Să considerăm o masă de un 1 m înălţime, iar pe acesta fiind aşezată o frânghie cu-o densitate
lineară constantă. În mijlocul mesei există o deschizătură, o gaură prin care frânghia poate pătrunde.
Un impuls "mic" face ca frânghia (iniţial aflându-se în totalitate pe masă) să fie trasă prin găura,
crescându-i viteza (vezi figura de mai jos) şi ajungând într-un final în totalitate la nivelul podelei. (http://www.astronomy.ro/forum/files/image11_177.jpg)
Să se calculeze în cât timp ajunge frânghia pe podea ? Enjoy ;)
Se neglijeaza frecarea franghiei cu masa si se presupune ca franghai este in linie dreapta pe masa, nu?
Da, se neglijeaza frecarea, am uitat sa precizez asta!
Franghia este asezata pe masa.. nu trebuie neaparat sa fie asezata in linie dreapta!
Cine rezolva corect problema asta are o bere de la mine ;D (sau multi trandafiri daca e o eventuala "ea" ;) )
P.S. Asa-mi stimulam colegii pe vremea liceului... :D
Erratum: Se neglijează frecarea, iar lugimea frânghiei este de un 1 m. Se cere după cât timp frânghia ajunge în totalitate pe podea?
Da, ai dreptate, nu conteaza forma snurului pe masa, lucru mecanic se face doar la bucata care e pe verticala si ea este in linie dreapta. Asta pentru ca neglijam frecarea.
Esenţa rezolvării constă în neglijarea menţiunii făcute în problemă privind ,,densitatea liniară constantă", deoarece atât acceleraţia, cât şi timpul de cădere nu depind de masă. Aşadar, putem considera că frânghia este întinsă vertical, având capătul inferior la o înălţime de 1 metru şi capătul superior la înălţimea de 2 metri. Cum pe noi ne interesează timpul în care ajunge la pământ capătul superior, rezultă că vom avea legea de mişcare a acestui capăt dată de expresia
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Clarge%7Bs=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dgt%5E2%7D%7D)
unde s=2 m este spaţiul parcurs, g=9,8 m/s2 este acceleraţia gravitaţională, iar t este timpul de cădere. Din această ecuaţie rezultă
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Clarge%7Bt=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2s%7D%7Bg%7D%7D%5Capprox%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B4%7D%7B9,8%7D%7D%5Capprox%200,6388%5C;%20sec.%7D%7D)
Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 10, 2008, 08:17:40 AM
Esenţa rezolvării constă în neglijarea menţiunii făcute în problemă privind ,,densitatea liniară constantă", deoarece atât acceleraţia, cât şi timpul de cădere nu depind de masă. Aşadar, putem considera că frânghia este întinsă vertical, având capătul inferior la o înălţime de 1 metru şi capătul superior la înălţimea de 2 metri. Cum pe noi ne interesează timpul în care ajunge la pământ capătul superior, rezultă că vom avea legea de mişcare a acestui capăt dată de expresia
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Clarge%7Bs=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dgt%5E2%7D%7D)
unde s=2 m este spaţiul parcurs, g=9,8 m/s2 este acceleraţia gravitaţională, iar t este timpul de cădere. Din această ecuaţie rezultă
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Clarge%7Bt=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2s%7D%7Bg%7D%7D%5Capprox%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B4%7D%7B9,8%7D%7D%5Capprox%200,6388%5C;%20sec.%7D%7D)
... ai judecat bine unele aspecte, dar ai neglijat ceva destul de important :P
P.S. "Berea" ramane inca la mine... ;D
Chiar daca frecarea e complet neglijabila, aceasta nu e o problema de cadere libera.
Fie t0 momentul in care primul capat trece prin orificiu (momentul impulsului)
Sa presupunem ca la un moment t1, avem o fractiune f < 1/2 din frangie trecuta prin orificiu. In acest caz, masa care e in "cadere" e mai mica decat "masa care e pe masa" (accelerata dar nu in cadere libera) si deci, chiar daca de bucata f trage forta sa de greutate, care ar accelera-o cu acceleratia gravitationala (g), de bucata 1-f trage o forta mai mica decat daca ar fi in cadere libera, deci e accelerata cu o acceleratie mai mica decat cea gravitationala, sa zicem a1. Asta face ca toata sfoara sa fie accelerata cu aceasta acceleatie a1 < g, cele doua bucati de sfoara fiind legate intre ele. ;)
Fie t2 momentul in care avem f=1/2. In tot intervalul (t0,t2) viteza sforii (a centrului sau de masa, situat la f = 1/2) creste cu o acceleratie mai mica decat cea gravitationala. Notam cu v2 viteza sa la t2.
La un moment de timp t3 in care avem o fractiune f > 1/2 din frangie trecuta prin orificiu, deja partea care "cade" are o masa mai mare decat cea de pe masa (centrul de greutate al sforii e deja "in aer" ;D), si deci forta care trage de sfoara de pe masa e mai mare deca propria sa forta gravitationala, ceea ce ar putea accelera-o mai repede decat g. Dar, fiind legata de cea in cadere, acceleratia sitemului (adica a sforii) e limitata la g. (Putem deci considera ca toata sfoara e "in cadere libera").
Fie momentul t4, cand f = 1. In intervalul (t2,t4) viteza sforii a crescut de la v2 cu acceleratia constanta g. Notam aceasta viteza cu v4.
Dupa t4, suntem siguri ca timpul ramas pana la caderea "completa" este cel necesar bucatii celei mai de sus sa ajunga la sol, ceea ce va lua timpul dat de caderea de la 1 m inaltime, insa cu o viteza initiala v4.
Intervalul (t0,t2) este cel mai "complicat" deoarece avem de-a face cu o acceleratie variabila, lucru care se poate analiza cu o integrala draguta. Pentru celelalte intervaluri, unde acceleratia e constanta (g) putem folosi ecuatiile de miscare direct.
Inainte de a trece la calcule cantitative, astept sa vad daca cineva are vreo obiectie la acest rationament calitativ.
e-
Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 10, 2008, 10:43:51 AM... ai judecat bine unele aspecte, dar ai neglijat ceva destul de important
Într-adevăr, am neglijat o mulţime de chestii, precum frecarea cu masa şi cu aerul, faptul că frânghia se opune puţin deformărilor, etc. Sunt curios cât de important este lucrul pe care l-am neglijat.
Citat din: Electron din Iunie 10, 2008, 11:05:52 AM
Chiar daca frecarea e complet neglijabila, aceasta nu e o problema de cadere libera.
Fie t0 momentul in care primul capat trece prin orificiu (momentul impulsului)
Sa presupunem ca la un moment t1, avem o fractiune f < 1/2 din frangie trecuta prin orificiu. In acest caz, masa care e in "cadere" e mai mica decat "masa care e pe masa" (accelerata dar nu in cadere libera) si deci, chiar daca de bucata f trage forta sa de greutate, care ar accelera-o cu acceleratia gravitationala (g), de bucata 1-f trage o forta mai mica decat daca ar fi in cadere libera, deci e accelerata cu o acceleratie mai mica decat cea gravitationala, sa zicem a1. Asta face ca toata sfoara sa fie accelerata cu aceasta acceleatie a1 < g, cele doua bucati de sfoara fiind legate intre ele. ;)
Fie t2 momentul in care avem f=1/2. In tot intervalul (t0,t2) viteza sforii (a centrului sau de masa, situat la f = 1/2) creste cu o acceleratie mai mica decat cea gravitationala. Notam cu v2 viteza sa la t2.
La un moment de timp t3 in care avem o fractiune f > 1/2 din frangie trecuta prin orificiu, deja partea care "cade" are o masa mai mare decat cea de pe masa (centrul de greutate al sforii e deja "in aer" ;D), si deci forta care trage de sfoara de pe masa e mai mare deca propria sa forta gravitationala, ceea ce ar putea accelera-o mai repede decat g. Dar, fiind legata de cea in cadere, acceleratia sitemului (adica a sforii) e limitata la g. (Putem deci considera ca toata sfoara e "in cadere libera").
Fie momentul t4, cand f = 1. In intervalul (t2,t4) viteza sforii a crescut de la v2 cu acceleratia constanta g. Notam aceasta viteza cu v4.
Dupa t4, suntem siguri ca timpul ramas pana la caderea "completa" este cel necesar bucatii celei mai de sus sa ajunga la sol, ceea ce va lua timpul dat de caderea de la 1 m inaltime, insa cu o viteza initiala v4.
Intervalul (t0,t2) este cel mai "complicat" deoarece avem de-a face cu o acceleratie variabila, lucru care se poate analiza cu o integrala draguta. Pentru celelalte intervaluri, unde acceleratia e constanta (g) putem folosi ecuatiile de miscare direct.
Inainte de a trece la calcule cantitative, astept sa vad daca cineva are vreo obiectie la acest rationament calitativ.
e-
Hmm... interesanta abordare ;) ... lasand doar unu interval (t0,t2) in care aceleratia e variabila (cred ca e o aproximatie buna) ... hmmm.. astept insa sa vad cum rezolvi aceea "integrala draguta" ;)
Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 10, 2008, 01:18:56 PM
Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 10, 2008, 10:43:51 AM... ai judecat bine unele aspecte, dar ai neglijat ceva destul de important
Într-adevăr, am neglijat o mulţime de chestii, precum frecarea cu masa şi cu aerul, faptul că frânghia se opune puţin deformărilor, etc. Sunt curios cât de important este lucrul pe care l-am neglijat.
Abel, chiar daca avem o ,,densitate liniară constantă", masa variaza in timp.. ;)
Bun, dar acceleraţia gravitaţională şi timpul de cădere nu depind de masă, oricât ar fi aceasta şi oricât de variabilă ar fi această masă, nu?
Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 10, 2008, 02:46:28 PM
Bun, dar acceleraţia gravitaţională şi timpul de cădere nu depind de masă, oricât ar fi aceasta şi oricât de variabilă ar fi această masă, nu?
In problema nu am dat masa funiei, dar am dat lungimea ei.. normal ca timpul de cadere nu va depinde explicit de masa!
Alexandru, in rezolvarea ta, timpul total de cadere nu depinde de forma pe care o are initial sfoara de pe masa?
Mi-am dat seama ca, in rationamentul meu calitativ, pentru intervalul (t0,t2), partea care este accelerata "pe masa" depinde de cum e plasata sfoara fata de orificiu: daca e plasata "radial" (adica sa avem sfoara intinsa si cu un capat la distanta maxima de gaura, distanta egala cu lungimea sforii), atunci trebuie accelerata toata sfoara pe masura ce cade, dar daca e "colac/spirala" in jurul orificiului, atunci e accelerata practic doar partea care a trecut deja prin orificiu.
Ce spune textul original despre asta ?
e-
Frumoasa evolutie a discutiei. Stiam ca e o integrala, am vazut rezolvarea lantului in cadere libera. Dar acum nu am timp sa stau cateva ore asupra problemei. Insa da, are o integrala si Electron a rationat destul de bine.
Citat din: Electron din Iunie 10, 2008, 04:50:37 PM
Alexandru, in rezolvarea ta, timpul total de cadere nu depinde de forma pe care o are initial sfoara de pe masa?
Mi-am dat seama ca, in rationamentul meu calitativ, pentru intervalul (t0,t2), partea care este accelerata "pe masa" depinde de cum e plasata sfoara fata de orificiu: daca e plasata "radial" (adica sa avem sfoara intinsa si cu un capat la distanta maxima de gaura, distanta egala cu lungimea sforii), atunci trebuie accelerata toata sfoara pe masura ce cade, dar daca e "colac/spirala" in jurul orificiului, atunci e accelerata practic doar partea care a trecut deja prin orificiu.
Ce spune textul original despre asta ?
e-
Da, interesant.. inteleg ce spui, practic avem acum doua cazuri ;) Problema o stiu dintr-un test dat pe la Cambridge, dar o sa ma uit.. cred ca-n textul original sfoara era pusa colac.. cred ???
Cred ca cel mai simplu caz este cu sfoara pusa radial.
oooo... imi cer scuze .. ca am dat problema si eu nu schitasem nici o formula inca pe hartie... am pus acuma mana ... si-am vazut... :-\ intradevar, problema care am vrut s-o dau e cu-o sfoara pusa "incolocit".. dar stiu exact de ce ;D ...pentru ca am vazut ecuatia la care se ajunge! 8) Cat despre o sfoara in linie dreapta, cred ca e mai simpla ecuatia de rezolvat.. decat cea cea "incolocita" :P
:-\ Sau poate nu... ok! sa ne rezumam doar la distributia radiala..
Am refacut rationamentul pentru cazul ,,radial" (eu asa il numesc in cazul sforii drepte!, si nu incolacite...), si am ajuns la concluzia ca ce am spus pentru intervalul (t2,t4) in analiza precedenta, unde am presupus aceeasi forma a sforii, nu este corect. Am spus inainte ca in acel interval avem acceleratia sistemului egala cu g, dar m-am inselat.
Gandindu-ma la conservarea energiei, si a faptului ca in cadere libera, de fapt energia potentiala se transforma in energie cinetica, am ajuns la concluzia ca, oricare ar fi fractiunea ,,f" de sfoara care a cazut prin orificiu, adica atata timp cat inca mai e o bucata (1-f) pe masa, acceleratia sistemului trebuie sa fie mai mica decat g, deoarece doar o parte din sfoara pierde energie potentiala (partea ,,f" care cade) deci sfoara nu castiga energie cinetica de parca ar cadea toata, ci mai putina, de unde trag concluzia ca si pe intervalul (t2,t4) are acceleratia mai mica decat g.
Ca atare, noua analiza ar fi:
Fie t0 momentul in care primul capat trece prin orificiu (momentul impulsului)
Pentru orice moment t1, in care fractiunea care a cazut prin orificiu este f < 1, sistemul castiga energie cientica pe baza pierderii de energie potentiala a fractiunii care ,,cade". Ca atare, in tot acest timp, acceleratia sforii integrale (in configuratia analizata de mine intreaga sfoara are aceeasi viteza, in modul) este mai mica decat g.
Fie t2 momentul in care ultima bucata cade de pe masa prin orificiu (si prima ajunge pe sol). Acesta ar fi singurul moment in care sfoara are acceleratia g. Grin
Pentru orice moment t3 cat sfoara este partial ,,pe sol" si partial ,,in aer", partea care cade este in ,,cadere libera" deoarece nu trage de nici o bucata in plus, ca inainte de t2.
Ca atare, dupa t2, timpul necesar ca toata sfoara sa ajunga pe sol este cel necesar caderii de la inaltimea totala (1 m) al capatului de sus, avand insa o viteza initiala, si anume pe cea acumulata la sfarsitul intervalului (t0,t2).
Sunteti de acord cu aceasta rectificare?
e-
PS: voi analiza si cazul cu sfoara de pe masa ,,incolacita", inca nu stiu ce caz e mai "complicat" ;)
EDIT: am revenit la versiunea citata de Alexandru, schimbarile facute intre timp nu erau importante.
Citat din: Electron din Iunie 10, 2008, 06:41:01 PM
Am refacut rationamentul pentru cazul ,,radial" (eu asa il numesc in cazul sforii drepte!, si nu incolacite...), si am ajuns la concluzia ca ce am spus pentru intervalul (t2,t4) in analiza precedenta, unde am presupus aceeasi forma a sforii, nu este corect. Am spus inainte ca in acel interval avem acceleratia sistemului egala cu g, dar m-am inselat.
Gandindu-ma la conservarea energiei, si a faptului ca in cadere libera, de fapt energia potentiala se transforma in energie cinetica, am ajuns la concluzia ca, oricare ar fi fractiunea ,,f" de sfoara care a cazut prin orificiu, adica atata timp cat inca mai e o bucata (1-f) pe masa, acceleratia sistemului trebuie sa fie mai mica decat g, deoarece doar o parte din sfoara pierde energie potentiala (partea ,,f" care cade) deci sfoara nu castiga energie cinetica de parca ar cadea toata, ci mai putina, de unde trag concluzia ca si pe intervalul (t2,t4) are acceleratia mai mica decat g.
