Forumul Scientia

Matematică şi Logică => Analiza matematica => Subiect creat de: b12mihai din Octombrie 29, 2009, 05:16:40 p.m.

Titlu: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: b12mihai din Octombrie 29, 2009, 05:16:40 p.m.
Aici se discuta si se ofera solutii la integrale mai deosebite, care nu sunt rezolvate in manualul de clasa a XII-a de analiza matematica.

Problema din manualul meu de clasa a XII-a, la metode de integrare (mai exact la integrarea prin parti):

\displaystyle\int^1_0 \dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}e^{arctgx}\,dx

Nu am nici cea mai vaga idee cum as putea sa o fac  ??? ??? ??? Ok, metoda ar fi integrare prin parti...am incercat sa iau ca fiind inmultirea dintre  x^2 + x + 1 si  \dfrac{e^{arctgx}}{x^2+1}, care e derivata functiei e^{arctgx} , dar mai departe nu mi-a iesit nimic...ajungeam la 0=0.
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: laurentiu din Octombrie 29, 2009, 07:10:20 p.m.
Rezultatul este e^{\frac{\pi}{4}.Si acum fiindca ai spus ce ai incercat iti dau un indiciu:scrie integrala ca \int_0^1 e^{arctgx}dx+\int_0^1 \frac{x}{x^2+1}\cdot e^{arctgx}dx si pe a2a las-o asa cum tiam zis eu.O sa-ti iasa. :D
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: b12mihai din Octombrie 29, 2009, 10:26:51 p.m.
@laurentiu: Multumesc mult. Am folosit indicatia ta, am calculat si mi-a dat tot e^{\frac{\pi}{4} . Nu m-am gandit o secunda la smecheria aia...
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: laurentiu din Octombrie 29, 2009, 10:48:39 p.m.
Asta chiar a fost frumoasa integrala ,pt ca nu era nimic de calculat. apropo presupun ca esti in clasa a12-a ..ai ajuns deja la integrala definita? sau inveti inainte?(de ex pt olimpiada)
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: laurentiu din Octombrie 29, 2009, 10:55:39 p.m.
Am verificat si metoda pe care a-i incercat-o tu si pur si simplu ajungi de unde ai plecat.Fara smcheria mea practic n-ai ce sa-i faci ;)
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: b12mihai din Octombrie 30, 2009, 02:22:34 p.m.
@laurentiu: sunt a XII-a, nu ma pregatesc pt olimpiada. Am ajuns de foarte mult timp la integrala definita si am inceput metodele de integrare. Mai avem metoda schimbarii de variabila. Profesorul nostru preda ceva mai rapid lectiile pt ca vrea sa termine materia de a XII-a mai repede ca sa putem recapitula calumea pentru BAC.

Astazi am mai facut alte integrale de-astea mai ciudate si iata cateva la care m-am incurcat (profu nu a apucat sa le faca, sper sa ni le arate luni, cand avem din nou matematica):

 \int x^2 \cdot e^x\cdot cos2x dx

Am zis ca sa iau ca fiind inmultirea dintre e^x derivat si x^2cos2x...dar ce imi iesea la calcule mai bine nu ma gandesc...Oare asa se face?

Si inca una, care am impresia ca se face prin metoda schimbarii de variabila, iar eu inca nu am invatat aceasta metoda (bine, la nevoie pot trage cu ochiul in manual sa vad cum e metoda si sa aplic, dar as vrea sa vad daca se poate si FARA aceasta metoda):

 I = \int \frac{sinx+1}{cosx+1}\cdot e^x dx

Asta cred ca mi-a iesit, in mare. Ce am facut...Am scris fractia 1+sinx/1+cosx ca fiind:

 \frac{tgx + sqrt{1+tg^2x}}{1+sqrt{1+tg^2x}}

Bun, si notand tgx cu t, ar trebui sa avem dx = \frac{1}{1+t^2} dt (asa am citit in manual ???)

 I = \int \frac{t + sqrt{1+t^2}}{1+sqrt{1+t^2}}\cdot e^{arctgt} \cdot \frac{1}{1+t^2} dt - si asta ar merge apoi ca integrare prin parti ?!

In concluzie, daca ai idee macar cum sa incep aceste integrale sa le fac...ca nu prea imi dau seama (mai ales la prima  :( )

Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: Adi din Octombrie 30, 2009, 03:59:21 p.m.
Vezi ca in latex trebuie scris "\cos x" si nu "cos x", "\sin x" si nu "sin x", "\tan x" si nu "tg x", la fel "\cot x" si nu "cot x".

Apoi ar fi fain ca dupa ce intelegi anumite derivate, precum cea de ieri, sa scrii toti pasii si sa ni-i dai sa ii punem intr-un articol la Stiinta Azi. Am pus deja tabele cu derivate si integrale in ultimele zile si am vrea sa punem si exemple de integrare prin parti ...
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: b12mihai din Octombrie 30, 2009, 06:24:17 p.m.
Am niste caiete de analiza pline ochi cu calcule de limite de siruri, limite de functii, derivate, integrale...Asta e o formalitate. Ar trebui puse exemple din care elevii sa invete smecheria, ca intr-un manual...Pt ca ce am postat eu, cu ideea de la Laurentiu, nu e chiar ... un exemplu "clasic"...

