Cum rezolvam probleme de matematica?

[zec]

 Am deschis acest subiect pentru a clarifica ce inseamna o problema de matematica si ce ar trebui sa facem ca sa o rezolvam corect.
 Sa zicem ca avem problema "25 de pixuri costa 8 lei, cat costa un pix?".Asa ceva nu se poate numi problema de matematica , e un exercitiu de fixare a cunostintelor.
 Primele exemple de probleme de matematica apar in clasa a 4-a .Un model ar fi Mihai si Costel au impreuna 40 lei.Cati bani are Mihai daca stim ca el are cu 10 lei mai mult ca Costel?.
 Dupa ce prezinti un model de rezolvare aceasta problema devine un automatism la rezolvarea ei.
 Deci corect e sa numim o problema de matematica orice intrebare care implica rationament si cunostinte matematice pentru a raspunde la ea.Lipsa unui rationament face din problema un exercitiu ceea ce e cu totul diferit,scopul exercitiilor fiind pentru a fixa cunostintele si a mari viteza de lucru.
 Scopul unei probleme e de a aprofunda.
 Pentru rezolvarea unei probleme de matematica e nevoie de cunostinte teoretice in domeniul respectiv si nu numai.
 De exemplu anumite probleme de geometrie pot fi rezolvate in mai multe moduri fiecare cu avantaje sau dezavantaje.Exista pentru geometrie o gama variata in afara de ceea clasica precum:Analitic,vectorial,trigronometric sau cu aplicatii ale numerelor complexe.
 In algebra majoritatea problemelor au la baza notiunile teoretice dar combinate cu aritmetica pot deveni probleme dificile.
 Cele mai grele probleme par ar fi din aritmetica la care enunturile sunt simple dar rezolvarile extrem de delicate implicand uneori chiar notiunile de aritmetica superioara(aici de principiu e vb de partea de aritmetica a structurilor algebrice grupuri,inele,module parte care de obicei e studiata mai mult in facultate).
 Prima etapa in rezolvarea problemei e intelegerea textului si cerintei sale.Daca acest pas nu e facut atunci nu ai nici o sansa sa rezolvi problema.
 Odata inteles ce ai de facut cautam sa prelucram datele problemei.Deci trebuie sa conectam ceea ce stim cu ceea ce trebuie sa aflam.
 Prin aceasta cale am zice ca facem o rezolvare directa a problemei,dar unele situatii nu permit acest gen de rezolvare directa si apelam la metode mai variate de rationament.
 Prima metoda de rationament este reducerea la absurd.De obicei aceasta metoda e utila in situatiile in care avem mai multe posibilitati de a prelucra concluzia problemei decat ipoteza si se cauta o contradictie in ipoteza in timp ce  presupunem falsa concluzia.
 A alta metoda de rationament este inductia matematica.
 Aceasta metoda e cam prost inteleasa de elevi din cauza automatismelor si modelelor rezolvate de probleme.Ea e o metoda mai complexa in care se pot aborda si alte feluri de rezolvare.Ca sa fiu mai inteles am sa dau 2 exemple :
 Eu daca arat ca P(n) implica P(n+2) si fac verificari pentru primele 2 valori pot sa afirm ca inductia e completa si relatia are loc ptr orice n.
 O alta idee de demonstratie am intalnit la inegalitatea mediilor demonstrata prin inductie.
 A aratat ca P(2ⁿ) implica P(2ⁿ⁺¹) si dupa ca P(n) implica P(n-1) .Cu verificare ptr n=1 se dovedeste a fi suficient ptr a concluziona ca relatia e valabila ptr orice numar natural.
 

