Suma a trei patrate perfecte

[jane23]

Este posibil oare ca suma a trei patrate perfecte sa fie patrat perfect? M-am gandit, dar inca nu am ajuns la o concluzie. Voi ce credeti?

[sicmar]

Fără pretenţia de-a fi o soluţie generală a ecuaţiei diofantice ,
avem o soluţie ca urmare a identităţii:
.

(Evident, aceasta este sugerată de soluţia ecuaţiei diofantice .)


Edit:
Se pare că R. D. Carmichael este creditat ca fiind cel care a obţinut soluţia generală:




În cadrul Proiectului Gutenberg este digitizată cartea lui Carmichael, "Diophantine analysis", în care apare demonstrarea faptului că aceasta este soluţia generală.

[A.Mot-old]

Este posibil oare ca suma a trei patrate perfecte sa fie patrat perfect? M-am gandit, dar inca nu am ajuns la o concluzie. Voi ce credeti?

Da!Fie identitatea a²+b²+c²=d² unde a,b,c,d sunt numere naturale de forma a=2x , b=2y , c=x²+y²-1 si d=x²+y²+1 unde x si y sunt numere naturale.

[A.Mot-old]

Fără pretenţia de-a fi o soluţie generală a ecuaţiei diofantice ,
avem o soluţie ca urmare a identităţii:
.

(Evident, aceasta este sugerată de soluţia ecuaţiei diofantice .)


Edit:
Se pare că R. D. Carmichael este creditat ca fiind cel care a obţinut soluţia generală:




În cadrul Proiectului Gutenberg este digitizată cartea lui Carmichael, "Diophantine analysis", în care apare demonstrarea faptului că aceasta este soluţia generală.

Doi parametri nu sunt suficienti pentru solutia generala?Pentru ce valori m,n,p,q obtinem x=0 si ce valori au y,z,t?Ca sa obtinem x=0 trebuie sa rezolvam alta ecuatie diofantica.

[zec]

Fără pretenţia de-a fi o soluţie generală a ecuaţiei diofantice ,
avem o soluţie ca urmare a identităţii:
.

(Evident, aceasta este sugerată de soluţia ecuaţiei diofantice .)


Edit:
Se pare că R. D. Carmichael este creditat ca fiind cel care a obţinut soluţia generală:




În cadrul Proiectului Gutenberg este digitizată cartea lui Carmichael, "Diophantine analysis", în care apare demonstrarea faptului că aceasta este soluţia generală.

Stiai tu ceva sau ai gasit pe net?Daca tu stiai despre problema aceasta e de apreciat.

[sicmar]

Stiai tu ceva sau ai gasit pe net?Daca tu stiai despre problema aceasta e de apreciat.

Soluţia particulară a apărut ca o extensie imediată şi naturală de la cea generară a ecuaţiei , pe care o ştiam: , şi .
Dacă ştiam soluţia generală sau dacă ştiam unde o găsesc scriam de la început, nu dădeam o soluţie particulară, puneam soluţia generală şi referinţa.
Ştiam însă că este o problemă clasică şi am început s-o caut prin cărţi. Printre primele verificate a fost cartea lui Carmichael (pe care o am pe HD în format djvu) în care ştiam sunt tratate la nivel mediu ecuaţiile diofantice. Apoi în Dickson, History of the Theory of Numbers, am verificat dacă sunt indicate soluţii mai vechi. etc.

[A.Mot-old]

Fără pretenţia de-a fi o soluţie generală a ecuaţiei diofantice ,
avem o soluţie ca urmare a identităţii:
.

(Evident, aceasta este sugerată de soluţia ecuaţiei diofantice .)


Edit:
Se pare că R. D. Carmichael este creditat ca fiind cel care a obţinut soluţia generală:




În cadrul Proiectului Gutenberg este digitizată cartea lui Carmichael, "Diophantine analysis", în care apare demonstrarea faptului că aceasta este soluţia generală.

Stiai tu ceva sau ai gasit pe net?Daca tu stiai despre problema aceasta e de apreciat.

Pentru ce valori ale lui m,n,p,q se obtine x=0?

[sicmar]

Doi parametri nu sunt suficienti pentru solutia generala?Pentru ce valori m,n,p,q obtinem x=0 si ce valori au y,z,t?Ca sa obtinem x=0 trebuie sa rezolvam alta ecuatie diofantica.