Ca atare, noua analiza ar fi:
Fie t0 momentul in care primul capat trece prin orificiu (momentul impulsului)
Pentru orice moment t1, in care fractiunea care a cazut prin orificiu este f < 1, sistemul castiga energie cientica pe baza pierderii de energie potentiala a fractiunii care ,,cade". Ca atare, in tot acest timp, acceleratia sforii integrale (in configuratia analizata de mine intreaga sfoara are aceeasi viteza, in modul) este mai mica decat g.
Fie t2 momentul in care ultima bucata cade de pe masa prin orificiu (si prima ajunge pe sol). Acesta ar fi singurul moment in care sfoara are acceleratia g. ;D
Pentru orice moment t3 cat sfoara este partial ,,pe sol" si partial ,,in aer", partea care cade este in ,,cadere libera" deoarece nu trage de nici o bucata in plus, ca inainte de t2.
Ca atare, dupa t2, timpul necesar ca toata sfoara sa ajunga pe sol este cel necesar caderii de la inaltimea totala (1 m) al capatului de sus, avand insa o viteza initiala, si anume pe cea acumulata la sfarsitul intervalului (t0,t2).
Sunteti de acord cu aceasta rectificare?
e-
Da, eu cred ca e bine... ;)
Daca am lucrat corect ... e mult mai usor cazul "radial", decat cel "incolacita" ;) .. pentru ca in cazul sforii incolacite avem.. o ecuatie foarte urata... o ecuatie diferentiala nelineara :) ...asta fiind motivul pentru care am dat problema
Eu pana maine nu voi posta rezultate cantitative, deci las si pe altii interesati sa se "lupte" cu problema. Daca intre timp cineva da raspunsul corect (cel cantitativ, adica) isi merita berea/trandafirii. :)
e-
Citat din: Electron din Iunie 10, 2008, 07:03:40 PM
Eu pana maine nu voi posta rezultate cantitative, deci las si pe altii interesati sa se "lupte" cu problema. Daca intre timp cineva da raspunsul corect (cel cantitativ, adica) isi merita berea/trandafirii. :)
e-
Bine... ;D
Intradevar, e mult mai usor sa judecam cazul "radial" folosind energiile! Electron meriti berea :D ... sau poate preferi trandafirii :)
Ehe, se pare ca Electron a rezolvat. Am rezolvat o problema similara acum un an pentru PhD prelimiary exam, dar acum nu avusei timp sa ma uit pe ea atent. Electron, cred ca poti posta si solutia maine, nu cred ca vor mai interveni oameni la problema asta.
Cazul sforii "radiale" e ca si rezolvat... as fi interesat sa vad cum rezolva cineva cazul sforii "incolocite" ;)
Citat din: Electron din Iunie 10, 2008, 07:03:40 PM
Eu pana maine nu voi posta rezultate cantitative, deci las si pe altii interesati sa se "lupte" cu problema. Daca intre timp cineva da raspunsul corect (cel cantitativ, adica) isi merita berea/trandafirii. :)
e-
Salut,
Ca sa dea cineva raspunsul cantitativ,ar trebui sa se stie cat de "mic" este impulsul.Nu?Altfel timpul ar fi de 0.152960 s.
Cu stima,A.M.
Citat din: Mavriche Adrian din Iunie 10, 2008, 08:19:06 PM
Salut,
Ca sa dea cineva raspunsul cantitativ,ar trebui sa se stie cat de "mic" este impulsul.Nu?Altfel timpul ar fi de 0.152960 s.
Cu stima,A.M.
Aici, e o alta chestie care-mi sustine faptul ca problema era doar pentru cazul sforii "incolocite"... intradevar, avem nevoie sa cunoastem viteza initiala pentru cazul "radial"...
Nu stiu de unde ai scos timpul respectiv... dar iti pot spune ca viteza initiala este
v0 > 0 :P
La limita, se poate considera ca initial, o fractiune foarte mica din sfoara "atarna" prin orificiu, ceea ce ar fi suficient sa "declanseze" caderea, chiar daca viteza initiala e zero.
Desigur, Alexandru e cel care decide conditiile initiale.
Si inca o precizare: Pentru mine rezultat cantitativ este si cel care da formula de calcul a raspunsului, in care se poate inlocui fiecare valoare "data" in problema, pentru a calcula valoarea ceruta. Tot ce am scris eu pana acum este calitativ si nu contine formule de niciun fel.
e-
Citat din: Electron din Iunie 10, 2008, 08:49:10 PM
Pentru mine rezultat cantitativ este si cel care da formula de calcul a raspunsului, in care se poate inlocui fiecare valoare "data" in problema, pentru a calcula valoarea ceruta. Tot ce am scris eu pana acum este calitativ si nu contine formule de niciun fel.
Mi se pare foarte corect... valoare numerica conteaza mai putin...
Mi-am făcut ceva timp pentru a citi mai atent explicaţia lui Electron şi, în sfârşit, am înţeles şi eu ce am neglijat: tocmai inerţia frânghiei aflate pe masă. Am considerat că dacă nu contează masa, o putem considera chiar nulă, ceea ce este greşit :( . Felicitări lui Electron pentru profunzimea cu care a înţeles problema!
Ok, atunci, în cazul simplu al frânghiei ,,radiale", acceleraţia frânghiei de lungime (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Clarge%7Bl%7D%7D), masă (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Clarge%7Bm%7D%7D) şi densitatea liniară constantă (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Clarge%7B%5Csigma%7D%7D) când a căzut cu o porţiune (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Clarge%7Bx%7D%7D) este
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Clarge%7Ba(x)=%5Cfrac%7BF(x)%7D%7Bm%7D=%5Cfrac%7Bg%5Csigma%20x%7D%7B%5Csigma%20l%7D=%5Cfrac%7Bgx%7D%7Bl%7D.%7D%7D)
Restul ar cam trebui să rezulte de aici.
Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 10, 2008, 08:43:52 PM
Aici, e o alta chestie care-mi sustine faptul ca problema era doar pentru cazul sforii "incolocite"... intradevar, avem nevoie sa cunoastem viteza initiala pentru cazul "radial"...
Nu stiu de unde ai scos timpul respectiv... dar iti pot spune ca viteza initiala este v0 > 0 :P
Salut Alex,
Sper sa nu te superi,dar cu sfoara "incolocita" sau nu,tu trebuie sa dai o bere la fiecare dintre cei ce "s-au chinuit" sa rezolve problema pusa de tine.Asta pentru-ca nu ai dat datele problemei complete.
Cu stima,A.M.
P.S.Primul rand il dai tu,urmatorul vedem noi cine.
Buna,
Nu prea stiu sa editez formule aici (poate imi spune cineva) asa ca o sa imi incerc si eu norocul pentru ca berea lui Alex ma tenteaza :).
Folosesc urmatoarele notatii: L - lungimea sforii; H - inaltimea mesei; x(t) - fractia de sfoara care e suspendata vertical la un moment dat; g - acceleratia gravitationala; a(t) - acceleratia sforii la un moent dat; v(t) - viteza sforii la un moment dat. Consider aici ca inaltimea mesei H este mai mare sau egala decat lungimea sforii L astfel incat in momentul in care al doilea capat al sforii ajunge la gaura din masa, toata sfoara este suspendata.
La orice moment de timp, t, cand sfoara nu a atins inca podeaua putem scrie urmatoarele egalitati:
1.) Conservarea energiei
E(t=0) = E(t) --> Ep(t=0) + Ec(t=0) = Ep(t) + Ec(t)
Asta inseamna:
LgH = (L-x(t))gH + x(t)g(H-x(t)/2) + Lv(t)2/2;
Aici consider cazul cand toata sfoara se misca (diferit de cazul cand sfoara de pe masa este incolacita). Observati ca am folosit faptul ca sfoara are o densitate lineara constanta si ca urmare densitatea s-a simplificat in toti termenii. Dupa un pic de algebra obtinem ecuatia urmatoare:
x(t)2g = Lv(t)2, adica x(t) = radical(L/g)v(t) (1)
v(t) = dx(t)/dt (2)
Inlociund ecuatia (2) in ecuatia (1) obtinem urmatoarea ecuatie diferentiala:
dt = radical(L/g) dx/x
pe care daca o integram intre momentul initial si momentul cand toata sfoara a parasit masa o sa obtinem:
T = radical(L/g) * Integrala (dx/x)x(t=0)L, x(t=0) este fractia de sfoara care se lasa suspendata la inceput pentru ca sfoara sa cada.
Rezultatul este T = radical(L/g) * (ln(L) - ln(x(t=0))). Putem observa ca daca x(t=0) ar fi lasat zero atunci timpul de cadere ar deveni infinit, de aceea avem nevoie de acel mic impuls initial sau de atarnarea unei parti oricat de mici din sfoara.
2.) Cealalata egalitate pe care o putem folosi pentru rezolvarea problemei este echilibrul fortelor. La orice moment de timp putem scrie urmatoare egalitate:
G(t) = Fi(t), unde G(t) este greutatea sforii care atarna, iar Fi(t) este inertia.
Ecuatia de mai sus se expliciteaza astfel:
x(t)g = La(t), unde a(t) este acceleratia
Deci x(t) = (L/g)a(t), unde a(t) este a doua derivata in raport cu timpul a lui x(t). Ecuatia asta o sa ne ajute sa aflam viteza sforii in momentul cand aceasta a parasit complet masa.
x(t) = (L/g) dV(t)/dt ==> x(t)dt = (L/g) dV(t);
Acum folosim egalitatea de la punctul 1 care spune ca x(t) = radical(L/g) V(t). Facand inlocuirile obtinem:
radical(L/g) V(t) dt = (L/g) dV(t) => dt = radical(L/g) dV(t)/dt. Integrand din nou intre momentul initial (unde V(t=0) este o constanta nenula) obtinem
T = radical(L/g) [ln(V(T)) - ln(V(t=0))]. Il cunoastem pe T, asa ca ln(V(T)) = {T+radical(L/g)*ln(V(t=0)) } / {radical(L/g)}
si in final obtinem pe V(T) = exp {{T+radical(L/g)*ln(V(t=0)) } / {radical(L/g)}}, unde V(t=0) poate fi obtinut din conditia x(t=0) = radical(L/g) V(t=0)
Mai departe, daca nu ma insel miscarea sforii este accelerata cu acceleratia gravitationala pana ce ultimul capat al sforii atinge solul (daca ignoram tensiunile din sfoara). Deci acum e simplu, mai trebuie calculat timpul in care sfoara parcurge distanta H cu acceleratia g si cu viteza initiala V(T).
Asta e raspunsul pe care il dau momentan. Sper sa nu fi gresit undeva (nu rezolv in fiecare zi ecuatii diferentiale din pacate :( ).
Eu zic că 90% din bere o merită Ionuţ ;D. (Poate 1% îmi daţi şi mie :P . )
Edit:
OT
Ionuţ, dacă vrei să scrii formule în LaTeX, deocamdată cea mai bună metodă este cea sugerată de HarapAlb (http://www.scientia.ro/forum/index.php?topic=82.msg1658#msg1658) (pe care o folosesc şi eu), până când Adi va avea posibilitatea să implementeze o metodă independentă şi facilă.
EOT
Electron, Abel, Adi sau cine mai citeste topic-ul acesta, sunteti de acord cu demonstratia lui Ionut pentru cazul sforii asezate "radial" (adica in linie dreapta pe masa) ?
OT:
Abel, mersi pentru lamuriri.
EOT.
Am continuat putin calculele de mai sus si am ajuns la un rezultat interesant pentru viteza sforii in momentul cand aceasta a parasit in totalitate masa.
Am inlocuit pe T in expresia lui V(T) si am obtinut urmatorul lucru:
V(T) = exp{ [radical(L/g)*ln(L) - radical(L/g) ln(x(0)) + radical(L/g)*ln(V(0)]/[radical(L/g)] }
V(0) = radical(g/L) * x(0)
Dupa operatiile algebrice o sa vedem ca termenii care contin pe x(0) se anuleaza si o sa ramanem cu ceva de genul:
V(T) = exp{ ln(L) + ln(radical(g/L)) } ceea ce duce la expresia finala V(T) = radical(gL) care nu depinde decat de lungimea sforii, nu si de conditia initiala. :)
Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 11, 2008, 04:00:04 PM
Electron, Abel, Adi sau cine mai citeste topic-ul acesta, sunteti de acord cu demonstratia lui Ionut pentru cazul sforii asezate "radial" (adica in linie dreapta pe masa) ?
Da, eu sunt de acord, pentru că şi eu am ajuns la relaţia
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Clarge%7Bv=%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D=x%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bg%7D%7BL%7D%7D%7D%7D), doar că nu am integrat-o corect şi n-am mai postat răspunsul complet.
Citat din: ionut
Integrand din nou intre momentul initial (unde V(t=0) este o constanta nenula) obtinem [...]
Asadar, V(t=0) este o constanta nenula... ;)
Citat din: ionut
La orice moment de timp, t, cand sfoara nu a atins inca podeaua putem scrie urmatoarele egalitati:
E(t=0) = E(t) --> Ep(t=0) + Ec(t=0) = Ep(t) + Ec(t)
Asta inseamna:
LgH = (L-x(t))gH + x(t)g(H-x(t)/2) + Lv(t)2/2;
Intrebarea mea este cum se face ca-n relatiile pentru coservarea energiilor
Ec(t=0) = 0 ? :)
Buna Alex,
Ai dreptate aici, si eu m-am gandit la asta :) dar exista o problema de interpretare aici. Daca as considera ca viteza la momentul initial este nula, atunci integrala in care calculez viteza la momentul T devine divergenta (ln(0) = -infinit).
In prima integrala (rezolvata la punctul 1) problema acestei divergente am rezolvat-o considerand ca in starea initiala o fractie mica din sfoara este suspendata x(0), ceea este perfect ok. Fizic vorbind, nu avem nevoie de o viteza initiala pentru ca sfoara sa se miste, dar matematic ajungem la o divergenta. Totusi, in a doua mea postare, am dus calculele pana la capat si am calculat viteza in momentul desprinderii sforii si a reiesit ca aceasta viteza nu depinde de viteza initiala asa ca pot sa fac ca aceasta viteza initiala sa fie asimptotic mica in asa fel incat conservarea energiei sa nu fie afectata. Totusi trebuie notat ca aceasta viteza initiala depinde de fractia din sfoara lasata suspendata la inceput x(t=0) care este foarte mica (conform problemei).
Este foarte probabil ca problema sa poata fi rezolvata mai elegant astfel incat sa se evite integralele divergente. Banuiesc ca ar trebui sa facem o "renormalizare" dar deocamdata nu stiu cum, asa ca sunt deschis la sugestii.
Calculele facute de Ionut pe baza energiilor sunt exact cele pe care le-am facut si eu, si vad ca a considerat la limta aceeasi situatie initiala, adica o fractiune minima care atarna, pentru a putea scrie Ec(0)=0.
e-
Buna Electron,
Asa este, insa pentru calcularea vitezei in momentul desprinderii totale a sforii de masa trebuie considerata deasemenea o viteza initiala cu toate ca nu este nevoie pentru ca sfoara sa inceapa sa se miste. Asta pentru a evita divergenta din integrala necesara calcularii acestei viteze. Rezultatul final nu depinde de viteza initiala aleasa(cu conditia ca aceasta sa respecte relatia x(t=0)=radical(L/g)V(t=0)) de aceea cred ca daca fractia x este infinitezimala atunci si viteza initiala este infinitezimala ceea ce face ca conservarea energiei sa nu fie afectata.
Daca vrem sa complicam problema se poate lua in considerare in conservarea energiei faptul ca initial avem o viteza nenula si o fractie de sfoara suspendata dar obtinem niste ecuatii la care nu prea ma incumet :).
