celebra impartita in doua din care una se refera la "alemata(postulate)" si alta la asa zise notiuni comune("koinai ennoiai") ele prezentand diferente care dovedesc ca probabil au fost facute remanieri si interpolari. Se crede ca anticii clasau in notiunile comune propozitiile care nu au un caracter pur geometric cum sunt cele care se refera la notiunea de egalitate in general si in categoria potulatelor veritabilele axiome de geometrie.
Primele trei postulate ale lui Euclid au un caracter cu totul special statuand posibilitatea constructiilor la care vor fi aduse toate teoremele, respectiv să conducă o linie între două puncte date, să prelungească o anumită linie, să descrie un cerc avand un oricare centru si oricare rază date. Al patrulea este unul foarte intuitiv si riguros in acelasi timp referindu-se la egalitatea tuturor unghiurilor drepte ce rezulta logic din definitia data tot in Elemente pentru unghiul drept iar de al cincilea, celebrul Postulat 5, s-a ocupat acest topic.
Mai trebuie mentionat ca este neaparat necesar un alt postulat si anume ca doua drepte care au doua puncte comune diferite nu pot sa nu coincida care cred ca este deductibil din definitia dreptei ca drum minim intre doua puncte distincte, dar asta este un subiect pentru mine deschis discutiei.
07.01.2019 Geometriile imaginare
Vom face doar o scurta mentiune despre geometriile construibile in spatii cu peste trei dimensiuni, spatii pe care le vom denumi imaginare(mai nou s-au dezvoltat si geometrii in spatii cu un numar fractionar de dimensiuni) iar geometiile construibile in aceste spatii prin generalizari analitice si analogii cu formulele geometriei plane si in spatiu, geometrii imaginare. Vom remarca faptul ca spatiul cu trei dimensiuni al geometriei euclidiene, riemanniene , a lui Lobatchevski-Bolyai sunt in raport cu spatiul euclidian cu patru dimensiuni cum sunt diferitele suprafete ale geometriei noastre tridimensionale in raport cu geometria spatiala tridimensionala.
Geometriile euclidiene si non euclidiene
Pe scurt geometriile euclidiene sunt cele care se bazeaza pe Elementele lui Euclid sau pe alte elemente similare si intersanjabile cu cele de acolo cum este Geometria axiomatica a lui Hilbert toate avand printre postulatele fundamentale pe celebrul postulat 5 al lui Euclid care in formularea lui Playfair spune ca dintr-un punct exterior unei drepte oricare ar fi aceasta in plan nu se poate duce decat o singura paralela la acea dreapta. Discutia referitoare la aceasta afirmatie face subiectul acestui topic si deci nu insistam aici si acum asupra acestuia.
Putem spune ca din trunchiul geometriei euclidiene se separa odata ce se restrange postulatul doi doar la cazul unei linii drepte care se poate duce la infinit pe planul si el la randul lui dus la infinit, geometria sferica sau eliptica si mai general riemanniana de cea euclidiana sau hiperbolica lucru total indeplinit daca se trece la a 16-a teorema care demonstreaza in limitele geometriei absolute(neutrale) imposibilitaea ca suma unghiurilor in triunghi pana atunci libera de costrangerea sa nu poata depasi Pi, in geometria riemanniana nefiind impus acest lucru si mai mult nefiind impus nici postulatul paralelelor care cat timp nu a putut fi dedus din ceva mai fundamental cum ar fi sa spunem din caracterul punctului, liniei drepte si al planului ramane o cerinta nedemonstrabila dar postulabila fiind conforma cu tota experienta umana in spatiul caruia ii spunem euclidean. Daca de exemplu am putea demonstra ca singurul lucru care nu ii repugna liniei drepte sau planului este unicitatea paralelei atunci postulatul 5 ar deveni teorema. Daca am putea demonstra ca postulatul 5 ar putea fi derivat din definitia dreptei in spatiul(planul euclidean) ca fiind drumul cel mai scurt dintre doua puncte iarasi am considera postulatul demonstrat caci definitia dreptei, a rectitudinii, astfel cum a facut Arhimede si apoi Legendre (de exemplu) ar fi un adevar mai adanc(pentruca pentru a avea paralele trebuie mai intai sa am drepte si plane care sa le poata ingloba) decat cel al paralelelor si nu am fi obligati sa spunem ca inlocuim postulatul 5 cu unul echivalent adica demonstrabil din acesta desi am putea considera ca scurtimea minima a liniei drepte rezulta din inegalitatea unei laturi cu suma celorlalte doua adica teorema I 20 de care epicureenii radeau in epoca spunand ca este o evidenta chiar si pentru un magar care s-ar duce la un morman de fan pe drumul cel drept direct si fara sa faca curbe sau linii poligonale dar Proculus a lamurit aceasta veselie nejustificata explicand ca simpla perceptie a adevarului evident al unei teoreme este ceva diferit fata de o proba stiintifica adica de cunoasterea efectiva unui motiv pentru care ea este adevarata. Dar in acelasi timp Simpson mult mai tarziu, spune ca numarul axiomelor nu trebuie majorat fara necesitate.
