Axioma paralelelor si geometria neeuclidiana

[Mihnea Maftei]

De cand am aflat despre existenta geometriei neeuclidiene (acum mult timp), ma nedumereste o chestiune.

Nu am avut niciodata un curs despre geometria neeuclidiana, dar, din cate inteleg, geometria euclidiana este una in care postulatul al 5-lea al lui Euclid, cunoscut si ca "axioma paralelelor", nu este adevarat. Axioma paralelelor spune ca printr-un punct exterior unei drepte trece o singura (nu zero sau mai multe) dreapta paralela cu prima dreapta. In cadrul geometriei euclidiene pot trece mai multe drepte paralele...

Precizez ca, de fapt, "geometria neeuclidiana" este un termen general care include o categorie de geometrii, nu doar una. Printr-o geometrie, inteleg, in sens larg, un sistem coerent de axiome si tot ce rezulta din ele.

Nedumerirea mea este urmatoarea: In geometriile neeuclidiene, sunt notiunile de "dreapta" si "paralel" definite diferit fata de notiunile de "dreapta" si "paralel" din geometria euclidiana? Daca e asa, atunci nu ar trebui sa se spuna ca in geometriile neeuclidiene postulatul al 5-lea al lui Euclid nu e adevarat, pentru ca acest postulat foloseste alte definitii pentru "dreapta" si "paralel". Sau in geometriile neeuclidiene se folosesc aceleasi definitii pentru acele notiuni? Daca se folosesc aceleasi definitii, atunci imi e greu sa vad cum postulatul al 5-lea al lui Euclid poate fi considerat si adevarat si fals.

In timp ce am scris aceasta postare, am mai citit un pic si inteleg ca notiunea de "paralel" se poate referi la trei chestiuni:
1. Dreptele paralele sunt cele care nu se intersecteaza (dar apartin aceluiasi spatiu bidimensional...)
2. Dreptele paralele sunt cele intre care distanta e constanta.
3. Dreptele paralele sunt cele care formeaza unghiuri egale cu o alta dreapta care le intersecteaza.
In geometria euclidiana, toate cele trei chestiuni coincid.

Imi poate cineva raspunde la nedumerirea exprimata mai sus...? Multumesc.

[Electron]

Nedumerirea mea este urmatoarea: In geometriile neeuclidiene, sunt notiunile de "dreapta" si "paralel" definite diferit fata de notiunile de "dreapta" si "paralel" din geometria euclidiana? Daca e asa, atunci nu ar trebui sa se spuna ca in geometriile neeuclidiene postulatul al 5-lea al lui Euclid nu e adevarat, pentru ca acest postulat foloseste alte definitii pentru "dreapta" si "paralel". Sau in geometriile neeuclidiene se folosesc aceleasi definitii pentru acele notiuni? Daca se folosesc aceleasi definitii, atunci imi e greu sa vad cum postulatul al 5-lea al lui Euclid poate fi considerat si adevarat si fals.

Definitiile sunt aceleasi in geometriile neeuclidiene ca si in cea euclidiana. Diferenta care face a 5-a axioma sa fie corecta sau nu, tine de forma spatiului respectiv. Adica, in spatiile euclidiene (numite si "plate" sau cu o "curbura zero"), axioma a 5-a a lui Euclid este adevarata. Dar in spatii cu curbura diferita de zero (curbura poate fi pozitiva - ex 2D: sfera; sau poate fi negativa - ex 2D: saua) aceasta axioma nu mai e adevarata.

De retinut ca definitia "paralelei" este bazata pe proprietatea de a nu se intersecta cu dreapta de referinta (in acelasi spatiu bidimensional). Daca se pastreaza unghiurile la intersectia cu alte drepte sau daca distanta dintre ele e constanta sau nu, astea sunt proprietati care se deduc pentru paralele, in fiecare (tip de) spatiu in parte. In spatiile euclidiene paralelele au proprietatile pe care le amintesti in plus fata de proprietatea din fefinitie, in alte spatii neeuclidiene, paralelele pot sa nu aiba aceste proprietati in plus.

Pentru un alt exemplu cre ilustreaza faptul ca proprietatile legate de unghiuri si distante nu se pastreaza neaparat, gandeste-te la proprietatea sumei unghiurilor unui triungi in spatiile euclidiene si in alte spatii. Tocmai forma diferita a spatiilor va face ca aceste proprietati legate de unghiuri si distante sa se modifice.


e-

[Mihnea Maftei]

Multumesc pentru raspuns.

Totusi, in spatiile neeuclidiene nu se foloseste o alta definitie a "dreptei"? Sau cum se difineste dreapta in general?

