@laurentiu, ieri la ora de mate ne-a aratat, in sfarsit, cum se rezolva acea integrala...Nu prea aveam de unde sa intuiesc aceasta rezolvare.
Este vorba despre scrierea unui sir printr-o relatie de recurenta.
Avem:
(fara semnele alea de intrebare, care nu inteleg de unde apar...)
Cum se va calcula
asa se va calcula si
, si vom avea ca
, respectiv
- cele de care intrebam si nu stiam la momentul respectiv sa le fac (iarasi fara semne de intrebare...nu inteleg de la ce apar, va rog sa ma corectati).
Bun. Calculam intai
, folosind metoda integrarii prin parti:
^' \sin 2x dx = e^x\sin2x - 2 \int e^x \cos2x dx = e^x\sin2x - 2 \int (e^x)^' \cos2x dx = e^x\sin2x - 2(e^x\cos2x + 2\int e^x \sin2x dx ) = e^x(\sin2x - 2\cos2x) - 4I_0. )
Asadar vom avea (separand necunoscuta de cunoscute - trecand tot ce contine
intr-o parte):
 \Rightarrow I_0 = \frac{e^x}{5}\cdot(\sin2x - 2\cos2x) )
.
Bun, asadar avem primul element al sirului
_{n\ge0} )
, definit prin
. Cum nu stim sa calculam acea integrala, am putea obtine o relatie de recurenta (avand
:
Observam ca:
 ' = e^x \sin2x )
- derivata si integrala sunt operatii opuse.
' )
. Calculandu-l si pe
folosind metoda integrarii prin parti o sa obtinem ca:
 - \frac{n}{5}I_{n-1} + \frac{2n}{5}J_{n-1}.)
.
Absolut analog se calculeaza
si se obtine o relatie analoaga de recurenta si nu ne ramane decat sa calculam elementele din sir de care aveam nevoie (in cazul de fata: tex]I_2 = \int x^2 e^x \sin 2x dx [/tex], respectiv
).
