Matematică şi Logică > Geometrie

Postulatul sau Teorema lui Euclid?

(1/107) > >>

atanasu:
Ce credeti daca s-ar dovedi ca postulatul 5 este de fapt o teorema, deosebita ce-i drept, dupa ce sute de ani a provocat discutii si ultima zicere stiuta de mine si pe care am postat-o pe alt fir tot de la Geometrie este cea a lui Farkas Bolyai(tatal merelui matematician Janos Bolyai): :„Dacă cineva va găsi demonstraţia axiomei paralelelor, ar merita un diamant cât Pământul de mare.”…. … „cui îi va reuşi aceasta, acestuia, muritori, să-i ridicaţi un monument nepieritor” ar trebui poate reconsiderata. Ar trebui? :)

Am replicat acolo : Hei! nici chiar asa si repet si aici aceast considerent : nici chiar asa

Poate sunt aici amatori sa-si spuna parerea asupra acestui aspect si de aceea eu avand ceva de spus am deschis totusi acest  fir nou, botezat incitant , nemai continuand discutia pe firul lui Mihnea Maftei care a disparut de mult de aici, iar cei care se pot exprima nici ei nu prea mai intra: zec, Abel Cavasi, mircea_p, valangjed, Alexandru Lazar, puriu, A.Mot si or mai fi cativa dar sunt desigur asteptati pe aceasta tarla.

PS Si de fapt ce inseamna "demonstratia axiomei paralelelor" in spiritul zicerii lui Farkas B.?

UPDATE/16 iulie 2018 Postarea #86 Am postat ultimul text al Teoremei T28-2 pentru enuntul dat de Playfair in forma finala la postulatul unicitatii paralelei . Cine nu este intersat de toata discutia dintre mine si Electron poate sa mearga direct acolo.

valangjed:
  Demonstratiile din geometria euclidiana pornesc de la postulatele(axiomele) lui Euclid.Astfel, axioma paralelelor poate deveni teorema doar daca e demonstrata cu ajutorul celorlalte postulate.
  Am avut si eu o vreme cand ma "straduiam" sa demonstrez axioma paralelelor.M-am oprit cand am citit despre Goedel, Janos Bolyai, Gauss, Riemann, Lobatchevski si "geometriile noneuclidiene" unde "printr-un punct exterior unei drepte se pot duce mai multe paralele la acea dreapta".
 

atanasu:
Valangjed intrucat te-ai ostenit sa bagi in seama ce am scris voi incepe sa scriu ce am de spus la acest subiect dar nu totul deodata ci in mai multe parti care fiecare suporta si propria ei discutie.
Donc(in franceza :) ) :

I) Asa cum am anuntat, revin pe drumul lui Farcas Bolyai care cum am aflat a dat destule teoreme echivalente postulatului lui Euclid si mai ales pe cel al lui Janos Bolyai care a demonstrat că celebra axiomă a paralelelor este independentă de celelalte axiome ale geometriei.
Precizez ca D. Hilbert a creat o axiomatica a geometriei iar sistemul sau de axiiome devenit clasic  constă din 20 de axiome împărţite în 5 grupe. Prin această clasificare a axiomelor se reuşeşte cea mai simplă şi laconică formulare a axiomelor care sunt grupate in 5 grupe primele 19 in primele patru grupe: de incidenta( 8 propozitii), de ordine (4 propozitii), de congruenta(5 propozitii) si de continuitate (2 propozitii).
A cincea grupa nu contine decat o singura axioma si anume tocmai cea atat de discutata, cea a paralelelor, a cincea  a lui Euclid, in exprimarea ramasa clasica :  Fie o dreaptă oarecare a şi un punct A exterior dreptei a. Atunci în planul determinat de punctul A şi dreapta a, există cel mult o dreaptă care trece prin punctul A şi nu intersectează dreapta a.
Gasim toate acestea in http://ro.math.wikia.com/wiki/Axiomele_geometriei unde aflam ceva important si anume ca geometria construită de David Hilbert cu ajutorul axiomelor grupelor I-IV(cele 19 propozitii axiomatice)  se numeşte geometrie absolută. Careia daca i se adauga si axioma nr 20,cea a paralelelor, devine geometria euclidiana asa cum a fost exprimata de Euclid in cartile sale.
Daca in aceasta geometrie euclidiana se elimina axioma paralelelor pe care Janos Balyai a aratat-o ca fiind independenta  si tocmai de aceea neconstituind  o baza necesara pentru restul axiomaticii euclidiene poate fi inlocuita apar astfel noi geometrii matematic posibile teoretic dar si practic
Ce ramane daca se renunta doar la axioma paralelelor? Atunci  setul de cele 19 axiome ale lui Hilbert sau cele ale lui Euclid fara postulatul paralelelor formeaza asa numita geometrie absoluta continuta atat de geometria euclidiana prin adaugararea postulatului al cincilea euclidian  cat si de cele neeuclidiene care inlocuiesc postulatul cu un altul .
În geometria neeuclidiană hiperbolică , numită de obicei geometria lui Lobacevski dar mai corect  Bolyai-Lobacevski-Gauss, suprafete cu curbura  negativa in care  printr-un punct dat se pot duce cel puţin două drepte paralele la o dreaptă dată,  in geometria neeuclidiană eliptică(riemanniana) in  care nu se poate duce nici-o paralela(suprafetele cu curbura pozitiva).

