Matematică şi Logică > Geometrie
Cateva remarci asupra notiunilor de geometrie.Paralalelism si unghi.
zec:
La intrebarea ce inseamna 2 drepte paralele am primit foarte multe raspunsuri gresite,cum ar fi:
2 drepte sunt paralele daca nu se intersecteaza sau 2 drepte care se intersecteaza la infinit.
Din pacate dreptele paralele se definesc prin conjuctura axiomelor.
2 drepte sunt paralele daca ele determina un plan unic si nu au nici un punct comun.
Deci partea cu intersectia functioneaza dar nu e si suficient intrucat in spatiu putem avea drepte neconcurente,dar neparalele deoarece ele sunt necoplanare.
Aceasta greseala apara din cauza geometriei in plan unde se intalnesc prima oara cu notiunea de paralelism si in care li se explica in acest mod.
In acest mod poate fi privit paralelismul planelor si poti defini 2 plane paralele ca fiind 2 plane fara nici un punct comun.
O alta situatie grea inteleasa este notiunea de unghi a dreptelelor in spatiu.Mai concret situatiile in care acele drepte nu se intersecteaza si elevii nu remarca unghiul precum era in geometria plana.
In mod normal in situatiile de acest gen unghiul se remarca ducand o dreapta paralele la una din ele si care se intersecteaza cu cealalta.
Indiferent unde se intersecteaza unghiul e acelasi!!!.
Pai ar fi interesant sa vedem problema inversa sa plecam de la 2 drepte concurente daca am misca una din ele printro miscare de translatie e cunoscut de la unghiuri formate de 2 drepte paralele cu o secanta ca unghiurile raman egale.Astfel ca misare in plan pe directii paralele nu modifca unghiul,in concluzie daca detasam una din drepte si incepem miscarea in spatiu putem ajunge la pozitia initiala a dreptelor concurente.Astfel ca translatarea dreptelor nu modifica unghiul si e corect sa consideram notiunea de unghi ca marime(nu ca multime) si pentru drepte in spatiu.
ion adrian:
Incerc sa-l redeschid pe acesta caci are un titlu potrivit si aici nu am dorinte personale altele decat cele stiintifice(desi mai corect pentru mine ar fi sa scriu noetice dar risc ca acesta sa apara ca cel de al 11 cuvant misterios, neinteligibil sau mai stiu eu cum ar fi el ceea ce l-ar face sa munceasca prea mult pe dl Abel Cavasi(ce mare matematician a fost acel Niels Abel din Norvegia)de pe acest forum. :)
Asadar undeva ca raspuns la un articol cu referire la "neoganicitatea si organicitatea" relatiilor geometrice privind aria si circumferita cercului , in care un profesor universitar filolog, dar cu un hobby marcat spre geometrie, incerca sa demonstreze ca fiind mai organica o alta relatie decat ea clasica privind aria cercului.
Astfel domnul si foarte stimabilul profesor propune "o formulă nouă de calcul a suprafeţei cercului, formulă capabilă să funcţioneze cu acelaşi succes ca şi formula clasică, a lui Arhimede, πR². Noua formulă propusă este KD², în care K este o mărime constantă egală cu 0,785, iar D este diagonala cercului. Autorul consideră că este „neorganică” prezenţa în formula cercului a razei R şi că în calcularea suprafeţei cercului trebuie pornit de la diametrul cercului, mai ales dacă în formulă apare, direct sau indirect, valoarea π. De asemenea, raportarea cercului la pătratul razei este un non sens. Logic şi firesc este să raportăm suprafaţa cercului la pătratul diametrului, zice Ion Coja, adică la pătratul în care cercul se poate înscrie, acest pătrat reprezentând întregul din care cercul acoperă numai o parte, acoperă 0,785 din suprafaţa pătratului circumscris"
Personal si cred eu ca si evident nefiind de acord cu aceasta opinie, am motivat dezacordul meu fundamental, explicand destul de detaliat de ce consider ca relatia lui Arhimede este cea mai organica cu putinta impartasesc, iar in final pentru a nu fi banuit ca nu intuiesc suficient de exact ce ar insemna "organicitatea" in geometrie prezint un postulat mai organic, in opinia mea, decat postulatul paralelelor al lui Euclid pe care il cobor astfel la rangul de teorema.
