Postulatul sau Teorema lui Euclid?

[atanasu]

Ce credeti daca s-ar dovedi ca postulatul 5 este de fapt o teorema, deosebita ce-i drept, dupa ce sute de ani a provocat discutii si ultima zicere stiuta de mine si pe care am postat-o pe alt fir tot de la Geometrie este cea a lui Farkas Bolyai(tatal merelui matematician Janos Bolyai): :„Dacă cineva va găsi demonstraţia axiomei paralelelor, ar merita un diamant cât Pământul de mare.”…. … „cui îi va reuşi aceasta, acestuia, muritori, să-i ridicaţi un monument nepieritor” ar trebui poate reconsiderata. Ar trebui?

Am replicat acolo : Hei! nici chiar asa si repet si aici aceast considerent : nici chiar asa

Poate sunt aici amatori sa-si spuna parerea asupra acestui aspect si de aceea eu avand ceva de spus am deschis totusi acest  fir nou, botezat incitant , nemai continuand discutia pe firul lui Mihnea Maftei care a disparut de mult de aici, iar cei care se pot exprima nici ei nu prea mai intra: zec, Abel Cavasi, mircea_p, valangjed, Alexandru Lazar, puriu, A.Mot si or mai fi cativa dar sunt desigur asteptati pe aceasta tarla.

PS Si de fapt ce inseamna "demonstratia axiomei paralelelor" in spiritul zicerii lui Farkas B.?

UPDATE/16 iulie 2018 Postarea #86 Am postat ultimul text al Teoremei T28-2 pentru enuntul dat de Playfair in forma finala la postulatul unicitatii paralelei . Cine nu este intersat de toata discutia dintre mine si Electron poate sa mearga direct acolo.

[valangjed]

  Demonstratiile din geometria euclidiana pornesc de la postulatele(axiomele) lui Euclid.Astfel, axioma paralelelor poate deveni teorema doar daca e demonstrata cu ajutorul celorlalte postulate.
  Am avut si eu o vreme cand ma "straduiam" sa demonstrez axioma paralelelor.M-am oprit cand am citit despre Goedel, Janos Bolyai, Gauss, Riemann, Lobatchevski si "geometriile noneuclidiene" unde "printr-un punct exterior unei drepte se pot duce mai multe paralele la acea dreapta".
 

[atanasu]

Valangjed intrucat te-ai ostenit sa bagi in seama ce am scris voi incepe sa scriu ce am de spus la acest subiect dar nu totul deodata ci in mai multe parti care fiecare suporta si propria ei discutie.
Donc(in franceza ) :

I) Asa cum am anuntat, revin pe drumul lui Farcas Bolyai care cum am aflat a dat destule teoreme echivalente postulatului lui Euclid si mai ales pe cel al lui Janos Bolyai care a demonstrat că celebra axiomă a paralelelor este independentă de celelalte axiome ale geometriei.
Precizez ca D. Hilbert a creat o axiomatica a geometriei iar sistemul sau de axiiome devenit clasic  constă din 20 de axiome împărţite în 5 grupe. Prin această clasificare a axiomelor se reuşeşte cea mai simplă şi laconică formulare a axiomelor care sunt grupate in 5 grupe primele 19 in primele patru grupe: de incidenta( 8 propozitii), de ordine (4 propozitii), de congruenta(5 propozitii) si de continuitate (2 propozitii).
A cincea grupa nu contine decat o singura axioma si anume tocmai cea atat de discutata, cea a paralelelor, a cincea  a lui Euclid, in exprimarea ramasa clasica :  Fie o dreaptă oarecare a şi un punct A exterior dreptei a. Atunci în planul determinat de punctul A şi dreapta a, există cel mult o dreaptă care trece prin punctul A şi nu intersectează dreapta a.
Gasim toate acestea in http://ro.math.wikia.com/wiki/Axiomele_geometriei unde aflam ceva important si anume ca geometria construită de David Hilbert cu ajutorul axiomelor grupelor I-IV(cele 19 propozitii axiomatice)  se numeşte geometrie absolută. Careia daca i se adauga si axioma nr 20,cea a paralelelor, devine geometria euclidiana asa cum a fost exprimata de Euclid in cartile sale.
Daca in aceasta geometrie euclidiana se elimina axioma paralelelor pe care Janos Balyai a aratat-o ca fiind independenta  si tocmai de aceea neconstituind  o baza necesara pentru restul axiomaticii euclidiene poate fi inlocuita apar astfel noi geometrii matematic posibile teoretic dar si practic
Ce ramane daca se renunta doar la axioma paralelelor? Atunci  setul de cele 19 axiome ale lui Hilbert sau cele ale lui Euclid fara postulatul paralelelor formeaza asa numita geometrie absoluta continuta atat de geometria euclidiana prin adaugararea postulatului al cincilea euclidian  cat si de cele neeuclidiene care inlocuiesc postulatul cu un altul .
În geometria neeuclidiană hiperbolică , numită de obicei geometria lui Lobacevski dar mai corect  Bolyai-Lobacevski-Gauss, suprafete cu curbura  negativa in care  printr-un punct dat se pot duce cel puţin două drepte paralele la o dreaptă dată,  in geometria neeuclidiană eliptică(riemanniana) in  care nu se poate duce nici-o paralela(suprafetele cu curbura pozitiva).