De fapt ce doresc este sa arat ca in spatiul euclidian definit prin nemarginire(nelimitare) si infinitate, definit prin continerea  punctului, liniei, suprafetei si volumului , a liniei drepte si a cercului pentru geometria plana, linia dreapta fiind definita conform  definitiei 4 si a postulatelor 1 si 2 a lui Euclid si unde daca definitia cercului, respectiv a circularitatii liniei care-l formeaza este  absolut clara, toti analistii geometriei euclidiene sunt de acord ca dreapta nu este definita intr-un mod pefect(vedem ca sunt mai multe propozitii in loc poate de una, eu considerand ca fiind o notiune atat de primara si evidenta devine destul de greu de exprimat) celebrul postulat 5 poate fi dedus ca o teorema in baza celorlalte postulate . Si o remarca neobligatorie pentru cele ce vor urma dar pe care tin sa o fac este faptul ca si punctul este mai dificil de inteles fiindca  la prima notiune a geometriei  trebuie sa acceptam contradictia: nu are nici-o parte adica este indivizibil dar daca ne gandim ca este si intersectia a doua linii, vedem ca este fara dimensiune. Este un fel de aparitie a existentei din nimic la care azi nu numai filozofia dar si fizica a ajuns intr-un anume fel.  De exemplu definitia remarcabila a lui Arhimede cum ca dreapta este distanta cea mai scurta dintre doua puncte, nu am gasit-o dedusa undeva din ceva anterior, deci o pot considera tot un fel de axioma care introduce ideia de minim si totusi nu-mi da sensul mai adanc al notiunii de rectitudine asa cum mi-o da definitia cercului celei de circularitate si nici faptul ca toate liniile drepte sunt una asa cum cercul iti spune clar ca toate cercurile cu aceiasi raza sunt una.
Cred ca in aceasta zona se afla si potulatul lui Euclid si incerc sa inchei ceva ce a inceput in sec 18 Sacchieri care neputand demonstra postulatul ca fiind doar o teorema a geometriei euclidiene nu a facut pasul spre alte geometrii cum l-au facut altii care i-au urmat si care au gasit neputand nici ei gasi un raspuns multumitor la teorematizarea postulatului au gasit o alta solutie problemei si anume creerea geometriilor neeuclidiene, liberalizand postulatul.
Nota: Pentru Elementele  lui Euclid am folosit si: http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0086%3Abook%3D1%3Atype%3DDef%3Anumber%3D1 cat si http://www.trigofacile.com/maths/euclide/livre1/index.htm

Electron:

--- Citat din: atanasu din Aprilie 21, 2018, 12:57:04 p.m. ---De fapt ce doresc este sa arat ca in spatiul euclidian definit prin nemarginire(nelimitare) si infinitate, definit prin continerea  punctului, liniei, suprafetei si volumului , a liniei drepte si a cercului pentru geometria plana, linia drepta fiind definita conform  definitiei 4 si a postulatelor 1 si 2 a lui Euclid si unde daca definitia cercului, respectiv a circularitatii liniei care-l formeaza este  absolut clara, toti analistii geometriei euclidiene sunt de acord ca dreapta nu este definita intr-un mod pefect(vedem ca sunt mai multe propozitii in loc poate de una, eu considerand ca fiind o notiune atat de primara si evidenta devine destul de greu de exprimat) celebrul postulat 5 poate fi dedus ca o teorema in baza celorlalte postulate .
--- Terminare citat ---
As dori doua clarificari:
1) Ce inseamna "spatiu euclidian" pentru tine in acest context? Te rog sa dai explicit definitia pe care o folosesti pentru asta.
2) Prin aceasta fraza alambicata citata mai sus pretinzi ca poti sa demonstrezi faptul ca "celebrul postulat 5 poate fi dedus ca o teorema in baza celorlalte postualte"?