1. La ecuaţiile invariante la permutarea unor necunoscute se consideră, de obicei tacit, că odată cu soluţia generală (x, y, z, t) dată ca mai sus sunt date şi soluţiile obţinute din ea prin permutările respective. Similar, în condiţiile în care ecuaţia este invariantă la schimbarea de semn a uneia sau mai multor necunoscute se consideră şi soluţiile obţinute prin schimbările de semn corespunzătoare. Nu toate aceste soluţii sunt diferite între ele dar în mod clar sunt diferite cele care se obţin din (x, y, z, t), (z, y, x, t), (x, y, z, -t) şi (z, y, x, -t). (Sunt, de exemplu, identice soluţiile obţinute din (x, y, z, t) şi (-x, y, z, t) deoarece ele sunt obţinute una din alta prin transformarea (m, n, p, q) -> (n, m, q, p))

În loc de x=0, prin permutare, putem considera z=0 şi cu p=q=0 regăsim soluţia clasică pentru ecuaţia . (Acest procedeu nu garantează că soluţia astfel obţinută este cea generală pentru ecuaţia .)

În general, impunerea unor condiţii suplimentare asupra soluţiilor unei ecuaţii diofantice conduce la reyolvarea de noi ecuaţii diofantice.

2. Soluţia generală nu poate fi scrisă doar cu 2 sau cu 3 parametrii.
Această concluzie derivă din forma lui t, sumă de 4 pătrate. Oricare ar fi q, fixat, unul dintre numerele 1, 7 sau 8 nu poate fi scris sub forma . De exemplu, soluţia particulară pe care am scris-o iniţial (şi care corespunde lui q=0 din forma generală) nu cuprinde soluţia (3, 2, 6, 7) pentru că 7 nu poate fi scris ca sumă de 3 pătrate.

3. Tipic, dacă o ecuaţie cu n necunoscute admite o infinitate de soluţii atunci ele depind de n-1 parametrii. (Sau, cel puţin, ele pot fi reduse la n-1 parametrii.) Nu acesta este cazul ecuaţiei .

Raţiunea profundă pentru care, aici, sunt necesari 4 parametrii (aşa cum se explică în cartea lui Carmichael) derivă din faptul că mulţimea numerelor de forma nu este închisă faţă de înmulţire (şi se dau 2 exemple: 15(=3*5) şi 63(=3*21) nu pot fi scrise ca sumă de 3 pătrate cu toate că , şi ) dar mulţimea numerelor de forma este închisă. Setul de soluţii al ecuaţiiei este obţinut tocmai folosind închiderea faţă de înmulţire a mulţimii acestora şi el are, aşa cum ne aşteptam, 4 parametrii.
Soluţiile ecuaţiei sunt obţinute din cele ale ecuaţiei pentru u=0, şi de aici "se moştenesc" cei 4 parametrii. 
Demonstrarea că nu există alte soluţii decât cele obţinute "prin moştenire" este mai dificilă, făcând apel la rezultate din teoria numerelor (şi doar ea ocupă 5 pagini în cartea lui Carmichael).

Situaţia atipică a ecuaţiei a făcut ca ea să reziste marilor matematicieni ai sec. XVIII-XIX deşi unii s-au aplecat asupra ei.

[jane23]

Multumesc pentru explicatii. Eu defapt am pornit de la o problema:

Fie d numar natural. Sa se arate ca numerele 2d-1, 5d-1 si 13d-1 nu pot fi simultan patrate perfecte.

Eu am incercat sa demonstrez prin reducere la absurd. Am notat 2d-1= k², 5d-1=q², 13d-1=r². Inlocuind in a treia egalitate ( 8d + 5d -1 = r² ) pe d in functie de k repectiv de q, am ajuns la : 

r²=(2k)²+ q² +2² . M-am gandit sa demonstrez ca ecuatia nu are solutii intregi, dar se pare ca are o infinitate : (2 + y²)²= 2²+(2y)² +(y²)² . Cred ca ar trebui sa ma gandesc la o alta metoda. Voi cum credeti ca s-ar putea rezolva?

[A.Mot-old]

Multumesc pentru explicatii. Eu defapt am pornit de la o problema:

Fie d numar natural. Sa se arate ca numerele 2d-1, 5d-1 si 13d-1 nu pot fi simultan patrate perfecte.