De fapt ce doresc este sa arat ca in spatiul euclidian definit prin nemarginire(nelimitare) si infinitate, definit prin continerea  punctului, liniei, suprafetei si volumului , a liniei drepte si a cercului pentru geometria plana, linia dreapta fiind definita conform  definitiei 4 si a postulatelor 1 si 2 a lui Euclid si unde daca definitia cercului, respectiv a circularitatii liniei care-l formeaza este  absolut clara, toti analistii geometriei euclidiene sunt de acord ca dreapta nu este definita intr-un mod pefect(vedem ca sunt mai multe propozitii in loc poate de una, eu considerand ca fiind o notiune atat de primara si evidenta devine destul de greu de exprimat) celebrul postulat 5 poate fi dedus ca o teorema in baza celorlalte postulate . Si o remarca neobligatorie pentru cele ce vor urma dar pe care tin sa o fac este faptul ca si punctul este mai dificil de inteles fiindca  la prima notiune a geometriei  trebuie sa acceptam contradictia: nu are nici-o parte adica este indivizibil dar daca ne gandim ca este si intersectia a doua linii, vedem ca este fara dimensiune. Este un fel de aparitie a existentei din nimic la care azi nu numai filozofia dar si fizica a ajuns intr-un anume fel.  De exemplu definitia remarcabila a lui Arhimede cum ca dreapta este distanta cea mai scurta dintre doua puncte, nu am gasit-o dedusa undeva din ceva anterior, deci o pot considera tot un fel de axioma care introduce ideia de minim si totusi nu-mi da sensul mai adanc al notiunii de rectitudine asa cum mi-o da definitia cercului celei de circularitate si nici faptul ca toate liniile drepte sunt una asa cum cercul iti spune clar ca toate cercurile cu aceiasi raza sunt una.
Cred ca in aceasta zona se afla si potulatul lui Euclid si incerc sa inchei ceva ce a inceput in sec 18 Sacchieri care neputand demonstra postulatul ca fiind doar o teorema a geometriei euclidiene nu a facut pasul spre alte geometrii cum l-au facut altii care i-au urmat si care au gasit neputand nici ei gasi un raspuns multumitor la teorematizarea postulatului au gasit o alta solutie problemei si anume creerea geometriilor neeuclidiene, liberalizand postulatul.
Nota: Pentru Elementele  lui Euclid am folosit si: http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0086%3Abook%3D1%3Atype%3DDef%3Anumber%3D1 cat si http://www.trigofacile.com/maths/euclide/livre1/index.htm

[Electron]

De fapt ce doresc este sa arat ca in spatiul euclidian definit prin nemarginire(nelimitare) si infinitate, definit prin continerea  punctului, liniei, suprafetei si volumului , a liniei drepte si a cercului pentru geometria plana, linia drepta fiind definita conform  definitiei 4 si a postulatelor 1 si 2 a lui Euclid si unde daca definitia cercului, respectiv a circularitatii liniei care-l formeaza este  absolut clara, toti analistii geometriei euclidiene sunt de acord ca dreapta nu este definita intr-un mod pefect(vedem ca sunt mai multe propozitii in loc poate de una, eu considerand ca fiind o notiune atat de primara si evidenta devine destul de greu de exprimat) celebrul postulat 5 poate fi dedus ca o teorema in baza celorlalte postulate .

As dori doua clarificari:
1) Ce inseamna "spatiu euclidian" pentru tine in acest context? Te rog sa dai explicit definitia pe care o folosesti pentru asta.
2) Prin aceasta fraza alambicata citata mai sus pretinzi ca poti sa demonstrezi faptul ca "celebrul postulat 5 poate fi dedus ca o teorema in baza celorlalte postualte"?

Si o remarca neobligatorie pentru cele ce vor urma dar pe care tin sa o fac este faptul ca si punctul este mai dificil de inteles fiindca  la prima notiune a geometriei  trebuie sa acceptam contradictia: nu are nici-o parte adica este indivizibil dar daca ne gandim ca este si intersectia a doua linii, vedem ca este fara dimensiune.

Ce contradictie vezi tu aici?

De exemplu definitia remarcabila a lui Arhimede cum ca dreapta este distanta cea mai scurta dintre doua puncte, [...]

Poti sa citezi o sursa unde apare aceasta "definitie remarcabila a lui Arhimede" ?


e-

[atanasu]

Electron
1)a)Clasic se spune ca:Un spaţiu euclidian este omogen şi izotrop, structura lui metrică fiind independentă de distribuţia materiei în spaţiu.
Pe mine personal nu ma intereseaza structra lui metrica dependenta sau independenta de materie ci doar structura lui geometrica omogena si izotropa in consecinta faptului ca este peste tot si in mod continuu format din puncte(desigur ca in multimea omogena si izotropa de puncte se pot izola in orice moment o infi nitate de figuri geometrice dintre care doar punctul si linia dreapta sunt una adica intersanjabile: orice punct cu orice punct si orice linie dreapta cu orice linie dreapta cu definitile cunoscute de care vorbiram si in care distanta cea mai scurta intre doua puncte care nu sunt in contact adica care mai au intre ele cel putin un punct este segmentul de dreapta.
b) Nici vorba sa pretind ca in cele scrise deja se afla ceva din demonstratia pe care pretind ca am facut-o dar care inca nu a fost comunicata.
 