Daca frânghia este asezata "radial":
Forta care actioneza asupra bucatii de sfoara trecuta prin gaura este:
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7BF=-%5Cfrac%7BdE_p%7D%7Bdx%7D%7D)
unde (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7BE_p(x)%7D) este energia potentiala.
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7BF=-%5CDelta%20mg%7D),
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5CDelta%20m%7D) fiind masa bucatii de sfoara trecuta prin gaura la un moment dat.
Cum (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5CDelta%20m=%5Csigma%20x%7D), unde (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Csigma%7D) este densitatea lineara a franghiei, iar masa totala a frânghiei este (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bm=%5Csigma%20L%7D), atunci rezulta ca
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7BF=-%5Cfrac%7Bmgx%7D%7BL%7D%7D)
Asadar,
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7BE_p(x)=%5Cint_%7B0%7D%5E%7BE_p%7DdE_p=%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bx%7D%5Cfrac%7Bmgx%7D%7BL%7Ddx=%5Cfrac%7Bmgx%5E2%7D%7B2L%7D%7D)
Deoarece forta (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7BF%7D) este o forta conservativa, avem (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5CDelta%20E_c=%5CDelta%20E_p%7D)
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7BE_c(v)-E_c(v_0)=E_p(x)-E_p(0)%20%5Cqquad%20%5CLongrightarrow%20%5Cqquad%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7Bmv%5E2%7D%5Cquad%20-%20%5Cquad%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7Bmv_0%5E2%7D=%5Cfrac%7Bmgx%5E2%7D%7B2L%7D%7D)
Deci,
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bv(x)=%5Csqrt%7Bv_0%5E2+%5Cfrac%7Bx%5E2g%7D%7BL%7D%5Cquad%7D%7D)
Cum
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bv(x)=%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%5Cqquad%20%5CLongrightarrow%20%5Cqquad%20%5Ctau_1=%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Ctau_1%7Ddt=%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bx%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7Bv_0%5E2+%5Cfrac%7Bx%5E2g%7D%7BL%7D%5Cquad%7D%7D=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%7D%7Bg%7D%5Cquad%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bx%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2+%5Cfrac%7Bv_0%5E2L%7D%7Bg%7D%7D%7D=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%7D%7Bg%7D%7D%5Cquad%5Cleft%20%5B%20ln%20%5Cleft%20(x%5Cquad+%5Cquad%5Csqrt%7Bx%5E2%5Cquad+%5Cquad%5Cfrac%7Bv_0%5E2L%7D%7Bg%7D%5Cquad%7D%20%5Cright%20)%20%5Cright%20%5D_0%5EL=%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%7D%7Bg%7D%7D%20%5Cquad%20ln%5Cleft%20(%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BgL%7D%7Bv_0%5E2%7D%5Cquad%7D%20%5Cquad%20+%20%5Cquad%20%5Csqrt%7B1%5Cquad+%5Cquad%5Cfrac%7BgL%7D%7Bv_0%5E2%7D%5Cquad%7D%20%5Cright%20)%7D)
unde (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau_1%7D) este timpul cand franghia atinge podeaua (se afla in totalitate in aer, deoarece inaltimea mesei este egala cu cea a franghiei).
Deci, dupa momentul (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau_1%7D) franghia este in cadere libera cu viteza initiala
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bv_i=v(L)=%5Csqrt%7Bv_0%5E2+Lg%7D%7D)
parcurgand distanta
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7BL=v_i%5Ctau_2%5Cquad%20+%5Cquad%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dg%5Ctau_2%5E2%7D) sau (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7BL=%5Ctau_2%5Csqrt%7Bv_0%5E2+Lg%7D%5Cquad%20+%20%5Cquad%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dg%20%5Ctau_2%5E2%7D)
de unde rezulta ca
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau_2=%5Cfrac%7B1%7D%7Bg%7D%5Cleft%20(%20%5Csqrt%7Bv_0%5E2+3gL%7D%5Cquad-%5Cquad%5Csqrt%7Bv_0%5E2+gL%7D%20%5Cright%20)%7D)
Cum timpul total este (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau=%5Ctau_1+%5Ctau_2%7D) atunci avem:
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau=%7B%5Cfrac%7Bv_0%7D%7Bg%7D%5Cquad%20%5Cleft%20(%5Csqrt%7B1+%5Cfrac%7B3gL%7D%7Bv_0%5E2%7D%7D%5Cquad-%5Cquad%5Csqrt%7B1+%5Cfrac%7BgL%7D%7Bv_0%5E2%7D%7D%20%5Cquad%20%5Cright%20)%7D%5Cquad+%5Cquad%7B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%7D%7Bg%7D%7D%20%5Cquad%20ln%5Cleft%20(%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BgL%7D%7Bv_0%5E2%7D%7D%20+%20%5Csqrt%7B1+%5Cfrac%7BgL%7D%7Bv_0%5E2%7D%7D%20%5Cquad%20%5Cright%20)%7D%7D) ;)
Aşa, deci, Alex?! Hmmm... N-arată rău. Se vede că ai fost olimpic ;D.
Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 11, 2008, 06:36:51 PM
Forta care actioneza asupra bucatii de sfoara trecuta prin gaura este:
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7BF=-%5Cfrac%7BdE_p%7D%7Bdx%7D%7D)
unde (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7BE_p(x)%7D) este energia potentiala.
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7BF=-%5CDelta%20mg%7D),
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5CDelta%20m%7D) fiind masa bucatii de sfoara trecuta prin gaura la un moment dat.
Cum (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5CDelta%20m=%5Csigma%20x%7D), unde (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Csigma%7D) este densitatea lineara a franghiei, iar masa totala a frânghiei este (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bm=%5Csigma%20L%7D), atunci rezulta ca
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7BF=-%5Cfrac%7Bmgx%7D%7BL%7D%7D)
Asadar,
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7BE_p(x)=%5Cint_%7B0%7D%5E%7BE_p%7DdE_p=%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bx%7D%5Cfrac%7Bmgx%7D%7BL%7Ddx=%5Cfrac%7Bmgx%5E2%7D%7B2L%7D%7D)
Deoarece forta (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7BF%7D) este o forta conservativa, avem (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5CDelta%20E_c=%5CDelta%20E_p%7D)
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7BE_c(v)-E_c(v_0)=E_p(x)-E_p(0)%20%5Cqquad%20%5CLongrightarrow%20%5Cqquad%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7Bmv%5E2%7D%5Cquad%20-%20%5Cquad%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7Bmv_0%5E2%7D=%5Cfrac%7Bmgx%5E2%7D%7B2L%7D%7D)
Asadar,
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bv(x)=%5Csqrt%7Bv_0%5E2+%5Cfrac%7Bx%5E2g%7D%7BL%7D%5Cquad%7D%7D)
Mi-a placut mai mult sa aflu viteza folosind energiile, dar se pot afla foarte simplu si cu legiile lui Newton.. :)
Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 11, 2008, 06:43:13 PM
Aşa, deci, Alex?! Hmmm... N-arată rău. Se vede că ai fost olimpic ;D.
..vai de capu' meu ce olimpic am mai fost si eu :D... in loc sa rezolv probleme si sa ma pregatesc serios pentru concurs, eu citeam despre TRS, "string theory" si etc... hmm
Va rog, sa verificati relatiile pentru ca e exclus sa fi gresit!
Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 11, 2008, 06:59:28 PM
Va rog, sa verificati relatiile pentru ca e exclus sa fi gresit!
Asta da greseala. ;D
e-
Citat din: Electron din Iunie 11, 2008, 07:07:44 PM
Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 11, 2008, 06:59:28 PM
Va rog, sa verificati relatiile pentru ca e exclus sa fi gresit!
Asta da greseala. ;D
... :D :D :D am pierdut un
"nu" pe drum ;D
Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 11, 2008, 06:36:51 PM
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau=%7B%5Cfrac%7Bv_0%7D%7Bg%7D%5Cquad%20%5Cleft%20(%5Csqrt%7B1+%5Cfrac%7B3gL%7D%7Bv_0%5E2%7D%7D%5Cquad-%5Cquad%5Csqrt%7B1+%5Cfrac%7BgL%7D%7Bv_0%5E2%7D%7D%20%5Cquad%20%5Cright%20)%7D%5Cquad+%5Cquad%7B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%7D%7Bg%7D%7D%20%5Cquad%20ln%5Cleft%20(%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BgL%7D%7Bv_0%5E2%7D%7D%20+%20%5Csqrt%7B1+%5Cfrac%7BgL%7D%7Bv_0%5E2%7D%7D%20%5Cquad%20%5Cright%20)%7D%7D) ;)
Pentru
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bv_0%20=%5Cquad1%20%5Cquad%20ms%5E%7B-1%7D%7D)
avem (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau%20=0.815%20%5Cquad%20s%7D)
Pentru ca nu-mi place sa am in relatiile mele termenul v0, am incercat o noua abordare:
Folosind legiile lui Newton se poate arata ca
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Ba=%5Cfrac%7Bgx%7D%7BL%7D%7D)
unde (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Ba%7D) este acceleratia si (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bx%7D) este lungimea bucatii care atarna prin gaura.
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Ba=%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bdt%7D=%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bdx%7D%5Cquad%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D=v%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bdx%7D%7D)
De aici,
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bv%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bdx%7D=%5Cfrac%7Bgx%7D%7BL%7D%20%5Cqquad%20%5CLongrightarrow%20%5Cqquad%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bv%7Dvdv=%5Cint_%7Bx_0%7D%5E%7Bx%7D%5Cfrac%7Bgx%7D%7BL%7Ddx%7D%20%5Cqquad%20%5CLongrightarrow%20%5Cqquad%20%5Cleft%20%5B%20%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%5D_0%5Ev=%5Cfrac%7Bg%7D%7BL%7D%5Cleft%20%5B%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%5D_%7Bx_0%7D%5Ex%20%5Cqquad%20%5CLongrightarrow%20%5Cqquad%20v(x)=%5Csqrt%7B%5Cquad%20%5Cfrac%7Bg%7D%7BL%7D%20%5Cquad%20%5Cleft%20(%20x%5E2%20%5Cquad%20-%20%5Cquad%20x_0%5E2%5Cright%20)%20%5Cquad%20%7D)
unde (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bx_0%7D) este o fractiune mica din lungimea sforii care atarna initial prin gaura, pentru care (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bv(x_0)=0%7D).
Cum
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bv(x)=%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%5Cqquad%20%5CLongrightarrow%20%5Cqquad%20%5Ctau_1=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%7D%7Bg%7D%7D%20%5Cquad%20%5Cint_%7Bx_0%7D%5E%7BL%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2-x_0%5E2%7D%5Cquad%7D%7D=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%7D%7Bg%7D%7D%5Cquad%5Cleft%20%5B%20ln%20%5Cleft%20(x%5Cquad+%5Cquad%5Csqrt%7Bx%5E2%5Cquad-%5Cquad%20x_0%5E2%20%5Cquad%7D%20%5Cright%20)%20%5Cright%20%5D_%7Bx_0%7D%5EL=%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%7D%7Bg%7D%7D%20%5Cquad%20ln%5Cleft%20(%20%5Cfrac%7BL%7D%7Bx_0%7D%20%5Cquad%20+%20%5Cquad%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7Bx_0%5E2%7D%5Cquad-%5Cquad%201%5Cquad%7D%20%5Cright%20))
Asadar,
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau_1=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%7D%7Bg%7D%7D%20%5Cquad%20ln%5Cleft%20(%20%5Cfrac%7BL%7D%7Bx_0%7D%20%5Cquad%20+%20%5Cquad%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7Bx_0%5E2%7D%5Cquad-%5Cquad%201%5Cquad%7D%20%5Cright%20)%7D)
Cum
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bx_0%20%5Cll%20L%7D)
atunci
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau_1%5Capprox%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%7D%7Bg%7D%7D%20%5Cquad%20%5Cleft%20(%201%5Cquad%20-%5Cquad%20%5Cfrac%7Bx_0%7D%7B2L%7D%5Cquad%20%5Cright%20)%5Capprox%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%7D%7Bg%7D%7D%7D)
Cum
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bv(L)=%5Csqrt%7BgL%5Cquad%20-%20%5Cquad%20%5Cfrac%7Bgx_0%5E2%7D%7BL%7D%5Cquad%7D%7D)
si
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7BL=%5Ctau_2v(L)%5Cquad%20+%5Cquad%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dg%5Ctau_2%5E2%7D)
rezulta ca
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau_2=%5Cfrac%7B1%7D%7Bg%7D%20%5Cquad%20%5Cleft%20(%20%5Csqrt%7B3gL-%20%5Cquad%20%5Cfrac%7Bgx_0%5E2%7D%7BL%7D%5Cquad%7D%20%5Cquad%20-%20%5Cquad%20%5Csqrt%7BgL%20-%20%5Cquad%20%5Cfrac%7Bgx_0%5E2%7D%7BL%7D%5Cquad%7D%20%5Cright%20)%5Capprox%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%7D%7Bg%7D%7D%5Cquad%20%5Cleft%20(%20%5Csqrt%7B3%7D%20%5Cquad%20-%20%5Cquad%201%20%5Cright%20)%7D)
Asadar, timpul dupa care sfoara ajunge in totalitate pe podea este
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau=%5Ctau_1+%5Ctau_2=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B3L%7D%7Bg%7D%5Cquad%7D%5Capprox%200.55%20%5Cquad%20s%7D)
Buna Alex,
Mersi pentru rezolvarea care include si viteza initiala. Eu am presupus gresit ca as obtine niste ecuatii diferentiale mai ciudate si nu le-as putea rezolva, dar se pare ca nu a fost asa greu pana la urma. Rezultatul tau pentru viteza la momentul desprinderii totale a franghiei v(t1) = radical (v02 + gL) este forma mai generala pentru ce am obtinut eu, adica v(t1) = radical(gL). In conditiile date de problema, adica un impuls foarte mic dat franghiei sau o fractie a franghiei mica lasata sa atarne, rezultatul meu tinde sa il aproximeze pe al tau pentru v02 << gL :).
Citat din: ionut din Iunie 11, 2008, 10:49:35 PM
Buna Alex,
Mersi pentru rezolvarea care include si viteza initiala. Eu am presupus gresit ca as obtine niste ecuatii diferentiale mai ciudate si nu le-as putea rezolva, dar se pare ca nu a fost asa greu pana la urma. Rezultatul tau pentru viteza la momentul desprinderii totale a franghiei v(t1) = radical (v02 + gL) este forma mai generala pentru ce am obtinut eu, adica v(t1) = radical(gL). In conditiile date de problema, adica un impuls foarte mic dat franghiei sau o fractie a franghiei mica lasata sa atarne, rezultatul meu tinde sa il aproximeze pe al tau pentru v02 << gL :).
Stiu, toti meritam o bere ;D
Ok, fiecare dintre noi da cate o bere la toti ceilalti de pe topicul asta :D
Citat din: ionut din Iunie 11, 2008, 10:55:44 PM
Ok, fiecare dintre noi da cate o bere la toti ceilalti de pe topicul asta :D
Bine, dar sa nu uitam ca asta e doar cazul franghiei asezate "radial"... sa vedem cine rezolva cazul sforii "incolacite", care dupa mine e mult mai greu ;)
Citat din: ionut din Iunie 11, 2008, 10:55:44 PM
Ok, fiecare dintre noi da cate o bere la toti ceilalti de pe topicul asta :D
Eu as recomanda sa aveti grija cu berile, sa nu se creada ca incurajati consumul excesiv de alcool, care dauneaza grav sanatatii... ;D
e-
Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 11, 2008, 11:01:44 PM
Citat din: ionut din Iunie 11, 2008, 10:55:44 PM
Ok, fiecare dintre noi da cate o bere la toti ceilalti de pe topicul asta :D
Bine, dar sa nu uitam ca asta e doar cazul franghiei asezate "radial"... sa vedem cine rezolva cazul sforii "incolacite", care dupa mine e mult mai greu ;)
Salut Alex,
Am si eu o intrebare pentru cazul radial.
