Cadrul celor ce vor urma este asa numita geometrie neutrala(absoluta) in care postulatul cinci al lui Euclid nu este statuat si deci in care se pot duce prin orice punct din plan un numar indefinit de drepte paralele la orice dreapta din plan exterioara punctului. In acest cadru sunt valabile toate teoremele din Elemente cuprinse pana la teorema I-29 prima in care se invoca postulatul 5.
Vom mentiona deasemenea ca printre teoremele demonstrate in cele 13 carti ale Elementelor( http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3atext%3a1999.01.0086) se afla si dupa teorema 29 unele care nu utilizeaza postulatul 5 si nici teoreme deduse prin folosirea acestuia, si care fac asadar parte tot din cadrul geometriei neutrale. Noi in aceste discutii am folosit(mentionat)dintre acestea, teoremele III-16, XI-1, XI-2 si XI-7.
Tot astfel observam ca si Axiomatica lui Hilbert ( ro.math.wikia.com/wiki/Axiomele_geometriei) intra tot in geometria neutrala prin cele 19 postulate care sunt independente de postulatul lui Playfair care la Hilbert este al douazecilea si ultimul.
Schita pe care se face rationamentul ce urmeaza a fost in diverse variante foarte mult utilizata in discutiile anterioare, dar o reiau in cele ce urmeaza, tot ce scriu netrebuind a fi neaparat urmarit in context cu discutiile anterioare, adica avand o existenta independenta.
In planul
p, pe o dreapta oarecare
d se coboara o perpendiculara dintr-un punct exterior O (I-12); Piciorul perpendicularei se noteaza cu A; se considera semidreapta
d incepand cu punctul A in directia spre est a planului
p;
Din O se ridica in aceiasi parte a planului in care se afla si
d o perpendiculara pe OA in O( I-13) care se noteaza cu
d1;
Pe semidreapta
d se ia un punct mobil
Ai care se deplaseaza oricat de departe de A si se uneste cu O. Segmentul AAi+1 > AAi , orice valoare ar lua indicele i care poate creste oricat pe masura ce Ai se indeparteaza de A;
Dreptele mobile OAi se numesc drepte de tip
f ca avand un punct comun cu
d.
Se duce sfertul de cerc cu centrul in O si de raza OA din A pana ce intersecteaza dreapta d1 in punctul B ;
Dreptele OAi intersecteaza circumferinta sfertului de cerc in Qi. La extremitatile sfetului de cerc Qi se confunda cu A si cu B. OQi este o raza mobila a sfertului de cerc. Odata cu miscarea lui Ai pe dreapta d, punctul Qi se misca pe circumferinta sferului de cerc de la A catre B. Unghiul AOQi pe care-l face raza mobila pe semicerc in miscarea ei in jurul centrului O, deplasandu-se continuu de la punctul A la B prin punctele pe care le-am denumit Qi, variaza continuu si strict crescator in intervalul [0,Pi/2] radiani; Datorita faptului ca Qi se misca continuu pe sfertul de cerc nu mai poate exista in unghiul AOAi nici-o raza care sa nu fie OQi.
Astfel pentru unghiul AOQi este adevarata relatia 0=< AOQi <=Pi/2 iar pentru unghiul QiOB relatiile: QiOB=Pi/2- AOQi si Pi/2>=QiOB>=0
Aceasta raza mobila este suprapusa dreptei OAi si deci parcurge odata cu dreapta OAi toate unghiurile dintre dreapta OA si dreapta d1 pe care le parcurge si OAi
cat timp Ai se misca pe d;
Se poate dar afirma ca atat timp cat segmentul OQi apartine segmentului OAi, si el intersecteaza dreapta d in punctul Ai in mod continuu la fel cum intersecteaza si sfertul de cerc.In discutiile anterioare raza cercului era lasata libera sa alunece pe sfertul de cerc motiv pentru care in final se suprapunea pe d1 si fiind dusa dinspre O spre d si nu invers nu puteam certifica in lipsa postulatului 5 ca intersecteaza dreapta d, adica faptul ca nu ar fi paralela cu dreapta d, insa in orice moment si atat timp cat se afla in interiorul unui unghi de tip AOAi era obligata sa intersecteze d.
Din acest motiv i-am spus dreapta q urmand sa vedem care este de fapt relatia ei cu dreapta d.
Cu acest model este evident ca este tot dreapta f cat timp se afla in interiorul unghiului AOAi oricat de aproape ar fi acesta de Pi/2.Atat in baza lui I-16 cat si a lui I-21 sirul unghiurilor AAiO este monoton descrescator si din considerente geometrice privind marimea unghiurilor in triunghi este marginit inferior de zero si superior de Pi/2 fiind in intevalul [Pi/2 , 0). Deasemenea sirul unghiurilor AOAi este monoton crescator si marginit in intervalul [0, Pi/2).
Cele doua siruri sunt convergente conform teoremei lui Weierstrass si din considerente geometrice
sunt limitate primul de marginea inferioara zero si al doilea de cea superioara Pi/2 in sensul ca acestea sunt puncte limita ale sirului respectiv.In cazul in care OQi se misca liber pe cerc el se poate suprapune nu numai pe dreapta OA ci in final si pe d1 si deci unghiul AOQi pe care-l face cu OA este monoton crescator marginit inferior si superior de aceleasi numere dar le si atinge si ca valoare(interval inchis) Desigur ca in paralel si simultan QiOB care este diferenta dintre Pi/2 si QiOA este tot marginit si monotan descrescator intre [Pl/2, 0] .
Rezulta ca daca OQi se misca solidar cu OAi ramand dreapta de tip f el nu poate sa atinga niciodata dreapta d1 pe care nici OAi nu o poate atinge din constructie si sa aduca unghiul AOQi la valoarea Pi/2 ajungand insa in mod similar cu OAi oricat de aproape de d1. Daca se desprinde de OAi atunci poate in plus sa se suprapuna lui d1 si nimic mai mult devenind abia atunci si nicicum altfel paralalela cu d in virtutea paralelismul prin constructie a lui d1 cu d.
Rezulta ca paralela d1 la d dusa din O este unica.Nota: Practic postulatul lui Euclid se aplica la infinit, pe aceasta schita AOAi ramanand permanent un triunghi si deci suma unghiurilor AiAO(Pi/2) plus AiOA(<Pi) este sub Pi si doar despartirea lui AiO de QiO ducand la disparitia triunghiului, ar conduce la iesirea din cadrul postulatului care insa nu s-ar face decat la confundarea lui Qi cu B si deci a razei cu d1 si ar putea
rational permite aparitia unei noi paralalele care deci am subliniat ca nu poate fi decat una confundata cu cea deja existenta , d1.