[sumalan dorin]

 Salutari

 @Zec ,nici nu stiu cum sa iti multumesc pentru aceasta initiativa.Chiar ma intereseaza subiectul,in special:

 

Am deschis acest subiect pentru a clarifica ce inseamna o problema de matematica si ce ar trebui sa facem ca sa o rezolvam corect.
 Sa zicem ca avem problema "25 de pixuri costa 8 lei, cat costa un pix?".Asa ceva nu se poate numi problema de matematica , e un exercitiu de fixare a cunostintelor.

 exact asta ma intereseaza,cum as putea sa inteleg teoria din matematica astfel incat sa fiu in stare sa rezolv probleme de matematica.

 Mi-am descarcat manuale de  matematica ( mateinfo.ro) dar pana acum  ...nu am reusit mai nimic.

[zec]

Notiunile de matematica sunt pe deplin intelese doar daca se invata progresiv si fara salturi.
Fiecare elev is adopta metoda de studiu care ii se potriveste.Uni nu inteleg decat in scris,alti auditiv stau mai bine ,alti cand citesc inteleg despre ce e vorba.
 E bine ca un elev sa isi imbunateasca o metoda de studiu pe care sa se bazeze.Ca in toate stiintele exacte intalnim niste notiuni care sunt fundamentale.In matematica notiunea de multime si functie sunt cele mai importante.Aceste notiuni nu sunt deloc predate cum ar trebui in scoala.Cat despre multime se studiaza in scoala cele importante incepand cu numerele naturale pana la numere complexe si asocierea lor cu multimi de puncte pe o axa sau in plan.
 Propriu zis cand ajungi sa ai in studiu un anumit capitol ai nevoie de o anumita baza.Lipsa ei practic face sa fie dificil si uneori gresit inteles acel capitol.

[virgil 48]

Impresia unuia care invata matematica acum 50 de ani cu oarecare succes, este
ca s-au adaugat prea multe ingrediente ce tin de invatamantul superior in cursurile
elevilor. Definitii, notatii, conventii, intr-un cuvant ambalaj, care uneori ii impiedica
sa vada marfa si necesita memorare. Cred ca era mai atragatoare matematica
aceea bazata mai mult pe logica si mai putin pe cunoasterea de notiuni specifice.
Nu vreau sa ma contrazic cu nimeni, este numai o parere personala, pe care cei
tineri probabil nici nu o inteleg. Scuze pentru o anumita deturnare a topicului.

[AlexandruLazar]

Am avut profesori care au incercat o astfel de abordare (drept e ca nu in domeniul matematicii, dar lucrurile nu sunt mult diferite), si rezultatele au fost... sub asteptari.

Materia, desigur, parea mai interesanta si audienta era un pic mai larga, dar lipsa de rigurozitate isi spunea cuvantul imediat ce acele cunostinte trebuiau aplicate intr-un context interdisciplinar sau neideal. Cred ca cele mai intalnite greseli pe care le-am intalnit pana acum in practica au rezultat din aplicarea unor metode sau solutii care se bazau pe presupuneri nefondate. Exemplul cel mai recent a fost o sursa de alimentare un pic mai ciudata, cu care un coleg a pierdut zile bune incercand sa aplice formule care nu mai erau valabile pentru semnale cu continut ridicat de armonici, desi semnalul aplicat in infasurarea primara era un semnal dreptunghiular.

Aceste ¨ingrediente¨ nu sunt in plus -- sunt acolo cu scopul de a fundamenta foarte bine principiile de baza si limitele materiei invatate.

[zec]

Eu personal cum ziceam sunt de principiu ca progresiv e mai bine inteles. In clasele primare se preda numerele naturale si primele notiuni despre fractii. Din aceasta cauza in clasa V-a ei studiaza fractiile si numerele zecimale, cand eu consider ca e mai util sa ia contact cu numere negative. Un elev de clasa 4-a sunt convins ca va intelege numerele intregi, mai ales cand avem exemple in realitate cu care chiar ne am confruntat iarna asta (temperatura).

 Intreaba un elev de clasa a 3-a sau chiar a 2-a urmatoarea intrebare. Daca temperatura e de -3 grade si mai scade cu inca un grad ce temperatura avem ? Ai sanse mari sa primesti raspunsul corect si practic ei sa fie capabili sa faca operatii cu numere intregi. Partea trista e ca operatiile cu numerele intregi se predau abia in clasa 6-a.

