Matematică şi Logică > Geometrie
Numere complexe scrise sub forma trigonometrica
Sigma2:
reprezentare geometrica
Adi:
Excelent!
Sigma2:
I. Scurt istoric
---------------
Numerele complexe apar ca o necesitate a rezolvarii ecuatiilor de grad 2 cu de-
terminantul negativ.Sunt introduse incepand cu secXVll-Xvlll de matematicieni
celebrii ca Euler, Moivre.Gauss este cel care trece la studierea lor sistematica si
riguroasa.
Studierea moderna a multimii C presupune existenta unei bijectii intreelementele multimii C(numite afixe) si multimea punctelor din plan (imaginile geometrice ).
II. Generalitati
--------------
Fie z C, z=a+bi
Notam
lzl =modulul nr complex z. lzl=
z(barat)=z conjugat daca z=a+bi z(barat)=a-bi
a=Rez, b=Imz
III,Coordonate polare
----------------------
Fie z afixul punctului A.Pozitia punctului A este data de vectorul OA(fig1) Fie
A` si A`` proiectiile lui A pe axa Ox respectiv Oy a reperului cartezian Oxy.
Oa`=a si OA``=b (fig1) atasament.DIn triunghiul OA`A``aplicand Teorema lui
Pitagora se determina lungimea segmentului OA
OA ==lzl formula (1)
segmentul OA se mai numeste si raza polara notata cu r.Putem spune ca
OA =r= lzl (2)
Unghiul pe care OA il face cu axa Ox se numeste argumentul redus a lui z.
Deci argz=x x[0, 2 ]
In concluzie OA=r si x=argz sunt coordonatele polare a lui z.
lV)Trecerea unui numar complex z de la forma algebrica la forma trigonometrica
_________________________________________________________________
Pentru a trece un numar complex de la forma algebrica la cea trigonometrica
este necesar sa-i stabilim mai intai coordonatele polare(r si x=argz)
r=
Pentru aflarea unghiului x, literatura de specialitate propune mai multe metode Am ales-o pe cea mai simpla si rapida.Pentrux[0,/2]
(fig 2 atasament) avem relatiile:
cosx=a/r (2a) si sinx=b/r (2b)
Forma tri gonometrica a lui z va fi
z=r*(cosx+isinx) (3)
Exemplu: z1=/2+i/2 =>r==1
Din(2a) si (2b) =>argz=x=/6
z1=cos/6+isin/6
Pentru x(/2.,2] vom aplica tot formulele 2.a 2.b si vom avea in vedere semnul lui a si b, care vor permite
incadrarea lui x intr-unul din cele 4 cadrane.
Exemplu z2=-/2+i/2. a<0 b>0A2 se afla in cadranul 2
r=1 argz2=5/6 +> z2=cos5/6+isin/6
z3=-/2-i/2 a<,0 b<0 A3 se afla in cadranul3 r=1
argz3=*7/6
z3=cos*7/6+isin7/6
z4=/2-i/2 a>0, b<0 A4situat in cadran 4 (fig4)
argz4=11/6 =>
z4=cos11/6+isin11/6
VArgumentul redus
------------------
Functiile sin si cos sunt periodice de perioada 2.pozitia punctului A din plan este definita de multimea arcelor de forma x+2k
Deci multimea tuturor argumentelornumarului z afixul lui A o vom nota ArgZ
Argz={argz+2k/k= nr intreg}
Sigma2:
Operatii cu numere complexe exprimate trigonometric - Partea I,
_____________________________________________________
I.Generalitati
-------------
Efectuarea calculelor cu numere complexe exprimate trigonometric, ofera multiple
avantaje de exemplu la inmultirea a 3 sau mai multor numere complexe, la ridicarea la putere a numerelor complexe, , la extragerea radacinii dintr-un numar
complex.Ultima operatie are multiple aplicatii in problemele de constructii geo-
metrice oferind metode de inscriere a poligoanelor regulate in cerc numai cu rigla
si compasul.
Poate nu intamplator , Gauss care s-a aplecat cu atata atentie asupra numerelor complexe , a reusit sa stabileasca si recordul inscrierii intr-un cerc
numai cu rigla si compasul a poligonului regulat cu cel mai mare numar de laturi ,17.
II. Operatii cu numere complexe
___________________________
A.Adunarea numerelor complexe(fig1)
Fie z1 si z2 2 numere complexe de forma z1=r1*(cosx1+isinx1) si z2=r2*(cosx2+isinx2) si fie A1 si A2 imaginile lor geometrice.
pentru a aduna cele 2 numere se aduna pe de o parte partile lor reale si pe de alta parte partile lor imaginare.
z1+z2=(r1cosx1+r2cosx2)+i*(sinx1+sinx2) formula1.
Modulul sumei va fi
lz1+z2l= (1.1)
Interpretare geometrica (fig 1)
punctul A are afixul (z1+z2) si segmentul OA are lungimea egala cu lz1+z2l
Inmultirea a 2 numere complexe exprimate trigonometric
______________________________________________
Fie z1 si z2 doua numere complexe de forma
z1=r1cosx1+isinx1 , z2=r2cos x2+isinx2 , x1 si x2[0,]
z1*z2= r1*r2[cos(x1+x2)+isin(x1+x2)] formula 2
Daca (x1+x2)[0,2] atunci argz1*z2=(x1+x2)
Daca (x1+x2)[2,4], atunci
argz1*z2=x1+x2-2
Argumentul extins a lui z1*z2 va fi
Argz1*z2={argz1+argz2+2k} k = nr intreg
Prin inductie formula 2 se poate generaliza
z1*z2*...*zn=r1*r2*...*rn*[cos(x1+x2+...+xn)+isin (x1+x2+...+xn)] (2.1)
Produsul a 2 sau mai multor numere complexwe se calculeaza astfel:
modulul este egal cu produsul modulelor factorilor , iar argumentul produsului este egal cu suma argumentelor factorilor.
C.Ridicarea la putere a unui numar complex
-----------------------------------------
daca in formula 2.1 presupunem r1=r2=...=rn=r si x1=x2=...xn=x
se obtine
=*(cosnx+isinnx) (3)
Aceasta formula este cunoscuta sub numele de formula lui Moivre
Avantajul ridicarii unui numar complex cu aceasta formula este evident ,comparativ cu operatia similara efectuata algebric (cu Binomul lui Newton)
urmeaza
b12mihai:
Bun - Sigma2 - te rog frumos sa imi dai un PM si sa lasi si aici un mesaj in momentul in care ai terminat referatul, ca sa il postez pe site! Multumim pentru efortul depus de a contribui!
Navigare
[#] Pagina următoare
Du-te la versiunea completă