Faptul ca primul capat trage accelerat si capatul "final",nu se poate considera ca avem de fapt un corp care cade de la 2m(2m minus capatul care este deja suspendat) si rezolvarea ar fi mult mai usoara?
Cu stima,A.M.
Adrian, eşti pe drumul (bun?) pe care am mers şi eu (http://www.scientia.ro/forum/index.php?topic=314.msg3536#msg3536) înainte de a înţelege că frânghia aflată pe masă nu este acţionată de aceleaşi forţe ca şi frânghia verticală.
Este interesant de observat că timpul de cădere a frânghiei aflate pe masă
Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 11, 2008, 10:44:03 PMAsadar, timpul dupa care sfoara ajunge in totalitate pe podea este
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau=%5Ctau_1+%5Ctau_2=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B3L%7D%7Bg%7D%5Cquad%7D%5Capprox%200.55%20%5Cquad%20s%7D)
este mai scurt decât timpul de cădere a frânghiei aflate în poziţie verticală
Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 10, 2008, 08:17:40 AMDin această ecuaţie rezultă
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Clarge%7Bt=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2s%7D%7Bg%7D%7D%5Capprox%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B4%7D%7B9,8%7D%7D%5Capprox%200,6388%5C;%20sec.%7D%7D)
Oare ce semnificaţie fizică are acest fapt?
Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 11, 2008, 11:01:44 PM
sa vedem cine rezolva cazul sforii "incolacite", care dupa mine e mult mai greu ;)
Am analizat si cazul "incolacit" (adica sfoara sa fie dispusa inasa fel incat sa nu se miste decat partea care a cazut prin orificiu). Notez cu A primul capat (care cade primul) si cu B celalat capat (care cade ultimul). De asemenea, putem sa ne imaginam sfoara ca fiind o serie de mase dm (segmente de lungime dx) care sunt legate intre ele, in asa fel incat fiecare impune "vecinului" miscarea sa. Diferenta cu primul caz (cel "radial") este ca, acum capatul B al sforii ramane in repaus atata timp cat restul sforii inca nu a trecut prin orificiu.
Analiza calitativa:
Consider ca la t0, sfoara este in repaus, si o bucatica infima dx (capatul A) este trecuta prin orificiu (datorita impulsului care a dezechilibrat sistemul), deci viteza initiala este nula.
La momentul t1, in care doar o fractiune f < 1 din sfoara a trecut prin orificiu, avem fractiunea f in miscare si fractiunea 1-f in repaus, deci conservarea energiei ne da relatia dintre fractiunea f si viteza v1 in acest moment.
Consideram momentul t2 in care ultima bucatica de sfoara (B) incepe sa cada, moment in care viteza sforii este v2.
In momentul t3 in care capatul B este inca in aer, si cade cu acceleratia gravitationala g (cadere libera cu viteza initiala v2)
Fie momentul t4 cel in care B ajunge la sol.
Analiza cantitativa:
Intervalul cautat este t4-t0.
Acum, pe intervalul (t0,t2) partea din sfoara care se misca nu este in cadere libera, dat fiind ca fiecare element care incepe sa cada (in afara de A) este antrenat cu viteza momentana a restului sforii (care a trecut deja prin orificiu) ceea ce face ca acceleratia partii mobile sa nu fie g ci ceva mai mica.
Pentru a afla durata t2-t0 trebuie sa gasim ecuatia de miscare a partii mobile, din care sa scoatem durata respectiva. Aici intervine ecuatia diferentiala neliniara mult temuta. ;D
La momentul t2, in care toata sfoara este "suspendata in aer" (A a ajuns la sol si B incepe sa cada) viteza sforii (v2) este datorata energiei cinetice obtinuta prin "caderea" centrului de greutate al sforii pe distanta L/2. Asta rezulta direct din faptul ca la t0 sfoara era in intregime la inaltimea L, deci centrul sau de greutate era la distanta L de sol. In momentul t2, centrul de greutate al sforii este la distanta L/2 (dat fiind ca distributia de masa e liniara ;) ).
Pentru intervalul (t2,t4) avem cadere libera pentru partea care e "in aer" (energia partii care deja a lovit solul se pierde prin degajare de caldura si emisie de unde sonore de ex ;) ). Pentru a afla intervalul t4-t2, se poate folosi caderea libera a capatului B de la inaltimea mesei (L) cu viteza initiala v2. Viteza v2 o putem afla simplu (chiar daca nu stim durata t2-t0) din conservarea energiei intre momentele t0 si t2 (obtinem usor v2^2 = gL)
Apropo, pentru x < L, conservarea energiei ne da gx = v^2 (pentru intervalul t0,t2) care reprezinta ecuatia diferentiala neliniara (dat fiind ca v e derivata lui x in raport cu timpul) care, o data rezolvata, ne-ar permite gasirea duratei t2-t0.
Pentru a gasi durata T = t4-t2, folosim deci ecuatia L = v2*T + (g/2)*T^2 care pentru v2 calculat mai sus ne da solutia pozitiva T = (sqrt(3)-1)*sqrt(L/g)
Analiza mea cantiativa se opreste aici, fiind incompleta (lipseste estimarea duratei t2-t0).
e-
Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 13, 2008, 09:47:01 AM
Este interesant de observat că timpul de cădere a frânghiei aflate pe masă
Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 11, 2008, 10:44:03 PMAsadar, timpul dupa care sfoara ajunge in totalitate pe podea este
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau=%5Ctau_1+%5Ctau_2=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B3L%7D%7Bg%7D%5Cquad%7D%5Capprox%200.55%20%5Cquad%20s%7D)
este mai scurt decât timpul de cădere a frânghiei aflate în poziţie verticală
Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 10, 2008, 08:17:40 AMDin această ecuaţie rezultă
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Clarge%7Bt=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2s%7D%7Bg%7D%7D%5Capprox%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B4%7D%7B9,8%7D%7D%5Capprox%200,6388%5C;%20sec.%7D%7D)
Oare ce semnificaţie fizică are acest fapt?
Buna Abel,
De la ce inaltime cade liber franghia ta? Nu cred ca e nici un mister aici. Franghia de pe masa are in prima etapa a miscarii sale o acceleratie mai mica decat cea gravitationala. Diferenta intre timpi se datoreaza probabil vitezei initiale sau diferentei de inaltime. Nu stiu exact ce date numerice ai folosit tu.
Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 11, 2008, 10:44:03 PM
Asadar,
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau_1=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%7D%7Bg%7D%7D%20%5Cquad%20ln%5Cleft%20(%20%5Cfrac%7BL%7D%7Bx_0%7D%20%5Cquad%20+%20%5Cquad%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7Bx_0%5E2%7D%5Cquad-%5Cquad%201%5Cquad%7D%20%5Cright%20)%7D)
Cum
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bx_0%20%5Cll%20L%7D)
atunci
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau_1%5Capprox%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%7D%7Bg%7D%7D%20%5Cquad%20%5Cleft%20(%201%5Cquad%20-%5Cquad%20%5Cfrac%7Bx_0%7D%7B2L%7D%5Cquad%20%5Cright%20)%5Capprox%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%7D%7Bg%7D%7D%7D)
Alexandru, imi explici cum ai facut aceasta arpoximatie? Adica, limita primei expresii cand x
0 tinde la 0 e infinita, dar expresia aproximata are limita finita ...
e-
Ok, inainte de-a trece la cazul sforii "incolacite", as vrea sa retific cateva aspecte si unele greseli pe care le-am facut!
Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 11, 2008, 10:44:03 PM
Cum
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bx_0%20%5Cll%20L%7D)
atunci
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau_1%5Capprox%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%7D%7Bg%7D%7D%20%5Cquad%20%5Cleft%20(%201%5Cquad%20-%5Cquad%20%5Cfrac%7Bx_0%7D%7B2L%7D%5Cquad%20%5Cright%20)%5Capprox%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%7D%7Bg%7D%7D%7D)
Am gresit teribil aici... aproximatia ar fi adevarata doar daca (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bx_0%20%5Capprox%200.75L%7D) ???
Nu stiu cum sa fac aproximatia, dar daca am considera ca doar (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B1%20%%7D) din (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7BL%7D) atarna initial prin gaura, atunci (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau%20%5Capprox%201.7%20%5Cquad%20s%7D) :-\
Sa rezumam rezultatele pe care le avem:
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau(v_0)%5Cquad=%5Cquad%7B%5Cfrac%7Bv_0%7D%7Bg%7D%5Cquad%20%5Cleft%20(%5Csqrt%7B1+%5Cfrac%7B3gL%7D%7Bv_0%5E2%7D%7D%5Cquad-%5Cquad%5Csqrt%7B1+%5Cfrac%7BgL%7D%7Bv_0%5E2%7D%7D%20%5Cquad%20%5Cright%20)%7D%5Cquad+%5Cquad%7B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%7D%7Bg%7D%7D%20%5Cquad%20ln%5Cleft%20(%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BgL%7D%7Bv_0%5E2%7D%7D%20%5Cquad%20+%5Cquad%20%5Csqrt%7B1+%5Cfrac%7BgL%7D%7Bv_0%5E2%7D%7D%20%5Cquad%20%5Cright%20)%7D%7D)
Pentru (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bv_0%5Crightarrow%200%7D) avem (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau(v_0)%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D), adica franghia nu se va misca de pe masa.
Avem graficul:
(http://www.astronomy.ro/forum/files/graph_2_154.jpg)
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau(x_0)%5Cquad=%5Cquad%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bg%7D%20%5Cquad%20%5Cleft%20(%20%5Csqrt%7B3gL-%20%5Cquad%20%5Cfrac%7Bgx_0%5E2%7D%7BL%7D%5Cquad%7D%20%5Cquad%20-%20%5Cquad%20%5Csqrt%7BgL%20-%20%5Cquad%20%5Cfrac%7Bgx_0%5E2%7D%7BL%7D%5Cquad%7D%20%5Cright%20)%20%5Cquad%20+%20%5Cquad%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%7D%7Bg%7D%7D%20%5Cquad%20ln%5Cleft%20(%20%5Cfrac%7BL%7D%7Bx_0%7D%20%5Cquad%20+%20%5Cquad%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7Bx_0%5E2%7D%5Cquad-%5Cquad%201%5Cquad%7D%20%5Cright%20)%7D)
Pentru (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bx_0%5Crightarrow%200%7D) avem (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau(x_0)%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D), adica franghia va ramane pe masa.
Avem graficul:
(http://www.astronomy.ro/forum/files/graph_1_191.jpg)
Citat din: ionut din Iunie 13, 2008, 11:56:33 AM
De la ce inaltime cade liber franghia ta?
Am presupus (http://www.scientia.ro/forum/index.php?topic=314.msg3536#msg3536) că frânghia verticală are capătul inferior la 1 m, iar capătul superior la 2 m.
CitatNu cred ca e nici un mister aici. Franghia de pe masa are in prima etapa a miscarii sale o acceleratie mai mica decat cea gravitationala. Diferenta intre timpi se datoreaza probabil vitezei initiale sau diferentei de inaltime. Nu stiu exact ce date numerice ai folosit tu.
Tocmai asta este interesant: deşi acceleraţia frânghiei aflată pe masă este mai mică, totuşi, ea ajunge mai repede la sol decât frânghia verticală.
EDIT:
Se pare că graficele lui Alex clarifică ,,misterul" acestei probleme :) .
Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 13, 2008, 03:52:00 PM
Tocmai asta este interesant: deşi acceleraţia frânghiei aflată pe masă este mai mică, totuşi, ea ajunge mai repede la sol decât frânghia verticală.
Ajunge mai repede pentru ca in aproximatia mea "tampita" (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bx_0%20%5Capprox%200.75%20m%7D) ;D ... nu stiu ce-am gandit eu atunci :-\
Citat din: Electron din Iunie 13, 2008, 10:08:15 AMAm analizat si cazul "incolacit" (adica sfoara sa fie dispusa inasa fel incat sa nu se miste decat partea care a cazut prin orificiu). Notez cu A primul capat (care cade primul) si cu B celalat capat (care cade ultimul). De asemenea, putem sa ne imaginam sfoara ca fiind o serie de mase dm (segmente de lungime dx) care sunt legate intre ele, in asa fel incat fiecare impune "vecinului" miscarea sa. Diferenta cu primul caz (cel "radial") este ca, acum capatul B al sforii ramane in repaus atata timp cat restul sforii inca nu a trecut prin orificiu.
Cazul frânghiei încolăcite este mult mai complex. Putem să aşezăm frânghia pe masă în foarte multe feluri şi chiar putem considera că frânghia are o anumită grosime.
Buna Alex,
In modul meu de rezolvare am facut aproximatia ca viteza initiala este foarte mica si am exclus-o din ecuatia conservarii energiei. Am presupuso doar foarte mica si pozitiva pentru a scapa de divergenta. La sfarsit am demonstrat totusi ca viteza in momentul cand franghia a parasit in totalitate masa nu depinde de aceasta viteza initiala (cu conditia ca ea sa fie mica), rezultatul era V(t1) = radical(gL) daca mai tii minte.
Daca nu ma insel, in primul tau mod de rezolvare, in care ai folosit ecuatia conservarii energiei ai obtinut rezultatul (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?v(%5Ctau_1)%20=%20%5Csqrt(v_0%5E2%20+%20gL)) ceea ce in cazul problemei noastre (impuls initial foarte mic) e perfect ok.
Pentru "greseala" pe care zici ca ai facut-o eu cred ca nu trebuie sa te impacientezi prea tare :). Te confrunti cu aceeasi divergenta cu care m-am confruntat si eu. Incearca sa ignori faptul ca \tau_1 este puternic dependent de x_0 la valori mici pentru ca viteza finala nu este dependenta de x_0 ;). Totul e sa faci o aproximatie rezonabila atunci cand trebuie ca sa iti usurezi situatia.
Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 13, 2008, 03:52:00 PM
Citat din: ionut din Iunie 13, 2008, 11:56:33 AM
De la ce inaltime cade liber franghia ta?
Am presupus (http://www.scientia.ro/forum/index.php?topic=314.msg3536#msg3536) că frânghia verticală are capătul inferior la 1 m, iar capătul superior la 2 m.
CitatNu cred ca e nici un mister aici. Franghia de pe masa are in prima etapa a miscarii sale o acceleratie mai mica decat cea gravitationala. Diferenta intre timpi se datoreaza probabil vitezei initiale sau diferentei de inaltime. Nu stiu exact ce date numerice ai folosit tu.
Tocmai asta este interesant: deşi acceleraţia frânghiei aflată pe masă este mai mică, totuşi, ea ajunge mai repede la sol decât frânghia verticală.
EDIT:
Se pare că graficele lui Alex clarifică ,,misterul" acestei probleme :) .
Abel, cred ca e ceva gresit. Daca franghia de pe masa pleaca din repaus (sau cu o viteza foarte mica) atunci al doilea capat ar trebui sa ajunga jos mai tarziu decat al doilea capat al franghiei verticale descrise de tine. Dar cred ca Alex a facut calculele pentru o viteza initiala a franghiei destul de mare si probabil de asta franghia de pe masa ajunge mai repede.
Citat din: ionut din Iunie 13, 2008, 04:30:19 PM
Pentru "greseala" pe care zici ca ai facut-o eu cred ca nu trebuie sa te impacientezi prea tare :). Te confrunti cu aceeasi divergenta cu care m-am confruntat si eu. Incearca sa ignori faptul ca \tau_1 este puternic dependent de x_0 la valori mici pentru ca viteza finala nu este dependenta de x_0 ;). Totul e sa faci o aproximatie rezonabila atunci cand trebuie ca sa iti usurezi situatia.
E drept ca viteza finala (la desprinderea ultimei bucati de pe masa) are limita finita cand x
0 tinde la zero, dar noi cautam aici timpul de cadere, care tinde la infinit in acele conditii (cum e si normal).