Mai delicat e cum explici ca minus cu minus la inmultire face plus.Pentru a intelege chestia asta mai bine ar trebui sa ii explici de ce
 -(-1)=1 prin ceea ce reprezinta numarul negativ ca ideea de opus celui pozitiv. Astfel ca te lovesti si de primele elemente de logica si anume negatia negatiei e adevarata("pozitiv"). Astfel o inmultire negativa care e negata trebuie sa fie pozitiva (am o exprimare greoaie dar asta e o explicatie).

 Daca ar fi dupa mine as reforma total matematica si in clasa a 4 as avea multimi si numere intregi iara fractiile sa fie invatate in clasa 5-a. Studii destul de avansate dovedesc faptul ca generatiile actuale au capacitate mult mai mare fata de acum 3-4 generatii dar din pacate e distrusa din cauza altor preocupari.

  Elevii vad matematica ca ceva inutil in marea lor majoritate si din aceasta cauza nu isi doresc sa invete asa ceva. La facultati economice se preda 1 an de matematica si gata si ne miram de ce dau bancile faliment si ne baga in criza..(deviez putin mai in gluma dar si serios!). Pentru mine un economist afon la matematica e ca un fotbalist fara picioare (adica face hent tot timpul). Totusi economia e o stiinta care se bazeaza pe notiuni matematice dar si cu fenomene experimentale precum in fizica sau chimie. In timp ce fizicieni cunosc si matematica nu acelasi lucru as putea zice de economisti.

 Deci matematica are ca scop si invatarea efectuarii unor calcule dar si a evalua situatii cu un mod mai eficient si corect. Uneori aparentele inseala si probleme celebre ne arata acest lucru, precum problema lui Creanga a celor 5 paini cand esti tentat sa consideri 3 lei ptr cel cu 3 paini si 2 lei ptr cel cu 2 paini ceea ce se dovedeste a fi incorect.
 

<am rupt textul in paragrafe>

[Electron]

Daca ar fi dupa mine as reforma total matematica si in clasa a 4 as avea multimi si numere intregi iara fractiile sa fie invatate in clasa 5-a.

Si cum ar arata programa in acest sens? Fa un exercitiu de aplicare a acestei idei, concret, la nivel de lectii, ca sa avem un punct de pornire. Nu se stie niciodata cine poate gasi aceste lucruri suficient de interesante incat sa se ajunga la aplicarea lor in sistemul de invatamant. Din vorbe totul e simplu, hai sa vedem un plan concret.

In alta ordine de idei, ti se pare ca textul scris de tine in postarea precedenta e mai lizibil acum? Incearca sa folosesti o redactare cu paragrafe, cu spatiu inainte de punct sau virgula, pentru ca altfel blocurile de text pe care le scrii sunt foarte greu de urmarit.

e-

[sumalan dorin]

 Salutari

 @ Zec,daca ai fii profesor de matematica si ai avea un elev ca si mine ( sunt ca un plop si ploul este in aer) .Cu alte cuvinte,cum ai proceda sa faci in asa fel incat sa trezesti in mine interesul pentru matematica,cum ai proceda sa ma ajuti sa imi dezvolt o aptitudine numita "matematica".

 Mai mult decat atata in perioada cand eram in scoala si liceu,uram matematica ( ma chinuiam sa rezolv probleme de matematica ,aveam teoria in fata dar nu stiam cum s-o aplic,nu  "gandeam in termeni matematici"

 Acum ironia vietii,chiar simt o atractie pentru matematica,numai ca ...imi lipseste baza sau bazele.

 Am auzit pe unul si pe altul ca matematica in primul rand trebuie inteleasa dupa care invatata.Cum as putea eu,care sunt praf sa inteleg matematica fara sa imi explice cineva?