[Electron]

Dreapta in general se defineste constructiv (si intuitiv): prin doua puncte date, putem duce (cel putin) o dreapta. Dreapta nu are grosime, si are proprietatea ca pentru orice doua puncte de pe ea, dreapta le uneste pe "drumul cel mai scurt posibil". (Intuitiv: dreapta merge "mereu inainte" nu coteste nici la stanga nici la dreapta).


e-

[zec]

Modelul lui Lobacevsky este un model de geometrie in plan  construit doar intrun semiplan.Pentru informatii consideram o dreapta d care imparte un plan in 2 si in unul din semiplane definim o dreapta AB astfel semicercul cu centrul pe dreapta d iara aceasta constructie are loc atata timp cat mediatoarea se intersecteaza cu dreapta d(se poate vedea d ca Ox) iara in caz ca mediatoarea e paralela consideram dreapta AB dreapta perpendiculara pe d.Nu tine neaparat de forma spatiului ci mai degraba de limitarea lui.Modelele de geometrie neeuclidiana au loc pe subspatii ale lui .

[Abel Cavaşi]

Totusi, in spatiile neeuclidiene nu se foloseste o alta definitie a "dreptei"?

Dreapta are acelaşi sens atât în geometria euclidiană, cât şi în geometriile neeuclidiene. Dealtfel, geometriile neeuclidiene au apărut tocmai datorită faptului că nu s-a putut demonstra că printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură paralelă la dreapta dată.

Mai mult, geometriile neeuclidiene sunt mai generale decât geometria euclidiană, o cuprind pe aceasta din urmă ca pe un caz particular (cazul în care curbura este nulă).

Cu această ocazie mai vreau să spun că geometriile actuale mi se par a fi insuficiente, căci nu iau în calcul torsiunea, ci numai curbura.

[zec]

Se pare ca nu se cunoaste foarte bine tema.Intradevar geometriile neeuclidiene au aparut destul de tarziu si in special datorat modificari pustulatului al 5-lea .Dar matematica la nivel axiomatic si aici ma refer la geometrie e definita la nivel de multime si elemente ale acestei multimi.Cand discutam despre notiuni de curbura sau torsiune intram in niste notiuni definite geometric si care nu definesc geometria ci caracterizeaza geometria.Deci aximoatic intai se defineste asa numita geometrie plana in care putem avea geometria euclidiana sau ceea neeclidiana.Ca sa fiu mai explicit am sa enunt primul grup de axiome.
1 planul este o multime de puncte pe care o vom nota cu
2 orice dreapta este o submultime a planului
3orice dreapta contine cel putin 2 puncte.In plan exista 3 puncte care nu sunt situate pe o dreapta
4 prin 2 puncte distincte trece o dreapta si numai una.
aceste 4 axiome sunt axiomele prin care se defineste dreapta in multimea de puncte a planului.In cazul in care planul numai e acelasi ca in spatiul euclidian avem posibilitatea sa avem drepte ca in modelul lui lobacevsky prezentat mai devreme sau altfel de drepte.In concluzie aceste axiome definesc unic si necontradictoriu o dreapta in sistemul axiomatic astfel ca singura axioma care se modifica este ceea a paralelelor si obtinem astfel un sistem axiomatic complet pentru asa numita geometrie neeuclidiana.Aparitia tarzie a acestei geometrii sa datorat exact lipsei unui model concret.La ora actuala existe mai multe modele de geometrie neeuclidiana dar care se separa in 2 tipuri numite si hiperbolic sau eliptic.Mai precis un model in care postulatul al 5 lea se modifica din printrun punct la o dreapta se poate duce o paralalela si numai una in se pot duce mai multe sau cel de al doilea in care nu se pot duce niciuna.Totusi si in geometria aceasta putem considera notiunea de cerc vazuta ca loc geometric si partea interesanta e sa vezi cum arata,avand in vedere ca un triunghi sau patrulater e mult mai usor de vizualizat.O alta parte interesanta a acestei geometrii este ca nu e una fantastica si uneori ne putem considera ca traim intrun model de acest gen.Pana la urma daca mergi in linie dreapta pe pamant vei ajunge sa faci in fapt ocolul pamantului in realitate si poti vedea un model geometric ca o sfera si dreptele sunt cercuri ale sferei.

[A.Mot-old]

Dreapta in general se defineste constructiv (si intuitiv): prin doua puncte date, putem duce (cel putin) o dreapta. Dreapta nu are grosime, si are proprietatea ca pentru orice doua puncte de pe ea, dreapta le uneste pe "drumul cel mai scurt posibil". (Intuitiv: dreapta merge "mereu inainte" nu coteste nici la stanga nici la dreapta).


e-

in ce geometrie ai dat definitia dreptei?

[Electron]

Dreapta in general se defineste constructiv (si intuitiv): prin doua puncte date, putem duce (cel putin) o dreapta. Dreapta nu are grosime, si are proprietatea ca pentru orice doua puncte de pe ea, dreapta le uneste pe "drumul cel mai scurt posibil". (Intuitiv: dreapta merge "mereu inainte" nu coteste nici la stanga nici la dreapta).


e-

in ce geometrie ai dat definitia dreptei?