--- Citat ---Si o remarca neobligatorie pentru cele ce vor urma dar pe care tin sa o fac este faptul ca si punctul este mai dificil de inteles fiindca  la prima notiune a geometriei  trebuie sa acceptam contradictia: nu are nici-o parte adica este indivizibil dar daca ne gandim ca este si intersectia a doua linii, vedem ca este fara dimensiune.
--- Terminare citat ---
Ce contradictie vezi tu aici?


--- Citat ---De exemplu definitia remarcabila a lui Arhimede cum ca dreapta este distanta cea mai scurta dintre doua puncte, [...]
--- Terminare citat ---
Poti sa citezi o sursa unde apare aceasta "definitie remarcabila a lui Arhimede" ?


e-

atanasu:
Electron
1)a)Clasic se spune ca:Un spaţiu euclidian este omogen şi izotrop, structura lui metrică fiind independentă de distribuţia materiei în spaţiu.
Pe mine personal nu ma intereseaza structra lui metrica dependenta sau independenta de materie ci doar structura lui geometrica omogena si izotropa in consecinta faptului ca este peste tot si in mod continuu format din puncte(desigur ca in multimea omogena si izotropa de puncte se pot izola in orice moment o infi nitate de figuri geometrice dintre care doar punctul si linia dreapta sunt una adica intersanjabile: orice punct cu orice punct si orice linie dreapta cu orice linie dreapta cu definitile cunoscute de care vorbiram si in care distanta cea mai scurta intre doua puncte care nu sunt in contact adica care mai au intre ele cel putin un punct este segmentul de dreapta.
b) Nici vorba sa pretind ca in cele scrise deja se afla ceva din demonstratia pe care pretind ca am facut-o dar care inca nu a fost comunicata.
 
2) Inteleg ca acea contradictie pomenita te intriga dar daca accept ca doua linii care se intersecteaza nu pot avea la acea  intersectie decat un punct si ca deci acel punct apartine liniilor, logica ne spune ca punctul este doar o parte din fiecare linie deci este o diviziune a liniei dar in acelasi timp este si fara dimensiune sau cu dimensiune nula, cu alte cuvinte neavand noi ce divide. Sigur aici ajungem la ultimul punct unde pot ajunge cu gandul, dincolo dupa mine fiind doar noaptea mintii. Iti propun sa o lasam asa cum a cazut. Sau eu unul mai mult nu-ti pot spune. Daca tu poti spune ceva in plus de aceste ganduri destul de imperfecte  fa-o . Iti promit ca voi incerca sa evit formulari la care logica ta foarte exacta te va obliga la astfel de intrebari perfect justificte. Pot sa si retrag cuvantul "contradictie" pentru ca ceva ce mie mi se pare asa nu este neaparat astfel mai ales cand nu dispun si de o demonstratie perfecta in acest sens.

3) Ref definitia remarcabila a lui Arhimede eu o stiu din scoala de la profesorul meu de matematici, daca mai tin bine minte acasta afirmatie si deasemenea se gaseste  si la inkurile urmatoare :
http://autori.citatepedia.ro/de.php?a=Arhimede, http://gokids.ro/citate/arhimede.html
Si in franceza la  https://www.brainyquote.com/fr/citation/archimedes_610909 sau in engleza https://www.brainyquote.com/quotes/archimedes_610909.
Suplimentar cu ocazia aproximarii lui Pi, Arhimede foloseste aceasta axioma sau sa-i spunem definitie axiomatica a segmentului de dreapta atunci cand arata ca perimetrul poligonului inscris intr-un cerc este mai mic decat  circumferinta. Am spus intr-o postare catre zec acum ceva vreme ca problema lui Arhimede  este ca nu a reusit sa demonstreze si ca poligonul circumscris unui cerc are perimetrul mai mare decat cercul, desigur pare evident(el asa a luat-o) dar nici el nici altcineva dupa stiinta mea nu a reusit aceasta demonstratie. Poate careva de pe aici sa aiba curajul si sa reuseasca asa ceva? Cine stie

Navigare

[0] Indexul de Mesaje

[#] Pagina următoare