Forumul Scientia

Matematică şi Logică => Analiza matematica => Subiect creat de: b12mihai din Martie 01, 2010, 12:02:43 a.m.

Titlu: Calcul de limite de siruri
Scris de: b12mihai din Martie 01, 2010, 12:02:43 a.m.
In acest topic invit pe cei care au intrebari la calculul de limite de siruri sa ni le adreseze aici...

Incep eu cu limita unui sir, care se presupune ca ar trebui calculat folosind sume Riemann, dar nu am nici o idee cum se poate face:

 \lim_{n \to \infty} \ \frac{1}{n^2} \displaystyle\sum_{k=1}^{n}e^{\frac{k^2}{n^2}}
Titlu: Re: Calcul de limite de siruri
Scris de: laurentiu din Martie 01, 2010, 10:07:17 p.m.
Problema e "smechera",de fapt nu trebuie sa calculezi limita .Daca vei calcula limita \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n e^{\frac{k^2}{n^2}}=\int_0^1 e^{x^2}dx ,e clar ca limita asta exista si e finita si e egala cu integrala pe care am calculat-o .Sirul tau e sirul meu impartit la n ,si ceva finit supra infinit da 0 ,deci limita este 0.
 Sau mai aveai o posibilitate:observai ca e^{\frac{k^2}{n^2}}<e^1=e deci aveai 0\le x_n\le\frac{ne}{n^2},unde x_n este sirul tau .Acu aplicand clestele iti dadea limita 0 . :)
Titlu: Re: Calcul de limite de siruri
Scris de: b12mihai din Martie 01, 2010, 11:01:57 p.m.
Citat
Problema e "smechera",de fapt nu trebuie sa calculezi limita .Daca vei calcula limita \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n e^{\frac{k^2}{n^2}}=\int_0^1 e^{x^2}dx ,e clar ca limita asta exista si e finita si e egala cu integrala pe care am calculat-o .Sirul tau e sirul meu impartit la n ,si ceva finit supra infinit da 0 ,deci limita este 0.

Ah, ce chestie  :D  eu am zis ca limita sirului xn este \int_0^1 e^{x^2}dx (si nu aveam idee cum s-ar putea calcula vreodata integrala asta cu ce stiu pana acum), dar acum imi dau seama ca era o prostie ce era in capul meu!

Corect! Multumesc mult!
Titlu: Re: Calcul de limite de siruri
Scris de: b12mihai din Martie 15, 2010, 04:49:06 p.m.
Propun o problema mai complicata un pic:

Fie  a_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{n^2}

a) Demonstrati ca sirul (a_n)_{n \in \mathbb{N}^*} este convergent
b) Demonstrati ca  \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{\pi^2}{6}
c) Calculati \lim_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)^2}

Cel mai greu este punctul b)...nu am reusit sa ii dau de cap deloc, nu am nici o idee cum as putea sa il incep ???...a) se face relativ usor, iar pt c) se foloseste limita de la b).
Titlu: Re: Calcul de limite de siruri
Scris de: laurentiu din Martie 15, 2010, 05:13:25 p.m.
Nu ii vei da toata viata de cap daca nu cumva esti vreun Lagrange sau alt mare matematician :))
Revin si eu cu solutia ,dar trebuie sa o caut prin carti ca altfel nici eu nu stiu .Solutia am vazut-o anul trecut si am uitat-o
Titlu: Re: Calcul de limite de siruri
Scris de: graethel din Martie 15, 2010, 11:31:57 p.m.
b) Demonstrati ca  \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{\pi^2}{6}

Eu stiu sa demonstrez cu serii Fourier si teorema lui Parseval, dar am invatat asta in facultate. Totusi poate linkul asta contine o rezolare la nivelul cunostiintelor tale:

http://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem
Titlu: Re: Calcul de limite de siruri
Scris de: laurentiu din Martie 15, 2010, 11:41:11 p.m.
Cea mai elementara este cu dezvoltarea in serie Taylor infinita ,care este dupa cunostintele mele in programa de olimpiada nationala a clasei a X-a .Bietii copii :))
Nu mi-am dat seama sa caut pe wikipedia ,eu stiam o solutie folosind ceva cu tangenta si inversa ei ,dar nu o mai gasesc
Titlu: Re: Calcul de limite de siruri
Scris de: Lumina din Septembrie 03, 2010, 12:38:46 a.m.
Citat
a) Demonstrati ca sirul (a_n)_{n \in \mathbb{N}^*} este convergent
Desi este o notiune elementara, o voi demonstra:
Folosm inegalitatea <br />\frac{1}{{k^2 }} \le \frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{1}{k} - \frac{1}{{k + 1}}<br /><br />
Dand valori lui k se obtine chiar sirul tau care este <= cu sirul indicat care este un sir marginit, cum? clasa a 5.
Titlu: Re: Calcul de limite de siruri
Scris de: Lumina din Septembrie 03, 2010, 12:46:45 a.m.
Citat
c) Calculati \lim_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)^2}
Este la fel de banala ca pucntul a:
<br />\begin{array}{l}<br /> {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{\left( {2k - 1} \right)^2 }}}  = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {1 + \frac{1}{{2^2 }} + \frac{1}{{3^2 }} + .... + \frac{1}{{\left( {2n} \right)^2 }} - \left( {\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{\left( {2k} \right)^2 }}} } \right)} \right] \\ <br />  = \frac{{\pi ^2 }}{6} - \frac{1}{4} \cdot \frac{{\pi ^2 }}{6} \\ <br /><br />
Titlu: Re: Calcul de limite de siruri
Scris de: Lumina din Septembrie 03, 2010, 12:52:06 a.m.
Problema b este o problema mai frumoasa decat restul, cand vei ajunge la faculta o vei rezolva in 2..3 randuri, dar totusi am sati arat cea mai frumoasa rezolvarea pe care am vazuto vreodata la problema asta, o gasesti aici (http://forum.matematic.ro/viewtopic.php?t=4304&highlight=) uitete la demonstratia lui Omegatheo, nu sunt de neglijat si celelalte solutii  ;)
Titlu: Re: Calcul de limite de siruri
Scris de: Electron din Septembrie 03, 2010, 11:42:59 a.m.
Problema b este o problema mai frumoasa decat restul, cand vei ajunge la faculta o vei rezolva in 2..3 randuri, dar totusi am sati arat cea mai frumoasa rezolvarea pe care am vazuto vreodata la problema asta, o gasesti aici (http://forum.matematic.ro/viewtopic.php?t=4304&highlight=) uitete la demonstratia lui Omegatheo, nu sunt de neglijat si celelalte solutii  ;)
Off topic: Lumina, ai mai multa grija cu ortografia limbii romane.

