Matematică şi Logică > Algebra
ac-bd
abcd:
Fie două numere naturale a și b, nenule prime între ele.
Să considerăm un interval (n,m) suficient de mare.
Am putea arăta că oricare ar fi a, b există o infinitate de numere naturale c, d, nenule și prime între ele, astfel încât diferența ac-bd să aparțină intervalului (n,m), cu ac și bd de asemenea prime între ele ?
Nu știu cât de clar și corect m-am exprimat și o să dau un exemplu din care poate se înțelege mai bine ce vreau să spun.
Să presupunem că în intervalul (n,m) sunt cuprinse numerele naturale între 1000 și 1500.
Alegem oricare două numere a și b prime între ele, să spunem 26 și 17.
Putem găsi o infinitate de numere naturale c și d prime între ele, astfel încât 1000<(26c-17d)<1500, sau 1000<(17d-26c)<1500, dacă 17d este mai mare ca 26c, astfel încât 26c și 17d să fie prime între ele ?
Sau putem găsi cel puțin două perechi de numere c,d și c',d', astfel încât (ac-bd) este diferit de (ac'-bd') dar ambele diferențe să aparțină intervalului (n,m) respectând condițiile de a fi prime între ele, oricare ar fi a, b și intervalul (n,m) suficient de mare ?
abcd:
Are cineva vreo idee ?
zec:
Daca a si b sunt prime si ai ecuatia ax+by=c atunci aceasta ecuatie admite o infinitate de solutii de forma x=x0+kb si y=y0-ka unde x0 y0 e o solutie particulara.Aceasta solutie exista si se determina cu algoritmul lui euclid.
Ca observatie ecuatia de mai devreme admite o infinitate de solutii daca d|c unde d=(a,b).
De exemplu ptr numerele 26 si 17 cu ajutorul algoritmului lui euclid se afla k si l astfel ca
26k+17l=1.
Se imparte 26 la 17 si da 1 r 9
17:9=1 rest 8
9:8=1 rest 1
8:1=8 rest 0 astfel ultimul rest nenul fiind si cmmdc deci se scrie teorema impartiri cu rest astfel :
26=17x1+9 17=9x1+8 9=8x1+1 Practic se incepe de la sfarsit.
deci 1=9-8x1=9-(17-9x1)x1=-17+9x2=-17+(26-17)x2=26x2-17x3 si astfel se afla numerele aici fiind k=2 l=-3 si evident daca astea le amplific cu un numar c atunci 26x2c-17x3c=c care e o solutie particulara .Dupa aceea ai o infinitate de solutii dupa cum ti am aratat.
abcd:
--- Citat din: zec din Martie 12, 2015, 09:34:39 a.m. ---Daca a si b sunt prime si ai ecuatia ax+by=c atunci aceasta ecuatie admite o infinitate de solutii de forma x=x0+kb si y=y0-ka unde x0 y0 e o solutie particulara.
--- Terminare citat ---
Sigur zec, ai dreptate, dar eu tocmai pe acel c îl caut.
Tu ai demonstrat că dacă există c astfel încât ax'+by'=c, atunci există o infinitate de valori x", y", astfel încât ax"+by"=c, unde x"=x'+kb și y"=y'-ka.
Dar în enunțul inițial eu întrebam oarecum dacă există acel c, încadrat în intervalul respectiv, indiferent de a și b, naturale, prime între ele. Nu neapărat a și b numere prime, ci doar să nu aibă factori primi comuni.
Cu alte cuvinte, referitor la exemplele anterioare, întrebarea este dacă pentru o valoare c aparținând intervalului respectiv (n,m), există x' și y' astfel încât ax'+by'=c, oricare ar fi a și b naturale, nenule și prime între ele.
Tu ai arătat că dacă există x' și y' pentru care ax'+by'=c, atunci există și x" și y" pentru care ax"+by"=c.
Sau poate nu-mi dau eu seama și rezultă și acest aspect pe care-l caut eu din mesajul tău anterior, dar pe moment nu-mi sare în ochi această implicare.
zec:
Cand a si b sunt prime intre ele c poate fi oricare
Navigare
[#] Pagina următoare
Du-te la versiunea completă