Autor Subiect: primul divizor (Citit de 3201 ori)

orh · « : Decembrie 01, 2012, 04:39:03 p.m. »

Care este primul divizor diferit de 1 al numarului (100!+1), unde 100!=1*2*3*...*100?
Cateva indicatii, va rog

Aiscrim · « **Răspuns #1 :** Decembrie 01, 2012, 06:27:19 p.m. »

Salut!

Cel mai mic divizor al lui $100!+1$ diferit de 1 va fi evident un numar prim (se demonstreaza usor prin reducerea la absurd(R.A.) si prin folosirea principiului extremal; iei $x$ cel mai mic divizor al lui $100!+1$ ; prin R.A. presupun ca e numar compus $\Rightarrow$ exista numarul prim $y$ a.i. $y|x$ . Din asta rezulta ca $y\le x$ si $y|100!+1$ , deci am gasit un divizor mai mic decat $x$ , contradictie)

Evident, $100!\ \vdots\ p\$ , unde $p$ este orice numar prim, $p\le 97$ , deci $100!+1$ nu este divizibil cu niciun numar prim mai mic decat 100.

Teorema lui Wilson afirma ca daca $p$ este un numar prim, $(p-1)!+1\equiv 0(\mathrm{mod\ } p)$

Bazandu-ne pe aceasta teorema si pe faptul ca $101$ este numar prim, $100!+1\ \vdots\ 101$ .

Astfel, $101$ este cel mai mic numar cu proprietatea cautata.

zec · « **Răspuns #2 :** Decembrie 02, 2012, 12:08:24 a.m. »

@Aiscrim foarte buna demonstratia doar ca puteai evita putin partea de inceput, incepand cu partea finala a demonstratiei in care aratai ca 101 divide numarul.E foarte usor de vazut ca nici un numar pana la 100 nu divide deoarece dau restul 1 la impartire.De aici minimalitatea.

Autor Subiect: primul divizor (Citit de 3201 ori)

orh

primul divizor

Aiscrim

Răspuns: primul divizor

zec

Răspuns: primul divizor