Am inteles acum cum e si cu latex...dar, na...acum daca a iesit cum ar trebui sa fie...retin pt cand voi redacta in latex. Deci...cum se rezolvau  ???
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: laurentiu din Octombrie 30, 2009, 07:59:07 p.m.
Prima n-am facut-o inca ,dar la a2a nu trebuie nicio schimbare de variabila:e simplu scrii integrala ca:\int \frac{1}{1+\cos x}\cdot e^x dx + \int \frac{\sin x}{1+\cos x}\cdot e^x dx si o integrezi pe a2a prin parti ,si ti se va simplifica prima ;)
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: b12mihai din Octombrie 30, 2009, 09:13:51 p.m.
Laurentiu...esti genial. Mi-a iesit si asta folosind ideea de la tine! Rezultatul este (daca nu cumva am gresit la calcule):

 \frac{e^x\sin x}{1+\cos x}

O sa revin si cu redactarile problemelor la care m-ati ajutat. Le voi scrie pe foaie si apoi le scanez, ca mi-e groaza cand ma gandesc cat e de scris in Latex/Word ...
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: Adi din Octombrie 30, 2009, 09:41:39 p.m.
Pai ideea e sa le scrii in Latex, ca e usor, si daca gresesti ceva, poti corecta apoi imediat. Dar daca gresesti cumva pe foaie, nu e mai greu sa rescrii totul de la zero? Latex e foarte usor de invatat si apoi il stii toata viata si creeaza aceste ecuatii foarte faine ... Si ar ajuta si alti elevi in tara.
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: laurentiu din Octombrie 30, 2009, 11:51:02 p.m.
Cred ca si prima iese dupa ceva munca de vreo pagina, cel putin se ajunge la ceva de genu \int e^x \sin^2 x dx ,oricum incearca integrala\int e^x x^2 \sin^2 x dx ,care cred ca iti dai seama de unde vine .La asta chiar n-am alta idee pt moment. :(
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: b12mihai din Noiembrie 03, 2009, 08:36:06 p.m.
@laurentiu, ieri la ora de mate ne-a aratat, in sfarsit, cum se rezolva acea integrala...Nu prea aveam de unde sa intuiesc aceasta rezolvare.

Este vorba despre scrierea unui sir printr-o relatie de recurenta.

Avem:

I_n=\displaystyle\int  x^n e^x \sin 2x\, dx J_n = \displaystyle\int  x^n e^x \cos 2x\, dx (fara semnele alea de intrebare, care nu inteleg de unde apar...)

Cum se va calcula I_n asa se va calcula si J_n, si vom avea ca I_2 = \int  x^2 e^x \sin 2x dx , respectiv J_2 = \int e^x x^2 \cos 2x dx  - cele de care intrebam si nu stiam la momentul respectiv sa le fac (iarasi fara semne de intrebare...nu inteleg de la ce apar, va rog sa ma corectati).

Bun. Calculam intai I_0 = \int e^x \sin 2x dx , folosind metoda integrarii prin parti:

I_0 = \int (e^x)^' \sin 2x dx = e^x\sin2x - 2 \int e^x \cos2x dx = e^x\sin2x - 2 \int (e^x)^' \cos2x dx = e^x\sin2x - 2(e^x\cos2x + 2\int e^x \sin2x dx ) = e^x(\sin2x - 2\cos2x) - 4I_0.

Asadar vom avea (separand necunoscuta de cunoscute - trecand tot ce contine I_0 intr-o parte):

 5I_0 = e^x(\sin2x - 2\cos2x) \Rightarrow I_0 = \frac{e^x}{5}\cdot(\sin2x - 2\cos2x) .

Bun, asadar avem primul element al sirului  (I_n)_{n\ge0} , definit prin I_n=\displaystyle\int  x^n e^x \sin 2x\, dx . Cum nu stim sa calculam acea integrala, am putea obtine o relatie de recurenta (avand I_0:

Observam ca:
 (I_0) ' = e^x \sin2x - derivata si integrala sunt operatii opuse.
I_n= \displaystyle\int  x^n e^x \sin 2x\, dx = \int x^n \cdot (I_0)' . Calculandu-l si pe I_n folosind metoda integrarii prin parti o sa obtinem ca:

I_n = \frac{x^n e^x}{5}(\sin2x - 2cos2x) - \frac{n}{5}I_{n-1} + \frac{2n}{5}J_{n-1}..

Absolut analog se calculeaza J_n si se obtine o relatie analoaga de recurenta si nu ne ramane decat sa calculam elementele din sir de care aveam nevoie (in cazul de fata: tex]I_2 = \int  x^2 e^x \sin 2x dx [/tex], respectiv J_2 = \int e^x x^2 \cos 2x dx  ).
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: laurentiu din Noiembrie 03, 2009, 10:30:23 p.m.
Da frumoasa solutie ,eu tot m-am chinuit cu partea aceea cu sin2x(si cu sin^2 x,da nu-mi dadeam seama ce sa-i fac),ca mi-am dat seama ca este ceva ,dar deabia azi am invatat relatiile de recurenta la matematica ,chiar daca aveam eu ceva habar de ele mai demult .
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: laurentiu din Noiembrie 03, 2009, 10:34:17 p.m.
Propun moderatorilor sau administratorilor sa modifice titlul topicului(de exemplu sa-l numeasca"Integrale,cls a XII-a") ,pt ca orice are nevoie vreodata de sa poata posta aici fara sa deschida alt topic.
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: Adi din Noiembrie 04, 2009, 02:19:34 a.m.
Propun moderatorilor sau administratorilor sa modifice titlul topicului(de exemplu sa-l numeasca"Integrale,cls a XII-a") ,pt ca orice are nevoie vreodata de sa poata posta aici fara sa deschida alt topic.

Buna sugestie, am facut.
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: b12mihai din Noiembrie 06, 2009, 12:41:07 p.m.
De acord. Atunci...nu imi ramane decat sa mai revin cu integrale (tocmai am primit o tema dificila cu integrale care se obtin prin relatii de recurenta) atunci cand voi mai avea. De obicei cele elementare apar in manuale. Nu si cele deosebite. Si de cele mai multe ori se da DOAR rezultatul. Noi aici am dat si idei/sugestii de rezolvare.

Pare sa fie una din partile dificile si intr-adevar serioase ale matematicii.

