Matematică şi Logică > Geometrie
POSTULATUL
atanasu:
Aici poate voi posta cele promise inainte dar nu stiu cand vor fi gata daca vor mai fi pentruca mi-am gasit o eroare si nu stiu daca o pot rezolva . Daca nu reusesc raman cele facute acum un an pe un alt fir.
Updste: Cred ca dracul nu este asa de negru ca cel purtat de diavolul covidului si sper ca azi sa reusesc sa postez integral demonstratia fiindca am gasit eroarea facuta. Deocamdata postez partea introductiva ca sa nu se plictiseasca cei care intra si citesc:
Materialul bibliografic de referinta :
Elementele lui Euclid :
https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/bookI.html
si firul Postulatul sau Teorema lui Euclid? de la
https://forum.scientia.ro/index.php/topic,5255.0.html
Vom folosi in demonstratie axioma lui Arhimede care este data in Euclid , cartea X, teorema(propozitia) I in care se folseste doar definitia 4 din cartea V. Axioma lui Arhimede este de fapt prima axioma de continuitate a lui Hilbert si care in formularea din Euclid este :
« Two unequal magnitudes being set out, if from the greater there is subtracted a magnitude greater than its half, and from that which is left a magnitude greater than its half, and if this process is repeated continually, then there will be left some magnitude less than the lesser magnitude set out. And the theorem can similarly be proven even if the parts subtracted are halves »
Tradusa in romana este :
« Fiind date doua marimi inegale, daca din cea mai mare se scade o parte mai mare decat jumatate si din rest in continuare o parte mai mare decat jumatate si daca acest proces se repeta indefinit se va ajunge la o marime mai mica decat cea mai mica din cele doua luate prin ipoteza »
Definitia 4 din cartea V este singura utilizata in demonstrarea acestei axiome a continuitatii si are formularea :
« Magnitudes are said to have a ratio to one another which can, when multiplied, exceed one another »
adica: « Marimile au un raport una cu cealalta daca multiplicate se pot depasi una pe cealalta. »
Aceasta definitie poate fi numita axioma de comparabilitate a marimilor geometrice.
Desigur trebuie sa subliniem ca toate acestea se refera la marimi de acelasi tip adica drepte, unghiuri rectilinii, suprafete, volome dar nu sunt comparabile o arie cu un volum sau unghiurile curbilinii (pe care le-am folosit in demonstratia facuta mai demult si indicata aici la bibliografie) cu unghiurile rectilinii.
Pe baza axiomei de continuitate a lui Hilbert respetiv Teoremei1 din cartea X din Eementele lui Euclid se deuce o alta teorema importanta numita axioma lui Aristotel despre care chiar Aristotel vorbeste in lucrarea sa De Caelo .
Importanta matematica a acestei teoreme(axioma) a fost luminata de Proclus in secolul V e.n. Si care este implicata de teorema P1 din cartea X a « Elementelor »
Proculus vorbeste de axioma lui Aristotel in acesti termeni : Daca latturile unui unghi oarecare mai mic decat Pi se prelungesc oricat, atunci si distanta dintre ele(perpendiculara de la un punct de pe una pe cealalta)creste oricat de mult, adica este oricat de mare si pomenesc de acest lucru desi nu folosesc axioma lui Aristotel ci direct axioma lui Arhimede (cartea X P1 din Elemente)
dar cred ca aceasta axioma aristoteliana combinata cu definitia lui Poseidonis privind dreptele paralele ar putea sa rezolve deasemeni problema Postulatului.
atanasu:
Asa cum am spus azi dimineata intr-o completare la postarea nterioara sunt in masura sa prezint demonstratia unicittii paralelei dusa printr-un punct exterior unei drepta la acea dreapta. esi di greseala am facut inca un fir cu denumiea acestuia vom ontinua discutia daca va fi cazul la firul acesta,
Asadar demonstratia este:
Fie o dreapta l care imparte un plan p in doua.
In jumatatea superioara adica de nord a planului pe care o vom denumi partea de deasupra dreptei l luam un punct oarecare necoliniar cu l numit O
Din acel punct coboram pe l o perpendiculara care intalneste dreapta l in punctul A.
Stim ca perpendiculara OA pe l este unica.
