Suma a trei patrate perfecte

[sicmar]

Sicmar nu trebuie sa fi atat de cinic,dar in unele idei sunt de acord ca A.Mot trebuie sa fie mai atent in ce priveste felul sau de abordare in solutionarea problemelor.

Dacă n-ar fi fost avertizat şi altă dată eram mult mai rezervat.

Eu lui Sicmar i-am sugerat sa nu mai fie asa de avansat si superior in matematici cu lumea de pe aici care se arata destul de modesta in matematici.

La probleme care par a necesita matematică mai avansată, asta o folosesc.
În rest, m-am conformat şi ... am dat soluţie la nivel de clasa a VIII-a.  dovadă că mi-am însuşit critica.

dupa ce am vazut ca -1 e rest patratic ptr 2,5 si 13 cu ajutorul simbolului lui legendre ,am oprit cautarea unei solutii din lipsa de timp.

Pentru comentariul ăsta iar pot fi criticat. 

Este clar că dacă vrem să lucrăm cu (mod n) (fără prelucrări suplimentare ale relaţiilor iniţiale), atunci trebuie ca -1 să nu fie rest pătratic (mod n) şi în mod corect ai eliminat 2, 5 şi 13 pe acest considerent.

Cele mai la îndemână valori pentru n sunt puterile lui 2 (n>2), pentru care -1 nu este rest pătratic şi care au avantajul unui număr mic de resturi pătratice, deci un număr mic de verificări "băbeşti".

Apoi, trebuie ca 2, 5 şi 13 să fie distincte (mod n), pentru că altfel una dintre relaţii ar fi redundantă (şi nu pot crede că este o cacealma  . n=3, 4, 8 şi n=11 cad acest test.

Cea mai mică putere a lui 2 care respectă această cerinţă este 16.

Probabil, pe acest raţionament s-a ajuns, în condiţii de OIM sau alte concursuri, la soluţiile care lucrează cu (mod 16).

Deşi eram fără speranţe de succes, din pură curiozitate, între timp am verificat şi celelate valori n <16 şi ele nu evidenţiază contradicţii, astfel n=16 este cea mai mică valoare pentru care sistemul nu admite soluţii (mod n).

[A.Mot-old]

Inainte de a ma jigni ai fi putut sa spui unde am gresit.

Oare de ce ţi-am marcat cu roşu o parte din text? (În contextul încetării coridelor catalane, mi-ai adus aminte: Culoarea roşie îi stârneşte doar pe tauri, nu şi pe boi.)
Îţi fac hatârul de-a detalia prostiile pe care le-ai scris:
Din 2d-1=k² (scris de jane23) şi k²=2u+1 rezultă că ai rebotezat pe d ca u şi l-ai numit parametru. Atunci, din  5d-1=q² îţi rezultă q²=5u+1 şi nu prostia pe care ai scris-o: q²=5u+4 . Similar, ai r²=13u+1 şi nu prostia pe care ai scris-o: r²=13u+12 .

Am sa-ti raspund pe contrele tale si am sa-ti arat unde gresesti si unde ai dreptate.Sa stii ca si tu poti gresi si te pot jigni si eu platindu-ti cu aceiasi moneda dar am sa incerc sa ma abtin si te-as ruga sa nu te mai uiti pe rationamentul meu ca ____ la poarta ____ si sa pui mana pe creion si sa vezi clar unde gresesc eu si unde gresesti tu.........
Stimabile ma jignesti far sa analizezi corect rationamentul meu.Chiar nu observi ca din notatiile lui jane23 rezulta clar un sir de rapoarte egale cu d si ca din acest sir de rapoarte egale rezulta un sistem de ecuatii avand ca necunoscute patratele lui k,p si q?Daca nu observi imi pare rau si vorba ta cred ca te-ai ramolit si daca nu te-ai ramolit atunci sigur ai  sigur orbul gainilor.Concluzia ta ca u=d este falsa caci rezulta clar din acele relatii date de mine ca u=d-1.Te-ai spalat pe ochi inainte de a spune o asemenea neghiobie afirmand ca u=d?Sper ca iti este clar ca u=d-1!Daca nu te-nfurii atunci nu esti taur.

