Ştiri:

Vă rugăm să citiţi Regulamentul de utilizare a forumului Scientia în secţiunea intitulată "Regulamentul de utilizare a forumului. CITEŞTE-L!".

Main Menu

Alta problema cu derivate partiale

Creat de pufosu777, August 07, 2013, 01:31:45 PM

« precedentul - următorul »

0 Membri şi 1 Vizitator vizualizează acest subiect.

pufosu777

Salutare din nou !
Revin cu inca o problema cu derivate, de asta data sper mai usoara; aca ma puteti ajuta, va rog frumos.
Determinati punctele de extrem local pentru functia f(x,y)=xy cu restrictia x^2+y^2=1 (ecuatia cercului).

Atasez aici ce am incercat eu sa rezolv pana intr-un punct (prin doua metode, nu stiu daca este vreuna corecta):

Orakle

#1
Nu cred ca este corecta dealtfel nu este terminata si nici nu este clar ce faci acolo
Trebuie sa aflii x,y,lamda
Ai un sistem de trei ecuatii cu cele trei necunoscute
lamda l-am notat cu "s"
Ecuatiile intredevar sunt:

X^2+Y^2-1=0
2sx+y=0
x+2sy=0

Ne concentram atentia asupra ultimelor doua
2sx+y=0
x+2sy=0
pe care daca le adunam rezulta:
(x+y)+2s(x+y)=0 rezulta (x+y)(1+2s)=0 egalitate care este corecta pentru orice x si y daca 1+2s=0 de unde rezulta: s=-1/2.(Deasemenea observam ca (x+y) este intotdeuna diferit de zero din prima egalitate)
Pentru lambda=s=-1/2 gaseste x si y care vor fii coordonatele punctelor(punctului si simetricului lui-in acest caz) de extrem.
Sper ca nu am gresit ceva.
Continua !

PS
Similar poti sa rezolvi si problema precedenta doar ca o sa ai 4 ecuatii si 4 necunoscute.In prima etapa in rezolvarea sistemului tot pe valoarea lui lamda te concentrezi.



Orakle

M-am uitat rapid pe un curs si observ ca nu asa gaseste valoarea lui lamda cum am procedat eu.Este mai corecta metoda lor deoarece este mai generala si in cazul in care lucrurile sunt mai complicate nu risti sa pierzi puncte de extrem.

Sistemul:

2sx+y=0
x+2sy=0

admite solutii nenule in cazul in care determinantul sistemului este egal cu zero.Solutile nule nu ne intereseaza deoarece contravin egalitatii
x^2+y^2=1
Determinantul sistemului este:
4s^2-1
4s^2-1=0 rezulta s=+-1/2
In acest caz rezolvi sistemul in continuare odata pentru s=1/2 si separat pentru s=-1/2
Pastrezi o ecuatie din sistemul de mai sus plus ecuatia nefolosita rezulta sistemul:

2sx+y=0
x^2+y^2=1

Pentru s=1/2 obtinem efectuand calculele
x=+-1/rad2 y=+-1/rad2
Pentru s=-1/2 similar obtinem:
x=+-1/rad2 y=+-1/rad2
Punctele de extrem sunt patru la numar:
(+1/rad2,+1/rad2)
(+1/rad2,-1/rad2)
(-1/rad2,+1/rad2)
(+1/rad2,-1/rad2)
ramane doar sa calculam care sunt minime si care sunt maxime.


pufosu777

Am vazut mai tarziu ultimul mesaj, intre timp am calculat pentru lamda = 1/2.
Acum ma apuc sa le fac si pe celelalte.


Orakle

1-Da lamda l-ai calculat corect (dar l-am calculat si eu) trebuia sa gasesti x si y.
Dar nu din cele doua relatii din care ai gasit pe lamda ca nu se poate!!!
Ai trei ecuatii cu trei necunoscute (presupunem ca pe una l-ai folosit pentru lamda pastrezi una din cele doua relatii +relatia nefolosita!!) x^2+y^2=1

2-Punctul este in plan (ai doar doua variabile) deci trebuie sa fie cu doua componente (x,y) nu mai pui si lamda
Oricum ai gresit solutia (0,0) nu este corecta.
(dupa ce ai gasit x,y,lamda te verifici daca valorile gasite verifica cele trei ecuatii) (0.0) nu verifica ecuatia x^2+y^2=1
Ai probleme cu matematica de liceu din cauza aia merge asa greu. :)


pufosu777

Am mai lucrat ceva:
PS: Eu am in caiet punctul cu trei coordonate (f definit pe R patrat cu valori in R )

Orakle

#6
Diferentiala a doua asa facuta de mine la repezeala in cap pare bine facuta .
Punctul in plan are doua coordonate (x,y) nu ma inebunii !
Probabil pe lamda il purtati simbolic dupa voi sa nu ii uitati valoarea pentru a determina daca este min sau max

Dar vezi ca ai patru puncte nu doua dar in principiu asa la prima vedere ce ai facut este corect.
Apuca-te de cealalta problema!  :)

PS  Acuma vad ce ai scris!
-Pai intradevar F sau in cazul tau ai folosit L este o functie de trei variabile L (x,y.lamda) dar punctul din plan este definit de doua coordonate (x,y)  


Orakle

eventual mai trebuia sa scrii explicit de unde ai obtinut ca dif a doua este negativa sau pozitiva
Ceva de genul
-dx^2+2dxdy-dy^2=-(dx+dy)^2
similar pentru celalalt caz
dx^2-2dxdy+dy^2=(dx+dy)^2

pufosu777

Pentru celelalte doua puncte am calculat si cred ca este la fel (una pozitiva si alta negativa), din moment ce ramane lamda la fel.

Orakle

Citat din: pufosu777 din August 09, 2013, 06:26:24 PM
Pentru celelalte doua puncte am calculat si cred ca este la fel (una pozitiva si alta negativa), din moment ce ramane lamda la fel.

Corect!
Fa problema cealalta !

pufosu777