Inecuatie cu radicali

[ciureanuc]

Salut,

Rezolv niste teste online de matematica si am dat de inecuatia atasata.
Desi raspunsul ar trebui sa fie doar unul, nu cumva sunt doua raspunsuri valabile? (primele doua)

Scap ceva din vedere, vreo conditie de existenta, ceva?

Multumesc!

[valangjed]

Nu vad nicio conditie care sa "interzica" una din cele doua solutii.Sigur nu merg doua raspunsuri?

[ciureanuc]

Nu e primul exerciu gresit de pe site.

Intrebasem doar sa fiu sigur, sa le semnalez problema.
So, a si b sunt solutii corecte, da? 

[Orakle]

Nu e primul exerciu gresit de pe site.

Intrebasem doar sa fiu sigur, sa le semnalez problema.
So, a si b sunt solutii corecte, da? 

Ambele sunt corecte

[zec]

 Primele 2 solutii sunt acceptate.Mai corect ar fi totusi sa fie rezolvata complet .
Conditiile de existenta implica [tex]x^2-1\ge0[/tex] .
Dar apare si discutia pe compatibilitate.Mai exact cand radical de ordin 3 e negativ toate valorile din conditiile de existenta sunt solutii adica x<-1.
Cand ambele sunt pozitive adica pe x>1 ridicam la puterea a 6-a si dupa simplificari se obtine o inecuatie de grad 4 mai complicata de rezolvat.(chiar cu metode de analiza).
Concret vom avea [tex](x+1)^2<(x^2-1)^3[/tex] care se transforma in
[tex](x+1)(x-1)^3>1[/tex] care se rezolva sub forma [tex]x^4-2x^3+2x-2>0[/tex] si este grea   chiar daca se studiaza doar pe valori mai mari ca 1.

[Sieglind]

Primele 2 solutii sunt acceptate.Mai corect ar fi totusi sa fie rezolvata complet .

Am încercat şi eu. A mers până la un punct, de unde nu mai ştiu ce şi cum să fac.  

Deci, am inegalitatea:
[tex]\sqrt[3]{x + 1} < \sqrt{ x^2 - 1}[/tex]

Ridic la puterea 6:
[tex](x + 1)^2<(x^2 - 1)^3[/tex]

Simplific ce pot:
[tex](x + 1)(x + 1)<(x + 1)(x - 1)(x + 1)(x - 1)(x + 1)(x - 1)[/tex]
[tex]1 <(x + 1)(x - 1)^3[/tex]

adică
[tex](x+1)(x-1)^3 - 1 > 0 [/tex]
[tex](x+1)(x^3 -3x^2 + 3x -1) - 1 > 0[/tex]

Şi ajung la inecuaţia de gradul 4:

[tex]x^4 - 2x^3 + 2x - 2 > 0[/tex]

O pot reduce la una de gradul 2?

Cum x = 0 nu e soluţie (fiindcă are termen liber), am încercat să rezolv divizând cu x² în ecuaţia echivalentă:

[tex]x^2 - 2x + \frac{2}{x}- \frac{2}{x^2} = 0[/tex]

şi apoi substituind:
[tex]{t} ={x}+\,\frac{1}{x}[/tex] sau alte formule, dar nu-mi iese  

Şi mai cred că oricât aş încerca prin metoda substituţiei, e degeaba, fiindcă nu-i o ecuaţie simetrică de grad 4.

Este oare posibil să fie rezolvată prin descompunere în produs? (îi lipseşte termenul de gradul 2, iar termenul liber e negativ)

Zec, te rog frumos, îmi arăţi?  

[zec]

Ca sa fiu mai pe scurt ecuatia de grad 4 e rezolvabila prin radicali.Galois a demonstrat ca pentru polinoame de grad >4 nu se mai pot rezolva prin radicali.El a fost printre primi in istoria matematici care a evidentiat ideea de structura algebrica.E adevarat ca teoria scrisa de el nu a fost in formele moderne de acuma dar a fost extrem de valoroasa.
Cu toate ca exista o metoda algoritmica pentru forma generala se poate incerca si prin metoda de descompunere.
Nu am sa o fac eu si as vrea sa faci tu in cazul particular.
Aici gasesti cum sa faci  http://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_function

[Sieglind]

Zec, m-am uitat şi la articolul despre quartic function, te rog să mă crezi 

Din păcate, nu am fost în stare să o rezolv.

Voi pleca un timp de pe forum (dar nu din cauza asta). Dacă atunci când mă întorc găsesc că tu sau altcineva aţi dat o rezolvare, vă mulţumesc anticipat.

Dacă nu, e ok. Nu-i nici primul, nici ultimul lucru pe care nu voi fi reuşit să-l înţeleg.

Toate cele bune!