2) Inteleg ca acea contradictie pomenita te intriga dar daca accept ca doua linii care se intersecteaza nu pot avea la acea  intersectie decat un punct si ca deci acel punct apartine liniilor, logica ne spune ca punctul este doar o parte din fiecare linie deci este o diviziune a liniei dar in acelasi timp este si fara dimensiune sau cu dimensiune nula, cu alte cuvinte neavand noi ce divide. Sigur aici ajungem la ultimul punct unde pot ajunge cu gandul, dincolo dupa mine fiind doar noaptea mintii. Iti propun sa o lasam asa cum a cazut. Sau eu unul mai mult nu-ti pot spune. Daca tu poti spune ceva in plus de aceste ganduri destul de imperfecte  fa-o . Iti promit ca voi incerca sa evit formulari la care logica ta foarte exacta te va obliga la astfel de intrebari perfect justificte. Pot sa si retrag cuvantul "contradictie" pentru ca ceva ce mie mi se pare asa nu este neaparat astfel mai ales cand nu dispun si de o demonstratie perfecta in acest sens.

3) Ref definitia remarcabila a lui Arhimede eu o stiu din scoala de la profesorul meu de matematici, daca mai tin bine minte acasta afirmatie si deasemenea se gaseste  si la inkurile urmatoare :
http://autori.citatepedia.ro/de.php?a=Arhimede, http://gokids.ro/citate/arhimede.html
Si in franceza la  https://www.brainyquote.com/fr/citation/archimedes_610909 sau in engleza https://www.brainyquote.com/quotes/archimedes_610909.
Suplimentar cu ocazia aproximarii lui Pi, Arhimede foloseste aceasta axioma sau sa-i spunem definitie axiomatica a segmentului de dreapta atunci cand arata ca perimetrul poligonului inscris intr-un cerc este mai mic decat  circumferinta. Am spus intr-o postare catre zec acum ceva vreme ca problema lui Arhimede  este ca nu a reusit sa demonstreze si ca poligonul circumscris unui cerc are perimetrul mai mare decat cercul, desigur pare evident(el asa a luat-o) dar nici el nici altcineva dupa stiinta mea nu a reusit aceasta demonstratie. Poate careva de pe aici sa aiba curajul si sa reuseasca asa ceva? Cine stie

[atanasu]

PS. La 1 a adaug ca si planul este una cu orice alt plan ca si linia dreapta. De altfel  dupa Heron planul este suprafata pe ale oricarei parti se poate aplica o linie dreapta. 

[Electron]

1)a)Clasic se spune ca:Un spaţiu euclidian este omogen şi izotrop, structura lui metrică fiind independentă de distribuţia materiei în spaţiu.
Pe mine personal nu ma intereseaza structra lui metrica dependenta sau independenta de materie ci doar structura lui geometrica omogena si izotropa in consecinta faptului ca este peste tot si in mod continuu format din puncte ([...] si in care distanta cea mai scurta intre doua puncte care nu sunt in contact adica care mai au intre ele cel putin un punct este segmentul de dreapta.

In primul rand, as fi curios unde "se spune clasic" asta. Ma intereseaza daca ai surse academice, unde sa se si defineasca precis termenii folositi.
In al doilea rand, ce inseamna pentru tine "omegen si izotrop"? Care e definitia concreta a acestor proprietati? Ma refer, cum verifici daca fiind dat un spatiu (geometric), acesta este intr-adevar "omogen si izotrop" (care zici ca e echvalent cu a fi "euclidian")?

Precizez ca intreb aceste lucruri pentru ca eu stiam (se pare ca gresit, daca tu ai dreptate) faptul ca un spatiu (geometric, de dimensiune minim 2) e numit "euclidian" daca si numai daca in el este valabil postulatul 5 al lui Euclid. Din ce spui tu aici, rezulta ca exista "o zicere clasica" diferita, si chiar as vrea sa aflu detaliile de rigoare.

b) Nici vorba sa pretind ca in cele scrise deja se afla ceva din demonstratia pe care pretind ca am facut-o dar care inca nu a fost comunicata.

Ok, deci pretinzi ca esti in posesia unei demonstratii proprii a afirmatiei "celebrul postulat 5 (al lui Euclid) poate fi dedus ca o teorema in baza celorlalte postulate". Daca planul tau este sa o prezinti public pe acest forum, eu abea astept sa o vad.
 

2) Inteleg ca acea contradictie pomenita te intriga dar daca accept ca doua linii care se intersecteaza nu pot avea la acea  intersectie decat un punct si ca deci acel punct apartine liniilor, logica ne spune ca punctul este doar o parte din fiecare linie deci este o diviziune a liniei dar in acelasi timp este si fara dimensiune sau cu dimensiune nula, cu alte cuvinte neavand noi ce divide.

