Un sir de numere interesant

[Higgs]

Salut! Ma puteti ajuta sa demonstrez ca sirul cu termenul general [tex] a_n=(1-\frac{1}{n})^{n+1} [/tex] este descrescator ? Sunt clasa a11-a , si ma descurc destul de bine la matematica dar la sirul asta nu imi iese demonstratia. Singurul lucru pe care l-am observat a fost ca acest sir este asemanator cu sirul [tex] e_n [/tex] .

Ma poate ajuta cineva, va rog? In enunt, puterea este n+1 dar nu am putut sa o scriu in latex, asa ca am prezentat sirul in forma de mai sus.

[Electron]

tex: a_n=(1-\frac{1}{n})^{n+1} /tex => [tex] a_n=(1-\frac{1}{n})^{n+1} [/tex]


e-

[Higgs]

tex: a_n=(1-\frac{1}{n})^{n+1} /tex => [tex] a_n=(1-\frac{1}{n})^{n+1} [/tex]


e-

Ahhhhh, da. Am modificat postul initial. Multumesc mult . Am mai incercat sa mai buchisesc cate ceva la el dar tot nu mi-a iesit :-?

[zec]

o idee de demonstratie este folosind inegalitatea lui bernoulli cazul general.
[tex](1+x)^r\ge 1+rx[/tex] unde [tex]x\ge-1[/tex] si [tex]r>0[/tex]
.Aceasta inegalitate din pacate se demonstreaza cu ajutorul derivatelor(ceea ce inca nu ai invatat),ea se demonstreaza pentru r natural sau intreg prin inductie.
Deci pentru [tex]x=-\frac{1}{n};r=\frac{n+1}{n}[/tex] obtinem:
[tex](1-\frac{1}{n})^{\frac{n+1}{n}}\ge 1-\frac{1}{n}\frac{n+1}{n}=1-\frac{n+1}{n^2}>1-\frac{1}{n-1}[/tex] .Ridicand la puterea n obtinem ca [tex]a_n>a_{n-1}[/tex] adica sirul e crescator.(deci in nici un caz descrescator)
Inegalitatea[tex]1-\frac{n+1}{n^2}>1-\frac{1}{n-1}[/tex] e echivalenta cu [tex]\frac{1}{n-1}>\frac{n+1}{n^2}[/tex] care devine [tex]n^2>n^2-1[/tex] care e evidenta.

[puriu]

Enuntul sugereaza ca sirul este monoton. Nu e nevoie de inductie. Se compara, prin scadere, termenul general (de ordin n) cu unul dintre vecinii sai (n+1 sau n-1, la alegere).

[zec]

Enuntul sugereaza ca sirul este monoton. Nu e nevoie de inductie. Se compara, prin scadere, termenul general (de ordin n) cu unul dintre vecinii sai (n+1 sau n-1, la alegere).

Nu iese prin comparatie,nu e asa simplu:D

[Higgs]

Da, mulțumesc mult! Demonstrația lui Zec este foarte bună. Am găsit și una folosind inegalitatea mediilor .