Matematică şi Logică > Geometrie

Cateva probleme clasice celebre

(1/2) > >>

morpheus:
Am citit recent despre 4 probleme pe care le-au imaginat matematicienii antichitatii si la care s-a gasit o rezolvare (de fapt s-a demonstrat ca sunt nerezolvabile) de-abia in sec. XIX.

E vorba de 4 constructii de facut doar cu creionul, rigla si compasul:
Construirea unui unghi egal cu o treime dintr-un unghi dat (trisectoarea),
construirea unui cub cu volum dublu fata de al unui cub dat,
construirea unui patrat cu aria egala cu a unui cerc dat
si
construirea unui heptagon regulat.

http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/antiquity.shtml#wantzel

Am citit pe acelasi site ca demonstratia imposibilitatii realizarii acestor constructii implica folosirea unor polinoame de ordin 3 cu coeficienti intregi si a unei proprietati a ecuatiilor de ordinul 3, in fine, o demonstratie la care nu am rezistat pana la capat...

http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/cubic.shtml

Ma intrebam daca exista ceva metode mai pe intelesul tuturor de a explica de ce astfel de constructii sunt imposibil de realizat doar cu rigla si cu compasul...

zec:
 Una din ideile matematice are in fapt urmatoarea schema .
 Daca ai numarele a si b se arata ca se poate construi cu numarul a+b,-a,ab si parca a-1 ceea ce se traduce prin faptul ca aceste numere formeaza un corp,care este subcorp al corpului de numere reale.Se arata imediat ca numerele transcendente nu fac parte din acest corp al numerelor construibile cu rigla si compasul fapt care a rezolvat imediat problema cuadraturi cercului cand sa demonstrat transcendenta numarului pi.Problema de poligoane regulate a fost demonstrata de Gauss .Numerele constructibile sunt orice radical de ordin 2 lucru care se arata recursiv si se demonstreaza usor cu inductie .Se construieste triunghiul dreptunghic cu catetele de 1 si obtinem ipotenoza sqrt(2) ,dupa care se ia catete 1 si sqrt(2) si obti ipotenoza de sqrt(3) etc.Deci corpul numerelor construibile e extensie a corpului Q[sqrt2] de exemplu.Extensia a unui corp este un alt corp ce contine acel corp.De aici practic se incepe teoria care combina si valorifica mai mult elemente din teoria corpurilor si extinderile radicale intalnite la teoria lui Galois.

A.Mot-old:
Fie A un numar oarecare (evident real si care nu este transcendental).Sa se construiasca cu rigla si compasul A3.

zec:

--- Citat din: A.Mot din Octombrie 31, 2011, 09:11:42 a.m. ---Fie A un numar oarecare (evident real si care nu este transcendental).Sa se construiasca cu rigla si compasul A3.

--- Terminare citat ---
Inainte de a incepe am sa consider ca numarul A este construibil si astfel putem considera un segment de lungime A determinat.
 Ideea constructiei segmentului de lungime A3 se bazeaza pe modul in care se construieste produsul ab a doua segmente  de lungime a respectiv b.Plecand de la ideea ca daca avem o proportie x/a=b/1 ne rezulta x=ab ne sugereaza sa construim un triunghi cu laturi de a si 1 si altul cu latura b asemenea cu triunghiul initial.Evident x va fi una din laturile celui de al doilea triunghi si din raportul de asemanare rezulta ca x este egal cu ab.Fara sa fac un desen am sa prezint modul de desenare care  ar fi, sa construim un triunghi dreptunghic  cu catetele de 1 si a deoarece perpendicularele se construiesc pe principiul constructiei mediatoarelor cu rigla si compasul,dupa care se prelungeste (sau nu, depinde de valoarea lui b) cateta de lungime 1 pana obtinem b b se duce perpendiculara paralela cu cateta a , se prelungeste ipotenoza pana se formeaza si triunghiul dreptunghic ce contine pe b si e asemenea cu triunghiul initial.Desenul arata simplu precum un triunghi in care e dusa o paralela la una din laturi.
 Ca sa construim pe A3, construim intai pe A2 si dupa aceea A3.

A.Mot-old:

--- Citat din: zec din Noiembrie 01, 2011, 01:09:23 p.m. ---
--- Citat din: A.Mot din Octombrie 31, 2011, 09:11:42 a.m. ---Fie A un numar oarecare (evident real si care nu este transcendental).Sa se construiasca cu rigla si compasul A3.

--- Terminare citat ---
Inainte de a incepe am sa consider ca numarul A este construibil si astfel putem considera un segment de lungime A determinat.
 Ideea constructiei segmentului de lungime A3 se bazeaza pe modul in care se construieste produsul ab a doua segmente  de lungime a respectiv b.Plecand de la ideea ca daca avem o proportie x/a=b/1 ne rezulta x=ab ne sugereaza sa construim un triunghi cu laturi de a si 1 si altul cu latura b asemenea cu triunghiul initial.Evident x va fi una din laturile celui de al doilea triunghi si din raportul de asemanare rezulta ca x este egal cu ab.Fara sa fac un desen am sa prezint modul de desenare care  ar fi, sa construim un triunghi dreptunghic  cu catetele de 1 si a deoarece perpendicularele se construiesc pe principiul constructiei mediatoarelor cu rigla si compasul,dupa care se prelungeste (sau nu, depinde de valoarea lui b) cateta de lungime 1 pana obtinem b b se duce perpendiculara paralela cu cateta a , se prelungeste ipotenoza pana se formeaza si triunghiul dreptunghic ce contine pe b si e asemenea cu triunghiul initial.Desenul arata simplu precum un triunghi in care e dusa o paralela la una din laturi.
 Ca sa construim pe A3, construim intai pe A2 si dupa aceea A3.

--- Terminare citat ---
Eu am facut altfel.
Fie un segment de dreapta MN de lungime oarecare (necunoscuta) A.Alegem un segment de dreapta MP cu lungimea egala ca unitate.Constructia triunghiului dreptunghic NMP cu unghiul drept in M cu catetele de lungime 1 si A se face foarte usor cu rigla si compasul dupa ce prelungim segmentul unitate in asa fel incat sa putem ridica o perpendiculara din capatul M al segmentului unitate si pe aceasta perpendiculara construim MN de lungime A.Din Punctul N ducem o perpendiculara pe ipotenuza NP care va intalni prelungirea segmentului MP in punctul R si astfel am obtinut segmentul MR de lungime egala cu A2.Cu segmentele de dreapta de lungime A si A2 drept catete construim segmentul de dreapta de lungime A3 pe prelungirea catetei de lungime A in mod similar cum am construit cu catetele de lungime 1 si A segmentul de dreapta A2 pe prelungirea segmentului de lungime egala cu 1.In acelasi mod putem construi segmentele de dreapta cu lungimi A5,A7,......

Navigare

[0] Indexul de Mesaje

[#] Pagina următoare