..Aria urmatoarelor patrulatere cu lungimile laturilor:ABCD, AB=2, BC=4, CD=6, DA=8; EFGH, EF=8, FG=16, GH=32, HE=64 . ???
In ce clasa esti ?
Clasa a I-a.
Si totusi care este raspunsul la problema?
Le imparti in triunghiuri si aduni ariile.
Citat din: styhl din Aprilie 30, 2011, 06:03:37 PM
..Aria urmatoarelor patrulatere cu lungimile laturilor:ABCD, AB=2, BC=4, CD=6, DA=8; EFGH, EF=8, FG=16, GH=32, HE=64 . ???
Fiind vorba de patrulatere nu este suficient sa stim doar lungimile laturilor pentru gasirea ariilor.........Sa ne inchipuim ca patrulaterul este format din bare articulate atunci pot exista o infinitate de patrulatere care au aceste laturi........si atunci rezulta arii diferite in functie de unghiurile patrulaterului.Pe de alta parte in mod sigur trebuie in patrulaterul ABCD trebuie sa avem diagonala 6<BD<10 si diagonala 2<AC<6........In mod similar se pot gasi restrictii si pentru diagonalele patrulaterului EFGH.........
A.Mot, solutia lui Harap Alb e cea mia simpla. Le imparti in triunghiuri si la fiecare triunghi ii stii laturile si deci folosind formula ariei in functie de laturi masori aria triunghiurilor si le aduni.
Citat din: Adi din Mai 01, 2011, 07:21:14 AM
A.Mot, solutia lui Harap Alb e cea mia simpla. Le imparti in triunghiuri si la fiecare triunghi ii stii laturile si deci folosind formula ariei in functie de laturi masori aria triunghiurilor si le aduni.
Cate patrulatere care au laturile 2,4,6,8 exista?Eu zic ca exista o infinitate.Ai citit ce-am spus eu?Eu iti spun ca patrulaterul este nedeterminat daca se dau numai laturile.Cum aflam lungimile diagonalelor?
Uite o problema nedeterminata ca cea din subiectul initial:
Se da un patrulater care are toate laturile egale.Care este aria patrulaterului? ???
Aduni laturile opuse si le imparti la doi, apoi faci calculele pe simplu.
@A.Mot Pai aici sunt date marimile spre deosebire la patrulaterul cu toate laturile egale propus de tine, nu am inteles eu ceva de ce pot fi o infinitate???
Bine paremise am inteles unghiurile pot fi diferite dar la varianta propusa de HarapAlb am propus si eu una unde este un ungi de 90 grade.?
aria lui EFGH ?patrulater?Cine tea mintit ca EFGH e patrulater?Daca eu iti dau un stalp de telegraf si 3 bete de chibrit imi poti construi un patrulater cu ele?
Ca si la triunghi "puntea magarului" cum mai este supranumita inegalitatea triunghiului care afirma ca suma a doua laturi este mai mare ca ceea de a 3-a latura,revine de la faptul ca si magarul stie ca de la punctul A la punctul B cel mai scurt drum e segmentul AB si nu o ia pe traseul AC+CB.Asa si aici nu ma intereseaza ca e patrulater convex sau concav ,daca suma a 3 laturi e mai mica decat ceea de a 4 ai bagat magarul in ceata.Deci conditia ca 4 laturi sa formeze un patrulater este ca suma oricaror 3 din ele sa fie mai mare ca ceea de a 4-a.
Acuma despre ABCD ,aici intradevar discutam de un posibil patrulater dar din pacate aria acelui patrulater nu e chiar a valoare fixa dar are o valoare minima si una maxima dar deja aceasta e alta problema.
Intr-adevar patrulaterul EFGH nici nu poate exista oricum ai aranja laturile.........In concluzie nu exista patrulatere cu laturile a,2a,4a,8a.