LATER EDIT: Sa nu uitam de articolul de pe StiintaAzi cu tabelul primitivelor uzuale (http://www.scientia.ro/stiinta-la-minut/110-matematica/1425-tabele-de-integrale-nedefinite-si-de-primitive-uzuale.html) la care ar fi o idee sa se puna link catre topicul asta.
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: laurentiu din Noiembrie 06, 2009, 02:11:53 p.m.
In legatura cu problema de inceput a topicului ,pe baza ei am inventat o problema destul de interesanta zic eu .Problema suna cam asa:
Fie f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} cu proprietatea  F(x)+f(x)=\frac{x^2+x+1}{(x^2+1)\cdot e^x}\cdot e^{arctg x},unde F:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} este o primitiva a functiei care se anuleaza in x=0.Sa se determine f.(as propune-o la locala la mine in Arges sau la un concurs care e acum tot in Arges ,da problema e ca sunt concurent si eu )
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: Adi din Noiembrie 06, 2009, 04:28:48 p.m.
LATER EDIT: Sa nu uitam de articolul de pe StiintaAzi cu tabelul primitivelor uzuale (http://www.scientia.ro/stiinta-la-minut/110-matematica/1425-tabele-de-integrale-nedefinite-si-de-primitive-uzuale.html) la care ar fi o idee sa se puna link catre topicul asta.

Buna sugestie. Am facut si am pus articolul acela iar pe prima pagina.
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: Adi din Noiembrie 06, 2009, 08:37:44 p.m.
LATER EDIT: Sa nu uitam de articolul de pe StiintaAzi cu tabelul primitivelor uzuale (http://www.scientia.ro/stiinta-la-minut/110-matematica/1425-tabele-de-integrale-nedefinite-si-de-primitive-uzuale.html) la care ar fi o idee sa se puna link catre topicul asta.

Buna sugestie. Am facut si am pus articolul acela iar pe prima pagina.

Am mai promovat si o problema rezolvata model intr-un articol dedicat ei pe Stiinta Azi.
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: b12mihai din Noiembrie 07, 2009, 12:58:37 p.m.
Uite o alta integrala mai "speciala" care am intalnit-o in multe culegeri si care sunt sigur ca ar pune probleme multor elevi. Am rezolvat-o, o sa revin cu rezolvarea mai incolo:

 \int \frac{\arccos sqrt{x}}{sqrt{1-x}} dx

Si uite una care chiar nu mi-a iesit:

 \int x sqrt{x^2+a}\, dx, a numar real. Am incercat sa scriu ca  \int (\frac{x^2}{2})^'sqrt{x^2+a}\, dx dar mai departe ori nu imi iese la calcul ori am aplicat metode gresite (ori, cel mai probabil, nu stiu eu sa fac mai departe de pasul asta...)

Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: graethel din Noiembrie 08, 2009, 01:02:29 a.m.
Gothik, nu trebuie sa fac integrare partiala.

Fa substitutia y=x2+a.

Oricum pentru un ochi antrenat se vedere ca primitiva este const*(x2+a)3/2 pentru ca x este jumatate din derivata lui x2+a si poti folosi formula:

 \int f(\phi (t)) \phi'(t) dt = \int f(x) dx
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: b12mihai din Noiembrie 08, 2009, 03:08:04 p.m.
@graethel - multumesc de sugestie, dar eu inca nu am studiat schimbarea de variabila. Nu e o problema, o iau inainte si ma uit in manual. Am gasit si o metoda cu integrare prin parti intre timp (cum de nu mi-a venit ideea mai devreme  ??? ):

Amplificam cu radicalul in expresie si obtinem :

\int \frac{x(x^2+a)}{sqrt{x^2+a}}\, dx si apoi se scrie:

\int \frac {x}{sqrt{x^2+a}}\cdot(x^2+a)dx = \int (sqrt{x^2+a})^'\cdot(x^2+a)\,dx si iese elegant folosind integrarea prin parti  ;D ;D
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: laurentiu din Noiembrie 08, 2009, 05:59:34 p.m.
Prima integrala pe care gothik a propus-o cea cu arccos de radical din x se face prin schimbare de variabila y=x^2, mai apoi se aplica integrarea prin parti si mai trebuie calculat doar \int arccos^2 y dy .Sunt curios cum ai facut-o tu .
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: b12mihai din Noiembrie 11, 2009, 09:29:26 p.m.
Cum (inca) nu am studiat la scoala schimbarea de variabila am gasit o metoda de integrare prin parti. Anume:

 \int \arccos sqrt{x} \cdot \frac{-1}{2sqrt{1-x}} \cdot (-2)dx - am inmultit si am impartit cu -2. Integrala noastra devine, astfel:

 -2 \int \arccos sqrt{x}\cdot(sqrt{1-x})^'dx = -2sqrt{1-x}\,\arccos sqrt{x} - \int \frac{1}{sqrt{x}}dx - aici am aplicat integrarea prin parti si, dupa cum se vede, da elegant. Rezultatul obtinut:

 -2sqrt{1-x}\, \arccos sqrt{x}\,-\,2sqrt{x}\,+\,C


P.S.: Am dat luni test la mate din astea si se pare ca am facut perfect  ;D Daca vreti o sa revin si cu subiectele, dar trebuie sa gasesc foaia.

Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: laurentiu din Noiembrie 11, 2009, 09:48:14 p.m.
Apropo pt cei de-a 12-a sa vad ce idei aveti : \int \frac{x}{(\sqrt{x^2+1}-x)\cdot e^x}dx
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: Adi din Noiembrie 15, 2009, 05:11:56 p.m.
Pentru cine vrea exercitii cu integrale rezolvate, va invit sa vedeti documentele pdf de la acest link.

Editia septembrie a revistei MateInfo.ro (http://www.mateinfo.ro/revista-mateinforo/cat_view/59-revista-mateinforo-issn-2065-6432-/84-revista-mateinforo-septembrie-2009)

Am fost incurajat chiar sa public pe site de aici, dar nu o vom face pana nu ne confirma domnul proprietar al siteului ca are si copyright asupra continutului revistei.

Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: b12mihai din Noiembrie 16, 2009, 02:41:30 p.m.
Foarte misto modul in care a fost facut cursul. Se vede treaba ca mai exista (inca) profi dedicati meseriei lor. Respect!

Offtopic: o sa fac si eu o lectie de algebra cu probleme si metode de numarare. Desi stiu ca in latex Combinari de n luate cate k se scrie \binom{n}{k} eu o sa scriu clasic C^k_n ca sa inteleaga elevii.
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: laurentiu din Noiembrie 16, 2009, 06:09:27 p.m.
oricum este si mai simplu de scris cum e la noi in latex ,decat in matematica oficiala in treaba asta cu combinarile.
@Adi:nu cred ca o sa pot scrie direct pe site ,din cauza timpului ,asa ca in momentul in care am timp sa mai fac articole le public si aici si sper sa le poti pune tu pe site ,oricum este bine sa fie si aici .
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: Adi din Noiembrie 16, 2009, 06:47:02 p.m.
Foarte misto modul in care a fost facut cursul. Se vede treaba ca mai exista (inca) profi dedicati meseriei lor. Respect!

Offtopic: o sa fac si eu o lectie de algebra cu probleme si metode de numarare. Desi stiu ca in latex Combinari de n luate cate k se scrie \binom{n}{k} eu o sa scriu clasic C^k_n ca sa inteleaga elevii.

De acord! Uite cum usor usor facem la Stiinta Azi in Latex ce e mai important din matematica!
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: Adi din Noiembrie 16, 2009, 06:47:56 p.m.
oricum este si mai simplu de scris cum e la noi in latex ,decat in matematica oficiala in treaba asta cu combinarile.
@Adi:nu cred ca o sa pot scrie direct pe site ,din cauza timpului ,asa ca in momentul in care am timp sa mai fac articole le public si aici si sper sa le poti pune tu pe site ,oricum este bine sa fie si aici .

Nici o problema, pune aici pe forum si le voi pune eu pe site. Dar foloseste sfaturile ce le-am dat deja, adica cu \log in loc de log.
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: b12mihai din Noiembrie 30, 2009, 03:01:59 p.m.
Propun si eu o integrala ciudata pe care am primit-o de la un coleg de clasa:

\int \frac{x \cos x}{2 + 2 \cos^2 x} \,dx

Personal m-as fi gandit la a doua schimbare de variabila cu t = \cos x , dar nu mi-a iesit nimic, pana acum...

Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: hellboy din Ianuarie 03, 2010, 01:33:22 p.m.
Propun si eu o integrala ciudata pe care am primit-o de la un coleg de clasa:

\int \frac{x \cos x}{2 + 2 \cos^2 x} \,dx

Personal m-as fi gandit la a doua schimbare de variabila cu t = \cos x , dar nu mi-a iesit nimic, pana acum...



Salut, sa stii ca majoritatea integralelor ce contin combinatii de polinoame in x si fractii cu functii trigonometrice nu se pot exprima in termeni de functii elementare. De exemplu
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: b12mihai din Ianuarie 11, 2010, 10:10:14 p.m.
Va propun o integrala interesanta, care se poate rezolva in 3 moduri (eu am facut-o deja, e extrem de simpla si daca exista elevi care nu reusesc sa o faca voi posta aici detaliate toate cele 3 solutii):

 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2x}{4\cos^2x + \sin^2x} \ dx

Mai interesant este sa rezolvati, tot in doua moduri urmatoarele integrale, ceva mai dificile decat cea de mai sus:

 \int \frac{1}{x^4 + 1} \ dx

 \int \frac{x^2}{x^4 + 1} \ dx

Daca ati invatat sa integrati functiile rationale prin descompunere in fractii simple si prima si a doua metoda de schimbare de variabila, chiar nu ar trebui sa aveti probleme in a le rezolva pe toate cele pe care le-am propus.  ;D Succes. Daca aveti intrebari sunt aici.
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: laurentiu din Ianuarie 12, 2010, 07:15:11 p.m.
Pai ultimele le aduni si scazi si dau foarte frumos: mai general putem considera:I_n=\int \frac{x^{3n-1}}{x^{4n}+1} ;J_n=\int \frac{x^{n-1}}{x^{4n}+1}.Las pe cei interesati sa efectueze calculele.In legatura cu cea dea2a ,cel putin ideea rapida este schimbarea de variabila t=tg{\frac{x}{2}}.Acu nu-mi dau seama ce alte variante ar mai exista .
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: b12mihai din Ianuarie 13, 2010, 02:32:52 p.m.
Citat
In legatura cu cea dea2a ,cel putin ideea rapida este schimbarea de variabila t=tg{\frac{x}{2}}.Acu nu-mi dau seama ce alte variante ar mai exista .

Alta idee: schimbarea de variabila:

\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2x}{4\cos^2x + \sin^2x} \ dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{2 \sin x \cos x}{4\cos^2x + \sin^2x} \ dx , t = \cos x \ sau \ t = \sin x - astea ar fi celelalte 2 idei...E de fapt una, ca e, practic, acelasi lucru. Mie mi se pare mai simplu pt ca facand schimbarea de variabila t=tg{\frac{x}{2}} ajungi sa calculezi integrala:

\int_0^{1} \frac {2t}{(t^2+4)(t^2+1)} \ dt care se face prin rationale si parca e mai complicat, cand prin, de exemplu  t = \cos x ajungi sa calulezi:  \int^1_{\frac{1}{\sqrt2}} \frac{2t}{3t^2+1}, care, sincer, mi se pare mai simplu de calculat  ;D .

