Mă refer la formulele
(1) x = u t, t = (1/u) x
(2) x1 = v t, t1 = (v/u2) x
(3) x2 = x – v t, t2 = t – (v/u2) x
deduse în cadrul geometriei elementare(#), dar care – în anumite condiții – pot fi deduse și în cadrul fizicii clasice. Și anume, în loc să considerăm că punctele O, O’, M sunt puncte geometrice, putem să presupunem că acestea sunt trei puncte materiale aflate în mișcare rectilinie uniformă pe o dreaptă d, astfel că în raport cu puncul O considerat în repaus relativ, punctele M și O’ se deplasează în același sens cu vitezele constante u și respectiv v (v < u). Ținând însă cont de modelul geometric, care sugerează utilizarea a două sisteme de coordonate pe aceeași dreaptă, constatăm că putem să îndeplinim această condiție, dacă dreapta d o percepem atât ca axă spațială, cât și ca axă temporală. Mai exact, în cazul în care pe dreapta d este definit sistemul cartezian de coordonate S : d –> R cu proprietatea S(O) = 0, S(A) = 1, unitatea de măsură OA o percepem ca unitate de spațiu, iar dreapta d ca axă spațială, iar în cazul în care pe dreapta d este definit sistemul cartezian de coordonate T : d –> R cu proprietatea T(O) = 0, T(B) = 1, unitatea de măsură OB o percepem ca unitate de timp, iar dreapta d ca axă temporală. În aceste condiții, între unitățile de măsură OA, OB vor exista relațiile (*):
OB = u OA, OA = (1/u) OB
unde u este distanța care se asociază unității de timp pe axa spațială, iar 1/u este intervalul de timp care se asociază unității de spațiu pe axa temporală. Deci pe lângă unitățile de măsură pentru spațiu (OA) și timp (OB) având având valori unitare, remarcăm și existența unor unități de măsură pentru spațiu (OB) și timp (OA) având valori neunitare, care de asemenea pot fi utilizate pentru a măsura distanța și timpul. De exemplu, notând cu x = S(M), t = T(M) coordonatele de spațiu și de timp asociate punctului M în sistemele de coordonate S : d –> R și respectiv T : d –> R, rezultă că pe axa spațială, distanța x dintre punctele O și M se exprimă și ca un număr de t distanțe de mărime u conform egalității
(11) x = u t
iar pe axa temporală, timpul t dintre punctele O și M se exprimă și ca un număr de x intervale de timp de mărime 1/u conform egalității
(12) t = (1/u) x
Pe de altă parte, notând cu x1 = S(O’), t1 = T(O’) coordonatele de spațiu și de timp asociate punctului O’ în sistemele de coordonate S : d –> R și respectiv T : d –> R, constatăm că pe axa spațială, distanța x1 dintre punctele O și O’ se exprimă și ca un număr t de distanțe de mărime v = au (0 < a < 1) conform egalității
(21) x1 = v t
iar pe axa temporală, timpul t1 dintre punctele O și O’ se exprimă și ca un număr de x intervale de timp de mărime a(1/u) = v/u2 conform egalității
(22) t1 = (v/u2) x
Prin urmare, pe axa spațială punctele M și O’ se deplasează pe distanțele u și respectiv v în unitatea de timp, deci se deplasează cu vitezele u și respectiv v în timpul t, iar pe axa temporală punctele M și O’ se deplasează în intervalele de timp 1/u și respectiv v/u2 pe unitatea de spațiu, așadar se deplasează cu vitezele 1/u și respectiv v/u2 pe distanța x. Pe de altă parte, din relațiile (11) și (21) rezultă că pe axa spațială, punctul M se deplasează pe distanța
(31) x2 = x – v t
în raport cu punctul O’ în timpul t, iar din relațiile (12) și (22) rezultă că pe axa temporală, punctul M se deplasează în intervalul de timp
(32) t2 = t – (v/u2) x
în raport cu punctul O’ pe distanța x. În concluzie, relațiile (1) = (11) + (12) și (2) = (21) + (22) descriu mișcarea punctelor M și O’ în raport cu punctul O pe axa spațială și respectiv pe axa temporală, iar relațiile (3) = (31) + (32) descriu mișcarea punctului M în raport cu punctual O’ pe axa spațială și respectiv pe axa temporală.