[A.Mot-old]

Din k²-1=2u nu rezultă prostia scrisă: k-1=2 si k+1=u. (Dacă ar fi cum spui, din 5²-1=2*12 ar rezulta 5-1=2 şi 5+1=12. Halal matematică!) Similar, din q²-4=5u nu rezultă prostia scrisă: q-2=5 si q+2=u.
Citând din clasicii care ţi se potrivesc, "este unii care sunt jicniţi din naştere".

Ai dreptate aici am gresit!Intr-adevar m-am grabit in a face o afirmatie falsa si corectez domnu' meditator:Din k²-1=2u rezulta k=2n+1 si u=2(n²+n) unde n este un numar intreg.Din solutia q²=5u+4 rezulta ca u=5n²-6n+1 , q=3-5n sau u=5n²-4n respectiv q=2-5m si din solutia r²=13u+12 rezulta ca u=13n²-16n+4 , r=8-13n sau u=Ai dreptate aici am gresit!Intr-adevar m-am grabit in a face o afirmatie falsa si corectez domnu' meditator:Din k²-1=2u rezulta k=2n+1 si u=2(n²+n) unde n este un numar intreg.Din solutia q²=5u+4 rezulta ca u=5n²-6n+1 , q=3-5n sau u=5n²-4n respectiv q=2-5m iar din solutia r²=13u+12 rezulta ca u=13n²-16n+4 , r=8-13n sau u=13n²-10n+1 respectiv r=5-13n.De aici facand calcule simple rezulta ca nu exista niciun n intreg pentru care sa existe u=d-1 astfel incat sa existe simultan patratele lui k,q si r.Nu stiu ce clasici se simt jicniti dar contemporanii nostrii care stiu cat de cat romaneste ar trebui sa stie ca este totuna.

[A.Mot-old]

Rău faci. Ce crezi nu contează în acest context iar ce ştii ... tinde spre zero. Rezultatul? Avalanşă de prostii.
Nici măcar după marcarea prostiilor pe care le-ai scris, puţinul pe care-l ştii nu te-a ajutat să înţelegi ce-i greşit acolo.
În matematică nu-i democraţie a naturii, în care "Cartoful putred zvârlit pe maidan / Scoate şi el puţinul lui verde". (Nu corecta citatul din Dinescu. Aşa a apărut în prima formă tipărită, într-un almanah, probabil din raţiuni de cenzură. În forma asta ţi se potriveşte.)

Jignirile tale arata ca tu esti un frustrat care nu a prea reusit in viata si mai arata ca nu ai cei sapte ani de-acasa.Unora le place sa citeasca mizeriile un scriitorasi sau poeti ce scriu in proza de teapa lui Dinescu care este un nimeni in literatura.Spune-mi ce citesti ca sa-ti spun ce fel de om esti!

[A.Mot-old]

Dacă n-aş fi ştiut problema, n-aş fi găsit-o pe net. (Acul în carul cu fân este mai uşor de găsit decât această problemă, dacă nu ştii că ea are un anumit istoric.)
Problema, cu un grad sporit de dificultate (doar nu degeaba s-a dat la IMO), şi abordarea ei făcută de către jane23 sugerau că jane23 are înclinare spre matematică. De asta am preferat să fac trimiteri la referinţe de pe net, care incitau la vederea altor probleme de acelaşi calibru. (Incitarea spre lărgirea orizontului aste scopul nemărturisit al deselor trimiteri spre referinţe de pe net, făcute nu doar aici.)
Când am avut timp să citesc soluţiile de pe net şi să le compar cu felul în care vedeam eu rezolvarea, am postat şi rezolvarea mea.