P.S.: Interesanta generalizarea, nu m-am gandit la ea ;D . O sa efectuez calculele. Probabil se pot scoate niste relatii de recurenta pe-acolo, nu?
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: laurentiu din Ianuarie 13, 2010, 07:27:43 p.m.
Pai eu nu am vazut prima data integrala asta pe care ai propus-o tu ,asta ar fi I1. de fapt la un concurs eu am rezolvat I667 ,si de acolo mi-am dat seama de smecherie:adica impartirea prin x^{2n}.Cred ca asa a devenit mai simpla cu indiciu asta.
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: b12mihai din Ianuarie 25, 2010, 03:27:27 p.m.
Salutare din nou:

Iata niste integrale pe care le-am primit la un test la mate:

 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^4x + \cos^4x}
       

 \int_0^{2\pi} \frac{dx}{\sin^4x + \cos^4x}

Exista oare o alta metoda de a le face, in afara de a calcula primitiva functiei  f(x) = \frac{1}{\sin^4x + \cos^4x} \ , \ f: \ [0, \frac{\pi}{2}] \to \mathbb{R} - luam domeniul de definitie pentru a o afla pe prima, si care este ceva de genul  F(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\tan^2x - 1}{\sqrt{2}\tan x} si apoi cu legarea constantelor, pentru ca mi se pare foarte mult de scris si de calcul...Profesorul asa ne-a aratat pana acum, numai cu primitiva (si numai pe prima apucasem sa o fac, erau doar 3 puncte in care aparea o discontinuitate, pentru ca la a doua erau si mai multe constante de legat)  ???
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: basileu din Mai 09, 2010, 01:25:23 a.m.
Salutari,
Am trecut de mult de clasa a XII si va rog sa-mi aduceti si mie aminte cum se calculeaza si cat fac urmatoarele integrale definite.
         π                                        2π                   
        ∫ sin(x) dx                            ∫ sin(x) dx
        0                                        0                       
         π                                        2π                   
        ∫ cos(x) dx                           ∫ cos(x) dx
        0                                         0                     


                    

                                            
                                                                          
                                                                            
  
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: Adi din Mai 09, 2010, 02:16:45 a.m.
Bine ai venit la noi pe forum. Calcularea lor e foarte simpla si se face in doi pasi. Sa o luam pe prima.

 \int_0^\pi (\sin x) dx=(-\cos x)|_0^\pi=(-\cos 0) - (-\cos \pi) = (-1) - (- (-1)) = -1 - 1 = -2

Primul pas este sa gasesti care este functia care derivata iti da sin x. Si aceasta functie este - cos x. Aceasta functie se numeste "primitiva" lui sin x. Apoi trebuie luata aceasta primitiva intre valorile integralei. Functia la valoarea de sus minus functia la valoarea de jos.

Daca intelegi acest pas, poti cauta pentru celelalte functii? Un tabel cu primitive gasesti tot aici la noi.  (http://www.scientia.ro/stiinta-la-minut/110-matematica/1425-tabele-de-integrale-nedefinite-si-de-primitive-uzuale.html)
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: basileu din Mai 09, 2010, 03:21:10 a.m.
Multumesc pentru aducere amine
Te mai rog sa ma ajuti si cu asta:

 T     2
∫  sin  (2nx/T)dx
 0
 T              2
∫  sin(2nx/T) dx
 0
  unde n este pi
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: Adi din Mai 09, 2010, 05:09:41 a.m.
Intai trebuie sa faci o schimbare de variabila de sinus sau cos sa fie doar in functie de x, asa e mai usor. Si apoi ramai cu sinus la patrat. Aici e un pic mai greu, dar nu imposibil. Sper ca Gothik, care e elev de a 12-a si in priza cu integralele sa te ajute mai mult. Din pacate nu am timp sa o rezolv exact. Dar o idee: folosesti ca sin patrat plus cos patrat = 1. si la fel cand integrezi aceasta ecuatie.
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: b12mihai din Mai 09, 2010, 10:43:56 a.m.
Bine ai venit la noi pe forum. Calcularea lor e foarte simpla si se face in doi pasi. Sa o luam pe prima.

 \int_0^\pi (\sin x) dx=(-\cos x)|_0^\pi=(-\cos 0) - (-\cos \pi) = (-1) - (- (-1)) = -1 - 1 = -2

Am impresia ca e ceva in neregula aici: in primul rand sinus pe [0, pi] e mereu pozitiva, deci integrala nu avea cum sa iti dea o valoare negativa . Iata cum e corect:

  \int_0^\pi (\sin x) dx=(-\cos x)|_0^\pi=(-\cos \pi) - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2

Adi, sa stii ca atunci cand scrii (-\cos x)|_0^\pi este (-\cos \pi) - (-\cos 0). Tu scrisesesi invers.

Ma gandesc imediat si la integralele scrise de basileu , deocamdata le scriu in LATEX sa vad daca am inteles bine la ce trebuie sa ma gandesc:

T     2
∫  sin  (2nx/T)dx
 0
 T              2
∫  sin(2nx/T) dx
 0
  unde n este pi

 \int_0^T \sin^2(2\pi x/T)dx
 \int_0^T \sin(2\pi x/T)^2dx
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: b12mihai din Mai 09, 2010, 10:53:39 a.m.
Intai trebuie sa faci o schimbare de variabila de sinus sau cos sa fie doar in functie de x, asa e mai usor.

Asta se numeste liniarizare. Al nostru basileu ar trebui sa stie ca din  cos2x = 2cos^2x - 1 = 1 - 2sin^2x vom obtine ca cos^2x = \frac{1+cos2x}{2} & sin^2x = \frac{1 - cos2x}{2} . Aceste relatii sunt foarte utile LA ORICE integrala care contine sin patrat. Chestia cu sin patrat + cos patrat = 1 e utila doar in anumite cazuri particulare.

Deci pentru integrala asta (pusa in quote mai jos), basileu, e nevoie de relatiile de care ti-am zis mai sus. 

