Autor Subiect: O problema cu parte intreaga si parte fractionara (Citit de 4704 ori)

b12mihai · « : Aprilie 22, 2010, 05:30:00 p.m. »

Fie $B = \{x \in \mathbb{R} \ | \ [x+\{x\}]=3\}$ . Atunci:

a) B = (3 ; 5] b) B = {3} c) B = [3 ; 7/2] d) B = [2 ; 3] e) B = [5/2 ; 7/2]

Eu am incercat asa:

$3 \le x+{x} < 4 \Rightarrow 3 \le 2x - [x] < 4 \$

Notand $[x] = k \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in [k,k+1)$ si din relatia de mai sus se obtine:

$\frac{3+k}{2} \le x < \frac{4+k}{2}$

Acum m-am gandit cumva ca intervalul [k,k+1) trebuie sa fie inclus in $[\frac{3+k}{2} , \frac{4+k}{2}]$ , dar de aici mi-a iesit ca nu exista nici un k astfel incat sa se realizeze aceasta incluziune

Aici m-am blocat

P.S.Raspunsul corect la aceasta problema spune in carte ca este e) , dar nu este oferita nici o indicatie

. Multumesc anticipat pentru raspunsuri.

laurentiu · « **Răspuns #1 :** Aprilie 22, 2010, 10:04:38 p.m. »

Problema o poti aborda putin altfel.Sunt 2 conditii:
1) $[x]+2\{x\}\ge3$ .Se poate verifica ca daca $[x]<2$ nu exista solutie ,iar pt $[x]=2$ e obligatoriu ca $\{x\}\ge\frac{1}{2}$ .Evident $[x]\ge3$ verifica ,deci de aici obtinem $x\ge2,5$
2) $[x]+2\{x\}<4$ .E clar aici ca daca $[x]\ge4$ nu avem solutii .Deci $[x]\le3$ .Evident pt $[x]\le2$ avem solutie ,iar pt $[x]=3$ este neaparat obligatoriu si suficient de asemenea ca $\{x\}<\frac{1}{2}$ ,altfel nu am avea solutie .De aici obtinem $x<\frac{7}{2}$ .
Coroborand 1)si 2) obtinem ca orice x cu $\frac{5}{2}\le x<\frac{7}{2}$ avem $x\in B$ ,iar pt $x\in(-\infty,\frac{5}{2})\cap[\frac{7}{2},\infty)$ avem $x\not\in B$ .Deci $B=[\frac{5}{2},\frac{7}{2})$ ,deci niciun raspund a,b,c,d sau e nu e corect:)).

b12mihai · « **Răspuns #2 :** Aprilie 23, 2010, 07:55:10 p.m. »

Am reusit sa fac problema folosind indicatiile de la tine. Am luat pe incercari si am dat valori partii intregi, scriind-ul la inceput pe x ca parte fractionara + parte intreaga.

Multumesc mult pentru raspuns! Azi am reusit si eu sa ii dau de cap. Intr-adevar este gresit , raspunsul corect este $B=[\frac{5}{2},\frac{7}{2})$ , mi-a iesit si mie asta. Probabil ca vroiau sa scrie la variante e) deschis la 7/2 si au gresit la tipar.

Autor Subiect: O problema cu parte intreaga si parte fractionara (Citit de 4704 ori)

b12mihai

O problema cu parte intreaga si parte fractionara

laurentiu

Re: O problema cu parte intreaga si parte fractionara

b12mihai

Re: O problema cu parte intreaga si parte fractionara