Totul depinde de conditiile initiale, pentru ca, analizand
calitativ, pentru x
0=0 si v
0=0 franghia nu va cadea de pe masa niciodata (timp "infinit") ;D
e-
Am impresia că cel mai simplu caz al frânghiei încolăcite este cazul în care frânghia este o linie frântă aşezată pe suprafaţa mesei, astfel încât ea este alcătuită din două porţiuni: o porţiune radială care porneşte din orificiul de cădere şi are lungimea r şi o porţiune rămasă de lungime l care face un unghi ascuţit cu suportul celeilalte porţiuni.
Citat din: Electron din Iunie 13, 2008, 04:59:09 PM
Citat din: ionut din Iunie 13, 2008, 04:30:19 PM
Pentru "greseala" pe care zici ca ai facut-o eu cred ca nu trebuie sa te impacientezi prea tare :). Te confrunti cu aceeasi divergenta cu care m-am confruntat si eu. Incearca sa ignori faptul ca \tau_1 este puternic dependent de x_0 la valori mici pentru ca viteza finala nu este dependenta de x_0 ;). Totul e sa faci o aproximatie rezonabila atunci cand trebuie ca sa iti usurezi situatia.
E drept ca viteza finala (la desprinderea ultimei bucati de pe masa) are limita finita cand x0 tinde la zero, dar noi cautam aici timpul de cadere, care tinde la infinit in acele conditii (cum e si normal).
Totul depinde de conditiile initiale, pentru ca, analizand calitativ, pentru x0=0 si v0=0 franghia nu va cadea de pe masa niciodata (timp "infinit") ;D
Salut Electron,
Sunt de acord cu tine.Daca nu exista acel "mic" impuls initial,timpul de cadere tinde la infinit.Sfoara ramane in repaus.
Eu am facut urmatorul rationament,pe care te rog sa-l analizezi (va rog sa-l analizati):
Am presupus ca am doua greutati egale,fiecare cat jumatate din greutatea franghiei.Ele sunt legate intre ele cu o ata foarte subtire,ata care are o masa neglijabila.
Ata impreuna cu greutatile,formeaza un ansamblu lung de un metru (lungimea franghiei).
Pozitionand acest ansamblu ca in exemplul cu funia,eu zic ca ar trebui sa obtinem acelasi rezultat (asta pentru-ca nu avem frecare).
Daca la momentul initial dam acel mic impuls,prima greutate (pe care eu am considerat-o primul capat al funiei) trage a doua greutate (al doilea capat al funiei) si ii imprima si acesteia aceiasi acceleratie (prin intermediul firului de ata care le leaga) pe care o capata ea(acceleratie gravitationala).
Prin urmare cand a doua greutate ajunge in dreptul gauri,va avea deja o acceleratie.Aceasta acceleratie se dubleaza (pentru aceasta greutate)atunci cand ea atinge solul (exact ce spunea Ionut,ca timpul de cadere pentru capatul al doilea este mai mic in comparatie cu timpul de cadere a primului capat).Greutatii a doua i se dubleaza acceleratia,deorece la acceleratia pe care o are deja (are deja acceleratie gravitationala) i se adauga alta acceleratie gravitationala.
Daca rationamentul meu e bun,atunci putem considera ca a doua greutate cade de la o inaltime de 2m.In acest caz chiar nu ne intereseaza cum este franghia dispusa,radial sau incolacita.
Cu stima,A.M.
Citat din: Mavriche Adrian din Iunie 14, 2008, 04:36:46 PM
Am presupus ca am doua greutati egale,fiecare cat jumatate din greutatea franghiei.Ele sunt legate intre ele cu o ata foarte subtire,ata care are o masa neglijabila.
Ata impreuna cu greutatile,formeaza un ansamblu lung de un metru (lungimea franghiei).
Pozitionand acest ansamblu ca in exemplul cu funia,eu zic ca ar trebui sa obtinem acelasi rezultat (asta pentru-ca nu avem frecare).
Pana aici, ok. :)
CitatDaca la momentul initial dam acel mic impuls,prima greutate (pe care eu am considerat-o primul capat al funiei) trage a doua greutate (al doilea capat al funiei) si ii imprima si acesteia aceiasi acceleratie (prin intermediul firului de ata care le leaga) pe care o capata ea(acceleratie gravitationala).
Aici e greseala (si nu ma refer doar la gramatica ;D). Prima bucata nu poate sa o accelereze pe a doua cu acceleratia gravitationala, deoarece forta care trage de
toata sfoara (in cazul "radial" presupus de tine) nu este greutatea totala a sforii, ci doar a partii trecute prin orificiu. Ca atare, atata timp cat mai e vreo bucata de sfoara in miscare pe masa, acceleratia sforii e mai mica decat g.
e-
Citat din: Mavriche Adrian din Iunie 14, 2008, 04:36:46 PMPozitionand acest ansamblu ca in exemplul cu funia,eu zic ca ar trebui sa obtinem acelasi rezultat (asta pentru-ca nu avem frecare).
Te înşeli amarnic! Mai mult, dai cu piciorul în tot ce au realizat ,,predecesorii" tăi, fără să-i fi înţeles măcar!
Păi cum să obţinem acelaşi rezultat? Frânghia nu poate fi modelată cu două greutăţi, ci doar
cu o infinitate de astfel de greutăţi, amplasate uniform de-a lungul frânghiei.
Iată formularea precisă a problemei frânghiei (formulare care conţine atât cazul radial, cât şi cel încolăcit):
Dată fiind o frânghie de lungime (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Clarge%7Bl%7D%7D) şi densitate liniară constantă (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Clarge%7B%5Csigma%7D%7D) aşezată pe o masă la înălţimea (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Clarge%7Bh%5Cge%20l%7D%7D) de-a lungul unei curbe plane de ecuaţie (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Clarge%7B%5Ckappa=%5Ckappa(s)%7D%7D) (unde (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Clarge%7B%5Ckappa%7D%7D) este curbura curbei, iar (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Clarge%7Bs%7D%7D) este parametrul intrinsec al curbei), să se determine timpul în care frânghia ajunge complet la sol dacă este lăsată să cadă printr-un orificiu aflat pe masă.
Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 15, 2008, 08:48:38 AM
Citat din: Mavriche Adrian din Iunie 14, 2008, 04:36:46 PMPozitionand acest ansamblu ca in exemplul cu funia,eu zic ca ar trebui sa obtinem acelasi rezultat (asta pentru-ca nu avem frecare).
Te înşeli amarnic! Mai mult, dai cu piciorul în tot ce au realizat ,,predecesorii" tăi, fără să-i fi înţeles măcar!
Păi cum să obţinem acelaşi rezultat? Frânghia nu poate fi modelată cu două greutăţi, ci doar cu o infinitate de astfel de greutăţi, amplasate uniform de-a lungul frânghiei.
Salut Abel,
Daca avem o greutate sau o infinitate,rezultatul trebuie sa fie acelasi si asta pentru-ca nu conteaza "greutatea",acceleratia gravitationala este aceiasi (dupa cum tu bine ai spus).Cred ca acea densitate liniara constanta a fost introdusa ca o capcana.
Cu stima,A.M.
Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 15, 2008, 09:15:19 AM
Iată formularea precisă a problemei frânghiei (formulare care conţine atât cazul radial, cât şi cel încolăcit):
Dată fiind o frânghie de lungime (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Clarge%7Bl%7D%7D) şi densitate liniară constantă (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Clarge%7B%5Csigma%7D%7D) aşezată pe o masă la înălţimea (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Clarge%7Bh%5Cge%20l%7D%7D) de-a lungul unei curbe plane de ecuaţie (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Clarge%7B%5Ckappa=%5Ckappa(s)%7D%7D) (unde (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Clarge%7B%5Ckappa%7D%7D) este curbura curbei, iar (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Clarge%7Bs%7D%7D) este parametrul intrinsec al curbei), să se determine timpul în care frânghia ajunge complet la sol dacă este lăsată să cadă printr-un orificiu aflat pe masă.
Si despre frecare nu se spune nimic? Tu ai impresia ca timpul de cadere nu depinde de coeficientul de frecare dintre sfoara si masa?
Apoi, in topicul acesta (http://www.astronomy.ro/forum/viewtopic.php?t=1448) de pe astronomy.ro ai afirmat urmatoarele:
Citat din: AbelSe pare că mai trebuie clarificat ceva foarte important despre dreaptă: dreapta nu este o curbă plană! Și am să vă arăt de ce. Pornim de la definiția unei curbe plane. Se numește curbă plană o curbă care are același plan osculator în fiecare punct al ei. Ei bine, să vedem dacă din această definiție rezultă că dreapta este o curbă plană.
În primul rând, trebuie știut că în orice punct de inflexiune, deci în orice punct al curbei în care curbura ei este nulă, planul osculator nu poate fi determinat. Dar dreapta are curbura nulă [/b]în fiecare punct al ei[/b], deci fiecare punct al unei drepte este un punct de inflexiune, motiv pentru care [/b]planul osculator al unei drepte nu poate fi determinat, nici măcar într-un punct al ei[/b]! Așadar, nu avem niciun argument matematic pentru a putea susține că dreapta este o curbă plană.
E-adevărat că printr-o dreaptă putem duce un plan, dar asta nu înseamnă că dreapta este o curbă plană, deoarece printr-una și aceeași dreaptă putem duce o infinitate de plane, după pofta inimii noastre.
Greseala cea mai grava din citatul de mai sus e partea subliniata din final. Dar intrebarea mea este, te-ai convins intre timp ca dreapta e o curba plana, sau nu?
Multumesc.
Citat din: bufnita din Iunie 15, 2008, 01:28:50 PMSi despre frecare nu se spune nimic? Tu ai impresia ca timpul de cadere nu depinde de coeficientul de frecare dintre sfoara si masa?
Electron (ştiu că eşti tu din mai multe considerente, printre care mai ales tonul ;) ), se subînţelege că frecarea se neglijează pentru că am postat problema în acelaşi topic în care a fost formulată. Dacă aş fi vrut să luăm în considerare şi frecarea, aş fi deschis un alt topic.
Apropo, dacă tot ai fi vrut să-mi găseşti o greşeală, ai fi putut să scoţi în evidenţă faptul că nu am vorbit despre grosimea frânghiei.
OT:
Citatte-ai convins intre timp ca dreapta e o curba plana, sau nu?
N-ai înţeles nimic din chestiunea ridicată de mine acolo. Totuşi, pentru tine voi sintetiza aici altfel, deşi suntem offtopic, aşa cum obişnuieşti deseori.
Dacă nu avem decât argumente matematice, nu putem stabili dacă o dreaptă este sau nu o curbă plană. Mai precis, există drepte care sunt curbe plane şi există drepte care nu sunt curbe plane. Totul depinde de valoarea torsiunii lor. Dacă torsiunea unei drepte este nulă (ceea ce nu se poate stabili decât pe cale fizică), atunci dreapta aceea este o curbă plană. Altfel, nu.
Mai mult, orice dreaptă trece printr-un plan, dar asta nu înseamnă că ea este curbă plană, aşa cum prin orice punct trece o dreaptă, dar asta nu înseamnă că punctul aparţine unei drepte. Aşadar, în cazul frânghiei noastre, curba care are curbura nulă este cazul radial, chiar dacă nu putem determina torsiunea acelei curbe.
EOT
Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 15, 2008, 02:02:32 PM
Electron (ştiu că eşti tu din mai multe considerente, printre care mai ales tonul ;) )
Crezi ce vrei. Poate am citit prea multe mesaje de-a lui Electron, si i-am "copiat" stilul. Voiai sa-l copiez pe al tau? ::)
Cel putin o diferenta esentiala: el te ignora deja, pe cand eu vad cum insisti in greseala si incerc sa te ajut.
Iata cateva greseli pe care ar trebui sa le remediezi:
1) Faci declaratii si formulari pe care le crezi
precise, cand de fapt nici nu ai inteles problema pe care o abordezi (vezi neglijarea ta a masei sforii din acest topic). Cum zicea cineva, definitia ta a cuvantului "riguros" lasa de dorit...
2) Afirmi despre altii ca "nu au inteles nimic" fara sa ai (sau sa aduci) dovezi, decat impresiile tale ca tu ai dreptate si ca cei care nu sunt de acord cu tine nu au inteles ce voiai tu sa spui. Cam cum face un alt utilizator pe aici, nu dau nume.
3) Confunzi definitiile matematice cu realitatea fizica, pe de o parte pentru ca la tine "definitie" e ceva foarte ... nedefinit (tu esti cel care ai ajuns sa dai "definitii" circulare pe aici :o), si pe de alta parte pentru ca ai lacune grave in fizica (ups, alta expresie copiata!). Amesteci geometria cu traiectoriile, si atribui caracteristici cum ar fi "torsiunea" unor obiecte matematice care prin definitie nu pot avea asa ceva. A afirma ca "dreapta nu e o curba plana" e o greseala de care ar trebui sa-ti fie rusine, si sa o retractezi.
Acelasi amestec ce denota cat de putina fizica stapansesti, il faci si cu conceptul de "infinit" de exemplu.
4) Totul se reduce la asta: aplici gresit fizica si apoi pretinzi ca fizica nu e "buna". Critici ceva, aratand cat de putin cunosti in domeniul respectiv (cum a observat si Ionut), si totusi o tii tare cu atitudinea ta care l-a "incantat" atat pe cel care te ignora mai nou.
Dar sa revenim. Cauta definitia dreptei (si a planului) din geometrie, si raspunde-mi:
E dreapta (definita in geometrie) curba plana sau nu?Multumesc.
PS: scuze celui care a pornit acest sir de discutii, pentru comentariile mele
off topic.
Citat din: Electron din Iunie 14, 2008, 04:58:49 PM
Prima bucata nu poate sa o accelereze pe a doua cu acceleratia gravitationala, deoarece forta care trage de toata sfoara (in cazul "radial" presupus de tine) nu este greutatea totala a sforii, ci doar a partii trecute prin orificiu. Ca atare, atata timp cat mai e vreo bucata de sfoara in miscare pe masa, acceleratia sforii e mai mica decat g.
Salut Electron,
Este adevarat ce spui.In mod "normal" acceleratia primului capat al sforii ar trebui sa fie mai mica decat g,dar in acest caz sfoara ar ramane in echilibru si timpul caderii capatului al doilea ar tinde spre infinit (dupa cum tu bine spuneai).Ca sfoara s-a continuie caderea,acceleratia spre care tinde ea trebuie sa fie cel putin egala cu g.De aceia avem nevoie de impulsul acela mic,initial.
Cu stima,A.M.
OT:
Citat din: bufnita din Iunie 15, 2008, 02:51:20 PMCel putin o diferenta esentiala: el te ignora deja, pe cand eu vad cum insisti in greseala si incerc sa te ajut.
Mă bucur să văd că nu mă ignori, totuşi. Faptul că nu recunoşti că eşti Electron mai spune câte ceva despre tine. Mă rog, poate odată şi odată vei găsi o soluţie să scapi de aceste metehne şi, mai ales, de povara pe care trebuie s-o porţi.
CitatIata cateva greseli pe care ar trebui sa le remediezi:
1) Faci declaratii si formulari pe care le crezi precise, cand de fapt nici nu ai inteles problema pe care o abordezi (vezi neglijarea ta a masei sforii din acest topic). Cum zicea cineva, definitia ta a cuvantului "riguros" lasa de dorit...
Fiind pe un forum şi nu într-un manual, o să-mi permit întotdeauna să fac ,,declaraţii şi formulări" pe care să le cred precise. Unul ca tine nu va reuşi niciodată să-mi răpească bucuria de a gândi şi a mă exprima liber. Dacă am greşit şi mi-am dat seama de greşeală, am avut plăcerea s-o spun în gura mare. Faptul că nu recunosc alte chestiuni pe care mi le reproşezi tu denotă sau că nu am greşit, sau că nu mi-am dat seama de greşeală. Felul neştiinţific în care încerc tu să demonstrezi că am greşit (şi, mai ales, tonul tău), invocând chestiuni legate de comportamentul meu şi analogii cu sandokhan scot în evidenţă lucruri întunecate despre tine.
