Ştiri:

Vă rugăm să citiţi Regulamentul de utilizare a forumului Scientia în secţiunea intitulată "Regulamentul de utilizare a forumului. CITEŞTE-L!".

Main Menu

Problema cu primitive

Creat de foton01, Decembrie 02, 2013, 04:09:40 PM

« precedentul - următorul »

0 Membri şi 1 Vizitator vizualizează acest subiect.

foton01

Salut!

Am dat preste o problema cam grea si as avea nevoie de un pic de ajutor  :)

Sa se determine functia [tex]f:R->R[/tex], primitivabila pe [tex]R[/tex], stiind ca admite primitiva [tex]F:R->R[/tex], care verifica relatia: [tex]F(x)+f(x)=-x^2-3x[/tex]

O idee de a mea e sa derivez relatia de 3 ori obtinand in cele din urma [tex]f(x)=e^{x+c}[/tex] dar nu verifica relatia :(  Ma puteti ajuta cu o idee ?

Multumesc :)

zec

Aceasta problema e o ecuatie diferentiabila de gradul 1 neomogena.
Rezolvarea are la baza urmatoarea idee:
1 se rezolva ecuatia omogena de grad 1
Adica F(x)+f(x)=0 (am sa o rezolva cu notatiile tale in teoria ecuatiilor diferentiabila de obicei F se noteaza cu u)
aceasta ecuatie se rezolva la urmatorul mod se pune F(x)=-f(x) si pentru valori nenule se considera f(x)/F(x)=-1 de unde (lnF(x))'=-1 Adica lnF(x)=-x+C sau [tex]F(x)=e^{-x+c}=Ce^{-x}[/tex]
2 se cauta o solutie particulara a ecuatiei neomogene.
Intrucat e de forma polinomiala cautam o solutie de tip polinomial
Luam F de grad 2 mai exact [tex]F(x)=ax^2+bx+c[/tex] de unde [tex]f(x)=2ax+b[/tex]
Se introduce in ecuatie si se identifica coeficientii
Se va obtine [tex]ax^2+(2a+b)x+b+c=-3x^2-3x[/tex]
Prin identificare obtii a=-3;b=3;c=-3
Solutia ecuatiei generala este F(x)=[tex]F(x)=Ce^{-x}-3(x^2-x+1)[/tex]

foton01

Citat din: zec din Decembrie 03, 2013, 03:04:24 PM
Aceasta problema e o ecuatie diferentiabila de gradul 1 neomogena.
Rezolvarea are la baza urmatoarea idee:
1 se rezolva ecuatia omogena de grad 1
Adica F(x)+f(x)=0 (am sa o rezolva cu notatiile tale in teoria ecuatiilor diferentiabila de obicei F se noteaza cu u)
aceasta ecuatie se rezolva la urmatorul mod se pune F(x)=-f(x) si pentru valori nenule se considera f(x)/F(x)=-1 de unde (lnF(x))'=-1 Adica lnF(x)=-x+C sau [tex]F(x)=e^{-x+c}=Ce^{-x}[/tex]
2 se cauta o solutie particulara a ecuatiei neomogene.
Intrucat e de forma polinomiala cautam o solutie de tip polinomial
Luam F de grad 2 mai exact [tex]F(x)=ax^2+bx+c[/tex] de unde [tex]f(x)=2ax+b[/tex]
Se introduce in ecuatie si se identifica coeficientii
Se va obtine [tex]ax^2+(2a+b)x+b+c=-3x^2-3x[/tex]
Prin identificare obtii a=-3;b=3;c=-3
Solutia ecuatiei generala este F(x)=[tex]F(x)=Ce^{-x}-3(x^2-x+1)[/tex]

Multumesc :)