Ce rapoarte egale îţi rezultă? N-ai scris nici măcar unul. Mafalda nu citeşte forumul ăsta.
Cuvintele şi expresiile matematice aruncate cu furca sunt doar prostii, nu raţionamente.
În lipsa raţiunii ai ... lipsa raţionamentului.

Rămâne întrebarea pusă iniţial. Asta, dacă nu cumva sugerezi că erai odată în stare de mai mult dar ... te-ai ramolit!

Daca esti profesor titular atunci ma intreb cum ai obtinut titularizarea cand nu ai nici tact pedagogic si nici didactic caci comportamentul tau si al unora de pe aici este lipsit de maniera.[/b]

Nici nu mi-a trecut vreodată prin minte să mă titularizez ca profesor.
Mi-au ajuns cele doar 2 ore cât am fost "profesor" înlocuind, din obligaţie, pe cineva la nişte clase de seral, la un liceu. Cu tot respectul pentru profesori, dar nu-i pentru mine meseria asta. Profesorul lucrează "cu materialul clientului", nu-şi alege el materialul; mi-e îmi place să-mi aleg materialul.
Meditaţii am dat încă din anul I de liceu, când îi ajutam pe cei din anii IV-V să-şi facă temele la matematică. (Ca anecdotică: În liceu am stat "la gazdă" cu un coleg, cu convenţia: el plăteşte chiria; eu îl învăţ matematică. A intrat în cea mai solicitată facultate a politehnicii din Cluj, cu 10 pe linie.)
Tactul şi comportamentul se flexibilizează funcţie de obiectul uman asupra căruia se exercită. (Obiectul, în context, "sună ca dracul" dar ia-l ca la gramatică: subiectul exercită acţiunea asupra obiectului.) Ţi se potrivesc cele pe care le-am adoptat.

*

Ai suficient spaţiu de desfăşurare în domeniul criticii paradigmelor curente. Acolo sunt suportabile toate prostiile.
Nu te băga la matematică, unde nu este loc pentru prostii şi, mai ales, nu te băga la a da indicaţii de rezolvare a problemelor.

Daca nu vezi acel sir de rapoarte egale inseamna ca te afli in alt univers adica esti in afara...........Daca nu te superi poti sa-mi spui ce profesie ai si unde lucrezi acum ca prea te consideri plin de savantlacuri......Daca esti suplinitor la seral asta inseamna ca daca vorbesti asa cu elevii tai inseamna ca iei banii degeaba........De cand predai matematica la seral?
Stimabile daca iti place sa iti alegi pe cine sa meditezi atunci nu-mi mai raspunde la mesajele mele iar daca tot vrei sa raspunzi atunci fii civilizat si da dovada ca ai cei sapte ani de-acasa dar tare ma tem ca asa ai fost educat de parinti si de profesorii pe care i-ai avut.Eu voi posta unde vreau eu caci asa consider si cred ca numai prin comunicare decenta putem sa invatam unii de la altii. [eliminat propavaduire religioasa] Sper ca ai vazut acel sir de rapoarte egal cu d=u+1!

[Pozitron]

@A.Mot: ai avertisment oficial: lasa propavaduirea religioasa deoparte, nu amesteca religia cu discutiile din aceasta sectiune. Daca chiar nu te abtii sa faci asemenea remarci, fa-le pe mesageria privata ca de aceea exista. Altfel vom fi nevoiti sa aplicam sanctiuni.

Iar legat de:

Eu voi posta unde vreau eu caci asa consider [...]

Mi-e teama ca nu vei posta char orice oriunde vrei pe acest forum. Exista niste norme, iar pentru tine exista in mod special interdictia de a mai posta indicatii in sectiunea de teme pentru acasa. O repet ca nu cumva sa crezi ca nu e nimeni care supravegheaza acest forum.