Dezvoltarea geometriilor neeuclidiene a dus la concluzia ca geometria euclidiana are o baza pur empirica postulatul paralelelor neputand fi demonstrat in consecinta vreunei axiome, dar exact in aceiasi masura putem considera cred eu ca si geometriile neeuclidiene adoptand alte postulate sunt tot in aceiasi masura empirice. Numai ca geometria euclidiana apeleaza la un empirism intuitiv produs printr-o inductie incompleta dar care nu poate fi contrazisa de nimic decat de afirmatia ca nu s-a demonstrat riguros adica exact cum s-ar contrazice lipsa demonstratiei ca dupa numarul unu urmeaza numarul doi samad acest adevar si acest proces avand la baza doar intuitia care spune ca doi este mai mare decat unu samd si care creeaza sirul natural a numerelor care este la baza oricarei inductii complete el fiind insa rezultatul primar al unei inductii incomplete. Dar de acum se intra in zona filozofiei transcedentale si nu asta constituie preocuparea noastra in aceast topic.
Vom continua analizand realizarile lui Legendre in acest domeniu.
11.01.2019Pentru cei care se plictisesc si mai ales pentru Electron care vad ca nu-mi gaseste nici-o eroare in demonstratia mea finala din 24.12.2018 postez demonstratia foarte frunoasa a teoremei Saccheri- Legendre la:
, demonstratie care are legatura cu ce voi mai arata referitor la contributia lui Legendre la problema discutata, eu constatand ca fara sa-i cunosc pana dupa Anul Nou contributia, drumul pe care am mers si eu, este deja anticipat de el ba chiar pot sa spun si parcurs.
Daca mi se va recunoste ceva in acest domeniu
asta va fi dedicat lui Legendre.Dar desi eu nu cred ca au dreptate cei care sustin ca nu a demonstrat in geometria neutrala postulatul prin consecinta sa directa a sumei unghiurilor in triunghi pe care am prezentat-o si eu ca posibilitate in postarea #17 : Mai 23, 2018 si care sunt in sensul abordat de Legendre :
1)Suma unghiurilor unui triunghi este 180°.
2) Există un triunghi a cărui sumă a unghiurilor este 180°.
3) Suma unghiurilor oricărui triunghi este aceeaşi.
desi in
https://fr.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre se scrie : Dans l'Histoire de la géométrie, Legendre reste connu pour avoir tenté de démontrer en vain le cinquième postulat d'Euclid
Vom mai vedea daca este corecta aceasta sustinere din istoria geometriei poate si cu ajutorul lui Electron
12.01.2019Si pentruca am vorbit aici din nou de geometrul si filosoful scolastic iesuit numit Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733) adica un secol inainte de Legendre( 1753-1833) si pentruca suntem la un moment in care incerc o anume recuperare istorica este util sa spun cateva vorbe legate si de contributia lui Saccheri la problema data. Astfel Saccheri este primul cunoscut (de fapt al doilea dupa celebrul invatat persan Omar Khayyám care in Discussion of Difficulties in Euclid (Risâla fî sharh mâ ashkala min musâdarât Kitâb 'Uglîdis) lucrare ignorata pana nu demult in sursele occidentale, dar azi recuperata, motiv pentru care celebrul patrulater al lui Saccheri se mai numeste in prezent si patrulaterul Khayyam-Saccheri) si deci un antecesor al lui Legendre si al celorlalti geometri care deschid drumul geometriilor neeuclidiene si care a incercat sa deduca postulatul lui Euclid ca simpla teorema a geometriei euclidiene adica in cadrul sistemului axiomatic care se numeste geometrie neutrala (absoluta ) care se bazeaza doar pe postulatele 1-4 si pe definitiile si notiunile comune considerate de Euclid fundamentale in Elementele sale.