Citat2) Afirmi despre altii ca "nu au inteles nimic" fara sa ai (sau sa aduci) dovezi, decat impresiile tale ca tu ai dreptate si ca cei care nu sunt de acord cu tine nu au inteles ce voiai tu sa spui. Cam cum face un alt utilizator pe aici, nu dau nume.
Suntem în aceeaşi situaţie. Şi tu faci la fel.
Citat3)A afirma ca "dreapta nu e o curba plana" e o greseala de care ar trebui sa-ti fie rusine, si sa o retractezi.
Nu pot înţelege de ce îmi impui tu mie când să-mi fie ruşine şi când nu. De ce nu te rezumi strict la a-mi demonstra ştiinţific unde greşesc, fără să-mi ceri să retractez ceva?
Citat4) Totul se reduce la asta: aplici gresit fizica si apoi pretinzi ca fizica nu e "buna". Critici ceva, aratand cat de putin cunosti in domeniul respectiv (cum a observat si Ionut), si totusi o tii tare cu atitudinea ta care l-a "incantat" atat pe cel care te ignora mai nou.
Limitează-te doar la argumente ştiinţifice şi le voi accepta. Nu am niciun motiv să mă ascund după deget (cum faci tu).
CitatDar sa revenim. Cauta definitia dreptei (si a planului) din geometrie, si raspunde-mi: E dreapta (definita in geometrie) curba plana sau nu?
Dreapta nu poate fi considerată curbă plană în toate cazurile. Există o infinitate de cazuri când dreapta nu este curbă plană şi un singur caz când dreapta este curbă plană. Deosebirea se face cu ajutorul torsiunii. Orice curbă are doi parametri
independenţi: curbură şi torsiune. Dreapta este prin definiţie curba de curbură nulă. Această definiţie nu spune nimic despre torsiune, lăsând torsiunea să aibă orice valoare. Dacă tu vrei să defineşti dreapta ca fiind o curbă de curbură
şi torsiune nule, n-ai decât. Eu nu vorbesc despre o asemenea curbă, ci despre curba care are doar curbura nulă, nu şi torsiunea.
EOT
M.A., din momentul in care sfoara primeste impulsul initial (si pana e total pe podea), ea nu se afla in echilibru. Asta se vede foarte usor prin faptul ca suma fortelor care acctioneaza asupra ei nu este ZERO. (Tu stii ce e acela "echilibru" ?)
Daca forta care actioneaza asupra sforii nu e zero, ea se misca accelerat, conform primei legi a lui Newton.
Pentru a evalua marimea acceleratiei, calitativ, e suficient sa te gandesti la conservarea energiei in timp ce sfoara cade, analiza facuta in acest topic de cateva ori deja. Te rog sa recitesti mesajele din acest topic cu atentie, eu sunt dispus sa explic cat pot daca nu ai inteles ceva din mesajele mele. Daca ai intrebari legate de alte mesaje, autorii lor sunt implicit rugati sa le explice mai pe indelete.
Sunt foarte curios, apropo, ce calcule si ce formule ai folosit tu pentru a ajunge la concluziile tale de aici. Cu ceva pagini inainte ai dat si valori numerice pentru timpul de cadere. Din ce formula ai obtinut acea valoare? Incearca sa te explici, e singura cale pentru a ajunge sa te inteleg.
e-
Ok, Adrian o sa detaliez rezolvarea problemei pentru cazul "radial"! Intr-adevar se poate considera sfoara ca doua corpuri unul asezat pe un plan horizontal si unul care atarna, legate printr-un fir inextensibil si fara masa (vezi figura de mai jos).
(http://www.astronomy.ro/forum/files/image2_766.jpg)
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5CDelta%20m%7D) este masa care atarna prin gaura la un moment dat, iar (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bm%7D) este masa totala a franghiei.
Legea a doua a lui Newton:
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7BT%5Cquad%20=%20%5Cquad%20%5Cleft%20(%20m%5Cquad%20-%5Cquad%5CDelta%20m%5Cright%20)%5Cquad%20a%7D)
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5CDelta%20m%20g%20%5Cquad%20-%20%5Cquad%20T%20%5Cquad=%20%5Cquad%20%5CDelta%20m%20a%7D)
De aici
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5CDelta%20m%20g%20%5Cquad%20-%20%5Cquad%20ma%5Cquad%20+%20%5Cquad%20%5CDelta%20m%20a%20%5Cquad%20=%20%5Cquad%20%5CDelta%20ma%7D)
adica
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5CDelta%20mg%5Cquad=%5Cquad%20ma%7D)
Cum
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5CDelta%20m%5Cquad=%5Cquad%20%5Csigma%20x%7D), unde (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Csigma%7D) este densitatea lineara a franghiei si (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bx%7D) lungimea franghiei care atarna la un moment dat prin gaura,
si
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bm%5Cquad=%5Cquad%20%5Csigma%20L%7D), unde (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7BL%7D) este lungimea franghiei,
atunci avem
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bgx%5Cquad=%5Cquad%20aL%7D)
sau
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Ba%20%5Cquad=%5Cquad%20%5Cfrac%7Bgx%7D%7BL%7D%5Cquad%20<%20%5Cquad%20g%7D)
Folosind urmatorul artificiu
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Ba=%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bdt%7D=%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bdx%7D%5Cquad%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D=v%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bdx%7D%7D)
avem ca
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bv%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bdx%7D=%5Cfrac%7Bgx%7D%7BL%7D%20%5Cqquad%20%5CLongrightarrow%20%5Cqquad%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bv%7Dvdv=%5Cint_%7Bx_0%7D%5E%7Bx%7D%5Cfrac%7Bgx%7D%7BL%7Ddx%7D%20%5Cqquad%20%5CLongrightarrow%20%5Cqquad%20%5Cleft%20%5B%20%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%5D_0%5Ev=%5Cfrac%7Bg%7D%7BL%7D%5Cleft%20%5B%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%5D_%7Bx_0%7D%5Ex%20%5Cqquad%20%5CLongrightarrow%20%5Cqquad%20v(x)=%5Csqrt%7B%5Cquad%20%5Cfrac%7Bg%7D%7BL%7D%20%5Cquad%20%5Cleft%20(%20x%5E2%20%5Cquad%20-%20%5Cquad%20x_0%5E2%5Cright%20)%20%5Cquad%20%7D)
unde (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bx_0%7D) este o fractiune mica din lungimea sforii care atarna initial prin gaura, pentru care (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bv(x_0)=0%7D).
Cum
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bv(x)=%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%5Cqquad%20%5CLongrightarrow%20%5Cqquad%20%5Ctau_1=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%7D%7Bg%7D%7D%20%5Cquad%20%5Cint_%7Bx_0%7D%5E%7BL%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2-x_0%5E2%7D%5Cquad%7D%7D=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%7D%7Bg%7D%7D%5Cquad%5Cleft%20%5B%20ln%20%5Cleft%20(x%5Cquad+%5Cquad%5Csqrt%7Bx%5E2%5Cquad-%5Cquad%20x_0%5E2%20%5Cquad%7D%20%5Cright%20)%20%5Cright%20%5D_%7Bx_0%7D%5EL=%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%7D%7Bg%7D%7D%20%5Cquad%20ln%5Cleft%20(%20%5Cfrac%7BL%7D%7Bx_0%7D%20%5Cquad%20+%20%5Cquad%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7Bx_0%5E2%7D%5Cquad-%5Cquad%201%5Cquad%7D%20%5Cright%20))
Deci,
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau_1=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%7D%7Bg%7D%7D%20%5Cquad%20ln%5Cleft%20(%20%5Cfrac%7BL%7D%7Bx_0%7D%20%5Cquad%20+%20%5Cquad%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7Bx_0%5E2%7D%5Cquad-%5Cquad%201%5Cquad%7D%20%5Cright%20)%7D)
unde (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau_1%7D) este timpul cand franghia paraseste masa...
Si ... dupa alte cateva calcule se poate arata ca timpul total dupa care franghia ajunge pe sol este:
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau(x_0)%5Cquad=%5Cquad%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bg%7D%20%5Cquad%20%5Cleft%20(%20%5Csqrt%7B3gL-%20%5Cquad%20%5Cfrac%7Bgx_0%5E2%7D%7BL%7D%5Cquad%7D%20%5Cquad%20-%20%5Cquad%20%5Csqrt%7BgL%20-%20%5Cquad%20%5Cfrac%7Bgx_0%5E2%7D%7BL%7D%5Cquad%7D%20%5Cright%20)%20%5Cquad%20+%20%5Cquad%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%7D%7Bg%7D%7D%20%5Cquad%20ln%5Cleft%20(%20%5Cfrac%7BL%7D%7Bx_0%7D%20%5Cquad%20+%20%5Cquad%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7Bx_0%5E2%7D%5Cquad-%5Cquad%201%5Cquad%7D%20%5Cright%20)%7D)
Intrebari ? ;)
Inca nu am vazut nici o rezolvare a cazului sforii "incolocite" :-\ ... insa a vazut multe discutii "Off-Topic". Faina treaba ;). Abel sa nu complicam chiar asa de mult problema ;D, am inteles idea, dar ... cazul sforii "incolocite", e cazul in care sfoara de pe masa nu este accelerata, sa neglijam grosimea si alte aranjamente a sforii pe masa :)
Uite, ca am gasit si prin hartoagele mele si textul problemei din care m-am inspirat:
"A table of height 1 m has a hole in middle of its surface. A thin, golden chain necklace, of length 1 m, is placed loosely coiled close to the hole, as shown in the figure.(http://www.astronomy.ro/forum/files/image4_263.jpg)
One end of the chain is pulled a little way through the hole and then released. Friction is negligible, and, as a result, the chain runs smoothly through the hole with increasing speed. After what times will the teo ends of the chain reach the floor?"
Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 15, 2008, 08:04:24 PM
Inca nu am vazut nici o rezolvare a cazului sforii "incolocite" :-\ ...
Aici am facut analiza calitativa, si am dat o analiza cantitativa partiala. (http://www.scientia.ro/forum/index.php?topic=314.msg3684#msg3684)
Sa vedem daca e cineva dispus(a) sa rezolve ecuatia diferentiala necesara ...
e-
Citat din: Electron din Iunie 15, 2008, 09:05:25 PM
Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 15, 2008, 08:04:24 PM
Inca nu am vazut nici o rezolvare a cazului sforii "incolocite" :-\ ...
Aici am facut analiza calitativa, si am dat o analiza cantitativa partiala. (http://www.scientia.ro/forum/index.php?topic=314.msg3684#msg3684)
Sa vedem daca e cineva dispus(a) sa rezolve ecuatia diferentiala necesara ...
e-
Scuze, n-am vazut-o ... ok, sa vedem cine rezolva ecuatia ;D
Alex, ,,într-adevăr"-ul tău din
Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 15, 2008, 07:55:42 PMOk, Adrian o sa detaliez rezolvarea problemei pentru cazul "radial"! Intr-adevar se poate considera sfoara ca doua corpuri unul asezat pe un plan horizontal si unul care atarna
nu este justificat, deoarece Adrian vorbea de două greutăţi
egaleCitat din: Mavriche Adrian din Iunie 14, 2008, 04:36:46 PMAm presupus ca am doua greutati egale,fiecare cat jumatate din greutatea franghiei.
Citat din: Mavriche Adrian din Iunie 14, 2008, 04:36:46 PMAm presupus ca am doua greutati egale,fiecare cat jumatate din greutatea franghiei.
Evident, ca e gresit sa se considere doua greutati egale... dar e "ok" sa se folosesca ... analogia cu doua corpuri legate printr-un fir! La asta ma refeream...
Citat din: Electron din Iunie 13, 2008, 10:08:15 AMAm analizat si cazul "incolacit" (adica sfoara sa fie dispusa inasa fel incat sa nu se miste decat partea care a cazut prin orificiu).
Este imposibil ca numai partea care a căzut prin orificiu să se mişte pentru că partea care a căzut prin orificiu antrenează partea rămasă pe masă, pentru a o aduce aproape de orificiu.
CitatDiferenta cu primul caz (cel "radial") este ca, acum capatul B al sforii ramane in repaus atata timp cat restul sforii inca nu a trecut prin orificiu.
Diferenţa este mult mai mare, pentru că nu doar capătul B rămâne în repaus, ci şi o parte nenulă a frânghiei. Mai mult, de data aceasta nu mai putem spune că partea care se mişcă are o mişcare rectilinie şi nici măcar aceeaşi viteză peste tot.
CitatLa momentul t1, in care doar o fractiune f < 1 din sfoara a trecut prin orificiu, avem fractiunea f in miscare si fractiunea 1-f in repaus, deci conservarea energiei ne da relatia dintre fractiunea f si viteza v1 in acest moment.
Dacă f este fracţiunea trecută prin orificiu, atunci 1-f nu este în repaus peste tot, după cum ziceam mai sus.
CitatAnaliza mea cantiativa se opreste aici, fiind incompleta (lipseste estimarea duratei t2-t0).
Analiza ta este o încercare frumoasă de a rezolva problema, dar este eronată şi neglijează tocmai ce este mai dificil.
Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 15, 2008, 11:12:16 PM
Este imposibil ca numai partea care a căzut prin orificiu să se mişte pentru că partea care a căzut prin orificiu antrenează partea rămasă pe masă, pentru a o aduce aproape de orificiu.
Bine, dar nu ma intereseaza partea de pe masa ... stiu ca partea care atarna are o acceleratie independenta de modul cum se misca partea de masa... ca si cum ... partea de jos .. ar primi doar masa... ca sa va dau un "Hint" la rezolvarea problemei... este un fel de "ecuatia rachetei" care primeste masa ;)
Ba nu! Partea care atârnă are o acceleraţie care depinde de inerţia părţii aflate în mişcare pe masă, iar inerţia părţii în mişcare pe masă depinde de forma curbei iniţiale pe care se află frânghia.
Din acest motiv, numai cazul radial seamănă cu ecuaţia rachetei, nu şi cel încolăcit.
Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 15, 2008, 11:42:08 PM
Ba nu! Partea care atârnă are o acceleraţie care depinde de inerţia părţii aflate în mişcare pe masă, iar inerţia părţii în mişcare pe masă depinde de forma curbei iniţiale pe care se află frânghia.
Din acest motiv, numai cazul radial seamănă cu ecuaţia rachetei, nu şi cel încolăcit.
Nope, gresesti ... sau te complici foarte mult ... cazul radial ... e cel mai usor caz... la fel si aici ... vezi si textul problemei care am postato.. spune ca sfoara respectiva se afla in jurul gaurii...
EDIT: Se poate presupune ca sfoara cade pur si simplu prin gaura... si partea care atarna ii creste masa in timp ...
Un alt caz de tipul ,,încolăcit" simplu (la care cred că se referă şi enunţul problemei) este cel în care frânghia (lanţul) este înfăşurată strâns, fără spaţii goale între spirele rezultate. În acest caz, nicio parte a frânghiei nu este în repaus. Mai precis, putem considera că frânghia reprezintă un disc compact de masă şi rază variabile ce se roteşte cu o acceleraţie unghiulară crescătoare.
Atunci, de data aceasta, forţa de greutate a frânghiei căzute contribuie cu un moment de rotaţie variabil ce trebuie calculat.
Buna,
Incerc si eu sa vad daca am inteles cazul franghiei incolacite. Deci neglijam toate frecarile, dimensiunile, rezistente la indoire, torsiuni, etc. In acest caz, calitativ putem remarca ca franghia care atarna deja va trebui sa cheltuie o parte din energia s-a potentiala pe accelerarea portiunii de franghie care sta sa cada. Pentru rezolvarea problemei putem folosi conservarea energiei care trebuie sa fie valabila la orice moment de timp. Trebuie sa remarcam ca folosirea echilibrului fortelor in acest caz al problemei duce la niste contradictii pentru ca in problema presupunem ca portiunea dX de sfoara care tocmai cade este accelerata instantaneu la valoarea acceleratiei pe care sfoara o are la un moment dat. In realitate nu se intampla tocmai asa.
