descompunere fractii simple

[Maya]

Buna ziua! Imi puteti da cateva idei la aceasta problema? La subpunctul a) am demonstrat ca F este sistem liniar independent. Cum polinoamele de grad ≤ 2 au dimensiunea 3 pt ca admit baza(1, X, X^2)=> F este si sistem de generatori=> baza. Sugestii pt urmatoarele subpuncte? Multumesc mult.

Fie (V,+) R – spaţiul vectorial al polinoamelor cu coeficienţi reali, de grad ≤ 2 (operaţiile
fiind cele uzuale).
a) Arată că F = { (X – 1)(X – 2); (X – 1)(X – 3); (X – 2)(X – 3)} este o bază în V.
b) Folosind baza de mai sus şi proprietăţile spaţiilor vectoriale, demonstrează formula de
descompunere în fracţii simple: Dacă P(X) este un polinom de grad ≤ 2 cu coeficienţi
reali, există numerele a, b, c  R, unic determinate, astfel ca
P(X)/(X-1)(X-2)(X-3)=a/X-1  +  b/X-2  + c/X-3.
c) Scrie cum se descompune în fracţii simple o fracţie raţională cu numitorul
(X – 1)(X^2 + 2X + 5).
Explică apoi (folosind teoria spaţiilor vectoriale) de ce o astfel de descompunere există şi
este unică.

[Electron]

b) Folosind baza de mai sus şi proprietăţile spaţiilor vectoriale, demonstrează [...]

Care sunt proprietatile spatiilor vectoriale?

e-

[Maya]

Acestea ar fi proprietatile de baza: Spatii Vectoriale
De asemenea, un vector are o scriere unica intr-o baza data (coordonatele sunt unice). La subpctul b) cred ca putem folosi aceasta proprietate pentru a demonstra unicitatea scrierii.

[zec]

La punctul c cauti o descompunere de forma A/x-1+(Bx+C)/x²+2x+5 si sa remarci ca numaratorul e un polinom de grad maxim 2.
La punctul b legat de a,b si ar trebui sa remarci ca sunt exact scalari unici determinati din scrierea unui polinom de grad 2 in baza respectiva.
Legat de demonstratia formulei de descompunere in fractii simple nu gasesc ideea sa ma folosesc de baza respectiva.