Problema cu derivate partiale

[pufosu777]

Salut!
Poate cineva sa ma ajute cu  o problema de facultate , va rog mult :
Sa se determine punctele de extrem local pentru functia f(x,y,z)=xyz cu restrictia x^2+y^2+z^2=1.
Va multumesc anticipat ! 

[Orakle]

Salut!
Poate cineva sa ma ajute cu  o problema de facultate , va rog mult :
Sa se determine punctele de extrem local pentru functia f(x,y,z)=xyz cu restrictia x^2+y^2+z^2=1.
Va multumesc anticipat ! 

Este mult de scris,scrii tu si noi corectam

Introdu restrictia in formula lui f de exemplu in locul lui z
z=+-(1-x^2-y^2)^(1/2) si rezulta
f(x,y.z)=+-xy(1-x^2-y^2)^(1/2)
Fa calculul derivatelor partiale dupa x si y si egaleaza-le cu zero.
Astfel obtii un sitem de doua ecuatii cu doua necunoscute
Astfel ai obtinut punctele stationare.(printre care se vor afla si punctele de extrem local)

Fa calculele pana in acest punct dupa care putem continua

[pufosu777]

Da , am introdus restrictia iar pe urma nu am mai stiut :

[Orakle]

Da , am introdus restrictia iar pe urma nu am mai stiut :

Vezi ca nu cred ca ai derivat corect
De exemplu in primul:
ai doi de x unul single si unul sub radical
Se deriveaza expresia dupa regula:
(fg)'-f'g+fg'
a doua expresie este o functie compusa iti amintesc ca iar are o regula de derivare

[Orakle]

Se poate face si introducand xy sub radical dar atentie la patrat
si inmultesti cu ele tot ce este sub radical.
Oricum sa refaci derivatele sa fie corecte

[zec]

nu se face asa se foloseste metoda multiplicatorilor a lui Lagrange .
Se considera functia [tex]g(x,y,z,\lambda)=xyz+\lambda(x^2+y^2+z^2-1)[/tex]
Pe aceasta noua functie faci studiul de maxim.

[Orakle]

nu se face asa se foloseste metoda multiplicatorilor a lui Lagrange .
Se considera functia [tex]g(x,y,z,\lambda)=xyz+\lambda(x^2+y^2+z^2-1)[/tex]
Pe aceasta noua functie faci studiul de maxim.

Ai dreptate ! O metoda des folosita este cea a  multiplicatorilor lui Lagrange dar se paote face si explicitand restrictia.
Ar trebui de stiut ce i s-a predat la curs.

[zec]

E posibil sa iasa usor.Cu diferentiala de ordin 1 nula afli punctele stationare(adica sistemul obtinut din dervatele partiale) si daca diferentiala de ordin 2 e pozitiv definita ceea ce e posibil problema e rezolvata intrucat toate punctele sunt de minim.
diferentiala se calculeaza asa:
[tex]dg=(\partial g/\partial x) dx+(\partial g/\partial y) dy+(\partial g/\partial z) dz+(\partial g/\partial \lambda) d\lambda[/tex]
diferentia de ordin 2 se calculeaza [tex]d^2g=d(dg)[/tex] Adica diferentiezi diferentiala de ordin 1 .Si o sa apara derivatele duble in raport cu x,y,z respectiv lambda odata si la cele mixte multiplicate cu 2 deoarece dxdy=dydx(teorema lui Schwarz de simetrie a derivatei duble).
Acuma ca sa fie pozitiv sau negativ definita asta ca sa iti explic e deja prea mult:D

[puriu]

Rezolvarea analitica este cam laborioasa si se greseste usor. Ar fi interesanta o rezolvare geometrica. Daca x, y si z sunt coordonate carteziene, functia f = xyz reprezinta volumul unui paralelipiped cu un varf in origine. Restrictia reprezinta ecuatia unei sfere de raza 1 cu centrul in origine. Toate punctele functiei se afla pe aceasta sfera. Modulul functiei este volumul unui paralelipiped cu un varf in origine si cu altul pe sfera. Volumul unui paralelipiped inscris in sfera este maxim cand acesta este cub (alta problema de extrem). Coordonatele celor opt varfuri ale cubului inscris reprezinta extremele locale ale functiei, patru pozitive si patru negative. La un calcul grabit mi-au iesit valorile in modul ale x, y si z egale cu 1/SQR3. Comparati cu rezultatele obtinute altfel.