Dar sa trecem la rezolvarea problemei. La un moment arbitrar de timp, t, o portiune x din sfoara a cazut prin gaura. Ecuatia conservarii energiei se scrie astfel:
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?E(0)%20=%20E(t))
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?E_c(0)%20+%20E_p(0)%20=%20E_c(t)%20+%20E_p(t))
Acum, daca vrem sa fim rigurosi si sa rezolvam cazul general, adica in momentul initial avem o portiune (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?x_0) de sfoara ce atarna, iar viteza initiala este (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?v_0)
Asta va duce la urmatoarea ecuatie:
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?(L-x_0)gL%20+%20x_0%20g%20(L-x_0/2)%20+%20x_0%20v_0%5E2/2%20=%20xg(L-x/2)%20+%20(L-x)gL%20+%20xv%5E2%20/2), care dupa reducerea tuturor termenilor devine
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?xv%5E2%20=%20x%5E2g%20+%20(x_0v_0%5E2%20-%20gx_0%5E2))
Partea (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?(x_0v_0%5E2%20-%20gx_0%5E2)) o notam cu C si este constanta.
Deci vom avea: (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?v%20=%20dx/dt%20=%20%5Csqrt%7Bxg+C/x%7D)
Mai departe obtinem ca timpul care se scurge pana la parasirea mesei de catre al doilea capat al sforii este dat de:
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%5Ctau_1%20=%20%5Cint_%7Bx_0%7D%5EL%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7Bxg+C/x%7D%7D)
Eu nu am fost foarte bun la matematica dar stiu ca asta este o integrala hyper geometrica. Se poate rezolva, dar eu nu ma incumet. In schimb vreau sa fac ceea ce fizicienii fac de obicei. In cazul nostru, valorile lui (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?x_0) si (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?v_0) sunt foarte mici daca am inteles corect problema. Ba mai mult, putem modela problema in asa fel incat primul capat al sforii sa stea putin suspendat deasupra gaurii din masa dar la acelasi nivel cu masa. In acest caz, ecuatia conservarii energiei devine:
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?LgL%20=%20xg(L-x/2)%20+%20(L-x)gL%20+%20xv%5E2/2)
Aceasta ecuatie se reduce la (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?v%20=%20dx/dt%20=%20%5Csqrt%7Bgx%7D), adica
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%5Ctau_1%20=%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7BL%7D%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7Bgx%7D%7D)
Aici se poate face o schimbare de variabila (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%5Csqrt%7Bx%7D%20=%20y) care va face ca integrala noastra sa devina
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%5Ctau_1%20=%20%5Cint_%7By(0)%7D%5E%7By(L)%7D%20%5Cfrac%7B2%20dy%7D%7B%5Csqrt%7Bg%7D%7D%20=%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Csqrt%7Bg%7D%7D%20(y(L)-y(0)))
Deci,
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%5Ctau_1%20=%202%5Csqrt%7BL/g%7D)
Se poate nota aici ca timpul de cadere pt un corp care cade liber de la aceeasi inaltime ar fi (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%5Ctau%20=%20%5Csqrt%7B2L/g%7D) care e mai scurt decat timpul pentru sfoara.
Ok, acum folosim ecuatia lui Galilei si obtinem si timpul din etapa a doua de cadere:
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?L%20=%20g%5Ctau_2%5E2%20+%20v(%5Ctau_1)%20%5Ctau_2)
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?v(%5Ctau_1)) poate fi calculat din conditia (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?v%20=%20%5Csqrt%7Bgx%7D) si o obtinem ca fiind (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?v(%5Ctau_1)%20=%20%5Csqrt%7BgL%7D). Pentru cine a urmarit rezolvarea mea pentru cazul cu sfoara intinsa pe masa poate vedea ca valoarea acestei viteze este aceeasi.
Acum rezolvam ecuatia de gradul 2, alegem valoarea pozitiva pentru (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%5Ctau_2) si obtinem:
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%5Ctau_2%20=%20%5Cfrac%7B-%5Csqrt%7BgL%7D%20+%20%5Csqrt%7BgL+2gL%7D%7D%7Bg%7D)
In final, (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%5Ctau_2%20=%20(%5Csqrt%7B3%7D-1)%20%5Csqrt%7BL/g%7D)
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%5Ctau_1%20+%20%5Ctau_2%20=%202%5Csqrt%7BL/g%7D%20-%20(%5Csqrt%7B3%7D-1)%5Csqrt%7BL/g%7D%20=%20(%5Csqrt%7B3%7D+1)%5Csqrt%7BL/g%7D)
Probabil ca Alex va rezolva problema pentru cazul cel mai greu. Eu am dat doar solutia cea mai usoara si care aproximeaza rezultatul foarte bine in conditiile date de problema (asa cum a fost ea enuntata).
Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 16, 2008, 10:52:22 AM
Un alt caz de tipul ,,încolăcit" simplu (la care cred că se referă şi enunţul problemei) este cel în care frânghia (lanţul) este înfăşurată strâns, fără spaţii goale între spirele rezultate. În acest caz, nicio parte a frânghiei nu este în repaus. Mai precis, putem considera că frânghia reprezintă un disc compact de masă şi rază variabile ce se roteşte cu o acceleraţie unghiulară crescătoare.
Atunci, de data aceasta, forţa de greutate a frânghiei căzute contribuie cu un moment de rotaţie variabil ce trebuie calculat.
Si daca-l consider un "lichid foarte dens" care curge prin gaura respectiva gresesc cu ceva... putem face multe analogii, dar nu cred ca vor contribui prea mult aceste lucruri de care vorbiti, cred ca pot fi neglijate. Abel, daca ai timp, as fi curios sa vad abordarea problemei asa cum spui tu.. 8)
Buna Ionut,
Multumesc pentru rezolvarea ta, dar am o singura intrebare: Esti sigur ca forta care actioneaza asupra franghiei este conservativa, esti sigur ca se conserva "energia" ? ;D
I love this problem 8)
Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 16, 2008, 12:12:38 PM
Buna Ionut,
Multumesc pentru rezolvarea ta, dar am o singura intrebare: Esti sigur ca forta care actioneaza asupra franghiei este conservativa, esti sigur ca se conserva energia ?
Salut,
Eu stiu ca energia se conserva mereu :), totul e sa iei toti factorii in considerare :). Mi-a scapat ceva? Eu fac destul de des greseli asa ca as aprecia daca mi-ai spune. Dupa cum vezi, eu am avut o abordare statica a problemei in care am folosit doar conservarea energiei.
Citat din: ionut din Iunie 16, 2008, 12:21:40 PM
Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 16, 2008, 12:12:38 PM
Buna Ionut,
Multumesc pentru rezolvarea ta, dar am o singura intrebare: Esti sigur ca forta care actioneaza asupra franghiei este conservativa, esti sigur ca se conserva energia ?
Salut,
Eu stiu ca energia se conserva mereu :), totul e sa iei toti factorii in considerare :). Mi-a scapat ceva? Eu fac destul de des greseli asa ca as aprecia daca mi-ai spune. Dupa cum vezi, eu am avut o abordare statica a problemei in care am folosit doar conservarea energiei.
Energia se conserva mereu, dar daca de exemplu daca avem o forta de frecare, variatia energiei potentiale nu va fi la fel cu cea cinetica... asta intreb si aici, daca nu cumva neglijam vreun aspect de acest gen ? Pana la urma nu are importanta daca folosim conservarea energiei sau legiile lui Newton, rezultatul trebuie sa fie acelasi...
Citat din: Alexandru Rautu din Iunie 10, 2008, 01:03:09 AM
Da, se neglijeaza frecarea, am uitat sa precizez asta!
Franghia este asezata pe masa.. nu trebuie neaparat sa fie asezata in linie dreapta!
Tu ai spus ca nu se considera frecarea in problema asta.
Probabil ca te referi la frecare intr-un mod mai general si atunci eu nu imi dau seama. Ar trebui sa mai fie un termen care sa absoarba sau sa produca energie cinetica pe care eu nu il vad deocamdata (daca el exista). Daca asta este explicatia, atunci sunt sincer curios sa o vad. Chiar nu am nici o idee in momentul asta.
M-am mai gandit la posibilitatea ca viteza sforii sa nu fie uniforma pe toata lungimea ei, dar in cazul nostru (sfoara ideala care nu se intinde) asta nu e posibil.
Ionut, eu sunt perfect de acord cu rezolvarea ta. :) Eu nu m-am gandit la schimbarea de variabila din integrala aceea ... ;D
e-
Multumesc Electron,
Totusi la varianta cu viteza initiala si un x_0 initial din sfoara atarnat m-am impotmolit (lene) in rezolvarea integralei.
Deasemena Alex a mai spus ceva de un termen neconservativ si momentan nu am nici o idee care ar putea fi in conditiile problemei, daca el exista.
Am impresia că situaţia în care frânghia este încolăcită complet (cazul frânghiei disc) este identică cu situaţia când frânghia este aşezată radial, având în vedere că toată frânghia are aceeaşi viteză şi că nu intervine forţa de frecare dintre frânghie şi frânghie.
Citat din: ionut din Iunie 16, 2008, 04:51:20 PM
Deasemena Alex a mai spus ceva de un termen neconservativ si momentan nu am nici o idee care ar putea fi in conditiile problemei, daca el exista.
Ionut, in coditiile date, nici eu nu vad vreu motiv sa consideram ca avem "pierderi" de energie. Fizic vorbind, e nevoie de o multime de aporoximatii pentru a putea evalua ce se intampla (frecare zero, grosime neglijabila, flexibilitate perfecta etc). Matematic vorbind, cu un calculator suficient de puternic se poate analiza orice caz general, fara neglijarea acestor parametri, dar interesul fizic al problemei este la nivel de proces, nu altceva.
Astept si eu sa vad ce factor "neconservativ" propune Alexandru.
e-
Citat din: ionut din Iunie 16, 2008, 04:51:20 PMDeasemena Alex a mai spus ceva de un termen neconservativ si momentan nu am nici o idee care ar putea fi in conditiile problemei, daca el exista.
Ionuţ şi Electron, nu cumva el se datorează faptului că prin cădere (în cazul radial) se efectuează un lucru mecanic de rotaţie al frânghiei cu un unghi de 90
o, prin care aceasta este adusă de la poziţia orizontală la poziţia verticală? Aţi ţinut seama de acest lucru mecanic?
Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 16, 2008, 04:57:33 PM
Am impresia că situaţia în care frânghia este încolăcită complet (cazul frânghiei disc) este identică cu situaţia când frânghia este aşezată radial, având în vedere că toată frânghia are aceeaşi viteză şi că nu intervine forţa de frecare dintre frânghie şi frânghie.
Abel, exista diferente. Timpul de cadere este diferit. In cazul sforii incolacite nu mai avem acea divergenta la valori mici ale vitezei initiale.
Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 16, 2008, 05:07:09 PM
Citat din: ionut din Iunie 16, 2008, 04:51:20 PMDeasemena Alex a mai spus ceva de un termen neconservativ si momentan nu am nici o idee care ar putea fi in conditiile problemei, daca el exista.
Ionuţ şi Electron, nu cumva el se datorează faptului că prin cădere (în cazul radial) se efectuează un lucru mecanic de rotaţie al frânghiei cu un unghi de 90o, prin care aceasta este adusă de la poziţia orizontală la poziţia verticală? Aţi ţinut seama de acest lucru mecanic?
Buna,
Nu cred ca este vorba despre asta in cazul radial. Sau ar putea fi vorba, dar nu in cadrul problemei noastre care presupune o franghie ideala. Ca sa luam in considerare ce spui tu ar trebui sa cunoastem niste parametri ai franghiei ca sa obtinem curbura acestei rotatii de 90 de grade de care vorbesti tu. Asta ar fi alta problema.
Citat din: ionut din Iunie 16, 2008, 05:09:02 PMAbel, exista diferente. Timpul de cadere este diferit. In cazul sforii incolacite nu mai avem acea divergenta la valori mici ale vitezei initiale.
Pe ce te bazezi când spui asta? Ai făcut ceva calcule cu frânghia încolăcită?
Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 16, 2008, 05:21:41 PM
Citat din: ionut din Iunie 16, 2008, 05:09:02 PMAbel, exista diferente. Timpul de cadere este diferit. In cazul sforii incolacite nu mai avem acea divergenta la valori mici ale vitezei initiale.
Pe ce te bazezi când spui asta? Ai făcut ceva calcule cu frânghia încolăcită?
Am postat ceva chiar azi. Daca ai bunavointa sa te uiti ...
Am văzut calculele tale, dar am înţeles că ai tratat cazul general (deci şi cel care include cazul radial). Atunci care mai este deosebirea de timp de care vorbeşti?
Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 16, 2008, 06:00:56 PM
Am văzut calculele tale, dar am înţeles că ai tratat cazul general (deci şi cel care include cazul radial). Atunci care mai este deosebirea de timp de care vorbeşti?
Abel ai inteles gresit. Am tratat cazul franghiei incolacite, e scris negru pe alb. "Cazul general" se refera la faptul ca am incercat sa fac calcule pentru o viteza initiala a primului capat al franghiei si pentru cand o bucata x_0 din franghie atarna la momentul initial.
Daca ai urmarit discutia de pe acest topic ai observat ca in cazul "radial" timpul din prima etapa depindea puternic de conditia initiala. In cazul franghiei radiale, nu mai apare aceasta dependenta de conditia initiala. Asta este diferenta.
Citat din: ionut din Iunie 16, 2008, 06:11:06 PM
Abel ai inteles gresit. Am tratat cazul franghiei incolacite, e scris negru pe alb.
Nu ne înţelegem :( . Faptul că ai ,,scris negru pe alb" că e tratat cazul încolăcit nu demonstrează că ai tratat doar acest caz. Ai menţionat undeva care ar fi diferenţa? Condiţiile iniţiale sunt aceleaşi. Cum să nu apară divergenţa timpului şi în cazul încolăcit? Vrei să spui că în cazul încolăcit nu mai este nevoie de impulsul iniţial?
Citat din: Abel Cavaşi din Iunie 16, 2008, 06:23:53 PM
Citat din: ionut din Iunie 16, 2008, 06:11:06 PM
Abel ai inteles gresit. Am tratat cazul franghiei incolacite, e scris negru pe alb.
Nu ne înţelegem :( . Faptul că ai ,,scris negru pe alb" că e tratat cazul încolăcit nu demonstrează că ai tratat doar acest caz. Ai menţionat undeva care ar fi diferenţa? Condiţiile iniţiale sunt aceleaşi. Cum să nu apară divergenţa timpului şi în cazul încolăcit? Vrei să spui că în cazul încolăcit nu mai este nevoie de impulsul iniţial?
Abel,
Uita-te te rog pe ecuatia conservarii energiei si o sa vezi diferenta. Parte incolacita nu se misca. Si in cazul sforii "incolacite" ai nevoie de un impuls initial sau de o fractiune a sforii care sa atarne, dar dependenta timpului de cadere de aceasta conditie initiala dispare. In cazul radial, daca mai tii minte, timpul de cadere avea o dependenta puternica de conditia initiala. Te rog citeste cu atentie daca tot faci comentarii.
Da, acum m-am dumirit. Am considerat greşit că frânghia se mişcă în întregime şi în cazul încolăcit. Se pare că va trebui să-mi reconsider iar imaginea pe care mi-am făcut-o despre această mişcare :( .