Eu nu vad care e contradictia despre care vorbesti. Sa luam cazul atomilor lui Democritus. Ei erau parti ale materiei, dar ei insisi erau indivizibili. Este vreo contradictie implicata in asta? Daca punctul este idivizibil, cu ce contrazice asta faptul ca ar fi "o parte" dintr-o dreapta? (Acestea sunt intrebari retorice, desigur).

Iti propun sa o lasam asa cum a cazut. Sau eu unul mai mult nu-ti pot spune. Daca tu poti spune ceva in plus de aceste ganduri destul de imperfecte  fa-o . Iti promit ca voi incerca sa evit formulari la care logica ta foarte exacta te va obliga la astfel de intrebari perfect justificte. Pot sa si retrag cuvantul "contradictie" pentru ca ceva ce mie mi se pare asa nu este neaparat astfel mai ales cand nu dispun si de o demonstratie perfecta in acest sens.

Din partea mea poti sa o lasi "cum a cazut", dar mie mi se pare ca pe un forum dedicat stiintei (si opus pseudo-stiintei), rigurozitatea este ceva de dorit, un obiectiv valoros pentru participanti, nu doar o gaselnita, o chestie care se intampla din cand in cand, accidental, in functie de "cum a cazut" exprimarea fiecaruia. De aceea am pus acele intrebari, pe care desigur poti sa le ignori de acum, daca nu ma voi putea abtine sa le lansez.

3) Ref definitia remarcabila a lui Arhimede eu o stiu din scoala de la profesorul meu de matematici, daca mai tin bine minte acasta afirmatie si deasemenea se gaseste  si la inkurile urmatoare :
http://autori.citatepedia.ro/de.php?a=Arhimede, http://gokids.ro/citate/arhimede.html
Si in franceza la  https://www.brainyquote.com/fr/citation/archimedes_610909 sau in engleza https://www.brainyquote.com/quotes/archimedes_610909.

Multumesc pentru referinte. Pe paginile date ca referinte nu scrie ce ai afirmat tu. Acolo se foloseste termenul de "linie dreapta" (care e un mod informal, neriguros, de a se referi la "segmentul de dreapta" din matematica). In schimb, tu ai afirmat asta:

De exemplu definitia remarcabila a lui Arhimede cum ca dreapta este distanta cea mai scurta dintre doua puncte, [...]

Cu alte cuvinte, tu faci confuzie intre "segment de dreapta" si "dreapta" si eu sunt destul de convins ca nici "profesorul tau de matematici" nici Arhimede nu au facut aceasta confuzie.

Suplimentar cu ocazia aproximarii lui Pi, Arhimede foloseste aceasta axioma sau sa-i spunem definitie axiomatica a segmentului de dreapta atunci cand arata ca perimetrul poligonului inscris intr-un cerc este mai mic decat  circumferinta.

Iata inca o dovada ca tu confunzi "dreapta" cu "segmentul de dreapta". Sper ca, daca intelegi diferenta dintre ele si accepti ca ai gresit, pe viitor sa nu mai faci aceste confuzii.


e-

[atanasu]

electron,
1) In ceea ce priveste spatiul euclidian personal despe care ma intrebi, definitia luata de mine dupa https://ro.wikipedia.org/wiki/Spa%C8%9Biu_euclidian mi se pare una foarte scurta si plina de continut. In limba franceza sau engleza gasim texte mai complicate si pentru cine este interesat indic:  https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_euclidien si https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_space
In ceea ce priveste geometria, dupa mine , caci repet ca asta am fost intrebat, este ce am scris mai inainte si evident ca  nu contest ca in acest spatiu este valabila teorema lui Euclid privind unicitatea paralelei cat si axioma Arhimede privind lungimea cea mai scurta si cred ca asta descrie foarte bine metrica euclidiana si ma intreb ce legatura ar putea fi intre ele.

2) In ceea ce priveste problema contradictiei cred ca ai dreptate nefiind suficient de clar ce am spus exprimarea mea fiind destul de neglijenta, asa ca revin spunand ca ce mi se se pare contradictoriu(aici spun eu intram in noaptea mintii) este ca din alaturarea fara rest a unor puncte toate fara dimensiune, indivizibile si oricat de multe(cred ca in alt fel a ridicat si Cavasi acest aspect referitor la infinit ca suma infinita de infiniti mici si  cred ca am spus despre acea discutie ca o suma de zerouri (de nulitati)  indiferent de cate ori s-ar aduna acestea tot o nulitate ar da, altul fiind insa aspctul insumariii infinitilor mici care tind la zero fara a putea fi niciodata astfel), sa obtinem o linie care are lungime, idem sa obtinem o suprafata care are arie sau o sfera  care are volum ca sa nu mai vorbim de insusi spatiul euclidian tridimensional infinit  in cele trei directii rectangulare sau in oricare dorim.