Astfel Saccheri s-a temut de ridicol si nu si-a publicat ideile in domeniu decat putin inainte de a muri publicand in 1733 lucrarea "Euclides ab omni naevo vindicatus (Euclid Freed of Every Flaw)" cazua in obscuritate pana cand este redescoperita de matematicianul Eugenio Beltrami, in the mid-19th century deci chiar si dupa moartea lui Legendre care evident ca nu a cunoscut ideile lui Saccherii sau ale lui Kahyyam pe care insa este posibil ca scolastic iesuit fiind, Saccheri sa le fi cunoscut(vezi asemanarea patrulaterelor lor) .
Intenția lucrării lui Saccheri a fost, în mod evident, de a stabili validitatea postulatului euclian printr-o dovadă reductio ad absurdum a oricărei alternative față de acesta si deci obtinand o reducere a rangului acestuia la nivel de teorema.
Pentru a face acest lucru, el a presupus că postulatul ar fi fals și a încercat să obțină o contradicție.
Lipsa contradictiei este o dovada a independentei postulatului in corpul axiomaticii euclidiene si posibilitatea fundamentarii noncontradictorie si altor geomerii ceea ce s-a si intamplat ulterior Deoarece postulatul lui Euclid este echivalent cu afirmația că suma unghiurilor interne ale unui triunghi este de 180 °, el a luat în considerare atât ipoteza că unghiurile ajung până la mai mult sau pana la mai puțin de 180 °.
Prima ipoteza a condus la concluzia că liniile drepte sunt finite, contrazicând si al doilea postulat al lui Euclid(ceea ce se intampla in geometria sferic-eliptic riemanniana) Așa că Saccheri a respins-o corect.
A doua posibilitate s-a dovedit a fi mai greu de respins. De fapt, el nu a putut să obțină o contradicție logică și, în schimb, a obținut multe rezultate neintuitive; de exemplu, că triunghiurile au o suprafață finită maximă și că există o unitate absolută de lungime. El a concluzionat în cele din urmă că: "ipoteza unui unghi ascuțit este absolut falsă, deoarece este contra "naturii" liniilor drepte". Astăzi, rezultatele sale sunt teoreme ale geometriei hiperbolice
Este foarte posibil ca Saccheri care era si un logician de exceptie, de teama contradictiilor logice pe care le-ar ridica o geometrie hiperbolica sa oprit(Electron este un fel de urmas al dsale) in a face pasul spre geometriile noneuclidiene facut mai tarziu doar de alti mari geometri dar nu si de Legendre care a considerat ca geometria euclidiana este cea absoluta, celelalte geometrii pe care de altfel nu le-a negat si veti vedea acestea in cele ce urmeaza fiind cazuri particulare a acestei geometriii absolute in al carui spatiu incap toate celelalte, asa cum dealtfel si eu consider si am afirmat aceasta la inceputul topicului pe cand nu cunosteam in detaliu cele ce prezint acum.
Ajuns aici pot spune ca abia acum am inteles semnificatia posibila a acestei cercetari pe care cred ca am si spus tot la inceput ca (pe atunci) nu o sesizam si nu stiu daca o sesiza Electron care a evitat sa-mi raspunda la ceva de fapt pus de mine implicit si deci il creditez cu neintelegere a intentiei mele si nu cu rea intentie din partea sa.
Voi continua in final cu contributiile marelui Legendre...
14.01.2019Am scris alaltaieri ca voi continua cu o contributie a lui Legendre in continuarea teoremei Lagendre - Sacchieri( de fapt teorema este a lui Legendre caci el o demonstreaza explicit dar si Sacchierii fiind un precursor cu acel patrulate celebru a meritat sa fie si el pomenit impreuna cu Legeandre .