Citat din: zec din Mai 02, 2011, 12:30:44 AM
aria lui EFGH ?patrulater?Cine tea mintit ca EFGH e patrulater?Daca eu iti dau un stalp de telegraf si 3 bete de chibrit imi poti construi un patrulater cu ele?
Ca si la triunghi "puntea magarului" cum mai este supranumita inegalitatea triunghiului care afirma ca suma a doua laturi este mai mare ca ceea de a 3-a latura,revine de la faptul ca si magarul stie ca de la punctul A la punctul B cel mai scurt drum e segmentul AB si nu o ia pe traseul AC+CB.Asa si aici nu ma intereseaza ca e patrulater convex sau concav ,daca suma a 3 laturi e mai mica decat ceea de a 4 ai bagat magarul in ceata.Deci conditia ca 4 laturi sa formeze un patrulater este ca suma oricaror 3 din ele sa fie mai mare ca ceea de a 4-a.
Acuma despre ABCD ,aici intradevar discutam de un posibil patrulater dar din pacate aria acelui patrulater nu e chiar a valoare fixa dar are o valoare minima si una maxima dar deja aceasta e alta problema.
Nu-mi inchipui cum am putea calcula valoarea minima a ariei patrulaterului ABCD doarece ar trebui ca unul din unghiurile patrulaterului sa tinda la zero...........Ai vreo idee cum am putea calcula valoarea minima a patrulaterului ABCD cu laturile 2,4,6,8?Care este aria minima a patrulaterului avand toate laturile egale?
Aria minima e 0 si are loc cand patrulaterul degenereaza intr-un segment de lungime 10,la care capatele vor fi BD iara C si A sunt situate in interiorul acestui segment(aceeasi solutie da si la laturi egale).Acest fenomen are loc din cauza ca 4+6=8+2.Daca ar fi avut alte valori patrulaterul ar degenera intr-un triunghi sau posibil mai multe triunghiuri si in acest caz aria minima era a data de cel mai mic triunghi in care putea degenera.Pentru arie maxima nu prea imi vine vreo idee precisa dar una care cred ca ar merge este sa consideri de ex BD=x si functia data de calculul ariei cu ajutorul formulei lui heron sa ii afli punctele de maxim prin derivare.O idee sintetica de geometrie pura e mai greu dar aria maxima data de un perimetru constant este cercul,pe idea acestui rezultat ar trebui sa aiba loc si la patrulatere si in general patrulaterele au arie maxima cand sunt inscriptibile.
Edit.am incercat cu solutia algebrica si se pare ca merge ,dupa ce faci o substitutie ajungi la o ecuatie de grad 2.Dupa lungi calcule cu numere destul de mari am ajuns la concluzia ca derivata nu are radacini si astfel extremele se gasesc in capatele intervalului de definitie deoarece derivata pastreaza semn constant negativ pe domeniul de definitie astfel functia e monoton descrescatoare.BD=x se remarca ca apartine intervalului [6,10],maximul e atins de BD=6 si minimul BD=10 discutat mai sus.In cazul BD=6 patrulaterul e degenerat intrun triunghi isoscel cu laturile congruente de 6 si baza de 4.Daca nu vezi cum arata prelungeste una din laturile congruente cu 2 cm din punctul comun cu baza.
Citat din: zec din Mai 02, 2011, 11:01:13 AM
Aria minima e 0 si are loc cand patrulaterul degenereaza intr-un segment de lungime 10,la care capatele vor fi BD iara C si A sunt situate in interiorul acestui segment(aceeasi solutie da si la laturi egale).Acest fenomen are loc din cauza ca 4+6=8+2.Daca ar fi avut alte valori patrulaterul ar degenera intr-un triunghi sau posibil mai multe triunghiuri si in acest caz aria minima era a data de cel mai mic triunghi in care putea degenera.Pentru arie maxima nu prea imi vine vreo idee precisa dar una care cred ca ar merge este sa consideri de ex BD=x si functia data de calculul ariei cu ajutorul formulei lui heron sa ii afli punctele de maxim prin derivare.O idee sintetica de geometrie pura e mai greu dar aria maxima data de un perimetru constant este cercul,pe idea acestui rezultat ar trebui sa aiba loc si la patrulatere si in general patrulaterele au arie maxima cand sunt inscriptibile.