Urmeaza textul scris in finalul interventiei mele privind articolul respectivului domn profesor care mi l-a publicat cu eleganta pe blogul dlui personal:
"Pentru asta prezint o contributie personala la axiomatica lui Euclid, care va arata existenta unui element cu o organicitate mai slaba asa cum il introduce Euclid si pentru care propun un altul mai firesc si mai normal a fi introdus la nivelul fundamentelor geometriei plane euclidiene.
Respectiv, eu sustin ca in loc de axioma unicitatii paralelei care are drept consecinta teorema unicitatii perpendicularei, problema sa se puna invers, respectiv sa vorbim despre axioma unicitatii perpendicularei dusa pe o dreapta dintr-un punct exterior acesteia si nu de teorema unicitatii paralelei dusa printr-un punct exterior fata de o dreapta.
De ce sustin ca aceasta este abordarea organica?
Din motive de precizie, de claritate si chiar de estetica matematica.
Foarte pe scurt.
Este mai riguros si mai precis sa vorbesti de perpendiculara coborata dintr-un punct pe o dreapta, figura geometrica care se limiteaza la foaia de hartie sau la tabla de scoala, decat de paralela care trebuie prelungita macar mintal pana la infinit pentru a vedea ca nu se intersecteaza cu dreapta de care vorbim.
Este mai riguros si mai clar sa vorbesti de perpendiculara care determina de o parte a dreptei pe care o intersecteaza doua unghiuri egale numite unghiuri drepte decat de o dreapta care nu se intalneste niciodata cu o alta dreapta , ceea ce ca si notiunea de infinit este o notiune mult mai vaga decat perpendicularitatea."
mircea_p:
Formula aia mai "organica" e doar formula ariei in functie de diamteru (nu "diagonala"):
unde pi/4 este aproximat cu 3 zecimale.
Se invata in clasa a 6 sau a 7-a.
Asta e baza unei intregi noi "filozofii" sau ce o fi acel amestec de fraze despre organicitate si tot restul? :D
Axioma a 5-a a lui Euclid nu mentioneaza unicitatatea paralelei, in forularea lui Euclid.
Asa cum e formulata, implica unicitatea paralelei. Ca si a perpendicularei.
Exista multe formulari echivalente, printre care si cele mentionate de tine (si care sant probabil cunoscute din antichitate).
Ai citit macar axioma in formularea lui Euclid, inainte de a veni cu o contribuite personala la ea? :)
Daca chiar te intereseaza diferitele versiuni si istoria incercarilor de a le demonstra sau a gasi una "mai buna" iti recomand cartea "In goana dupa frumos" de V. Smilga.
ion adrian:
Nu ai inteles ce scriu si la ce ma refer, cat despre autosuficienta este evidenta. Dar pentru tine orgoliul nu este cel mai mare pacat si nici aia cu fudulul si destulul nu crezi ca se aplica cu supramasura? :)
mircea_p:
--- Citat din: ion adrian din Martie 10, 2014, 04:00:45 p.m. ---Nu ai inteles ce scriu si la ce ma refer,
--- Terminare citat ---
Recunosc ca multe din formularile tale sant de neinteles pentru mine.
Modul in care folosesti limba romana e oarecum diferit de al meu. Nu ma refer la erori de tastare si cuvinte esoterice ci la intosaturile de fraza.:)
Dar cele doua observatii se refera la niste chestii concrete care nu au legatura cu stilul tau.
Prima e pur si simplu formula ariei cercului, pe care poti scrie in multe feluri care sant perfect echivalente.
A pretinde ca cineva a "descoperit" o noua formula in cazul asta poate suna intr-adevar ca suficienta si fudulie fara baza concreta, din partea celui care pretinde. Cei care citesc si promoveaza aceste pretentii pot fi doar inselalti de aparente.
Iar cu Euclid, nu vad ce problema ai cu el. Poti gasi axioma lui in diferite limbi, nu e nimic de comentat.
Daca recomadarea unei carti o consideri "orgoliu" si "autosuficienta" imi pare rau.
Atitudinea asta ar putea explica oarecum atat stilul tau de exprimare cat si "continutul".
Navigare
[#] Pagina următoare
Du-te la versiunea completă