@sicmar: esti rugat sa te concentrezi pe ideile prezentate aici si sa nu mai ataci persoana celor care fac erori de matematica. Dupa cum vezi discutia escaladeaza usor si nu aduce nimanui nici un castig.


<Pozitron>

[A.Mot-old]

Sicmar nu trebuie sa fi atat de cinic,dar in unele idei sunt de acord ca A.Mot trebuie sa fie mai atent in ce priveste felul sau de abordare in solutionarea problemelor.
 Totusi eu il apreciez pe A.Mot ca se arata interesat dar nu il apreciez ca se da si priceput si aici multa lume la avizat de greselile pe care le sugereaza.
 Eu lui Sicmar i-am sugerat sa nu mai fie asa de avansat si superior in matematici cu lumea de pe aici care se arata destul de modesta in matematici.
 Am remarcat greseala lui A.Mot de la prima citire si initial am cautat si eu o rezolvare la problema dar nu am timp sa acord prea mult si dupa ce am vazut ca -1 e rest patratic ptr 2,5 si 13 cu ajutorul simbolului lui legendre ,am oprit cautarea unei solutii din lipsa de timp.

Stimate Domnule Profesor "zec",
De ce stimabilul sicmar este cinic?Eu zic ca sicmar este un frustrat caci ii lipseste ceva precum unui butoi o doaga........Sta rau cu psihicul stimabilu'.........caci de-atata matematica ce stie nu mai vede nici sirul de rapoarte egale cu d=u+1......Recunosc ca am facut si o afirmatie falsa dar citeste te rog mesajele de raspuns date la mesajele lui sicmar si te rog sa-mi spui daca este bine iar daca nu este bine spune-mi unde gresesc.Multumesc!

[A.Mot-old]

@A.Mot: ai avertisment oficial: lasa propavaduirea religioasa deoparte, nu amesteca religia cu discutiile din aceasta sectiune. Daca chiar nu te abtii sa faci asemenea remarci, fa-le pe mesageria privata ca de aceea exista. Altfel vom fi nevoiti sa aplicam sanctiuni.

Iar legat de:

Eu voi posta unde vreau eu caci asa consider [...]

Mi-e teama ca nu vei posta char orice oriunde vrei pe acest forum. Exista niste norme, iar pentru tine exista in mod special interdictia de a mai posta indicatii in sectiunea de teme pentru acasa. O repet ca nu cumva sa crezi ca nu e nimeni care supravegheaza acest forum.

@sicmar: esti rugat sa te concentrezi pe ideile prezentate aici si sa nu mai ataci persoana celor care fac erori de matematica. Dupa cum vezi discutia escaladeaza usor si nu aduce nimanui nici un castig.


<Pozitron>

Stimate Domnule "Pozitron",
Eu nu dau indicatii!Incerc sa dau si eu o rezolvare asa cum ma pricep........si daca gresesc invat de la altii cum este bine.De-acum incolo am sa incep mesajul fara a cita si a spune asa:"Eu cred ca rezolvarea este urmatoarea:..........." si voi incheia cu "Daca cumva am gresit undeva rog pe oricine sa ma corecteze.".Aici ne aflam ca intr-o clasa si unul rationeaza intr-un fel iar altul intr-altfel,unul rationeaza bine iar altul rationeaza gresit dar asta nu inseamna ca daca eu gresesc uneori inseamna ca tot timpul gresesc sau gresesc intregul rationament.Sper ca am fost inteles bine si ca nu doresc altceva decat sa comunicam cat mai bine si decent.Eu voi incerca sa ma conformez regulamentului dar as vrea ca sa fii echidistant fata de toti forumistii si sa-i dai un avertisment oficial si lui sicmar pentru comportament indecent sau cinic.Multumesc!

Cu stima!  