Acum imi propun sa reamintesc o demonstratie data de legendre privind constanta sumei unghiurilor in triunghi si chiar si determinarea acestei constante ca fiind Pi ceea ce ne duce sa considerem demostrat mai intai de el postulatul lui Euclid ca o teorema in cadrul geometriei neutrale bazata pe restul definitiilor si postulatelor euclidiena sau legendriene.
Voi reaminti cateva din aceste elemente de baza si in viziunea lui Euclid si a lui Legendre care evident tine cont si de cea euclidiana pe care nu o contrazice cu nimic ci doar o completeaza si o precizeaza semantic.
Asadar:
Referitor la linia dreapta, unghi si plan avem:
Definitii: Linia dreapta este drumul cel mai scurt dintre doua puncte (L)(nu este la Euclid dar se poate deduce din fapt ca in triunghi suma a doua laturi ramane in permanenta mai mare decat cea de a treia si cand unghiul dintre ele devine de 180 grade ele devin o linie dreapta si se suprapun peste cea de a treia avand doua puncte comune.
La Euclid linia uneste doua puncte adica ajung doua puncte, ca sa se duca o linie (unicitatea nu este afirmata explicit dar daca este cea mai scurta poate fi si unica) care se poate continua indefinit dupa aceiasi regula(postulatul 2) ( L demonstrand ca o linie care coincide in doua puncte cu o alta se confunda cu ea, ii asigura astfel unicitatea si practic ii completeaza regula de constitutie)
Credem ca axiomele lui Legendre impreuna cu ale lui Euclid se completeaza si pot fi puse la baza geometriei euclidiene (las deoparte sistemul axiomatic al lui Hilbert)
Astfel as defini linia dreapta:
Linia dreapta este linia care este distanta cea mai scurta intre doua puncte si se continua de o parte si de alta nelimitat orice portiune a ei confundandu-se cu orice portiune a ei si toate liniile drepte ce se pot duce in plan confundandu-se intre ele .Am sa indic si o modalitate de definire a rectitudinii valabila si in spatiu care transpune cele de mai sus in elemente strict geometrice si pe care am dat-o si in postarea # 82:
Linia dreapta este locul geomeric al punctelor aflate pe o linie in spatiu in raport de care oricare ar fi un punct in spatiu, au proprietatea ca printre ele exista doar unul care este la distanta minima fata de acel punct celelalte putand fi grupate doar doua cate doua in perechi de puncte aflate la distanta egala fata de punctul in discutie si diferita intre oricare din perechile diferite de puncte Unghiul:Cand doua drepte AB si AC se intalnesc, cantitatea mai mare sau mai mica cuprinsa intre ele (sau cu care sunt indepartate una de cealalta) in functie de pozitia lor (L)
Un unghi plan este înclinarea una față de cealaltă a două linii care se întâlnesc intr-un plan una cu cealalta si nu se află într-o linie dreaptă ( la E si observam ca unghiul optuz care devine la 180 linie nu este catalogat drept unghi )
Doua linii in plan sunt paralele cand nu se intalnesc niciodata (Si la E si la L)
Unghiul drept se formeaza cand doua drepte se taie formand unghiuri alaturate egale(suma lor este doua unghiuri drepte fiind formate de doua drepte una in prelungirea celeilalte.(este si la Euclid unde orice unghi drept este identic cu orice unghi drept)
Planul este o suprafata in care luand doua puncte oarecare si unindu-le linia dreapta rezultata este continuta total in suprafata respectiva.Orice suprafata care nu este plana sau compusa din suprafete plane este o suprafata curba. (L). Aceasta descrie notiunea de planeitate iar unicitatea planului deriva din unicitatea liniei drepte care se continua la infinit pe suportul ei rectiliniu(nota mea) .
O limită este cea care este o extremitate a oricărui lucru.
15.01.2019Si in final sa ne ocupam putin de demonstratia esentiala facuta de Legendre la finele secolului 18 in care urmarind o procedura destul de apropiata cu cea utilizata in teorema sa prezentata mai sus (Legendre-Sacchieri) unde a demonstrat categoric si fara greseala ca suma unghiurilor in triunghi este mai mica sau cel mult egala cu Pi, a demonstrat axioma 5 reducand valoarea la o constanta care este chiar Pi.