Citat
\int_0^T \sin^2(2\pi x/T)dx

Crezi ca te descurci de aici? Am sa fac si eu calculele sa vad ce imi iese.
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: basileu din Mai 09, 2010, 04:35:28 p.m.
Multumesc, mie mi-a dat ca rezultat T/2
este corect sper.
Tot ce am cerut pana acum, nu sunt simple exercitii, ci sunt
realmente necesare pentru a construi un convertor de tensiune
mai special.Pe masura ce rezolv anumite probleme,  vad ca apar
si altele  la care aparatul matematic pe care mi-l mai amintesc,
nu mai face fata, de exemplu o solutie pentru ecuatia:

                sin(2nx/T)=K(1-x/T)

si vedem ce o fi nevoie mai departe.
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: Adi din Mai 09, 2010, 06:21:33 p.m.
Stii ca exista un program pe calculator, simplu de folosit, care iti face integrale si in general orice calcule pentru tine? Se cheama Maple (dar nu este un program gratuit) si apoi el iti poate face orice calcule, mai ales ca iti trebuie valori numerice.
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: AlexandruLazar din Mai 09, 2010, 06:49:34 p.m.
Sau: http://integrals.wolfram.com/index.jsp . În spate folosește un program asemănător cu Maple -- Mathematica.

Există și wxMaxima, un program free, open-source, bazat pe Maxima, care e preferatul meu pentru așa ceva, dar e ceva mai greu de folosit (e construit pe o altfel de paradigmă).
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: b12mihai din Mai 09, 2010, 11:03:12 p.m.
sin(2nx/T)=K(1-x/T)

Cumva e vorba de aceasta ecuatie:  \sin \frac{2 \pi x}{T} = K \cdot \frac{1-x}{T} ? x este variabila si restul sunt constante? E destul de dificila ecuatia in cazul asta, momentan nu am decat o idee sa "prezic" intervalele in care s-ar afla radacinile ecuatiei...

 
Multumesc, mie mi-a dat ca rezultat T/2
este corect sper.

LATER EDIT: Am calculat si eu acum integrala si tot T/2 mi-a dat. Tine minte regula asta cu liniarizarea. E utila la orice integrala cu sin patrat sau cos patrat.

Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: basileu din Mai 10, 2010, 01:46:53 a.m.
Multumesc ca ai facut si tu calculul  si a dat tot T/2
asta inseamna ca mi-au folosit indrumarile.

La ecuatie in dreapta  1 nu e sub fractie deci nu este K(1-x)/T cimumai K(1-x/T) sau K-Kx/T
Ksi T sunt constante
Apropo cum sa scriu si eu ecuatiile in post cum faceti voi?

Pentru Adi si Alexandru, exista un program tare MathCad pe care il chiar folosesc
Pe mine insa nu ma intereseaza rezultatele particulare ci fornula matematica a rezultatului
O sa va explic daca sunteti curiosi, in special ca un exemplu practic ca matematica invatata are multe aplicatii.
Daca are cineva o idee de solutie pt ecuatia din postul meu anrerior raman dator.
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: Adi din Mai 10, 2010, 02:12:00 a.m.
Ecuatiile le scriem in Latex. Nu trebuie sa instalezi nimic, e deja la noi pe server. Trebuie doar sa urmezi instructiunile de aici (http://www.scientia.ro/forum/index.php?topic=1617.0).

Maple face calcule cu tot cu formule, nu doar numeric. Adica iti poate calcula primitiva unei functii.
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: cosma din Iunie 24, 2010, 02:38:15 p.m.
 ???am nevoie de ajutor ..pls ...care am poate ajuta si pe mine cu o integrala...

integrala de la 0 la 2PI din cos6x/5-4cosx

mersi anticipat....
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: laurentiu din Iunie 24, 2010, 03:15:11 p.m.
Stii ca exista un program pe calculator, simplu de folosit, care iti face integrale si in general orice calcule pentru tine? Se cheama Maple (dar nu este un program gratuit) si apoi el iti poate face orice calcule, mai ales ca iti trebuie valori numerice.
Pe oDC sau StrongDC totul se gaseste gratuit,deci si Maple ,o sa-l iau si eu acum :))
In legatura cu integrala pare foarte urata din cauza lui cos6x ,insa poti incerca sa-l scrii pe cos6x folosind formula lui Moivre ,ajungand doar la functii trigonometrice in x .Nu am idee cum se poate face mai simplu in afara sa-ti dau o valoare a integralei care probabil e gresita adica 0 .In general astea urate dau 0.
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: Mihnea Maftei din Iunie 24, 2010, 03:45:02 p.m.
Laurentiu, cred ca te-ai grabit un pic.  : )  Integrala e simpla.

In primul rand descompunem: \int^{2 \pi}_0 cos(\frac{6x}{5})\ -\ 4cos(x)\ dx\ =\ \int^{2 \pi}_0 cos(\frac{6x}{5})\ dx\ -\ 4\int^{2 \pi}_0 cos(x)\ dx.

Apoi, cosma, te poti folosi de:
sin'(\alpha x)\ =\ \alpha cos(\alpha x),\ deci\ \left (\frac{sin(\alpha x)}{\alpha} \right )'\ =\ cos(\alpha x),\ deci\int cos(\alpha x)\ dx\ =\ \frac{sin(\alpha x)}{\alpha}\ +\ \beta,\ unde\ \beta\ e\ o\ constanta

(sigur ai dat de regula asta) pentru a ajunge la raspuns.
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: b12mihai din Iunie 24, 2010, 03:58:58 p.m.
Cred ca Laurentiu s-a gandit ca integrala e ceva gen:

 \int_0^{2 \pi} \frac{\cos 6x}{5-4\cos x} dx .

Sincer, la asta ma gandisem si eu intai cand am citit postul lui cosma, dar apoi mi s-a parut ca e parca prea grea asta si atunci am vazut si postul lui Mihnea...Nu ramane decat sa ne spuna cosma clar cine a "nimerit" cum e exercitiul si daca a inteles rezolvarea lui Mihnea.
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: Sigma2 din Iunie 24, 2010, 04:02:30 p.m.
Ce zici gothik la a integrala n-ar fi bine s-oconsideram pe intervalul {0,pi/4}.
si rezultatul sa-l inmultim cu 4
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: Sigma2 din Iunie 24, 2010, 04:04:21 p.m.
[0,pi/2] scuze
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: Mihnea Maftei din Iunie 24, 2010, 04:09:31 p.m.
Cred ca Laurentiu s-a gandit ca integrala e ceva gen:

 \int_0^{2 \pi} \frac{\cos 6x}{5-4\cos x} dx .