In punctul O ridicam pe segmentul de dreapta OA o dreapta m si o prelungim in directia est
Stim din teorema P27 cartea I din Elemente ca dreptele perpendiculare pe o aceiasi secanta sunt paralele, adica m este paralela cu l.
Ducem din O in unghiul drept format intre semidreapta m si segmentul OA un segment de dreapta OB , B fiind un punct arbitrar ales pe semidreapta l aflata la est de OA.
Luam pe l din punctul B inspre est un punct B1 astfel ca BB1= OB astfel ca triunghiul OBB1 este isoscel cu unghiurile adiacente laturei OB1 egale si cu marimea mai mica decat unghiul exterior OBA(beta), respectiv beta1<= beta/2
Ducem din O intre semidreapta m si segmentul OB1 o oblica oarecare q care face cu de dreapta m un unghi theta ales sa fie cat de mic adica oricum mult mai mic decat unghiul beta.
Este evident ca segmentele OB si OB1 care se intersecteaza cu semidreapta l apartin unor drepte de tip f adica neparalele cu l.
Putem considera ca dreapta q ar putea fi o dreapta paralela cu dreapta l si vom urmari posibilitatea existentei ei.
Daca repetam constructia initiala in care prelungim indefinit segmentul BB1 cu segmente B1B2, ...Bi-1Bi....Bn-1Bn egale respectiv cu segmentele OB1...OBi-1...OBn-1 avansand astfel oricat de mult pe dreapta l, punctul de tip Bi indeparatandu-se oricat de mult de A si segmentele de tip Bi-1Bi crescand oricat de mult si unghiul beta se injumatateste la fiecare constructie a unui nou triunghi astfel ca in triunghiul OBn-1Bn unghiul Betan<= Beta/2^n atunci, oricat de mic ar fi theta fata de unghiul initial beta aplicand P1 din Cartea X a lui Euclid obtinem ca se poate ajunge ca teta sa fie mai mare decat betan,
va urma
Cosmin_Visan:
Si geometria tot de la constiinta porneste, si anume de la qualia de spatiu. Iar in qualia de spatiu exista anumite intuitii despre cum anume ar trebui sa fie lucrurile. Dar nu-s intotdeauna asa. Exista anumite subtilitati care distrug intuitiile de suprafata.
Am mai pus exemplu asta. Aici ai intersectii fara puncte de intersectii, desi o intuitie de suprafata a qualiei de spatiu ti-ar zice ca e logic ca daca ai intersectie ai si punct de intersectie.
Ca orice qualie, qualia de spatiu a evoluat ca sa rezolve anumite probleme evolutioniste. O geometrie adecvata ar fi o geometrie care tine cont de acele probleme evolutioniste. Geometriile pe care le avem acum sunt doar pseudo-geometrii, care iau in considerare doar anumite aspecte ale qualiei de spatiu, acelea de suprafata, cele mai facile. Dar altceva e spatiul defapt daca ai intra in profunzime, si alte geometrii s-ar naste daca i s-ar intelege originea evolutionista.
atanasu:
Continuarea demonstratiei pana la final dar postand-o de la inceput :
Fie o dreapta l care imparte un plan p in doua.
In jumatatea superioara adica de nord a planului pe care o vom denumi partea de deasupra dreptei l luam un punct oarecare necoliniar cu l numit O
Din acel punct coboram pe l o perpendiculara care intalneste dreapta l in punctul A.
Stim ca perpendiculara OA pe l este unica.
In punctul O ridicam pe segmentul de dreapta OA o dreapta m si o prelungim in directia est
Stim din teorema P27 cartea I din Elemente ca dreptele perpendiculare pe o aceiasi secanta sunt paralele, adica m este paralela cu l.
Ducem din O in unghiul drept format intre semidreapta m si segmentul OA un segment de dreapta OB , B fiind un punct arbitrar ales pe semidreapta l aflata la est de OA.
Luam pe l din punctul B inspre est un punct B1 astfel ca BB1= OB si triunghiul OBB1 este isoscel cu unghiurile adiacente laturei OB1 egale si cu marimea mai mica decat unghiul exterior OBA(beta), respectiv beta1<= beta/2
Ducem din O intre semidreapta m si segmentul OB1 o oblica oarecare q care face cu dreapta m un unghi theta ales sa fie cat de mic adica oricum mult mai mic decat unghiul beta.
