Băiat sau fată? - un paradox de Martin Gardner

[tavy]

Cum adică îți dă mai multă informație decât e necesar?

Pai la problema 1 e mai multa informatie decat e necesar. Era suficient sa spuna ca unul din copii este baiat. Nu era nevoie sa adauga informatia inutila ca odrasla cea mea era baiat. Raspunul la problema e acelasi si daca odrasla mai mica era baiat. Asadar informatia a fost de fapt "unul din copiii este baiat si acela este primul copil". Era suficient "unul din copii este baiat".

Nu este deloc așa, consideră problema pusă astfel:
Fie un număr cu două cifre în baza 2. Rezultă că numerele posibile sunt: 00, 01, 10 și 11.
Numărul anterior are cel puțin o cifră 1. Rezultă că au mai rămas numerele: 01, 10 și 11.
Numărul anterior are prima cifră 1. Rezultă că au mai rămas numerele 10 și 11.
Poți observa că de fiecare dată s-a venit cu informație suplimentară, entropia informațională a scăzut.

In alta ordine de idei, ce formula a informatiei folosesti? Din cate stiu, nu exista o teorie a informatiei decat in telecomunicatii (Shannon) si aceea nu are echivalent in problem cu copii.

Chiar dacă teoria informației a fost dezvoltată inițial pentru a fi folosită în comunicații (nu neapărat telecomunicații) ea se aplică în mod curent multor domenii.
Pentru mai multe detalii vezi Information theory și Quantities of information.

[Adi]

Cum adică îți dă mai multă informație decât e necesar?

Pai la problema 1 e mai multa informatie decat e necesar. Era suficient sa spuna ca unul din copii este baiat. Nu era nevoie sa adauga informatia inutila ca odrasla cea mea era baiat. Raspunul la problema e acelasi si daca odrasla mai mica era baiat. Asadar informatia a fost de fapt "unul din copiii este baiat si acela este primul copil". Era suficient "unul din copii este baiat".

Nu este deloc așa, consideră problema pusă astfel:
Fie un număr cu două cifre în baza 2. Rezultă că numerele posibile sunt: 00, 01, 10 și 11.
Numărul anterior are cel puțin o cifră 1. Rezultă că au mai rămas numerele: 01, 10 și 11.
Numărul anterior are prima cifră 1. Rezultă că au mai rămas numerele 10 și 11.
Poți observa că de fiecare dată s-a venit cu informație suplimentară, entropia informațională a scăzut.

M-ai convins. Mersi mult pentru explicatia detaliata. Ai dreptate. "unul din copiii este baiat si acela este primul copil" are informatie mai multa decat "unul din copii este baiat". In schimb, imi dau seama acum ca informatia "unul din copii este baiat" este insa echivalenta cu ""cel putin unul din copii este baiat". Pentru ca din ambele ce stim sigur este ca un copil este baiat, iar despre al doilea copil nu stim nimic sigur. Chiar tu ai aratat ca solutiile sunt 01, 10 si 11, iar la problema 2) raspunsul este acelasi. Esti de acord cu asta?

[florin_try]

In schimb, imi dau seama acum ca informatia "unul din copii este baiat" este insa echivalenta cu ""cel putin unul din copii este baiat". Pentru ca din ambele ce stim sigur este ca un copil este baiat, iar despre al doilea copil nu stim nimic sigur.

 In general, nu cred ca e asa.

 Evenimentul "unul din copii este baiat" inseamna:
e_{unul din copii este baiat}=
{
1) primul copil e baiat si al doilea copil e fetita, sau
2) primul copil e fetita si al doilea copil e baiat
}
 si are probabilitatea p_{unul din copii este baiat} = p_{male, female} + p_female,male = 0.5

 Evenimentul "cel putin unul din copii este baiat" inseamna:
e_{cel putin unul din copii este baiat} =
{
1) primul copil e baiat si al doilea copil e fetita, sau
2) primul copil e fetita si al doilea copil e baiat , sau
3) primul copil e baiat si al doilea copil e baiat
}

 si are probabilitatea p_{cel putin unul din copii este baiat} = p_{male, female} + p_female,male + p_{male, male}= 0.75

----

 Cred ca dificultatea la punctul 1) de exemplu, vine din faptul ca problema e supradeterminata (ai mai multa informatie decit iti trebuie sa raspunzi la intrebarea pusa, si efectiv reformulezi de fapt intrebarea).  Eu zic ca e doar o trick lingvistic?