Cazul franghiei "incolacite":
Daca masa franghiei ce atarna prin gaura este (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bm%7D) si lungimea (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bx%7D), atunci ecuatia miscarii (luand in considerare schimbarea masei in timpul miscarii) este
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bmg%5Cquad%20=%20%5Cquad%20%5Cfrac%7Bd%5Cleft%20(%20mv%20%5Cright%20)%7D%7Bdt%7D%20%5Cquad%20=%20%5Cquad%20m%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bdt%7D%5Cquad%20+%20%5Cquad%20v%5Cfrac%7Bdm%7D%7Bdt%7D%7D)
sau
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bma%5Cquad%20=%5Cquad%20m%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bdt%7D%5Cquad%20=%20%5Cquad%20mg%5Cquad%20-%20%5Cquad%20v%5Cfrac%7Bdm%7D%7Bdt%7D%7D)
Deoarece
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bm=%5Csigma%20x%20%5Cqquad%20%5CRightarrow%20%5Cqquad%20%5Cfrac%7Bdm%7D%7Bdx%7D=%5Csigma%7D)
dar
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Csigma%20=%20%5Cfrac%7Bm%7D%7Bx%7D%20%5Cqquad%20%5CRightarrow%5Cqquad%20%5Cfrac%7Bdm%7D%7Bdx%7D=%5Cfrac%7Bm%7D%7Bx%7D%7D)
Asadar
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Cfrac%7Bdm%7D%7Bdt%7D%5Cquad=%5Cquad%5Cfrac%7Bdm%7D%7Bdx%7D%5Cquad%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%5Cquad=%5Cquad%20%5Cleft%20(%20%5Cfrac%7Bm%7D%7Bx%7D%20%5Cright%20)%5Cquad%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%20%5Cquad=%5Cquad%20%5Cfrac%7Bmv%7D%7Bx%7D%7D)
de unde rezulta ca
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bma%5Cquad%20=%5Cquad%20mg%20%5Cquad%20-%20%5Cquad%20%5Cfrac%7Bmv%5E2%7D%7Bx%7D%5Cquad%20%7D)
sau
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Ba%5Cquad%20=%5Cquad%20g%20%5Cquad%20-%20%5Cquad%20%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Bx%7D%5Cquad%20%7D)
Voilà! ;D
Acesta ecuatie este o ecuatie diferentiala (nelineara), condiitile initiale fiind (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bv=0%7D) si (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bx=x_0%7D%20%5Cqquad%20(%20x_0%20%5Cll%20L)) la momentul (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bt=0%7D).
NOTA: Ecuatia miscarii poate fi determinata si-ntr-un alt mod. Consideram (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7BM%7D) masa totala a franghiei. O bucata de sfoara care atarna prin gaura la un moment dat, de masa (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bm=%20(M/L)x%7D) determina o alta fractiune din franghie, de masa (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B(M/L)%5CDelta%20x%20=%20(M/L)v%5CDelta%20t%7D), sa se miste, accelerand-o din repaus la viteza (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bv%7D) in intervalul (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5CDelta%20t%7D). Aceasta acceleratie produce o forta:
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Cfrac%7B%5B(M/L)v%5CDelta%20t%5Dv%7D%7B%5CDelta%20t%7D=%5Cfrac%7BM%7D%7BL%7Dv%5E2%7D)
Acesta forta dezaccelereaza partea franghiei care atarna prin gaura, deci putem scrie ca
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bma%5Cquad%20=%5Cquad%20mg%20%5Cquad%20-%20%5Cquad%20%5Cfrac%7BM%7D%7BL%7Dv%5E2%5Cquad%20%7D)
Cum
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bm%5Cquad%20=%20%5Cquad%20%5Cfrac%7BM%7D%7BL%7Dx%5Cqquad%20%5CRightarrow%5Cqquad%20a%5Cquad%20=%5Cquad%20g%20%5Cquad%20-%20%5Cquad%20%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Bx%7D%5Cquad%7D) ;)
Sa rezolvam acesta ecuatie: 8)
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Ba%5Cquad%20=%5Cquad%20%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bdt%7D%5Cquad%20=%20%5Cquad%20%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bdx%7D%20%5Cquad%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%5Cquad%20=%5Cquad%20v%20%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bdt%7D%5Cquad=%5Cquad%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cquad%20%5Cfrac%7Bd%5Cleft%20(%20v%5E2%5Cright%20)%7D%7Bdx%7D%20%5Cquad%20=%20%5Cquad%20g%20%5Cquad%20-%20%5Cquad%20%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Bx%7D%7D)
Notand
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Comega=%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Bx%7D%7D%5Cqquad%20%5CRightarrow%5Cqquad%20v%5E2=%5Comega%20x%5Cqquad%20%5CRightarrow%5Cqquad%20%5Cfrac%7Bd%5Cleft%20(%20v%5E2%20%5Cright%20)%7D%7Bdx%7D=%5Cfrac%7Bd%20%5Cleft%20(%20%5Comega%20x%20%5Cright%20)%7D%7Bdx%7D%5Cquad=%5Cquad%20%5Comega%20%5Cquad+%5Cquad%20x%5Cfrac%7Bd%5Comega%7D%7Bdx%7D)
rezulta ca
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cquad%20%5Cleft%20(%20%5Comega%20%5Cquad+%5Cquad%20x%5Cfrac%7Bd%5Comega%20%7D%7Bdx%7D%5Cright%20)%5Cquad%20=%20%5Cquad%20g%20%5Cquad%20-%20%5Cquad%20%5Comega%7D)
sau
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bx%5Cfrac%7Bd%5Comega%7D%7Bdx%7D%5Cquad=%5Cquad%202g%5Cquad%20-%20%5Cquad%203%5Comega%20%5Cqquad%20%5CLongrightarrow%5Cqquad%5Cint_%7B%5Comega_0%7D%5E%7B%5Comega%7D%5Cfrac%7Bd%5Comega%7D%7B%5Cleft%20(%202g%5Cquad%20-%20%5Cquad%203%5Comega%20%5Cright%20)%7D%5Cquad=%5Cquad%5Cint_%7Bx_0%7D%5E%7Bx%7D%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bx%7D%5Cqquad%20%5CLongrightarrow%5Cqquad%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cquad%5Cleft%20%5B%20ln%7B%5Cleft%20(%20%5Comega%5Cquad%20-%20%5Cquad%20%5Cfrac%7B2g%7D%7B3%7D%20%5Cright%20)%7D%20%5Cright%20%5D_%7B%5Comega_0%7D%20%5E%7B%5Comega%7D=%5Cquad%20%5Cleft%20%5B%20ln(x)%20%5Cright%20%5D_%7Bx_0%7D%5Ex%20%7D)
Dar
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Comega_0%20=%20%5Cleft%20(%20%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Bx_0%7D%20%5Cright%20)%20%5Cquad%20=%20%5Cquad%200%7D)
atunci
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cquad%5Cleft%20%5B%20ln%7B%5Cleft%20(%20%5Comega%5Cquad%20-%20%5Cquad%20%5Cfrac%7B2g%7D%7B3%7D%20%5Cright%20)%7D%20%5Cright%20%5D_%7B%5Comega_0%7D%20%5E%7B%5Comega%7D%5Cquad=%5Cquad-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cquad%20ln%7B%5Cleft%20(%201%20%5Cquad%20-%5Cquad%5Cfrac%7B3%5Comega%7D%7B2g%7D%20%5Cright%20)%5Cquad%20=%20%5Cquad%5Cleft%20%5B%20ln(x)%20%5Cright%20%5D_%7Bx_0%7D%5Ex%5Cquad=%5Cquad%20-%20ln%20%5Cleft%20(%20%5Cfrac%7Bx_0%7D%7Bx%7D%5Cright%20)%5Cqquad%20%5CLongrightarrow%5Cqquad%20ln%20%5Cleft%20(%20%5Cfrac%7Bx_0%7D%7Bx%7D%5Cright%20)%5Cquad=%5Cquad%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cquad%20ln%7B%5Cleft%20(%201%20%5Cquad%20-%5Cquad%5Cfrac%7B3%5Comega%7D%7B2g%7D%20%5Cright%20)%5Cqquad%20%5CLongrightarrow%5Cqquad%5Comega%5Cquad=%5Cquad%5Cfrac%7B2g%7D%7B3%7D%5Cquad%20%5Cleft%20%5B%201%5Cquad%20-%5Cquad%5Cleft%20(%20%5Cfrac%7Bx_0%7D%7Bx%7D%5Cright%20)%5E3%20%5Cright%5D%7D)
adica
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bv(x)%5Cquad=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20gx%5Cquad%20%5Cleft%20%5B%201%5Cquad%20-%5Cquad%5Cleft%20(%20%5Cfrac%7Bx_0%7D%7Bx%7D%5Cright%20)%5E3%20%5Cright%5D%5Cquad%7D%7D)
Rezulta ca
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau_1%5Cquad=%5Cquad%5Cint_%7Bx_0%7D%5E%7BL%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bv(x)%7D%7D)
si
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bv_i=v(L)%5Cquad=%5Cquad%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20gL%5Cquad%20%5Cleft%20%5B%201%5Cquad%20-%5Cquad%5Cleft%20(%20%5Cfrac%7Bx_0%7D%7BL%7D%5Cright%20)%5E3%20%5Cright%5D%5Cquad%7D%7D)
unde (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau_1%7D) este timpul cand franghia atinge podeaua (se afla in totalitate in aer, deoarece inaltimea mesei este egala cu cea a franghiei), iar (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bv_i%7D) este viteza initiala a franghiei in cadere libera.
Cum
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bx_0%5Crightarrow%200%7D)
atunci
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau_1%5Cquad=%5Cquad%5Cint_%7Bx_0%7D%5E%7BL%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bv(x)%7D%5Cquad=%5Cquad%5Cint_%7B0%7D%5E%7BL%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bsqrt%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20gx%7D%7D%5Cquad=%5Cquad%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2g%7D%7D%20%5Cquad%5Cleft%20%5B%202%5Csqrt%7Bx%7D%5Cright%20%5D_0%5EL%7D%5Cquad=%5Cquad%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B6L%7D%7Bg%7D%7D%5Cquad%5Capprox%5Cquad%200.78%5Cquad%20s)
iar
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bv_i%5Cquad=%5Cquad%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20gL%7D%5Cquad%5Capprox%5Cquad%202.56%5Cquad%20m/s%7D)
Dupa momentul (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau_1%7D) franghia este in cadere libera cu viteza initiala (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bv_i%7D) si parcurge distanta
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7BL=v_i%5Ctau_2%5Cquad%20+%5Cquad%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dg%5Ctau_2%5E2%7D) sau (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7BL=%5Ctau_2sqrt%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20gL%7D%5Cquad+%20%5Cquad%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dg%20%5Ctau_2%5E2%7D)
de unde rezulta ca
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau_2%5Cquad=%5Cquad%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2L%7D%7B3g%7D%7D%5Cquad%5Capprox%5Cquad%200.26%5Cquad%20s%7D)
Cum timpul total este (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau=%5Ctau_1+%5Ctau_2%7D) atunci avem:
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau%5Cquad=%5Cquad%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B6L%7D%7Bg%7D%7D%5Cquad%5Capprox%5Cquad%201.04%5Cquad%20s%7D) 8)
NOTA: Trebuie remarcat ca forta care actioneaza asupra sforii ce atarna prin gaura este neconservativa, folosirea conservarii energiilor ducand la un rezultat fals. De exemplu,
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv_i%5E2=mg%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D%7D)
unde (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7BmgL/2%7D) este energia potentiala a centrului de masa la momentul (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7B%5Ctau_1%7D) si substituind (http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bv_i%5Cquad=%5Cquad%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20gL%7D%7D) in aceea egalitate duce la contradictie:
(http://www.forkosh.com/mimetex.cgi?%7Bmg%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D%5Cquad=%5Cquad%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv_i%5E2%5Cquad=%5Cquad%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dm%20%5Cleft%20(%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20gL%7D%5Cright)%5E2%7D%5Cquad=%5Cquad%20mg%5Cfrac%7BL%7D%7B3%7D)
Se pare ca o treime din energie s-a disipat. De unde si pana unde? Pai, energia se disipeaza in seria de "ciocniri" inelastice ce au loc cand o fractiune mica din sfoara de pe masa cade si formeaza "o noua masa" pentru franghia ce atarna prin gaura la un moment dat. :P
Alexandru este grozav, nu doar ca da solutii frumoase, dar le si poate scrie in Latex in un timp foarte scurt .... Bravo, Alex!
Într-adevăr, Alex a demonstrat de multe ori că este un bun matematician şi fizician.
Rămâne să vedem dacă soluţia dată de el diferă de soluţia dată de Ionuţ (alt utilizator cu care ne putem mândri pe acest forum).
Eh, cea mai grea problemă ar fi rezolvarea cazului general care include ambele forme şi care dă soluţia timpului pentru orice formă ar avea frânghia iniţial.
Asa este, Abel.
Mersi Alex,
A fost o lectie buna :).
Atunci ce se intampla cu conservarea energiei? Totusi energia se conserva. Daca nu toata energia potentiala s-a transformat in energie cinetica atunci ea s-a transformat in altceva ... caldura? Se incalzeste sfoara ?
Citat din: ionut din Iunie 17, 2008, 10:21:52 AM
Mersi Alex,
A fost o lectie buna :).
Atunci ce se intampla cu conservarea energiei? Totusi energia se conserva. Daca nu toata energia potentiala s-a transformat in energie cinetica atunci ea s-a transformat in altceva ... caldura? Se incalzeste sfoara ?
Da, o parte din energie s-a disipat, s-a pierdut si s-a trasformat in caldura. Acesta se poate explica in urma acelor "ciocniri inelastice" care au lor. Nu este vorba de o "ciocnire" in adevaratul sens al cuvantului, dar de fiecare data cand o particica din franghie cade si se aduga bucatii de franghie ce atarna prin gaura, masa acesteia crescand, se elibereaza caldura. Forta care apare in sfoara dezaccelereaza franghia ca o "forta de frecare", natura acestei forte fiind cel mai bine explicata prin acesta serie de "ciocniri inelastice"... prin urmare, o tremie (daca am calculat bine) din energie se pierde si se trasforma in caldura. ;)
Alexandru, tind sa fiu de acord cu tine ca e o parte din energie care nu se conserva, mai ales din cauza "schimbarii" de directie a bucatilor din sfoara care "incep sa cada" (sau "ciocniri plastice" interne din sfoara). Greu de intuit asa ceva aici. ;D
Im masura timpului disponibil voi analiza rezolvarea cantitativa detaliata a ta (pentru care te felicit oricum ;) ) si voi aduce comentarii daca voi gasi ceva demn de spus. :)
Mai asteptam probleme asa faine, eu ma inscriu mai ales la cele de mecanica si optica. ;)
e-
Atunci... ma duc sa beau "berea" ;D Stiu multe probleme "faine" (sau "cool" c-am auzit ca-i la moda :-\) de mecanica, pot scoate o culegere de probleme daca vreu... ;) Gata, am fugit! Berea ma astepta... :D
P.S. Toti meritati o bere... ;)
Pai chiar ar fi o idee buna sa scoti o culegere. Si si mai buna sa o pui pe net gratut la toata lumea. Iti dai seama cat bine ai face tarii asteia? Deja esti bun sa scrii formule rapid si solutii corecte, ai putea face un set de probleme rezolvate model, iar din fiecare problema sa inteleaga omul un intreg capitol din fizica ... Eu asta imi doresc sa fac, dar cu cercetarea nu am timp. Dar daca ai face tu, as fi cel mai bucuros ... Serios ... Poate putem gasi si sponsorizare impreuna.
Nu-i o idee rea.. un fel de "learn physics by examples", un ghid pentru elevi prin care sa inteleaga fizica prin rezolvarea unor probleme, de toate nivelurile. M-am gandit la asa ceva de multe ori, pentru ca si eu am invatat fizica rezolvand probleme, si cred ca e o idee buna sa selectionez cateva probleme pe care sa le analizez din mai multe "unghiuri", sa discut diferite aspecte, diferite cazuri, etc. Hmmmm... o sa ma gandesc ;)