A.Mot

[Pozitron]

@A.Mot: am sperat ca cearta dintre tine si sicmar se va calma de la sine, fara interventia moderatorilor. Din cate vad, ai continuat cearta cu atacuri in loc sa ignori atacurile sale sau sa le raportezi moderatorilor. Deci sunteti amandoi la fel de vinovati. Daca mai continuati cu asemenea atacuri vom trece la sanctiuni. Reveniti la suibect, e mai bine pentru toata lumea.

<Pozitron>

[sicmar]

Ai dreptate aici am gresit!Intr-adevar m-am grabit in a face o afirmatie falsa si corectez domnu' meditator:Din k²-1=2u rezulta k=2n+1 si u=2(n²+n) unde n este un numar intreg.Din solutia q²=5u+4 rezulta ca u=5n²-6n+1 , q=3-5n sau u=5n²-4n respectiv q=2-5m si din solutia r²=13u+12 rezulta ca u=13n²-16n+4 , r=8-13n sau u=Ai dreptate aici am gresit!Intr-adevar m-am grabit in a face o afirmatie falsa si corectez domnu' meditator:Din k²-1=2u rezulta k=2n+1 si u=2(n²+n) unde n este un numar intreg.Din solutia q²=5u+4 rezulta ca u=5n²-6n+1 , q=3-5n sau u=5n²-4n respectiv q=2-5m iar din solutia r²=13u+12 rezulta ca u=13n²-16n+4 , r=8-13n sau u=13n²-10n+1 respectiv r=5-13n.De aici facand calcule simple rezulta ca nu exista niciun n intreg pentru care sa existe u=d-1 astfel incat sa existe simultan patratele lui k,q si r.Nu stiu ce clasici se simt jicniti dar contemporanii nostrii care stiu cat de cat romaneste ar trebui sa stie ca este totuna.

Eşti incorigibil. Rezolvarea este corigibilă dar ... după corijare nu duce nicăieri.
Partea marcată cu galben poate fi ignorată pentru că, evident, este o eroare de tip copy/paste, fiind o preluare trunchiată a textului care-i urmează.
În părţile marcate cu roşu, albastru şi verde folosirea aceluiaşi parametru n este un abuz de notaţie (pentru a mă exprima elegant). Ele sunt corecte, fiecare în parte, luate separat, dar cu menţiunea expresă că parametrul n din fiecare zonă este altul. Pentru evitarea abuzului de notaţie trebuiau folosiţi parametrii diferiţi, de exemplu, în loc să scrii n în partea marcată cu albastru trebuia să scrii m şi în loc să scrii n în partea marcată cu verde trebuia să scrii p. Din astea îţi rezultă că era corect să scrii:
u=2(n²+n);
u=5m²-6m+1 sau u=5m²-4m;
u=13p²-16p+4 sau u=13p²-10p+1
etc.
Ele sunt valabile pentru orice n, m şi p nu doar atunci când n=m=p.
Aşa cum ai scris, prin folosirea abuzivă a aceluiaşi parametru n şi obligarea nejustificată de nimic ca n=m=p, ai eliminat o grămadă de posibile soluţii şi abuzul de notaţie este o greşeală care compromite rezolvarea.
Evident, cu greşeala asta este aşa cum spui, "facănd calcule simple" rezolvi problema, dar ... rezolvarea este compromisă.
Fără abuzul de notaţie nu ai nici calcule simple şi, pe calea asta, nici rezolvare.

*

Chiar trebuie să stea cineva după tine ca să-ţi corecteze toate greşelile?
Conştientizează odată faptul că matematica nu este un domeniu în care să poţi da indicaţii de rezolvare a problemelor.
Nu te gândeşti că greşelile tale pot induce în eroare un elev?