[Adi]

Nu cred ca ai dreptate. Ca sa ai dreptate trebuia accentuat cu "doar un copil este baiat". Cand spui "un copil e baiat" inseamna ca pentru un copil stii ceva sigur si pentru al doilea nu stii nimic. Daca ar fi fost trei copii si despre doi stiai ca sunt baiati si despre al treilea nu stiai nimic ai fi zis "unii copii sunt baieti". "un" e doar singularul de la "unii" dar aceeasi logica.

[florin_try]

Cum adică îți dă mai multă informație decât e necesar?

Pai la problema 1 e mai multa informatie decat e necesar. Era suficient sa spuna ca unul din copii este baiat. Nu era nevoie sa adauga informatia inutila ca odrasla cea mea era baiat. Raspunul la problema e acelasi si daca odrasla mai mica era baiat. Asadar informatia a fost de fapt "unul din copiii este baiat si acela este primul copil". Era suficient "unul din copii este baiat".

 Eu ma refeream la altceva:

 Intrebarea originala era:

1. Dl. Grigore are 2 copii. Cel mai mare este băiat. Care e probabilitatea ca ambii să fie băieţi?

Pentru a raspunde sctrict la intrebarea pusa " Care e probabilitatea ca ambii să fie băieţi?" , tot ce iti trebuie este informatia "Dl. Grigore are 2 copii.". Am aratat ca iese o probabilitate de 0.25.

Insa daca tinem cont de extra-informatia "Cel mai mare este băiat.", tot ce mai ramine sa determinam e probabilitatea sexului unui  singur copil (al doilea), adica cu extra-informatia "Cel mai mare este băiat" de fapt se raspunde strict la intrebarea "Care e probabilitatea ca sexul unui (i.e. al doilea in cazul de fata) copil sa fie baiat?". Desigur, asta raspunde implicit si la intrebarea "Care e probabilitatea ca ambii să fie băieţi?", insa in contextul datelor concrete ale problemei intrebarea devine relatata doar la sexul unui singur copil.

[florin_try]

Nu cred ca ai dreptate. Ca sa ai dreptate trebuia accentuat cu "doar un copil este baiat". Cand spui "un copil e baiat" inseamna ca pentru un copil stii ceva sigur si pentru al doilea nu stii nimic.

OK. Inteleg ce vrei sa spui, deci eu prin "un copil e baiat" intelegeam/defineam(ad-hoc e drept) "doar un copil este baiat" .
Hmmm .... devine semantica ...

[florin_try]

Cand spui "un copil e baiat" inseamna ca pentru un copil stii ceva sigur si pentru al doilea nu stii nimic.

 Dar de ce "un copil e baiat", nu ar insemna ca suma copiilor cu sexul baiat este unu? ... that's me stubborn again ...

[tavy]

M-ai convins. Mersi mult pentru explicatia detaliata. Ai dreptate. "unul din copiii este baiat si acela este primul copil" are informatie mai multa decat "unul din copii este baiat". In schimb, imi dau seama acum ca informatia "unul din copii este baiat" este insa echivalenta cu ""cel putin unul din copii este baiat". Pentru ca din ambele ce stim sigur este ca un copil este baiat, iar despre al doilea copil nu stim nimic sigur. Chiar tu ai aratat ca solutiile sunt 01, 10 si 11, iar la problema 2) raspunsul este acelasi. Esti de acord cu asta?

Avem următoarele combinații posibile:
fată-fată
fată-băiat
băiat-fată
băiat-băiat
Fiecare cu aceeași probabilitate 1/4.

Pentru problema 1, „Dl. Grigore are 2 copii. Cel mai mare este băiat. Care e probabilitatea ca ambii să fie băieţi?”, avem următoarele combinații posibile:
băiat-fată
băiat-băiat
Fiecare cu aceeași probabilitate 1/2.
Răspunsul este: „probabilitatea ca ambii copii să fie băieți este 1/2”.