Este evident ca segmentele OB si OB1 care se intersecteaza cu semidreapta l apartin unor drepte de tip f adica neparalele cu l.
Putem considera ca dreapta q ar putea fi o dreapta paralela cu dreapta l si vom urmari posibilitatea existentei ei.
Daca repetam constructia initiala in care prelungim indefinit segmentul BB1 cu segmente B1B2, ...Bi-1Bi....Bn-1Bn egale respectiv cu segmentele OB1...OBi-1...OBn-1 avansand astfel oricat de mult pe dreapta l, punctul de tip Bi indeparatandu-se oricat de mult de A si segmentele de tip Bi-1Bi crescand oricat de mult si unghiul beta se injumatateste in baza teoremi Sacheri-Legendre la fiecare constructie a unui nou triunghi, astfel ca in triunghiul OBn-1Bn unghiul Betan<= Beta/2^n atunci, oricat de mic ar fi theta fata de unghiul initial beta aplicand P1 din Cartea X a lui Euclid obtinem ca se poate ajunge ca teta sa fie mai mare decat betan,
In acelasi timp daca notam cu O unghiul facut de AO cu BO si unghiurile din triunghiurile isoscele formate pri constructie le notam cu O1(unghiul BOB1), respectiv O2(unghiul B1OB2) si asa mai departe pana la unghiul Bn-1OBn din triunghiul isoscel Bn-1OBn(laturile OBn-1 si Bn-1Bn egale intre ele) atunci putem scrie ca unghiul drept facut de AO cu semidreapta m este format din suma unhiurilor O,O1, O2 pana la On si un unghi rest pana la valoarea de unghi drept facut de BnO cu semidreapta m pe care sa-l notam cu Gaman si care evident este cu atat mi mic cu cat segmentul de drepta oblic OBn se deplaseaza mai departe de OA.
Adica suma unghiurilor O+ O1+ O2+...Oi+ ....On +Gaman= Pi/2.
La limita aceasta suma este egala cu unghiul O plus un unghi reprezentand suma unghiurilor Oi care fiind vorba de suma unei progresii geometrice cu primul termen 1/2 si ratia 1/2 adica unu multiplicata cu o marime egala sau mai mica decat beta
In acelasi timp geometric Gaman este nul daca suma unghiurilor in triunghi este Pi si este din ce in ce mai mic pe masura ce OBn se deplaseaza indefinit pe semidreapta l indiferent de ce valoare ar avea deficitul de Pi in suma unghiurilor triunghiului conform
teoremei Sacheri -Legendre.
Asadar indiferent de cat de mica ar fi valoarea lui theta, in conformitate cu axioma Archimede unghiul Gaman poate fi mai mic decat ea si atunci acea dreapta q devine o dreapta de tip f fiind inglobata in triunghiul AOPn si asa la infinit reezultand imposibilitatea existentei acesteia ca paralela la l pana ce nu s-ar confunda cu m unghiul theta fiind atunci nul.
Desigur ca daca q paraseste statutul geometric al liniei drepte atunci putem intra in alte geometrii de exemplu hiperbolice dar acest aspect nu-l discutam acum
Cred ca in acest sens trebuie sa intelegem semnificatia data de inaintasi sintagmei de « natura liniei drepte »din care decurge de fapt postulatul V care deci este doar o teorema conforma cu natura liniei drepte.
Electron:
--- Citat din: atanasu din Iulie 14, 2020, 07:34:03 p.m. ---Continuarea demonstratiei pana la final dar postand-o de la inceput :
Fie o dreapta l care imparte un plan p in doua.
In jumatatea superioara adica de nord a planului pe care o vom denumi partea de deasupra dreptei l luam un punct oarecare necoliniar cu l numit O
Din acel punct coboram pe l o perpendiculara care intalneste dreapta l in punctul A.
Stim ca perpendiculara OA pe l este unica.
In punctul O ridicam pe segmentul de dreapta OA o dreapta m si o prelungim in directia est
Stim din teorema P27 cartea I din Elemente ca dreptele perpendiculare pe o aceiasi secanta sunt paralele, adica m este paralela cu l.
