O ecuatie cu numere complexe

[bbb]

Am de rezolvat o ecuatie care arata asa:
, unde z* este conjugatul lui z.
M-am gandit sa scriu ca , deci
Am inlocuit in ecuatie si am obtinut , iar apoi am desfacut parantezele. Iar mai apoi nu stiu ce sa fac ca sa obtin solutiile ecuatiei.
Ma puteti ajuta cu o idee, va rog?

[Adi]

Apoi grupezi sub forma A*i^2+B*i+C=0, iar asta se intampla doar cand A=0 si B=0 si C=0 simultan. Obtii asadar un sistem de ecuatii.

[Electron]

Apoi grupezi sub forma A*i^2+B*i+C=0, iar asta se intampla doar cand A=0 si B=0 si C=0 simultan. Obtii asadar un sistem de ecuatii.

Dat fiind ca i² = -1, conditiile propuse de Adi sunt doar un caz particular. De exemplu si pt A = C = 1 si B = 0, avem A*i^2+B*i+C=0

e-

[mircea_p]

E suficient sa egalezi cu zero partea reala si respectiv partea imaginara, dupa desfacerea parantezelor si gruparea termenilor.
Puterile lui i nu sant relevante aici, cum ar fi in cazul puterilor variabilei unui polinom, la care probabil ca s-a gandit Adi.

[Adi]

Apoi grupezi sub forma A*i^2+B*i+C=0, iar asta se intampla doar cand A=0 si B=0 si C=0 simultan. Obtii asadar un sistem de ecuatii.

Dat fiind ca i² = -1, conditiile propuse de Adi sunt doar un caz particular. De exemplu si pt A = C = 1 si B = 0, avem A*i^2+B*i+C=0

e-

Asa e, nu am fost atent. De altfel tu aveai doar doua necunoscute, a si b. Atunci scrii sub forma A*i+B=0 si pui conditia A(a,b)=0 si B(a,b)=0. Asa ai un sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute: a si b.

Se vede ca mi-am iesit din mana.

[bbb]

Am facut cum a spus mircea_p:

cum i^2=-1, am obtinut:

Am egalat atat partea reala cat si partea imaginara cu 0 si am obtinut:

Din prima relatie am scos , deci
am inlocuit si am obtinut b=+2 sau b=-2.
Deci z=1+2i sau z=1-2i.
Am inlocuit in ecuatia initiala din cerinta si verifica.
Multumesc de ajutor!

[Adi]

Excelent!

[mircea_p]

Cu placere.
Totusi cred ca mai este o solutie.
Prima conditie (cea care provine din partea imaginara) admite si solutia b=0, nu?

[bbb]

Da. Si atunci as avea a^2 +2a +1 =0. Si raspunsul ar fi numar real. Aia am pus la inceput, dar am uitat sa mai scriu si in mesaj.