Pentru problema 2, „Dl. Grigore are 2 copii. Cel puțin unul dintre ei e băiat. Care e probabilitatea ca ambii să fie băieţi?” avem următoarele combinații posibile:
fată-băiat
băiat-fată
băiat-băiat
Fiecare cu aceeași probabilitate 1/3.
Răspunsul este: „probabilitatea ca ambii copii să fie băieți este 1/3”.

Dar de ce "un copil e baiat", nu ar insemna ca suma copiilor cu sexul baiat este unu? ... that's me stubborn again ...

Pentru că se referă doar la un copil nu la amândoi. Nu spune că un copil este băiat iar celălalt nu este băiat. Nici că un singur copil este băiat.
Privește ca și cum informația ți-ar veni de la doi oameni, unul îți zice că Grigore are doi copii celălalt îți zice că s-a întâlnit cu unul din copii lui Grigore, nu știe cu care, și este băiat.

[Adi]

Cand spui "un copil e baiat" inseamna ca pentru un copil stii ceva sigur si pentru al doilea nu stii nimic.

 Dar de ce "un copil e baiat", nu ar insemna ca suma copiilor cu sexul baiat este unu? ... that's me stubborn again ...

E semantica, e vag si se din faptul ca "un copil e baiat" se intelege "cel putin unul din copii e baiat". In cazul in care doar un copil este baiat se spune exact asa "doar un copil este baiat" sau "exact un copil este baiat". Cel putin asa vad eu. De altfel in viata de zi cu zi folosim aceste cuvinte "doar" si "exact" tocmai pentru a fi clar.

[florin_try]

Pentru problema 1, „Dl. Grigore are 2 copii. Cel mai mare este băiat. Care e probabilitatea ca ambii să fie băieţi?”, avem următoarele combinații posibile:
băiat-fată
băiat-băiat
Fiecare cu aceeași probabilitate 1/2.
Răspunsul este: „probabilitatea ca ambii copii să fie băieți este 1/2”.

Dar de ce fiecare combinatie are probabilitate 1/2? Pentru ca probabilitatea ca sexul unui singur copil sa fie baiat este 1/2, nu?
Cu alte cuvinte problema depinde de o singura variabila (sexul celui de al 2-lea copil) si nu de ambele variabile (sexul primilui copil, sexul celui de al 2-lea copil). Adica strict vorbind de fapt se raspunde la intrebarea  "care e sansa ca sexul unui copil sa fie baiat?". Asta implict da raspunsul la intrebarea originala sau orice alta intrebare formulata sa depinda de sexul ambilor copii.

Pentru că se referă doar la un copil nu la amândoi. Nu spune că un copil este băiat iar celălalt nu este băiat. Nici că un singur copil este băiat.
Privește ca și cum informația ți-ar veni de la doi oameni, unul îți zice că Grigore are doi copii celălalt îți zice că s-a întâlnit cu unul din copii lui Grigore, nu știe cu care, și este băiat.

OK. Cred ca m-am lamurit cu acest exemplu - ai dreptate.  Probabil confuzia mea aparea de cum aveam eu definit (ad-hoc) ceea ce in limbaj cotidian e pus "unu din copii e baiat". Asa cum ai explicat mai sus, intr-adevar, "unu din copii e baiat" e acelasi lucru cu "cel putin unu din copii e baiat". Insa daca sesisez eu bine, dificultatea nu vine neaparat din partea de logica a problemei, ci din 'traducerea' din limbaj cotidian in limbajul logicii formale. In cazul de fata aceasta 'traducere' implica adaugarea acelui cel putin in fata. Asadar, pina la urma e doar chestie de semantica, ca de indata ce ai transpus corect in problema in limbajul logicii, rezolvarea e imediata.

[Adi]

Insa daca sesisez eu bine, dificultatea nu vine neaparat din partea de logica a problemei, ci din 'traducerea' din limbaj cotidian in limbajul logicii formale. In cazul de fata aceasta 'traducere' implica adaugarea acelui cel putin in fata. Asadar, pina la urma e doar chestie de semantica, ca de indata ce ai transpus corect in problema in limbajul logicii, rezolvarea e imediata.

Sunt complet de acord.