Aha, da, probabil ca asta cerea problema. Nu mi-a trecut prin minte.

Edit: Pentru verificare (daca rezolva cineva integrala asta), rezultatul e \frac{\pi}{96} (calculat cu WolframAlpha (http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+from+0+to+2pi+of+cos(6x)/(5-4cos(x)))):

\int_0^{2 \pi}\frac{cos(6 x)}{5-4 cos(x)}\ dx = \frac{\pi}{96}
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: laurentiu din Iunie 24, 2010, 06:22:52 p.m.
Normal ca la aia ma gandisem ,cealalta era banala .Merge sigur prin metoda care am zis-o eu cu transformarea lui cos6x=cos^6 x-15cos^4 x sin^2 x+15 cos^2 x sin^4 x-sin^6x ,scriind cosx=\frac{1-tg^2\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}},si facand schimbarea de variabila tg\frac{x}{2}=y,da e mult de munca .
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: laurentiu din Iunie 24, 2010, 06:26:30 p.m.
evident in cazurile in care tg nu prea e definita ma refer la pi/2 si 3pi/2 e cam cu limite deci nu ne face mari probleme,nu e prea corect matematic,da' ne duce la rezultat.
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: b12mihai din Iunie 24, 2010, 11:00:50 p.m.
@Sigma 2 - nu e bine, pentru ca functia de sub integrala nu are perioada pi/4 ... O metoda este cum a propus @laurentiu dar cum spunea si el e foarte mult de munca :D si nici foarte corect matematic.
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: Sigma2 din Iunie 24, 2010, 11:49:08 p.m.
Cred ca nu am fost bine inteles.-n-am afirmat ca functia are perioadaPi/4.
Am propus doar o schimbare de limite de integrare.
1)Eu m-am referit atunci la a 2-a integrala I=\int_{o}{2pi}cosxdx (am crezut ca aceea e forma finala).Integrand vei obtinesin 2(pi)-sin 0 =0 eronat.
Stiind insa ca integralele reprezinta arii ce sunt marimi pozitive am propus
scimbarea limitelor de integrare pe {0,Pi/2] siind ca pe intervalul [0,2pi] sunt 4
arii de acest fel , toate egale cu 4 ,am zis ca rezultatul se va inmulti cu 4.
2)In cazyl in care varianta lui Mihnea nu este corecta, ci a lui Laurentiu, as merge asa cum sesiseaza si el pe formula lui Moivre, dar as evita cu orice pret
substitutia Y=tgx/2, care consduce la tg pi/2(nedeterminare).Deci ramane ca alternativa tot scimbarea limitelor de la [0,pi/2].e drept insa cu calcule mai complicate
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: laurentiu din Iunie 25, 2010, 02:50:12 p.m.
Sa stii ca e chiar corect ,pt ca mi-am adus aminte ca inainte de judeteana faceam integrale de genu :\int_0^1 \frac{sinx}{x}dx,iar functia asta nu e definita in 0 ,insa integrala are sens .Tocmai datorita faptului ca exista limita la 0 din sinx/x .Deci este corect matematic ,insa ramane de muncit calumea:))
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: laurentiu din Iunie 25, 2010, 03:03:57 p.m.
Ar cam trebui sa dau si o explicatie ceea ce o sa si fac:
Functia f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},f(x)=g(x),x\in\mathbb{R}-A,f(a)=\lim_{x\to a} g(x),a\in A este continua daca si numai daca limitele in orice punct din A sunt finite .Se stie ca orice functie continua este si integrabila .Deci evident f este integrabila .Fie u,v,u<v a.i. card\{[u,v]\cap A\}\ge1.Se accepta 2 notatii :
1)evidenta \int_u^v f(x)dx ,pe care nimeni nu o poate contesta ;
2)\int_u^v g(x)dx.
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: b12mihai din Iunie 25, 2010, 04:21:29 p.m.
Cred ca nu am fost bine inteles.-n-am afirmat ca functia are perioadaPi/4.
Am propus doar o schimbare de limite de integrare.

Ah, atunci daca asa sta treaba, da, sunt de acord cu ce ai spus :) . Da, intr-adevar, integrala definita = aria de sub grafic, iar daca cele 4 arii au aceleasi valori,e bine sa calculezi numai una si sa inmultesti rezultatul cu 4.
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: AlexandruLazar din Iunie 25, 2010, 05:24:48 p.m.
@sigma2: poate nu am înțeles exact ce vrei să zici, dar nu e obligatoriu ca integrala să îți dea un rezultat strict pozitiv. Integrala pe o perioadă a unei funcții periodice e riguros 0 fără să fie nimic în neregulă cu asta.
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: mircea_p din Iunie 25, 2010, 05:41:34 p.m.
Integrala pe o perioadă a unei funcții periodice e riguros 0 fără să fie nimic în neregulă cu asta.
Poate doar daca definesti functia periodica chiar prin aceasta proprietate.
Ce zici de o functie periodica care e tot timpul pozitiva? Nu se poate?
Sigur ca poti sa extragi componenta constanta si apoi media ramane zero. Dar nu e tot timpul evident cat e componenta constanta si nici ca integrala pe o perioada e zero, in afara de cazuri foarte simple.



Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: AlexandruLazar din Iunie 25, 2010, 05:48:23 p.m.
Da -- de acord, fără componentă continuă. Cu componentă continuă într-adevăr e nenulă.
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: b12mihai din Iulie 07, 2010, 06:26:16 p.m.
Am si eu nevoie de ajutor la calculul urmatoarei integrale:

 \int_0^1 \frac{x^4 + 1}{x^6 + 1} dx

Eu m-am gandit sa fac asa:  \int_0^1 \frac{x^4 + 1}{x^6 + 1} dx = \int_0^1 \frac{x^4 + 2x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)}dx = \int_0^1 \frac{x^4 + 2x^2 + 1}{(x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)}dx \ - \int_0^1 \frac{2x^2}{x^6+1}dx.