Eu am incercat sa demonstrez prin reducere la absurd. Am notat 2d-1= k², 5d-1=q², 13d-1=r². Inlocuind in a treia egalitate ( 8d + 5d -1 = r² ) pe d in functie de k repectiv de q, am ajuns la :  

r²=(2k)²+ q² +2² . M-am gandit sa demonstrez ca ecuatia nu are solutii intregi, dar se pare ca are o infinitate : (2 + y²)²= 2²+(2y)² +(y²)² . Cred ca ar trebui sa ma gandesc la o alta metoda. Voi cum credeti ca s-ar putea rezolva?

Cu notatiile facute de tine rezulta un sir de rapoarte egale cu numarul natural d si din acest sir de rapoarte egale rezulta un sistem de trei ecuatii cu necunoscutele k² , q² si r² si din care rezulta considerand parametrul u:
k²=2u+1
q²=5u+4
r²=13u+12 unde u este un numar natural oarecare;daca consderam k,q si r numere naturale atunci din prima relatie rezulta k²-1=2u si deci k-1=2 si k+1=u adica u=4 si din a doua relatie rezulta q²-4=5u si deci q-2=5 si q+2=u adica u=9 ceea ce inseamna ca nu exista patrate perfecte simultane de forma 2d-1, 5d-1 si 13d-1.Ce crezi ca ar rezulta daca numerele k,q si r ar fi numere intregi?
 

[sicmar]

1.

Cred ca ar trebui sa ma gandesc la o alta metoda. Voi cum credeti ca s-ar putea rezolva?

Bine faci. Problema se rezolvă folosind congruenţele, nu prin căutarea soluţiilor generale ale unor ecuaţii diofantice.

Este o problemă cunoscută. Sub o formă uşor modificată s-a dat IMO în 1986.
O poţi găsi rezolvată în mai multe cărţi, de exemplu în Titu Andreescu, Dorin Andrica, Zuming Feng, 104 Number Theory Problems, From the Training of the USA IMO Team, Birkhauser, 2007. Aici este problema nr. 6 din cap. Advanced Problems. Pe net, cartea asta o poţi găsi aici.

Alte soluţii poţi găsi pe net, de exemplu aici. Căutând cu Google după textul problemei (luat de la acest link) poţi găsi şi alte soluţii, culegeri de probleme în care apare, concursuri unde s-a mai dat etc.

2.

Cu notatiile facute de tine rezulta un sir de rapoarte egale cu numarul natural d si din acest sir de rapoarte egale rezulta un sistem de trei ecuatii cu necunoscutele k² , q² si r² si din care rezulta considerand parametrul u:
k²=2u+1
q²=5u+4
r²=13u+12 unde u este un numar natural oarecare;daca consderam k,q si r numere naturale atunci din prima relatie rezulta k²-1=2u si deci k-1=2 si k+1=u adica u=4 si din a doua relatie rezulta q²-4=5u si deci q-2=5 si q+2=u adica u=9 ceea ce inseamna ca nu exista patrate perfecte simultane de forma 2d-1, 5d-1 si 13d-1.Ce crezi ca ar rezulta daca numerele k,q si r ar fi numere intregi?

Nu o dată ţi s-a spus pe forum să nu mai dai indicaţii de rezolvări.
Eşti catastrofal. Atâtea greşeli, în avalanşă, nu poţi vedea nici în cele mai proaste lucrări de la bacalaureat. Apropo, cât ai plătit de-ai luat bacalaureatul, că la cât eşti de habarnist nu puteai să-l iei "pe bune".

[sicmar]

Între timp am verificat soluţiile găsite pe net şi în cărţi. Nici una nu m-a satisfăcut. Sunt fie artificioase (lucrul cu mod 16) fie introduc elemente care n-au relevanţă sau nu sunt necesare (lucrul cu mod 4).
Cred că rezolvarea de mai jos este la nivel de clasa a VIII-a.

Din 2d=k²+1 rezultă k impar şi apoi că d este impar. (Aici, şi mai jos, am omis unele calcule de detaliu, simple şi evidente, dar ele pot fi scrise pentru a completa rezolvarea.)
Cum d este impar, din 5d-1=q² rezultă că q este par. Fie q=2x, cu x întreg.
Cum d este impar, din 13d-1=r² rezultă că r este par. Fie r=2y, cu y întreg.
Avem 8d=(13d-1)-(5d-1)=q²-r²=4(y²-x²) de unde 2d=y²-x². Din această egalitate urmează că x şi y au aceaşi paritate şi, prin urmare, putem scrie y-x=2a, y+x=2b, cu a şi b întregi.
În final, rezultă că d=2ab, adică d este par, contrar a ceea ce am arătat mai sus.