3) Nu este vorba de vre-o confuzie pentruca: linia dreapta ca fiind  drumul cel mai scurt intre doua puncte este exprimarea clasica. Insa  o linie dreapta  nu are margini si nu masoara nici ceva anume. Daca se limiteaza o portiune a ei intre doua puncte vorbim despre un segment si acesta are lungime. Asa dar o linie dreapta nu poate fi masurata decat prin masurarea unor segmente, ea fiind nesfarsita.
Asadar cand este vorba de doua puncte desigur ca spunem ca prin doua puncte nu trece decat o singura linie dreapta dar daca este vorba sa masuram distanta dintre cele doua puncte desigur ca o vom evalua ca fiind lungimea unui segment de dreapta. In acelas timp cand spunem ca drumul cel mai scurt este linia dreapta de fapt ne gandim la rectitudinea liniei care uneste punctele  adica la caracterul care este avut de linia respectiva inainte de a ne gandi la lungime. Recomand citirea cu atentie a comentariilor facute la http://www.trigofacile.com/maths/euclide/livre1/index.htm unde veti gasi si definitia data de Thomas Simpson la 1756 si care coincide cu cea data de Arhimede. 
Asa putem explica existenta definitiei clasice data de sau in fine cu siguranta folosita de Arhimede cand afirma ca poligonul inscris intr-un cerc are perimetrul mai mic decat circumferinta cercului, circumferinta care este o linie curba ale carei segmente de arc cuprinse intre varfurile poligonului  inscris fiind, in baza axiomei lui Arhimede(asa ii voi zice eu mai ales ca nimeni nu a demonstrat-o a fi o teorema in geometria euclidiana), mai mari decat segmentele de dreapta care formeaza laturile poligonului inscris)
Poate ca ar fi mai bine daca am spune ceva de felul: prin orice doua puncte care nu sunt in contact trece doar o singura dreapta si lungimea dreptei respective intre cele doua puncte este distanta minima dintre ele.
In acelasi timp nu ignoram ca pe sfera distanta cea mai scurta este pe arcul meridian care trece prin cele doua puncte aflate pe circunmferinta sferei.(nu doresc sa deschid eu un alt subiect de discutie pornind de la aceasta afirmatie) 

Dar poate merita sa nu-l parasim pe Arhimede si sa mergem la Kant care daca mai tin bine minte, cred ca in Critica ratiunii pure intreaba daca se poate demonstra aceasta propozitie data ca un postulat de Arhimede .
Asadar intreb daca aceasta afirmatie din geometria euclidiana este un postulat sau poate doar o teorema???

[Electron]

1) In ceea ce priveste spatiul euclidian personal despe care ma intrebi, definitia luata de mine dupa https://ro.wikipedia.org/wiki/Spa%C8%9Biu_euclidian mi se pare una foarte scurta si plina de continut.

Ok, in primul rand, multumesc pentru referinte.

In al doilea rand, ti-as recomanda, daca te intreseaza cu adevarat domeniile stiintifice, sa nu cauti si sa iei "definitii" pe wikipedia (in orice limba ar fi ea, dar in special in romaneste), pentru ca risti ca gasesti erori si exprimari cu o rigoare discutabila. Iti recomand sa cauti site-uri de profil (matematic, fizic etc) si site-uri academice (afiliate unor institutii de invantamant recunoscute) unde cel putin te asiguri ca rigoarea va fi corespunzatoare.

In al treilea rand, ce ai citat tu ("Clasic se spune ca:Un spaţiu euclidian este omogen şi izotrop, structura lui metrică fiind independentă de distribuţia materiei în spaţiu.") nu este definitia spatiului euclidian, de la acel link, ci este doar o fraza introductiva care prezinta niste proprietati ale spatiului euclidian. Dar daca te uiti mai atent, in continuare (nu foarte departe) se afla o sectiune "Definitie" care introduce notiunea de produs scalar cu proprietatile sale si nu se vorbeste in definitie niciunde de "omogen şi izotrop".

Cu alte cuvinte, proprietatile de "omogen" si "izotrop" (complet nedefinite pe acea pagina) nu pot fi automat folosite ca elemente ale definitiei unui spatiu euclidian (si nici nu sunt folosite asa pe acea pagina), iar daca tu incerci sa faci asta fara ca macar sa definesti riguros conceptele de "omogen" si "izotrop" (ca sa se poata vedea daca din ele chiar rezulta o echivalenta cu definitia pe baza de produs scalar) esti in eroare.

In limba franceza sau engleza gasim texte mai complicate si pentru cine este interesat indic:  https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_euclidien si https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_space

De remarcat ca pe pagina in franceza apare aceeasi definitie (formulata mai extins) ca si pe cea in romaneste, dar pe cea in engleza notiunea de produs scalar nu apare explicit ca definitie ci la sectiunea "structura euclidiana". Dar ce sa-i faci, e vorba de wikipedia ...

In ceea ce priveste geometria, dupa mine , caci repet ca asta am fost intrebat, este ce am scris mai inainte si evident ca  nu contest ca in acest spatiu este valabila teorema lui Euclid privind unicitatea paralelei cat si axioma Arhimede privind lungimea cea mai scurta si cred ca asta descrie foarte bine metrica euclidiana si ma intreb ce legatura ar putea fi intre ele.

Eu te intreb in special ce definitie folosesti tu pentru spatiul euclidian, ca sa inteleg mai bine contextul demonstratiei (personale) pe care pretinzi ca o posezi legat de "celebrul postulat 5 (al lui Euclid) poate fi dedus ca o teorema in baza celorlalte postulate".