A doua integrala e usor de calculat prin schimbarea de variabila  t = x^3 , iar la prima ajungem la calculul urmatoarei integrale (prin simplificare):  \int_0^1 \frac{x^2 + 1}{x^4 - x^2 + 1} dx . De aici incolo nu mai am nici o idee...
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: Randy1703 din Iulie 16, 2010, 04:43:35 p.m.
Sunt nou pe forum si as vrea o rezolvare la o integrala pe care am gasit-o in niste subiecte de academie:
∫_0^(π\2)▒sin^4⁡x/sin^4⁡〖x+cos^4⁡x  〗 dx
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: mircea_p din Iulie 16, 2010, 05:54:10 p.m.
Sunt nou pe forum si as vrea o rezolvare la o integrala pe care am gasit-o in niste subiecte de academie:

∫_0^(π\2)▒sin^4⁡x/sin^4⁡〖x+cos^4⁡x  〗 dx

 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin^4x}{sin^4x+cos^4x}dx

Formula e neclara, am incercat sa ghicesc si sa rescriu in Latex.
Asta e integrala de care intrebi?

Ce inseamna subiecte de academie?
Titlu: Re: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: hellboy din August 11, 2010, 12:28:35 a.m.
@gothik12. Ultima ta integrala se calculeaza simplu descompunind numitorul in fractii simple.

 x^4 - x^2 +1 = (x^2 +1)^2 - (x\sqrt{3})^2

si de aici se gaseste descompunerea ca produs. Apoi fractii simple, un sistem banal de 4 eq cu 4 nec si in final niste integrale de forma

 \int \frac{dx}{x^2 + a^2}

cu <a> o constanta numerica.
Titlu: Răspuns: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: Chris din Octombrie 21, 2015, 08:14:42 p.m.
O formula de recurenta si de calcula I1,I2,I3.. la integrala :
In=S dx/(x^2 +1)^n , x apartinand R . Abia am facut lectia si nu ma prind la In ce trebuie sa fac..
Titlu: Răspuns: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: mircea_p din Octombrie 22, 2015, 02:56:54 a.m.
O formula de recurenta si de calcula I1,I2,I3.. la integrala :
In=S dx/(x^2 +1)^n , x apartinand R . Abia am facut lectia si nu ma prind la In ce trebuie sa fac..
Problemele sant mai clare daca scrii in Latex, ca aici
I_n = \int{\frac{dx}{(x^2+1)^n}

Poate Zec sau alti matematicieni de pe forum iti pot da ceva indicatii.
Sigur ca stii rezultatul pentru n=1. Adica il gasesti in tabel.
Titlu: Răspuns: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: HarapAlb din Octombrie 22, 2015, 11:27:13 a.m.
Nu exista o reteta general valabila.

1) Incearca de exemplu sa deduci relatia I_n = f(n) relatia prin inductie, calculezi I_1 = f(1), I_2 = f(2), I_3 = f(3) si apoi arati ca I_{n+1}=f(n+1).

2) Incearca sa deduci o relatie de recurenta intre I_n si I_{n+i} unde i=1, 2, 3.... Apoi calculand explicit I_1 sau I_2 poti calcula I_n.
Titlu: Răspuns: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: basileul din Mai 11, 2016, 08:33:27 p.m.
Va rog, am si eu nevoie de ajutor in urmatoarea problema cu integrale definite:

in intervalul  [0,π]  avem 100 de integrale definite de forma:     


         ai+1                                                           
        ∫ sin(x) dx                           
       ai                                                                                           
         i ={1,2 , .....99, 100}
        ai=0
        a100 =  π  ( daca nu se vede bine este pi)

toate integralele sunt egale intre ele

         ai+1                                                                   
        ∫ sin(x) dx  =   2/100                       
       ai


pentru ca suma lor este egala cu 
        a100                                                                   
        ∫ sin(x) dx  =   2  si sunt  100                       
       a0   

care sunt valorile lui ai ?
Ar fi buna o solutie in  MATHCAD14 ca sa nu  calculam la mana  100 de valori, multumesc.
Titlu: Răspuns: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: HarapAlb din Mai 13, 2016, 09:37:53 a.m.
(...)
Ar fi buna o solutie in  MATHCAD14 ca sa nu  calculam la mana  100 de valori, multumesc.
Poti obtine repede o solutie aproximativa considerand aria de sub sin(x) ca fiind un trapez. In cazul asta putem scrie:
\int_{a_i}^{a_{i+1}}f(x)dx=\Delta a_i(f(a_i)+\frac{\Delta a_i}{2}f'(a_i))=I_0, unde \Delta a_i=a_{i+1}-a_i
Din ecuatia de mai sus poti calcula a_{i+i} in functie de a_i. Trebuie sa ai putina grija in jurul punctului \pi/2 unde derivata sinusului se anuleaza. Daca reusesti sa automatizezi calculul lui a_i putem incerca sa obtinem o aproximare mai buna.
Titlu: Răspuns: Ajutor la calcularea de integrale pentru clasa a XII-a
Scris de: juantheron din Ianuarie 15, 2017, 09:49:00 a.m.
 I =  \int^{1}_{0}\frac{x^2+1}{x^4-x^2+1}dx = \int^{1}_{0}\frac{(1+x^{-2})}{(x-x^{-1})^2+(\sqrt{3})^2}dx

Put (x-x^{-1}) = t and (1+x^{-2})dx = dt and changing limits.

So I = \int^{0}_{-\infty}\frac{1}{t^2+(\sqrt{3})^2}dt = \arctan\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)|^{0}_{-\infty} = 0+\frac{\pi}{2}