O problema de algebra de clasa a XII-a - grupuri

[b12mihai]

Nu stiu cat de "deosebita" e problema, dar nu mi-a iesit :

Se considera multimea [tex] \mathcal{M} = \left{ A(x,y) = \left(\begin{array}{cc}\hat{1} & \hat{3}x \\ \hat{5}y & \hat{1} \end{array} \right) \ |\ x,y \ \epsilon \ \mathbb{Z}_{15} \right} [/tex]

a) Sa se arate ca [tex] (\mathcal{M} \,,\ \cdot) [/tex] este grup comutativ (adica multimea [tex]\mathcal{M}[/tex] cu inmultirea matricelor formeaza grup comutativ). - ok asta e usor, mi-a iesit, nu e o problema. Se arata ca operatia de inmultire e stabila pe [tex]\mathcal{M}[/tex] prin faptul ca avem [tex]A(x,y) \cdot A(a,b) = A(x+a, b+y)[/tex]. Deci iese subpunctul asta

b) - la asta m-am impotmolit: Sa se arate ca grupul [tex] (\mathcal{M} \,,\ \cdot) [/tex] este izomorf cu grupul [tex](\mathbb{Z}_3 \times \mathb{Z}_5\, , \ +) [/tex]. Pana acum am reusit sa arata ca [tex] (\mathcal{M} \,,\ \cdot) [/tex] e izomorf cu [tex](\mathbb{Z}_{15}, +)[/tex]...Dar, am constat ca nu ma prea ajuta. Apoi am incercat sa iau o functie [tex]f: \mathbb{Z}_3 \times \mathb{Z}_5 \to \mathcal{M} , f((x,y)) = \left(\begin{array}{cc}\hat{1} & \hat{3}x \\ \hat{5}y & \hat{1} \end{array} \right) [/tex], insa...problema apare la demonstrarea injectivitatii...acele numere [tex]\hat{1}, \hat{3}, \hat{5}[/tex] in ce multime se pune ca sunt ? Ca nu am siguranta ca in [tex]\mathb{Z}_{15}[/tex] ... Aveti idee daca am abordat corect acest punct b) sau daca exista o alta modalitate? Multumesc anticipat.

[laurentiu]

De ce nu se vede nimic in latex?

[Adi]

De ce nu se vede nimic in latex?

Eu vad perfect ce a scris el. Fa un printscreen si spune-ne ce sistem de operare si browser folosesti. La mine in Windows Vista si Google Chrome se vede bine.

[b12mihai]

La un moment dat serverul Latex (forkosh ala) era picat. Nici mie nu mi s-a vazut Latex-ul la un moment dat. Acum din Mozilla Firefox se vede perfect. Uite problema aici, cu printscreen de pe forum: http://yfrog.com/0pproblemaalgebraxiip

[laurentiu]

ba da sunt in [tex]\mathbb{Z_{15}[/tex].Eu zic arata ca [tex]\mathbb{Z_3}X\mathbb{Z_5} [/tex]este izomorf cu [tex]\mathbb{Z_{15}}[/tex],ca la astea se poate aplica si tranzitivitatea adica daca A izomorf cu B si B izomorf cu C avem si A izomorf cu C ,ceea ce trebuia tu sa demonstrezi .Daca nu iti cere explicit o functie de la [tex]\mathbb{Z_3}X\mathbb{Z_5} [/tex] la grupul tau ,atunci se face mai mult ca sigur cum am zis eu .

[b12mihai]

Nu imi cere explicit o functie, ci sa arat izomorfismul. Eh, sincer sa fiu de tranzitivitate nu stiam (ar fi trebuit sa o banuiesc din moment ce izormofismul are proprietatea de reflexivitate si de simetrie, atunci ca voi proceda asa cum mi-ai spus, caci a arata ca mi-ai zis tu e o formalitate  . Multam.

[laurentiu]

Problema se poate generaliza usor luand in loc de 3 si 5 ,m si n cu [tex](m,n)=1[/tex]