Am incercat sa exprim definitia in general, fara a folosi particularitati dintr-o anumita geometrie. Ai ceva de obiectat la definitia asta?

e-

[A.Mot-old]

Dreapta in general se defineste constructiv (si intuitiv): prin doua puncte date, putem duce (cel putin) o dreapta. Dreapta nu are grosime, si are proprietatea ca pentru orice doua puncte de pe ea, dreapta le uneste pe "drumul cel mai scurt posibil". (Intuitiv: dreapta merge "mereu inainte" nu coteste nici la stanga nici la dreapta).


e-

in ce geometrie ai dat definitia dreptei?

Am incercat sa exprim definitia in general, fara a folosi particularitati dintr-o anumita geometrie. Ai ceva de obiectat la definitia asta?

e-

Pai in geometria euclidiana eu stiu ca prin doua puncte se poate duce doar o singura dreapta si nicidecum cel putin o dreapta cum afirmi tu.........

[Electron]

Pai in geometria euclidiana eu stiu ca prin doua puncte se poate duce doar o singura dreapta si nicidecum cel putin o dreapta cum afirmi tu.........

Ceea ce am spus eu nu contrazice faptul ca in geometria euclidiana se poate duce exact o dreapta.

Ca sa ai cel putin o dreapta, trebuie sa ai neaparat mai mult de una?

e-

[A.Mot-old]

Pai in geometria euclidiana eu stiu ca prin doua puncte se poate duce doar o singura dreapta si nicidecum cel putin o dreapta cum afirmi tu.........

Ceea ce am spus eu nu contrazice faptul ca in geometria euclidiana se poate duce exact o dreapta.

Ca sa ai cel putin o dreapta, trebuie sa ai neaparat mai mult de una?

e-

Afirmatia ta duce la faptul ca in geometria euclidiana prin doua puncte se pot duce mai multe drepte si nu numai una singura.Cate drepte se pot duce prin doua puncte in geometria neeuclidiana?

[Electron]

Afirmatia ta duce la faptul ca in geometria euclidiana prin doua puncte se pot duce mai multe drepte si nu numai una singura.

Nu este adevarat. Ai o demonstratie pentru asta?

Cate drepte se pot duce prin doua puncte in geometria neeuclidiana?

Se poate duce cel putin cate o dreapta. 

e-

[AlexandruLazar]

A.Mot, permite-mi să traduc...

Dreapta in general se defineste constructiv (si intuitiv): prin doua puncte date, putem duce (cel putin) o dreapta. Dreapta nu are grosime, si are proprietatea ca pentru orice doua puncte de pe ea, dreapta le uneste pe "drumul cel mai scurt posibil". (Intuitiv: dreapta merge "mereu inainte" nu coteste nici la stanga nici la dreapta).

În orice sistem geometric vrei tu, prin două puncte date poți duce cel puțin o dreaptă; dacă nu poți duce niciuna, evident nu mai ai un sistem geometric prea grozav. În cazul geometriei euclidiene poți duce numai una. În alte geometrii poți duce mai mult. În orice caz, prin două puncte, poți duce întotdeauna cel puțin o dreaptă (dar câteodată -- în particular, dacă spațiul cu care lucrezi are metrică euclidiană parcă, nu mai mult de una).

[atanasu]

Mihnea , ma bucur ca absolut intamplator (nici nu stiu cum-probabil ca Cineva a dorit sa revin pe o preocupare mai veche cat mai sunt pasuit in timp) am observat aceast subiect care ma intereseaza si pe mine. O sa cercetez raspunsurile primite dar intrebarile tale sunt judicioase cu sublinierea ca nici dreapta si nici distanta nu sunt foarte clar definite sau, daca vrei, se definesc circular una prin cealalta ceea ce probabil ca face ca postulatul lui Euclid sa fie postulat si nu teorema. Faptul ca pe sfera (curbura pozitiva) sau pe o sha (curbura negativa) acestea sunt altfel ca forma nu face mai putin ca aceste spatii sa fie fata de spatiul tridimensional cam ce sunt logicele nonbivalente fata de logica bivalenta a lui Aristot.
Sper sa intelegi ce am vrut sa spun cu asta si poate ca despre acest subiect voi discuta in anii urmatori caci personal cred totusi ca in spatiul tridimensional care inglobeaza toate celelalte spatii ce difera intre ele prin forma, axioma paralelor este totusi o teorema cea mai adanca, este drept, dar teorema. Este doar o intuitie,  am inceput totus in trecut o incercare de demonstatie dar am intrerupt-o . Cred insa ca am ajuns intrun punct demn de interes si daca va iesi ceva evident ca vei fi primul de pe acest forum caruia ii voi spune ce am facut. Desi cred ca si dl Cavasi ar putea fi un judecator fiind de profesie matematician.
Poate ca este un noroc daca discutia, este drept ca foarte scurta si foarte veche (din 2011), ma va ajuta in ce vreau sa fac.