[A.Mot-old]

Eu cred ca patratele k,q si r fiind necunoscutele din sistemul de ecuatii atunci inseamna ca aceste necunoscute trebuie sa se calculeze in functie de acelasi parametru notat de mine cu u=d-1.
Din sirul de rapoarte egale cu d rezulta sistemul de ecuatii 5k²-2q²=-3 , 13q²-5r²=-8 , 13k²-2r²=-11 de unde rezulta din prima ecuatie k²=2u+1 , q²=5u+4 si respectiv r²=13u+12 iar acest u trebuie sa fie functie de acelasi parametru notat de mine cu n caci in caz contrar nicio ecuatie din sistemul de ecuatii 5k²-2q²=-3 , 13q²-5r²=-8 , 13k²-2r²=-11 nu cred ca s-ar verifica simultan in multimea numerelor intregi si deci nici in multimea numerelor naturale.Daca si acum am gresit rog sa mi se arate unde gresesc.

[Electron]

Eu cred ca patratele k,q si r fiind necunoscutele din sistemul de ecuatii atunci inseamna ca aceste necunoscute trebuie sa se calculeze in functie de acelasi parametru notat de mine cu u=d-1.

Pe ce se bazeaza aceasta credinta?

e-

[A.Mot-old]

Eu cred ca patratele k,q si r fiind necunoscutele din sistemul de ecuatii atunci inseamna ca aceste necunoscute trebuie sa se calculeze in functie de acelasi parametru notat de mine cu u=d-1.

Pe ce se bazeaza aceasta credinta?
e-

Nu inteleg de ce tu si altii de pe forum faceti "alergie" la verbul a crede si la substantivul credinta caci acestea nu au legatura neaparat cu religia si au si alte sensuri daca se citeste si DEX..............Repet:Patratele numerelor intregi k,q si r sunt necunoscutele dintr-un sistem de ecuatii si ca atare este normal ca numerele k,q si r trebuie sa fie functii de acelasi parametru sau de aceiasi parametri si in consecinta si patratele lui k,q si r trebuie sa fie functii de acelasi parametru sau de aceiasi parametri.Esti de acord ca daca notam patratele lui k,q si r cu x,y si respectiv z rezulta sistemul de ecuatii 5x-2y=-3 , 13y-5z=-8 , 13x-2z=-11?Care sunt valorile lui x,y si z care verifica acest sistem?Eu cred in sensul ca eu consider ca acest sistem are solutii doar in functie de un parametru.Daca nu am dreptate atunci arata-mi unde gresesc?

[Electron]

Nu inteleg de ce tu si altii de pe forum faceti "alergie" la verbul a crede si la substantivul credinta caci acestea nu au legatura neaparat cu religia si au si alte sensuri daca se citeste si DEX...

Eu cel putin nu am nici un fel de alergie la acest verb. Tu ti-ai exprimat o credinta (nu neaparat religioasa) iar eu te-am intrebat pe ce se bazeaza aceasta credinta, asta e tot. Daca crezi doar asa pentru ca asa vrei, e una. Daca crezi insa pe baza unor argumente serioase e alta. Asta voiam sa stiu. Se pare ca e vorba de prima varianta.

Repet:Patratele numerelor intregi k,q si r sunt necunoscutele dintr-un sistem de ecuatii si ca atare este normal ca numerele k,q si r trebuie sa fie functii de acelasi parametru sau de aceiasi parametri si in consecinta si patratele lui k,q si r trebuie sa fie functii de acelasi parametru sau de aceiasi parametri.

Nu este adevarat. Aceasta o fi normal pentru tine, dar faptul ca nu ai nici macar un argument ar trebui sa-ti dea un semnal de alarma ca vorbesti aiurea si degeaba.

Esti de acord ca daca notam patratele lui k,q si r cu x,y si respectiv z rezulta sistemul de ecuatii 5x-2y=-3 , 13y-5z=-8 , 13x-2z=-11?Care sunt valorile lui x,y si z care verifica acest sistem?

Urmareste raspunsurile lui sicmar, nu o sa reiau ce ti s-a mai explicat o data.

Eu cred in sensul ca eu consider ca acest sistem are solutii doar in functie de un parametru.