Edit.am incercat cu solutia algebrica si se pare ca merge ,dupa ce faci o substitutie ajungi la o ecuatie de grad 2.Dupa lungi calcule cu numere destul de mari am ajuns la concluzia ca derivata nu are radacini si astfel extremele se gasesc in capatele intervalului de definitie deoarece derivata pastreaza semn constant negativ pe domeniul de definitie astfel functia e monoton descrescatoare.BD=x se remarca ca apartine intervalului [6,10],maximul e atins de BD=6 si minimul BD=10 discutat mai sus.In cazul BD=6 patrulaterul e degenerat intrun triunghi isoscel cu laturile congruente de 6 si baza de 4.Daca nu vezi cum arata prelungeste una din laturile congruente cu 2 cm din punctul comun cu baza.
Daca un patrulater are aria egala cu zero atunci patrulaterul nu exista si deci despre ce vorbim???????
Exista triunghiuri cu aria egala cu zero?Ce laturi are un triunghi cu aria egala cu zero? ::) >:(
Care este aria minima a patrulaterului cu laturile 3,4,6,12?
De aceea am si numit patrulater degenerat situatiile cand se confunda cu alte figuri geometrice.Nu se poate considera un patrulater un segment dar daca cumva acel segment e obtinut din 4 alte segmente care in idee formeaza un contur inchis putem considera faptul ca patrulaterul a degenerat intr-un segment.
Acel cu "Puntea magarului":
bravo ma, chiar iti bat din palme, ca mai stii sa traversezi cel mi scurt drum (cum tu ii mai zici "Intelegerea triunghiului", dupa cite eu stiu "puntea magarului" erau numiti cei ce nu intelegeau teorema lui Pitagora, anume ca suma patratelor catetelor ete egala cu.... , acolo este suma patratelor , iar la dumitale nu vad nici un patrat, ;D ;D ;D , trebue sa mai pasti putina erbusoara...).
Tu cum crezi de ce eu am pus intrebarea aceasta?
Pentru saracutul de magarus ce nu stie inafara de iarba verde si lauda chioara (calculul maximului si minimului se calculeaza dupa cite mai tin minte in clasa a XI sau a XII, se alcatueste functia si apoi se gasesc punctele critice, mai! mai! mai!- bravo! / insa ideia era cu totul alta), ar fi foarte de dorit sa se mai interesezi si de existenta altor geometri, si a altor forme de percepere a totului ceia ce vezi.
Puntea magarului a devenit o metafora pentru teorema lui Pitagora si cunosc asta dar nu imi plac foarte mult posturile de tip flaming.Nu sunt atat de idiot incat sa nu fac diferenta intre inegalitatea triunghiului si teorema lui pitagora.Puntea magarului poate fi considerata si tabla inmultiri.
Acuma sa discutam partea fundamentala a problemei tale.Da eu am rezolvat problema intr-un model euclidian dar conditiile de existenta a unui patrulater sunt chestii fundamentale care nu tin de forma ei si tin de axiomele distantei.Ca sa ai o distanta intre doua puncte trebuie sa satisfaca 3 proprietati .a) d(A,B)=0 daca si numai daca A=B
b)d(A,B)>0 oricare ar fi A<>B
c)d(A,B)<=d(A,C)+d(B,C) pentru orice A,B,C
Acest gen de functie daca se poate defini pe o multime de puncte spunem ca pe aceea multime avem un spatiu metric.Daca nu discutam intr-un spatiu metric atunci nu putem vorbi de distante si deci in mod logic nici despre arii.Tu invoci un model de geometrie pe care eu nu il inteleg.