In aceasta demonstratie el reduce suma unghiurilor in triunghi la o valaoare constanta si egala cu Pi restrangandu-si domeniul teoremei anterior demonstrate.
Urmeaza o demonstratie foarte simpla si pe care o rezum in continuare:
Fie un triunghi scalen ABC in care AB este latura cea mai mare si BC cea mai mica fara sa fie insa nici-o problema daca se ia si cazul AC=BC sau AC=AB. Se cere sa se demonstreze ca suma unghiurilor in acest triunghi este constanta Pi .
Se utilizeaza urmatoarea constructie auxiliara :
Se uneste varful A cu I, jumatatea laturii celei mai mici BC si AI se prelungeste pana in punctul C`astfel ca AC`= AB;
Se prelungeste latura AB dincolo de B pana in punctul B`astfel ca AB`= 2AI si pe AB se ia punctul K astfel ca AK= AI;
Se unesc punctele C` cu B` si cu K formandu-se astfel triunghiurile egale C`AK si AIB avand unghiul A comun si laturile adiacente acestuia doua cate doua egale;
Se observa ca si triunghiurile ACI, B`C`K sunt egale si deci unghiul ACB=unghiul KC`B` cat si unghiul CAI= C`B`K din care rezulta tinand cont de ce s-a observat pana acum ca suma unghiurilor triunghiului ABC este egala cu suma unghiurilor triunghiului A`B`C` urmand sa aratam ca valoarea sumei este constanta si egala cu Pi.
16.01.2019Urmeaza acum o finalizare a demonstratiei lui Legendre in care mi-am permis sa intervin intrucat autorul apeleaza la evolutia valorii termenilor unui sir monoton descrescator si la notiunea de limita, notiuni la care inca Cauchy, Bolzano si Weierstrass nu-si adusesera inca contributiile esentiale, dar asa cum am constatat si in demonstrarea teoremei Legendre-Sacchieri , Legendre nu s-a ferit sa foloseasca si aceste notiuni care intuitiv erau deja stabilite.
In aceasta situatie observa ca datorita relatiilor geometrice deduse in constructia sa unghiul din B` este egal cu diferenta dintre unghiul din A si unghiul din A` adica suma celor doua unghiuri este A`+ B`=A si cum si latura B`C<AC`rezulta ca si unghiul A<B`.In aceasta situatie se vede usor ca unghiul A`<unghiul A/2 si daca continuam sirul acestor constructii se ajunge la un triunghi AnBnCn urmat de An+1Bn+1Cn+1 in care:
An<A/2^n , An+1=A/2^(n+1) si An+Bn= An+1.
Atunci putem considera ca daca suma celor trei triunghiuri este aceiasi si sa spunem egala cu k(k<=Pi), la limita avand An, Bn si An+Bn=0 cand n=infinit si deci
lim(An+Bn+Cn)=limCn iar limCn cand An si Bn tind la zero tinde la Pi caci linia BnAn tinde sa se sprapuna pe BnCn.
Deci k=Pi
Se mai poate observa ca geometric cand unghiurile An si Bn tind la zero si dreptele CnAn si CnBn care le formeaza se astern peste dreapta AnBm.
Deci odata in plus Cn=Pi=k
QED
Vom mai analiza in continuare daca vom trage concluzii utile si alte incercari ale lui Legendre de rezolvare a problemei postulatului de data asta cu referire la postulatul lui Playfair
17.01.2019Am scris ieri ca vom analiza in continuare si alte incercari ale lui Legendre de rezolvare a problemei postulatului si am inceput sa facem aceaste analize care insa nu ne-au condus la certitudinea la care ne-a condus demonstratia de mai sus ca in geometria euclidiana se poate demonstra constanta sumei unghiurilor in triunghi si de valoare Pi ceea ce de fapt ne rezolva problema, teorema lui Playfair fiind o reciproca a acesteia demonstrata de Legendre.
Ca sa nu amestec aici si poate unele esecuri ale lui Legendre voi deschide un alt comentariu care se va continua ca si acesta pana la finalizare si in care vom analiza critic si alte incercari ale lui Legendre.