 De ce oamenilor care pur si simplu sunt indragostiti de matematica li se pare usor sa intelegi matematica ba mai mult si disractiva (in sens bun ).


Acum ce iti scriu mi-a tresarit o idee prin cap - poate ar fii interesant si util sa incep sa citesc istoria matematicii ( cum s-au "descoperit " ecuatiile ,radicalii,etc) de ce? pai poate astfel as "prinde" ritmicitatea rationamentelor care au dus la sa zic "descoperirea" si rezolvarea ecuatiilor.

[zec]

ciclul primar-clasa 1-a Numerele naturale si operatia de adunare a numerelor naturale.
                              Relatia de ordine a numerelor naturale,opreatia de scadere si ce semnifica numarul 0.
                 clasa 2-a adunarea si scaderea cu numere mai mari si tabla inmultiri pana la 10.
                               Impartirea fara rest.
                 clasa 3-a inmultirea si impartirea cu numere mai mari,Prezentarea numerelor intregi si  relatia de ordine pentru aceste numere.Multimi de numere.Operatii cu multimi.
                 Clasa 4-a operatii cu numere intregi adunarea si inmultirea.Reguli de adunare si inmultire cu numere negative.Inecuatii si ecuatii cu numere intregi.Impartirea cu  rest.Notiuni de divizibilitate.Rezolvarea de probleme cu metode grafice si aritmetice.
                 clasa a 5-a Aritmetica numerelor intregi,notiunile de divizor,multiplu cel mai mare divizor comun,cel mai mic multiplu comun criterii de divizibilitate.Fractiile(Aici partea aceasta include cateva capitole,e necesar sa inteleaga de ce exista fractii echivalente,unitare,supraunitare,subunitare,amplificarea si simplificarea lor),operatia de adunare a fractiilor si prezentarea notiuni de numar rational.Notiunea de multime a numerelor rationale si faptul ca Z e inclus in Q.E necesar sa se vada ca aceste numere sunt numere mai sofisticate decat numerele intregi .
                            Inmultirea fractiilor ,aplicatii ale fractiilor  Procentele,Proportiile si marimi direct si invers proportionale.notiuni elementare de geometrie.
               clasa 6-a Geometria .Numere zecimale,trecerea fractiilor sub forma zecimala.Operatii cu numere zecimale.Alte baze de numeratie .Baza 2 ca utilitate in informatica ,despre logica matematica si semnificatia lui 0 si 1 in logica matematica.(optional partea cu baze de numeratie,obligatoriu daca se face si informatica).
                      Ecuatii si inecuatii.
De la clasa 7-a poata sa ramana ca acuma.
 Aceasta e o sinteza nu foarte prelucrata,dar care as vrea sa reflecte in mare cam cum cred eu ca ar functiona mai bine.
 @Sumi -interesul pentru matematica trebuie sa fie precum interesul pentru scoala.Cat despre matematica trebuie ca fiecare elev sa inteleaga ca in viata de zi cu zi oricine va folosi matematica atata cat cunoaste.Deci cu cat sti mai mult cu atat mai bine pentru tine,cu cat sti mai putin cu atat mai rau.
                                     

[tavy]

ciclul primar-clasa 1-a Numerele naturale si operatia de adunare a numerelor naturale.
                              Relatia de ordine a numerelor naturale,opreatia de scadere si ce semnifica numarul 0.

Am observat, la fiică-mea, că numerele întregi negative pot fi înțelese într-o oarecare măsură și la clasa I.
Deasemenea adunări cu numere mari le face destul de ușor dar la modul că desparte numărul în unități, zeci, sute etc. pe care le adună separat și pe urmă compune numărul rezultat. Ceva de genul: 17+18=10+7+10+8=10+10+7+8=20+15=20+10+5=30+5=35.
Este drept că am făcut operații simple cu ea de foarte mică.
Am probleme însă în a o face să înțeleagă înmulțirea, dar nici nu am avut prea mult timp să mă ocup de ea un ultima vreme.