[A.Mot-old]

Nu o dată ţi s-a spus pe forum să nu mai dai indicaţii de rezolvări.
Eşti catastrofal. Atâtea greşeli, în avalanşă, nu poţi vedea nici în cele mai proaste lucrări de la bacalaureat. Apropo, cât ai plătit de-ai luat bacalaureatul, că la cât eşti de habarnist nu puteai să-l iei "pe bune".

Inainte de a ma jigni ai fi putut sa spui unde am gresit.Eu nu dau indicatii ci incerc sa spun si eu ceea ce cred si stiu chiar daca gresesc.Vad ca tu te-ai uitat pe internet sa vezi solutia si dupa ce ai vazut-o ai inceput sa construiesti rationamentul tau care este bunfiind mai simplu dar te rog incearca sa intelegi si rationamentul meu si daca am gresit poti sa-mi arati unde am gresit.Sa urmarim pas cu pas rationamentul meu........Rezulta sau nu un sir de rapoarte egale cu d?Raspunde!
Repet:
Eu nu dau indicatii in matematica sau in fizica ci doar incerc sa rezolv si eu anumite probleme ce se pun in aceste domenii.Pe vremea cand eu am dat maturitatea se facea 11 clase si e foarte adevarat ca la liceul de reala era mult mai usor la matematica si fizica decat in liceele de reala de azi si la matematica am luat 10 la scris si 9 la oral iar in anii de facultate am avut 10;10 si 9 in cele trei trimestre de analiza matematica la Domnul Profesor Murgescu care a fost un excelent Profesor si un Pedagog si Didactician (in sensul bun al cuvantului) de mare clasa.Daca esti profesor titular atunci ma intreb cum ai obtinut titularizarea cand nu ai nici tact pedagogic si nici didactic caci comportamentul tau si al unora de pe aici este lipsit de maniera.

[sicmar]

Inainte de a ma jigni ai fi putut sa spui unde am gresit.

Oare de ce ţi-am marcat cu roşu o parte din text? (În contextul încetării coridelor catalane, mi-ai adus aminte: Culoarea roşie îi stârneşte doar pe tauri, nu şi pe boi.)
Îţi fac hatârul de-a detalia prostiile pe care le-ai scris:
Din 2d-1=k² (scris de jane23) şi k²=2u+1 rezultă că ai rebotezat pe d ca u şi l-ai numit parametru. Atunci, din  5d-1=q² îţi rezultă q²=5u+1 şi nu prostia pe care ai scris-o: q²=5u+4 . Similar, ai r²=13u+1 şi nu prostia pe care ai scris-o: r²=13u+12 .
Din k²-1=2u nu rezultă prostia scrisă: k-1=2 si k+1=u. (Dacă ar fi cum spui, din 5²-1=2*12 ar rezulta 5-1=2 şi 5+1=12. Halal matematică!) Similar, din q²-4=5u nu rezultă prostia scrisă: q-2=5 si q+2=u.
Citând din clasicii care ţi se potrivesc, "este unii care sunt jicniţi din naştere".

Eu nu dau indicatii ci incerc sa spun si eu ceea ce cred si stiu chiar daca gresesc. ...
Eu nu dau indicatii in matematica sau in fizica ci doar incerc sa rezolv si eu anumite probleme ce se pun in aceste domenii.

Rău faci. Ce crezi nu contează în acest context iar ce ştii ... tinde spre zero. Rezultatul? Avalanşă de prostii.
Nici măcar după marcarea prostiilor pe care le-ai scris, puţinul pe care-l ştii nu te-a ajutat să înţelegi ce-i greşit acolo.
În matematică nu-i democraţie a naturii, în care "Cartoful putred zvârlit pe maidan / Scoate şi el puţinul lui verde". (Nu corecta citatul din Dinescu. Aşa a apărut în prima formă tipărită, într-un almanah, probabil din raţiuni de cenzură. În forma asta ţi se potriveşte.)