Mai explicit, tu ai postat asta:

De fapt ce doresc este sa arat ca in spatiul euclidian definit prin nemarginire(nelimitare) si infinitate, definit prin continerea  punctului, liniei, suprafetei si volumului , a liniei drepte si a cercului pentru geometria plana, linia drepta fiind definita conform  definitiei 4 si a postulatelor 1 si 2 a lui Euclid si unde daca definitia cercului, respectiv a circularitatii liniei care-l formeaza este  absolut clara, toti analistii geometriei euclidiene sunt de acord ca dreapta nu este definita intr-un mod pefect(vedem ca sunt mai multe propozitii in loc poate de una, eu considerand ca fiind o notiune atat de primara si evidenta devine destul de greu de exprimat) celebrul postulat 5 poate fi dedus ca o teorema in baza celorlalte postulate .

Dupa cum se vede, fraza ta imbarligata incepe cu "sa arat ca in spatiul euclidian [...]" si se termina cu " [...] celebrul postulat 5 poate fi dedus ca o teorema in baza celorlalte postulate."

Deci ceea ce vreau sa vad este daca am inteles corect faptul ca tu pretinzi ca, doar intr-un spatiu euclidian (in care e valabil celebrul postulat 5), poti demonstra ca acest postulat e de fapt o teorema ce poate fi demostrata pe baza celorlalte 4. Desi poate parea un detaliu trivial, mie mi se pare important sa explicitezi daca in "demonstratia teoremei" folosesti sau nu si premisa suplimentara ca ceea ce sustine propozitia 5 (unicitatea paralelei) este adevarat.

2) In ceea ce priveste problema contradictiei cred ca ai dreptate nefiind suficient de clar ce am spus exprimarea mea fiind destul de neglijenta, asa ca revin spunand ca ce mi se se pare contradictoriu(aici spun eu intram in noaptea mintii) este ca din alaturarea fara rest a unor puncte toate fara dimensiune, indivizibile si oricat de multe(cred ca in alt fel a ridicat si Cavasi acest aspect referitor la infinit ca suma infinita de infiniti mici si  cred ca am spus despre acea discutie ca o suma de zerouri (de nulitati)  indiferent de cate ori s-ar aduna acestea tot o nulitate ar da, altul fiind insa aspctul insumariii infinitilor mici care tind la zero fara a putea fi niciodata astfel), sa obtinem o linie care are lungime, idem sa obtinem o suprafata care are arie sau o sfera  care are volum ca sa nu mai vorbim de insusi spatiul euclidian tridimensional infinit  in cele trei directii rectangulare sau in oricare dorim.

Dar cine pretinde ca "linia care are lungime" se obtine din "alaturarea unor puncte fara dimensiune" ?

3) Nu este vorba de vre-o confuzie pentruca:linia dreapta ca fiind  drumul cel mai scurt intre doua puncte este exprimarea clasica. Insa  o linie dreapta  nu are margini si nu masoara nici ceva anume.

Nu inteleg ce inseamna pentru tine "exprimare clasica". Te referi la limbajul informal, (sau eventual limbajul arhaic), adica la un limbaj care nu este riguros?

Eu inteleg foarte bine ca prin "linia dreapta ca drum cel mai scurt intre doua puncte" limbajul informal se refera de fapt la segmentul de dreapta dintre cele doua puncte, ca atare asta nu e o problema pentru mine. Tu insa ai afirmat ca "dreapta este distanta cea mai scurta dintre doua puncte", ceea ce contine doua confuzii simultan: confuzia intre dreapta si segmentul de dreapta, si confuzia intre drum (ca segment) si distanta (ca lungime a segmentului).

Daca se limiteaza o portiune a ei intre doua puncte vorbim despre un segment si acesta are lungime.

Ok.

Asa dar o linie dreapta nu poate fi masurata decat prin masurarea unor segmente, ea fiind nesfarsita.

Gresit. O linie dreapta, fiind nesfarsita, nu poate fi masurata, punct. Faptul ca poti masura segmente (parti finite ale dreptei) nu implica in niciun fel ca poti masura o linie dreapta (infinita).

Poate ca ar fi mai bine daca am spune ceva de felul: prin orice doua puncte care nu sunt in contact trece doar o singura dreapta si lungimea dreptei respective intre cele doua puncte este distanta minima dintre ele.

Aceasta exprimare este gresita, pentru ca "intre cele doua puncte" nu exista nicio dreapta, ci doar eventual un segment de dreapta. Deci eventual distanta minima dintre cele doua puncte este lungimea segmentului de dreapta dintre ele, dar nu "lungimea dreptei dintre ele", care este un nonsens.

Dar poate merita sa nu-l parasim pe Arhimede si sa mergem la Kant care daca mai tin bine minte, cred ca in Critica ratiunii pure intreaba daca se poate demonstra aceasta propozitie data ca un postulat de Arhimede .
Asadar intreb daca aceasta afirmatie din geometria euclidiana este un postulat sau poate doar o teorema???

Pai tu ar trebui sa raspunzi primul la asta, pentru ca tu incluzi aceasta proprietate in "definitia" personala a spatiului euclidian (care "definitie" de fapt insira niste proprietati, care pot eventual fi deduse din adevarata definitie).