Ca spui "cred" sau "consider" in acest context e exact acelasi lucru. Eu iti cer argumentele, motivele pentru care consideri acest lucru. Ele inca lipsesc iar impresia mea este ca de fapt nici nu ai asa ceva.

Daca nu am dreptate atunci arata-mi unde gresesc?

Ti-a explicat sicmar mai sus. Legand necunoscutele de acelasi parametru, restrangi solutiile la un caz particular. Faptul ca nu pricepi acest lucru nu face decat sa demonstreze inca o data ca nu e cazul sa dai indicatii altora in rezolvarea de probleme.

Specifica clar de acum inainte ca rezolvarile pe care le propui sunt doar incercari de-ale tale, neverificate si neargumentate (faptul ca sunt neargumentate se vede detul de usor), ca sa nu induci in eroare pe cei care vin cu intrebarile.


e-

[sicmar]

Eu cred ca patratele k,q si r fiind necunoscutele din sistemul de ecuatii atunci inseamna ca aceste necunoscute trebuie sa se calculeze in functie de acelasi parametru notat de mine cu u=d-1.
Din sirul de rapoarte egale cu d rezulta sistemul de ecuatii 5k²-2q²=-3 , 13q²-5r²=-8 , 13k²-2r²=-11 de unde rezulta din prima ecuatie k²=2u+1 , q²=5u+4 si respectiv r²=13u+12 iar acest u trebuie sa fie functie de acelasi parametru notat de mine cu n caci in caz contrar nicio ecuatie din sistemul de ecuatii 5k²-2q²=-3 , 13q²-5r²=-8 , 13k²-2r²=-11 nu cred ca s-ar verifica simultan in multimea numerelor intregi si deci nici in multimea numerelor naturale.Daca si acum am gresit rog sa mi se arate unde gresesc.

Ar trebui să ştii că parametrizarea nu este acelaşi lucru cu eliminarea unei necunoscute (prin substituirea ei cu o expresie). Prin parametrizarea unei ecuaţii nu faci decât să creşti numărul de necunoscute şi de ecuaţii.

În cazul tău, când ai parametrizat prima ecuaţie, introducând parametrul n, ai crescut numărul de necunoscute prin adăugarea acestui n. Când parametrizezi a doua ecuaţie nu mai poţi folosi aceaşi notaţie n pentru noul parametru pentru că ai deja o altă necunoscută notată cu n.

Ar trebui să ştii că dacă aplici metoda substituţiei în rezolvarea unui sistem de ecuaţii, atunci substituţia trebuie să fie aplicată în toate ecuaţiile. Până când faci substituţia în toate ecuaţiile sistemului nu ai decât o creştere a numărului de necunoscute.

În rest, ceea ce ai scris este o bălmăjeală neargumentativă, pe alocuri, acolo unde am marcat cu roşu ca exemplu, fiind chiar lipsită de logică deoarece "simultan" se poate referii doar la o pluralitate nu la o unicitate.

*

De notat că oricare ar fi sistemul format doar din două din cele trei ecuaţii iniţiale, el are soluţii. Se poate uşor verifica că u=0, u=1 şi u=24 duc la soluţii în numere naturale pentru câte 2 din cele trei ecuaţii.

*

Voi pune acum în lucru metoda pe care o susţii, pe un sistem foarte simplu, pentru a-i contempla rezultatele aberante.
Avem de rezolvat în numere întregi sistemul: .
Pentru rezolvare parametrizăm ecuaţiile astfel:
pentru prima ecuaţie.
pentru a doua ecuaţie.
De aici deducem: x=2t=3t şi, în final, x=t=0.
Felicitări  
Tocmai am demonstrat că 0 este singurul număr întreg care se divide cu 2 şi cu 3.
Asta încă nu-i tot.
Ne mai rezultă că y=t=0 ceea ce înseamnă, nici mai mult nici mai puţin, decât:
există un singur număr întreg: 0