Alt șir de numere.

[Higgs]

Ok, astăzi am dat peste:

[tex] x_{n+1} = -\frac{1}{2} + \frac{x_1 + 2x_2 + ... + nx_n}{n(n+1)}

n >= 1

x_1 = 0

[/tex]


Se cere monotonia și mărginirea. Iată cum am lucrat eu:

Am dat -1/2 în partea stângă și am adus la același numitor în expresia șirului, pentru termenul de rang n+1:

[tex] n(n+1)(2x_{n+1}+1) = 2( x1 + ..... + (n-1)x_{n-1} + nx_n) ( n+1) . [/tex]

Similar, pentru termenul de rang n obțin că:

[tex](n-1)n(2x_n + 1) = 2[ x_1 + ... + (n-1)x_{n-1} ] [/tex]

Acum, dacă fac diferența între cele doua egalități obțin în final că:

[tex] nx_n = x_{n-1}(n-1) - 1 [/tex]

, o relație ce mi-a redus recurența la ordinul 2. Problema apare atunci când folosesc bine cunoscuta metodă de aflare a termenului general. Scriind unele sub altele egalitățile date de recurența de ordin 2 obțin că [tex] x_n = -1 [/tex] , ceea ce nu e adevărat.

Am verificat recurența obținută și este una valida, nu am greșit la calcule. Mă poate ajuta cineva să rezolv șirul acesta, vă rog ? Nu am postat toate etapele efectuării calculelor pentru că se efectuează destul de rapid, dar ar fi fost cam mult de scris. La nevoie însă, le voi posta.

[zec]

Pana la recurenta e bine .Ca sa rezolvi recurenta unde cred ca te ai incurcat putin ar fi bine sa faci asa:
Notezi [tex]y_n=nx_n[/tex] se obtine relatia [tex]y_n-y_{n-1}=-1[/tex] care scrisa pentru n-1 valori de la 2 la n obtii dupa ce aduni relatiile  [tex]y_n=1-n[/tex] de unde [tex]x_n=\frac{1-n}{n}[/tex] care evident este descrescator marginit de -1 si 0

[Higgs]

Pana la recurenta e bine .Ca sa rezolvi recurenta unde cred ca te ai incurcat putin ar fi bine sa faci asa:
Notezi [tex]y_n=nx_n[/tex] se obtine relatia [tex]y_n-y_{n-1}=-1[/tex] care scrisa pentru n-1 valori de la 2 la n obtii dupa ce aduni relatiile  [tex]y_n=1-n[/tex] de unde [tex]x_n=\frac{1-n}{n}[/tex] care evident este descrescator marginit de -1 si 0

Ahaaaa. Eu adunasem prost termenii. Merci frumo. m-ai putea ajuta si cu urmatorul sir, caruia nu am reusit sa ii fac nimic:

[tex] x_1 = \frac{1}{2}, x_{n+1}x_n=\frac{n}{n+2} [/tex]

Pe asta nu stiu de unde sa il apuc deloc

[zec]

Problema a doua e relativ usoara,calculand x2 si x3 deducem ca xn ar fi n/n+1,termen general care e verifica relatia de recurenta.

[Higgs]

Problema a doua e relativ usoara,calculand x2 si x3 deducem ca xn ar fi n/n+1,termen general care e verifica relatia de recurenta.

Si ar trebui sa demonstram rezultatul prin inductie ?

[zec]

 Nu trebuie demonstrat prin inductie,e suficient sa verifici relatia de recurenta .Unicitatea valori unui termen al sirului ne certifica aceea egalitate.Modul de definire prin recurenta este precum inductia.

[Higgs]

Nu trebuie demonstrat prin inductie,e suficient sa verifici relatia de recurenta .Unicitatea valori unui termen al sirului ne certifica aceea egalitate.Modul de definire prin recurenta este precum inductia.

Ahaaaa. Mulțumesc mult!