PS: Am impresia ca interventiile mele de aici sunt de fapt contra-productive, si ca raspunzadu-mi se decaleaza in timp momentul prezentarii demonstratiei tale. De aceea, nu mai intervin pana nu postezi demonstratia pe care chiar o astept cu nerabdare.


e-

[atanasu]

In general no comment.
 La chestia aia cu cine pretinde, raspunsul este:eu pretind, spatiul meu euclidian fiind in mod omogen si izotrop ocupat de puncte geometrice definite precum le defineste Euclid. Pretind ca in spatiul euclidean naturii ii este teama de vid si nu poti sa nu dai oriunde si in orice directie de un punct.Pentru mine spatiul euclidean este punctul care capata dimensiuni formand figurile geomtrice : liniile, suprafetele, volumele. Si nici nu dau socoteala pentru asta si nici nu-mi fundamentez vre-o demonstratie pe aceasta constructie a spatiului.
PS Suplimentar cred ca atat omogenitatea cat si izotropia sunt definite in multe manuale, asa ca nu e cazul sa insist si sunt conferite tocmai prin umplerea sa, cum umple un lichid deasemeneaomogen si izotrop orice spatiu in care i se permite sa intre,  cu peste tot identicele sale puncte geometrice. 
Si ca sa nu te plictisesti asteptand si vazand ca stii foarte bine cele facute de altii, tu neinvocand niciodata ceva la care ai fi tu autor dar fiind foarte bun in demontari logice in general corecte, te intreb daca stii sa demonstrezi propozitia caruia eu i-am spus postulatul lui Arhimede sau poate stii pe careva care a reusit?

PS Cu scuzele de rigoare anunt ca am facut cateva corectii de text care ajuta doar la intelegerea mai exacta a ce am spus.

[atanasu]

Ipoteza: Printr-un punct exterior unei drepte care nu trece prin punct se poate duce o perpendiculara si numai una pe acea  dreapta

  Introducere : Ma voi baza pe textul cartii I a Elementelor  lui Euclid tradus din greaca  in engleza si care se afla in deja citatul link:
 http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0086%3Abook%3D1%3Atype%3DDef%3Anumber%3D1
Cu exceptia propozitiilor (48 de teoreme) din care folosesc cateva, adica definitiile, notiunile comune si postulatele se gasesc si in textul francez similar deasemeni deja indicat si in care se gasesste s textul grec original corespunzator:
 http://www.trigofacile.com/maths/euclide/livre1/index.htm

Mentionez ca in textul francez se indica noua notiuni comune in timp ce in cel englez dosr 5 textul francez facand referire la acest aspect.

In cadrul demonstratie pe care o fac, intr-o parte introductiva fac o analiza utila demonstratiei a unora din cele ce sunt date deja in propozitiile textului si mentionez ca daca in teoremele pe care le indic cu numerele lor in textul englez exista neclaritati geometrice sau de text sunt gata sa incerc sa le lamuresc.

Asadar:
Urmarind demonstratiile propozitiilor(teoremelor) date de Euclid vedem ca se foloseste direct sau indirect de elemente demonstrate anterior (teoreme-propozirii) cat desigur si de definitii, notiuni comune, postulate.
Am urmarit unde apare utilizarea postulatului 5  in aceasta carte I care de fapt construieste mare parte din bazele geometriei euclidiene si a rezultat ca in mod direct este folosit doar  in demonstrarea teoremei  29 si 44.
Pentru exemplificare ma ocup  de T29  in legatura cu care vom evidentia un aspect deosebit :  O linie dreapta intersectand linii paralele produce unghiuri alterne interne egale, unghiul exterior egal cu cel interior si opus si unghiuri interioare de aceiasi parte a secantei egale in suma cu doua unghiuri drepte.
Urmarind demonstratia data de Euclid vedem asa cum am subliniat deja, ca se foloseste de teoreme anterior demonstrate si anume:
- propozitia T13 care demonstreaza ca doua unghiuri adiacente formate la intersectia unei drepte cu o alta dreapta sunt fie impreuna egale cu doua unghiuri drepte, fie egale intre ele si egale fiecare cu un unghi drept, demonstratia utilizand cate va notiuni comune, definitia 10 referitoare la unghiuri adiacente drepte si la perpendicularitatea dreptelor intersectate cat si propozitia T11 care permite ridicarea unei perpendiculare pe o dreapta intr-un punct oarecare al acesteia( o propozitie importanta si pentru ce urmeaza sa fac) care la randul ei foloseste alte teoreme anterioare (T1, T3 si T8 si Def.10));
-postulatul 5 (al paralelelor) ;
- propozitia T 15 care utilizeaza postulatul 4 si T13
Dar totusi precizez ca si T44 utilizeaza explicit pe langa postulatul 5 si teoremele T29, T31, T42, T43 care deasemenea trimit la altele, cum sunt Postulatul 5(T29)  si la altele care deja au fost pomenite T13, T15, sau prima oara observate acum, cum sunt  T23, T27 etc.
Aspectul deosebit este  ca apar cateva teoreme despre care am putea crede ca sunt in consecinta postulatului 5 dar ele se demonstreaza  cu totul independent de postulat si deci nu recurg in nici-un fel la acceptarea acestuia parand mai degraba ca niste teoreme reciproce  din care s-ar putea sa para ca se poate deriva postulatul, dar doar sa para. Este vorba de T27 si T28
Sa le analizam:

