Am sa prezint o generalizare.Fie f:[a,b]->I inversabila si intergrabila.Atunci
dx+\int_{f(a)}^{f(b)}f^{-1}(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}f^{-1}(f(x))f'(x)dx=\int_{a}^{b}(f(x)+xf'(x))dx=\int_{a}^{b}(xf(x))'dx=bf(b)-af(a))
.
In particular pentru
=2^{sinx}; a=-\frac{\pi}{2}, b=\frac{\pi}{2})
si faptul ca
)dx=\int_{\frac{1}{2}}^{2}arc\sin(\log_{2}x)dx)
se obtine rezultatul dat adica
R:
Observatii:-am folosit schimbarea de variabila x->f(x) la prima parte fara sa schimb variabila x.Corect era sa fac x->f(y) si sa se vada ca in timp ce x era de la f(a) la f(b) atunci y se duce de la a la b intrucat y=f
-1(x)
-La integrala din problema am efectuat schimbarea de variabila x-2->x
-nu am aratat in cazul particular ca functia data e inversabila,se remarca totusi usor ca e compunerea dintre 2
x si sin x ,iara sinus e inversabila pe acel interval.