Observații. 1.. Relațiile (11) și (21) sunt cunoscute din legile mișcării uniforme, iar relația (31) poate fi interpretată ca o schimbare de coordonate în cazul punctului M (transformare Galilei).
2. În cazul celor trei puncte materiale O, O’, M aflate în mișcare rectilinie uniformă, mișcarea punctului M în raport cu O este ”mișcare etalon” (acest rol îl are lumina, în realitate), deoarece prin intermediul acesteia am definit unitățile de spațiu și timp, respectiv distanța x și timpul t dintre punctele O și M. Punctul O este considerat în repaus relativ atât în spațiu în timpul t, pentru că a parcurs o distanță nulă în acest timp, cât și în timp pe distanța x, pentru că s-a deplasat un timp nul pe această distanță. Așa cum rezultă din relațiile (2), dacă distanța x1 dintre punctele O și O’ se mărește cu viteza v, atunci și timpul t1 dintre punctele O și O’ se mărește cu viteza v/u2, care deși poate fi ignorată – mai ales dacă presupunem că u=c (viteza luminii în vid) și viteza v este suficient de mică – este totuși nenulă. Cert este că în cazul relațiilor (2), putem înțelege diferența dintre coordonatele de spațiu și timp exprimate în membrul stâng al acestor egalități, notate cu x1, t1, și cele exprimate în membrul drept al egalităților respective, notate cu x, t, pentru că sunt notate în mod diferit. Însă diferența dintre aceste coordonate nu se referă doar la notații. De exemplu, ne putem gândi la diferența dintre coordonatele de spațiu și timp exprimate în membrul stâng al egalităților din relațiile (1) și cele exprimate în membrul drept al acestor egalități. În acest caz, coordonatele de spațiu și timp sunt notate cu x, t în ambele cazuri, dar asta nu înseamnă că sunt identice…
(#) Pe o dreaptă orientată d fixăm două puncte A, B astfel că O < A < B (A precede B) și definim un sistem cartezian de coordonate S : d –> R cu proprietatea S(O) = 0, S(A) = 1, cât și un sistem cartezian de coordonate T : d –> R cu proprietatea T(O) = 0, T(B) = 1. Atunci, unui punct M de pe dreapta d i se asociază două coordonate, respectiv o coordonată x = S(M) în sistemul de coordonate S : d –> R și o coordonată t = T(M) în sistemul coordonate T : d –> R. Totodată, pe dreapta d avem definite două unități de măsură, OA și OB, între acestea existînd relațiile
(*) OB = u OA, OA = (1/u) OB
unde u este măsura segmentului OB în raport cu unitatea de măsură OA, iar 1/u este măsura segmentului OA în raport cu unitatea de măsură OB. Ca urmare, segmentului OM i se asociază măsurile x, t în raport cu unitățile de măsură OA, OB și putem să scriem
(**) OM = x OA = t OB
iar din (*) și (**) rezultă relațiile
(1) x = u t, t = (1/u) x
Pe de altă parte, dacă pe segmentul OM fixăm un punct O’ și notăm cu x1 = S(O’), t1 = T(O’) coordonatele punctului O’ în sistemele de coordonate S : d –> R, T : d –> R, atunci având în vedere că între segmentele OO’ și OM există raportul OO’ = aOM, unde a este un număr pozitiv subunitar, rezultă că între măsurile acestor segmente există relațiile
x1 = a x, t1 = a t
care pot fi scrise și sub forma
(2) x1 = v t, t1 = (v/u2) x
dacă ținem cont de (1) și notăm v = au. În sfârșit, notând cu x2, t2 măsurile segmentului O’M = OM – OO’ în raport unitățile de măsură OA, OB, din (1) și (2) rezultă relațiile
(3) x2 = x – v t, t2 = t – (v/u2) x