Ducem din O in unghiul drept format intre semidreapta m si segmentul OA un segment de dreapta OB , B fiind un punct arbitrar ales pe semidreapta l aflata la est de OA.
Luam pe l din punctul B inspre est un punct B1 astfel ca BB1= OB si triunghiul OBB1 este isoscel cu unghiurile adiacente laturei OB1 egale si cu marimea mai mica decat unghiul exterior OBA(beta), respectiv beta1<= beta/2
Ducem din O intre semidreapta m si segmentul OB1 o oblica oarecare q care face cu dreapta m un unghi theta ales sa fie cat de mic adica oricum mult mai mic decat unghiul beta.
Este evident ca segmentele OB si OB1 care se intersecteaza cu semidreapta l apartin unor drepte de tip f adica neparalele cu l.
Putem considera ca dreapta q ar putea fi o dreapta paralela cu dreapta l si vom urmari posibilitatea existentei ei.
Daca repetam constructia initiala in care prelungim indefinit segmentul BB1 cu segmente B1B2, ...Bi-1Bi....Bn-1Bn egale respectiv cu segmentele OB1...OBi-1...OBn-1 avansand astfel oricat de mult pe dreapta l, punctul de tip Bi indeparatandu-se oricat de mult de A si segmentele de tip Bi-1Bi crescand oricat de mult si unghiul beta se injumatateste in baza teoremi Sacheri-Legendre la fiecare constructie a unui nou triunghi, astfel ca in triunghiul OBn-1Bn unghiul Betan<= Beta/2^n atunci, oricat de mic ar fi theta fata de unghiul initial beta aplicand P1 din Cartea X a lui Euclid obtinem ca se poate ajunge ca teta sa fie mai mare decat betan,
In acelasi timp daca notam cu O unghiul facut de AO cu BO si unghiurile din triunghiurile isoscele formate pri constructie le notam cu O1(unghiul BOB1), respectiv O2(unghiul B1OB2) si asa mai departe pana la unghiul Bn-1OBn din triunghiul isoscel Bn-1OBn(laturile OBn-1 si Bn-1Bn egale intre ele) atunci putem scrie ca unghiul drept facut de AO cu semidreapta m este format din suma unhiurilor O,O1, O2 pana la On si un unghi rest pana la valoarea de unghi drept facut de BnO cu semidreapta m pe care sa-l notam cu Gaman si care evident este cu atat mi mic cu cat segmentul de drepta oblic OBn se deplaseaza mai departe de OA.
Adica suma unghiurilor O+ O1+ O2+...Oi+ ....On +Gaman= Pi/2.
La limita aceasta suma este egala cu unghiul O plus un unghi reprezentand suma unghiurilor Oi care fiind vorba de suma unei progresii geometrice cu primul termen 1/2 si ratia 1/2 adica unu multiplicata cu o marime egala sau mai mica decat beta
In acelasi timp geometric Gaman este nul daca suma unghiurilor in triunghi este Pi si este din ce in ce mai mic pe masura ce OBn se deplaseaza indefinit pe semidreapta l indiferent de ce valoare ar avea deficitul de Pi in suma unghiurilor triunghiului conform
teoremei Sacheri -Legendre.
Asadar indiferent de cat de mica ar fi valoarea lui theta, in conformitate cu axioma Archimede unghiul Gaman poate fi mai mic decat ea si atunci acea dreapta q devine o dreapta de tip f fiind inglobata in triunghiul AOPn si asa la infinit reezultand imposibilitatea existentei acesteia ca paralela la l pana ce nu s-ar confunda cu m unghiul theta fiind atunci nul.
Desigur ca daca q paraseste statutul geometric al liniei drepte atunci putem intra in alte geometrii de exemplu hiperbolice dar acest aspect nu-l discutam acum
Cred ca in acest sens trebuie sa intelegem semnificatia data de inaintasi sintagmei de « natura liniei drepte »din care decurge de fapt postulatul V care deci este doar o teorema conforma cu natura liniei drepte.
--- Terminare citat ---
No comment. :-X
e-
Navigare
[#] Pagina următoare
Du-te la versiunea completă