Vad ca tu te-ai uitat pe internet sa vezi solutia si dupa ce ai vazut-o ai inceput sa construiesti rationamentul tau care este bunfiind mai simplu

Dacă n-aş fi ştiut problema, n-aş fi găsit-o pe net. (Acul în carul cu fân este mai uşor de găsit decât această problemă, dacă nu ştii că ea are un anumit istoric.)
Problema, cu un grad sporit de dificultate (doar nu degeaba s-a dat la IMO), şi abordarea ei făcută de către jane23 sugerau că jane23 are înclinare spre matematică. De asta am preferat să fac trimiteri la referinţe de pe net, care incitau la vederea altor probleme de acelaşi calibru. (Incitarea spre lărgirea orizontului aste scopul nemărturisit al deselor trimiteri spre referinţe de pe net, făcute nu doar aici.)
Când am avut timp să citesc soluţiile de pe net şi să le compar cu felul în care vedeam eu rezolvarea, am postat şi rezolvarea mea.

dar te rog incearca sa intelegi si rationamentul meu si daca am gresit poti sa-mi arati unde am gresit.Sa urmarim pas cu pas rationamentul meu........Rezulta sau nu un sir de rapoarte egale cu d?Raspunde!

Ce rapoarte egale îţi rezultă? N-ai scris nici măcar unul. Mafalda nu citeşte forumul ăsta.
Cuvintele şi expresiile matematice aruncate cu furca sunt doar prostii, nu raţionamente.
În lipsa raţiunii ai ... lipsa raţionamentului.

Pe vremea cand eu am dat maturitatea se facea 11 clase si e foarte adevarat ca la liceul de reala era mult mai usor la matematica si fizica decat in liceele de reala de azi si la matematica am luat 10 la scris si 9 la oral iar in anii de facultate am avut 10;10 si 9 in cele trei trimestre de analiza matematica la Domnul Profesor Murgescu care a fost un excelent Profesor si un Pedagog si Didactician (in sensul bun al cuvantului) de mare clasa.

Rămâne întrebarea pusă iniţial. Asta, dacă nu cumva sugerezi că erai odată în stare de mai mult dar ... te-ai ramolit!

Daca esti profesor titular atunci ma intreb cum ai obtinut titularizarea cand nu ai nici tact pedagogic si nici didactic caci comportamentul tau si al unora de pe aici este lipsit de maniera.[/b]

Nici nu mi-a trecut vreodată prin minte să mă titularizez ca profesor.
Mi-au ajuns cele doar 2 ore cât am fost "profesor" înlocuind, din obligaţie, pe cineva la nişte clase de seral, la un liceu. Cu tot respectul pentru profesori, dar nu-i pentru mine meseria asta. Profesorul lucrează "cu materialul clientului", nu-şi alege el materialul; mi-e îmi place să-mi aleg materialul.
Meditaţii am dat încă din anul I de liceu, când îi ajutam pe cei din anii IV-V să-şi facă temele la matematică. (Ca anecdotică: În liceu am stat "la gazdă" cu un coleg, cu convenţia: el plăteşte chiria; eu îl învăţ matematică. A intrat în cea mai solicitată facultate a politehnicii din Cluj, cu 10 pe linie.)
Tactul şi comportamentul se flexibilizează funcţie de obiectul uman asupra căruia se exercită. (Obiectul, în context, "sună ca dracul" dar ia-l ca la gramatică: subiectul exercită acţiunea asupra obiectului.) Ţi se potrivesc cele pe care le-am adoptat.

*

Ai suficient spaţiu de desfăşurare în domeniul criticii paradigmelor curente. Acolo sunt suportabile toate prostiile.
Nu te băga la matematică, unde nu este loc pentru prostii şi, mai ales, nu te băga la a da indicaţii de rezolvare a problemelor.

[zec]

Sicmar nu trebuie sa fi atat de cinic,dar in unele idei sunt de acord ca A.Mot trebuie sa fie mai atent in ce priveste felul sau de abordare in solutionarea problemelor.
 Totusi eu il apreciez pe A.Mot ca se arata interesat dar nu il apreciez ca se da si priceput si aici multa lume la avizat de greselile pe care le sugereaza.
 Eu lui Sicmar i-am sugerat sa nu mai fie asa de avansat si superior in matematici cu lumea de pe aici care se arata destul de modesta in matematici.
 Am remarcat greseala lui A.Mot de la prima citire si initial am cautat si eu o rezolvare la problema dar nu am timp sa acord prea mult si dupa ce am vazut ca -1 e rest patratic ptr 2,5 si 13 cu ajutorul simbolului lui legendre ,am oprit cautarea unei solutii din lipsa de timp.