Despre topologie

[zec]

 Am vazut rubrica ca este goala si m-am gandit sa aduc cateva informatii despre acest domeniu si cam ce reprezinta el.
 Topologia este o teorie a multimilor dintro perspectiva de pozitie si ca teorie face parte din analiza matematica unde de fapt isi construieste teoria.In definitiile clasice ale analizei legate de limite era necesar ca sa te afli intrun anumit spatiu ca sa existe acest fenomen de apropiere sau convergenta.Si ca sa fie ceva mai extinsa teoria au definit notiunea de spatiu topologic.Intr-un spatiu topologic elementele sale sunt numite multimi deschise si ele in teorie joaca rolul de vecinatate.La nivel de liceu spatiul topologic este cel al numerelor reale care de altfel este si un spatiu metric.Bazic in acest spatiu sunt multimile deschise si inchise iara definitiile pentru punct de aderenta,acumulare,interior sunt specifice si notiuni de compacticitate,conexitate separabilitate ,densitate etc.
 Care e rolul acestei teorii?Raspunsul e simplu ea vina ca sa defineasca intrum mod mai general notiunile de analiza matematica importante pentru alte spatii si aici ma refer la convergenta,continuitate sau altele si automat definitiile pe alte spatii cum ar fi cele vectoriale de dimensiune n devin mai usor de inteles.
 La nivel de liceu nu se prea explica foarte bine chestiunea si li se prezinta anumite notiuni cum ar fi multime densa sau compacta dar intr-o modalitate extrem de proasta ca perceptie.
 In concluzie topologia e ca o fundatie pe care analiza matematica isi construieste teoria.
Problemele din domeniu nu prea sunt la nivel de liceu unde eu personal am intalnit doar niste teme interesante pe la multimi dense si faptul ca multimea Q este densa in R.

[zec]

o notiune care e prezentata la nivel de liceu unde cred ca 99% nu au idee ,este cea de punct de acumulare.Se intalneste in probleme de studiu al continuitati,derivabilitati si determinarea asimptotelor verticale.Concret punctul de acumulare prin definitie este al unei multimi si nu al unei functii si spunem ca un punct a este punct de acumulare a multimi A daca orice vecinatate V a lui a contine cel putin un alt punct din A diferit de a.Dupa cum se vede din definitie multimea punctelor de acumulare nu se rezuma doar la capetele unui interval sau punctele in care functia nu are sens.Ceea ce apare ca puncte de acumulare in probleme de liceu sunt in general puncte de frontiera.Daca functia e definita pe toata multimea numerelor reale dar pe o partitie ,atunci domeniul de definitie chiar daca e R ea admite puncte de frontiera pentru fiecare multime din partitie.O idee de problema de liceu este aceea cu f(x)=sin(1/x) pentru x <>0 si a ptr x=0 si sa se arate ca pentru a apartine in [-1,1] f are propietatea lui Darboux si ideea este ca 0 este un punct de acumulare pentru domeniul de definitie al lui f si trebuie sa remarcati ca orice vecinatate luati sin(1/x) parcurge toate valorile din imaginea sa care e [-1,1].

[Adi]

Excelent, bine ai venit la aceasta rubrica!

[zec]

 Am sa continui putin cu cateva elemente ce aduc aceasta teorie.Dupa cum ziceam topologia a reprezentat un domeniu foarte important si fundamental pentru analiza matematica dar progresul si studiul aprofundat a dezvoltat si o teorie algebrica asupra topologiilor.Ce se intelege prin studiu algebric?Am sa incerc sa explic cat se poate de usor.Pai domeniile matematice se separa intre ele prin materia care o studiaza daca in geometrie punctul e materia prima la analiza limita sau calculul la limita ,in aritmetica numerele,in algebra materia principala e structura si relatiile.Cum se cunosc aspectele algebrice pe care le au anumite multimi de numere cum ar fi cea a numerelor reale care este corp dar are si o topologie nu ar fi de mirare ca putem considera si anumite proprietati algebrice asupra topologiilor.In acest domeniu se explica existenta anumitor modele celebre precum torul,banda lui mobbius,sticla lui klein care au niste proprietati particulare.De exemplu banda lui moebbius este o panglica de hartie rasucit cu 180 grade si apoi lipita .Se remarca usor cu un creion ca te poti plimba pe banda de hartie si observa ca are doar o fata pusa sub semnul matematici banda lui moebbius e un exemplu de topologie a unui spatiu din plan.