[AlexandruLazar]

Ţin minte că prin clasa I ajunsesem la un raţionament rezonabil pentru numerele întregi negative. Era ceva de tipul: dacă am la mine 5 lei, pot spune că am cu 5 lei în plus peste 0, deci "+5". Dacă nu am niciun ban la mine, am evident 0 lei. Acuma, dacă pe lângă faptul că n-am niciun ban la mine, mai am şi să îi dau unui coleg 5 lei, dacă vreau să fiu o persoană de cuvânt am practic 5 lei în minus faţă de 0 lei, deci practic "-5". Dacă primesc 3 lei ("+3") şi îi dau colegului, datoria mea rămâne de 2 lei (deci am "-2" lei). Dacă în schimb mai împrumut 5 lei, acuma am o datorie de 10 lei ("-10").

Mă rog, eram un copil destul de ciudat 

[sumalan dorin]

 Salutari

@Zec,cand ai mai mult timp,te-as ruga daca vrei sa continui cu acest topic.Recunosc pe mine m-a cucerit,bine mai mult din nevoie.Rugamintea in ce consta?

Sa (ne) arati cum putem rezolva probleme de matematica de la simplu la complex,sau mai bine spus cum putem face asa incat sa intelegem teoria astfel incat sa fie rezolvata problema (le) de matematica mai usor.

Asta numai in cazul ca vrei,si ai mila pentru cei ramasi in urma in ale matematicii.Multumesc frumos.

[zec]

Ok sumi.
  Azi am citit, desigur in engleza o vorba a unui matematician Evgrafov.
Daca intrebi un matematician ce face vei primi mereu acelasi raspuns.Ei gandesc.Ei gandesc la dificultatea problemelor mai neobisnuite.Dar la cele obisnuite ei nu gandesc doar scriu raspunsul jos.
  Geometria in matematica dezvolta rationamentul si mecanismele de rezolvare.Faptul ca trebuie sa remarci ipoteza si sa o folosesti pentru a demonstra concluzia esti in incercarea sa cauti elementele ce le uneste.
  In problemele care ipoteza nu ofera posibilitatea utilizari se apeleaza la rationamentul absurd.
De exemplu sa se arate ca ln2 este irational,ipoteza nu ne ofera foarte multe.Si atunci apelam la absurd ,presupunem ca ln2 e rational adica ln2=m/n (m;n)=1(prime intre ele) de aici rezulta ca contradictie intrucat aceasta egalitate e imposibila e fiind un numar transcedent.
 Domeniul din care e problema conteaza foarte mult,deoarece e nevoie de a cunoaste proprietatile esentiale din acel domeniu.
  Deci am putea clasifica problemele astfel:
-probleme aplicative ca fiind acele probleme care sunt aplicatii ale unor teoreme.Aceste probleme sunt relativ usoare dar devin dificile daca nu se cunosc teoremele.
-probleme complexe.Acele probleme care necesita cunoasterea a mai multor teoreme .
-probleme tehnice.Acele probleme care necesita mult calcul de prelucrare si artificii.
-probleme deosebite .Aceste probleme sunt cele mai grele, ele in fapt fiind probleme cu mai multe probleme in ele.In rezolvarea lor pot aparea leme ajutatoare.
  Problemele tehnice si deosebite sunt cele care se dau la olimpiade deoarece pot oferii solutii diversificate in timp ce problemele aplicative si cele complexe se dau la probe de admitere sau bacalaureat.
 

