Forumul Scientia

Matematică şi Logică => Matematică - probleme generale => Subiect creat de: foton01 din Decembrie 02, 2013, 04:09:40 p.m.

Titlu: Problema cu primitive
Scris de: foton01 din Decembrie 02, 2013, 04:09:40 p.m.
Salut!

Am dat preste o problema cam grea si as avea nevoie de un pic de ajutor  :)

Sa se determine functia f:R->R, primitivabila pe R, stiind ca admite primitiva F:R->R, care verifica relatia: F(x)+f(x)=-x^2-3x

O idee de a mea e sa derivez relatia de 3 ori obtinand in cele din urma f(x)=e^{x+c} dar nu verifica relatia :(  Ma puteti ajuta cu o idee ?

Multumesc :)
Titlu: Răspuns: Problema cu primitive
Scris de: zec din Decembrie 03, 2013, 03:04:24 p.m.
Aceasta problema e o ecuatie diferentiabila de gradul 1 neomogena.
Rezolvarea are la baza urmatoarea idee:
1 se rezolva ecuatia omogena de grad 1
Adica F(x)+f(x)=0 (am sa o rezolva cu notatiile tale in teoria ecuatiilor diferentiabila de obicei F se noteaza cu u)
aceasta ecuatie se rezolva la urmatorul mod se pune F(x)=-f(x) si pentru valori nenule se considera f(x)/F(x)=-1 de unde (lnF(x))'=-1 Adica lnF(x)=-x+C sau F(x)=e^{-x+c}=Ce^{-x}
2 se cauta o solutie particulara a ecuatiei neomogene.
Intrucat e de forma polinomiala cautam o solutie de tip polinomial
Luam F de grad 2 mai exact F(x)=ax^2+bx+c de unde f(x)=2ax+b
Se introduce in ecuatie si se identifica coeficientii
Se va obtine ax^2+(2a+b)x+b+c=-3x^2-3x
Prin identificare obtii a=-3;b=3;c=-3
Solutia ecuatiei generala este F(x)=F(x)=Ce^{-x}-3(x^2-x+1)
Titlu: Răspuns: Problema cu primitive
Scris de: foton01 din Decembrie 03, 2013, 04:49:12 p.m.
Aceasta problema e o ecuatie diferentiabila de gradul 1 neomogena.
Rezolvarea are la baza urmatoarea idee:
1 se rezolva ecuatia omogena de grad 1
Adica F(x)+f(x)=0 (am sa o rezolva cu notatiile tale in teoria ecuatiilor diferentiabila de obicei F se noteaza cu u)
aceasta ecuatie se rezolva la urmatorul mod se pune F(x)=-f(x) si pentru valori nenule se considera f(x)/F(x)=-1 de unde (lnF(x))'=-1 Adica lnF(x)=-x+C sau F(x)=e^{-x+c}=Ce^{-x}
2 se cauta o solutie particulara a ecuatiei neomogene.
Intrucat e de forma polinomiala cautam o solutie de tip polinomial
Luam F de grad 2 mai exact F(x)=ax^2+bx+c de unde f(x)=2ax+b
Se introduce in ecuatie si se identifica coeficientii
Se va obtine ax^2+(2a+b)x+b+c=-3x^2-3x
Prin identificare obtii a=-3;b=3;c=-3
Solutia ecuatiei generala este F(x)=F(x)=Ce^{-x}-3(x^2-x+1)

Multumesc :)