e-
Titlu: Re: Calcul de limite de siruri
Scris de: Lumina din Septembrie 03, 2010, 03:09:42 p.m.
Citat
Off topic: Lumina, ai mai multa grija cu ortografia limbii romane.
Sunt matematician nu profesor de română  ;)
Apropo, am greşit un pic la inegalitatea:\frac{1}{{k^2 }} \le \frac{1}{k} - \frac{1}{{k - 1}}
este:\frac{1}{{k^2 }} \le \frac{1}{{k - 1}} - \frac{1}{k}
Cred că aţi prins ideea

Titlu: Re: Calcul de limite de siruri
Scris de: Electron din Septembrie 03, 2010, 03:26:50 p.m.
Off Topic (cu asta chiar inchei si nu mai insist) :
Sunt matematician nu profesor de română  ;)
Daca esti matematician, ar trebui sa aplici macar logica. A fi profesor de romana nu este o conditie nici necesara nici suficienta pentru a scrie corect gramatical.  :P

e-
Titlu: Re: Calcul de limite de siruri
Scris de: Lumina din Septembrie 03, 2010, 05:27:45 p.m.
M-ai făcut să râd electron, pentru asta îţi mulţumesc.
Îmi critici posturile, dar te-ai uitat cum scrii tu ?
Nu vreau să jignesc pe nimeni, forumul acesta m-a ajutat de câteva ori, însă atitudinea lui e- nu este corectă, aplică regula "critic fără a fi criticat" .
Titlu: Re: Calcul de limite de siruri
Scris de: Stark din Septembrie 03, 2010, 05:36:37 p.m.
Poti consulta un nr de demonstratii pe linkul de la  MathWorld  (http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunctionZeta2.html).
Varianta in care este folosita teorema coeficientului liniar pentru relatii intre radacini (Vieta) mi se pare  de parte cea mai simpla si surprinzator de "elementara". :) La fel de entuziast sunt si la ideea de a folosi identitatea Moivre. Voi ce spunetzi?

Deasemenea am  gasit un articol foarte interesant  Values of the Riemann Zeta Functions at Integers (http://www.mat.uab.es/matmat/PDFv2009/v2009n06.pdf).
Titlu: Re: Calcul de limite de siruri
Scris de: Lumina din Septembrie 03, 2010, 08:43:50 p.m.
Citat
Values of the Riemann Zeta Functions
Pentru funcţia Zeta, îţi trebuie cunoştiinţe vaste de matematică, iar problema (un subpunct defapt) este una de clasa a 11.
Titlu: Re: Calcul de limite de siruri
Scris de: eu.gen din Ianuarie 07, 2011, 11:25:18 p.m.
Buna seara! imi cer scuze ca eu vin cu o limita asa de banala ,dar imi puteti explica aceasta limita(mai pe intelesul meu) ;D

lim (2n-1)/(3n+1)=2/3
 n

stiu ca e egala cu 2/3 pentru ca "n"-ul are acelasi grad,dar nu e de ajuns(mai ales intr-un test/examen la facultate)
Titlu: Re: Calcul de limite de siruri
Scris de: zec din Ianuarie 08, 2011, 02:15:11 a.m.
e chiar simpla si se face astfel lim(2n-1)/(3n+1)=lim n(2-1/n)/n(3+1/n)=lim(2-1/n)/(3+1/n)=2/3 deoarece 1/n tinde catre 0.De principiu metoda este de a da factor comun fortat pe n la puterea ceea mai mare care se afla si de aici si discutia care apare legata de gradele celor doua expresii de tip polinomial.
 La grade egale limita e raportul primilor coeficienti.Grad mai mare la numarator vei avea + sau - infinit semnul fiind dat de semnul pe care il are raportul primilor coeficienti si ultima situatie in care numitorul are grad mai mare este intodeauna egala cu 0.