[zec]

As vrea sa aduc in discutie un subiect interesant.
In gazeta matematica din  1982 academicianul N. Teodorescu scrie o rubrica intitulata
    Reflexii metodice asupra exercitiilor si problemelor
(pe marginea unui curs de Mecanica Cinematica de prof. M.C. Tofan)
E vorba despre modernizarea invatamantului matematic bazat pe ideea modernizari tehnicilor matematica ca rezultat al revolutiei structurale a stiintelor in general din ultimii 100 de ani.
Si pune in discutie urmatorul fapt ca cu toate ca se incearca sa se faca manuale bazate pe principii moderne totusi rezultatul nu este tocmai reusit avand in absolventii de facultati tehnice lipsa evidanta de stapanire a unor tehnici sa zicem clasice de derivare si integrare ,schimbari de variabile ,serii numerice si de functii etc la care se adauga si carente provenite din liceu la elemente de trigonometrie sau geometrie sintetica etc.si scoate in evidenta urmatorul fapt .Daca se doreste modernizarea atunci ar trebui sa avem si probleme bazate pe aceste tehnici ,dar ele nu exista sau daca sunt apar ca niste teoreme deghizate in probleme.in concluzie manualele duc lipsa de acest gen de probleme si duc lipsa si de o metodica bazata pe elemente axiomatice care sa incerce sa dezvolte constructiv cunostiintele matematice astfel ca ele sa fie insusite la un nivel optim.
 CE se intampla acuma in invatamantul romanesc ,in special legat de manuale si culegeri de matematica.In acest moment e un dezastru ,nu respecta un sistem axiomatic de a defini corect existenta unor numere.De exemplu acuma in manuale de clasa 10-a se preda logaritmul ca fiind o valoare care baza respectiva ridicata la aceasta valoare da o valoare specificata.Ok asta e intradevar logaritmul ,dar de unde stiu ca exista aceasta valoare pentru alte numere?Astfel ajung sa inteleaga gresit si nu pricep prea bine treaba cu logaritmul ,in timp ce daca logaritmul ar fi prezentat ca inversa a unei exponentiale parerea mea e ca aceasta informatie ar avea o alta perceptie la nivel de elev.
Un alt exemplu trist intalnit la o meditatie cuyrand cu o culegere de clasa a 7-a culegeri facute la repezeala cu interes mai degraba financiar decat educational.
Problema suna asa .Fie ABCD un paralelogram si un punct P astfel incat unghiurile APC si BPD au 90 de grade.Aflati masura unghiului ABC.
 Raspunsul este de 90 de grade ,dar ce face un elev cand vede aceasta problema.Va desena un paralelogram evident si nu un dreptunghi cum ar fi trebuit.SE apuca sa cauta acel punct P pe care nu il va gasi niciodata.Eu personal a trebui sa ii explic elevului o justificare mai adecvata cu toate ca aceasta explicatie trebuia sa impuna cercul lectie care se preda la final de semestru 2 .Existenta unui punct P astfel ca un unghi sa faca atatea grade ,inseamna ca el se afla situat pe un cerc de diametru AC sau BD si orice al punct situat in afara sau interiorul cercului va avea unghi mai mic sau mare decat 90 de grade ,deci astfel P ar trebui sa se afle la intersectia acestor cercuri care din pacate au acelasi centru situat la intersectia diagonalelor si sunt concentrice singura situatie cand cercurile au puncte comune fiind cand se confunda ,asta insemnand diagonale egale deci dreptunghi etc.
Ce vroia autorul problemei ?El nu a pus problema constructiei si existentei cum de altfel am vazut in multe probleme de geometrie.Autorul ar fi vrut ca elevi sa remarce ca PO este mediana in triunghi dreptunghic si deci AC si BD ambele egale cu 2PO deci egale etc.ASTA nu e demonstratie cu asa ceva nu e o problema corecta.Un enunt corect la problema asta ar fi fost de genul aratati ca un paralalelogram ABCD este dreptunghi daca exista un punct P astfel incat...
DECI in concluzie ce pretentii vrem noi de la nivel educational sa perceapa elevii astia daca ei nu au o baza metodica corect structurata si e construita cu multa ambiguitate pe tipuri mixte de metode?
Sa nu ne mire ca un examen de evaluare e de un nivel scazut cu multe elemente de invatamant primar si cel de bacalaureat la fel cu nivel gimnazial.E evident acest regres si o perceptie gresita in dificultate care devine subiectiva.