T27: Daca o linie dreapta intersecteaza alte doua linii drepte facand unghiuri alterne interne egale atunci liniile intersectate sunt paralele;

T28:  Daca o linie dreapta intersecteaza doua  drepte facand unghiul exterior egal cu cel interior opus si egal cu cel interior de aceiasi parte egal sau suma ungiurilor interioare  de aceiasi parte  egala cu doua unghiuri drepte cele dreptele vor fi paralele

Acestea doua T27 si T28,  este clar ca sunt reciproca lui T29 sau T29 este reciproca acestora, numai ca primele doua nu presupun pentru demomstrarea lor axioma paralelelor pe cand T29 nu poate fi dedusa fara apelul la axioma. Dar stim ca demonstrarea unei  teoreme directe nu asigura si existenta necesar adevarata si  a reciprocei  si in acest caz constatam ca  T27 si T28 sunt demonstrabile fara postulat in timp ce  T 29 nu.
Nu intram aici in amanuntele demonstratiilor lui Euclid pe care nu le suspectam ca ar putea fi gresite , am facut-o insa pentru cele implicate in discutie de placere si desigur ca sunt corecte.
Credem ca poate si altii au facut aceste rationamente si acest aspect a creat poate  suspiciunea istorica  cum ca  nici postulatiul 5 nu ar fi neaparat un postulat ci doar si el tot o teorema .

In continuare ne propunem sa deducem teorema din ipoteza, referitoare la unicitatea perpendicularei coborate dintr-un punct exterior unei drepte pe acea dreapta si desigur sa nu o deducem ca o consecinta a unicitatii paralelei ci independent adica tot asa cum sunt deduse si T27 si T28.

Sper ca pana in acest punct cele prezentate sa fie clare si neindoelnice.

[atanasu]

Intermezzo

Asa cum am spus in textul anterior el a reprezentat doar o pregatire pentru partea finala care se intelege mai rapid daca se urmareste si acesta. A trecut peste o saptamana de la postarea sa si nu exista interventii sau intrebari si cum cred ca cei pe care speram sa-i vad interesati l-au observat as putea deja sa postez continuarea. Totusi voi mai astepta cateva zile timp in care am alte probleme in atentie si probabil ca duminica voi posta demonstratia propriu zisa. 

[atanasu]

Si acum fiind Duminica am ajuns la scadenta autoimpusa si  prezint demonstrarea  teoremei din ipoteza, referitoare la unicitatea perpendicularei coborata dintr-un punct exterior unei drepte pe acea dreapta :

Plecam de la T11 conform careia dintr-un punct C apartinand unei drepte d se poate ridica o perpendiculara pe acea dreapta. Demonstratia nu presupune postulatul paralelelor ci doar T3, T1, T8 si def.10 mult folosita si conform careia doua unghiuri adiacente egale sunt drepte. Adaug ca dreapta perpendiculara ridicata in punct este unica, prin reducere la absurd neputand ca un unghi drept caruia i se adauga sau scade un unghi sa ramana egal cu un unghi drept. (notiunea comuna 5)

Dintr-un punct O exterior dreptei d conform T12 se poate cobora o perpendiculara pe dreapta d.  Deasemenea din D putem ridica o singura perpendiculara pe d rezultand tot in baza notiunii comune 5, ca cele doua perpendiculare se vor confunda. Aceasta coborare de perpendiculara se poate face pentru orice punct exterior lui d.
Ramane sa  demonstram ca oricare ar fi O exterior lui d,  perpendiculara coborata  din O  pe d este unica.
Vom folosi tot reducerea la absurd presupunand ca din O putem cobora si o alta perpendiculara pe dreapta d in punctul E   
Daca ar fi asa triunghiul obtinut avand   unghiurile de la baza egale intre ele ar fi   isoscel(T6) si avand  doua unghiuri drepte  rezulta ca suma unghiurilor in triunghiul OED depaseste  doua unghiuri drepte.
Asadar putem considera ca dreapta d este o secanta pentru cele doua perpendiculare respectiv OD si OE care formeaza cu acestea unghiuri drepte avand toate proprietatile din T27 si T28 si deci OD si OE sunt paralele ceea ce contravine ipotezei ca au  un punct comun O .

 Rezulta ca dintr-un punct exterior unei drepte nu putem cobora doua perpendiculare distincte ci doar una care evident ca este si unica.

QED




 
 
 

[atanasu]

@Electron dar nu numai    :  !!!

[Electron]

De fapt ce doresc este sa arat ca [...] celebrul postulat 5 poate fi dedus ca o teorema in baza celorlalte postulate .

[...]

PS: Am impresia ca interventiile mele de aici sunt de fapt contra-productive, si ca raspunzadu-mi se decaleaza in timp momentul prezentarii demonstratiei tale. De aceea, nu mai intervin pana nu postezi demonstratia pe care chiar o astept cu nerabdare.

e-