Matematică şi Logică > Geometrie
Axioma paralelelor si geometria neeuclidiana
Mihnea Maftei:
De cand am aflat despre existenta geometriei neeuclidiene (acum mult timp), ma nedumereste o chestiune.
Nu am avut niciodata un curs despre geometria neeuclidiana, dar, din cate inteleg, geometria euclidiana este una in care postulatul al 5-lea al lui Euclid, cunoscut si ca "axioma paralelelor", nu este adevarat. Axioma paralelelor spune ca printr-un punct exterior unei drepte trece o singura (nu zero sau mai multe) dreapta paralela cu prima dreapta. In cadrul geometriei euclidiene pot trece mai multe drepte paralele...
Precizez ca, de fapt, "geometria neeuclidiana" este un termen general care include o categorie de geometrii, nu doar una. Printr-o geometrie, inteleg, in sens larg, un sistem coerent de axiome si tot ce rezulta din ele.
Nedumerirea mea este urmatoarea: In geometriile neeuclidiene, sunt notiunile de "dreapta" si "paralel" definite diferit fata de notiunile de "dreapta" si "paralel" din geometria euclidiana? Daca e asa, atunci nu ar trebui sa se spuna ca in geometriile neeuclidiene postulatul al 5-lea al lui Euclid nu e adevarat, pentru ca acest postulat foloseste alte definitii pentru "dreapta" si "paralel". Sau in geometriile neeuclidiene se folosesc aceleasi definitii pentru acele notiuni? Daca se folosesc aceleasi definitii, atunci imi e greu sa vad cum postulatul al 5-lea al lui Euclid poate fi considerat si adevarat si fals.
In timp ce am scris aceasta postare, am mai citit un pic si inteleg ca notiunea de "paralel" se poate referi la trei chestiuni:
1. Dreptele paralele sunt cele care nu se intersecteaza (dar apartin aceluiasi spatiu bidimensional...)
2. Dreptele paralele sunt cele intre care distanta e constanta.
3. Dreptele paralele sunt cele care formeaza unghiuri egale cu o alta dreapta care le intersecteaza.
In geometria euclidiana, toate cele trei chestiuni coincid.
Imi poate cineva raspunde la nedumerirea exprimata mai sus...? Multumesc.
Electron:
--- Citat din: Mihnea din Aprilie 05, 2011, 11:34:26 p.m. ---Nedumerirea mea este urmatoarea: In geometriile neeuclidiene, sunt notiunile de "dreapta" si "paralel" definite diferit fata de notiunile de "dreapta" si "paralel" din geometria euclidiana? Daca e asa, atunci nu ar trebui sa se spuna ca in geometriile neeuclidiene postulatul al 5-lea al lui Euclid nu e adevarat, pentru ca acest postulat foloseste alte definitii pentru "dreapta" si "paralel". Sau in geometriile neeuclidiene se folosesc aceleasi definitii pentru acele notiuni? Daca se folosesc aceleasi definitii, atunci imi e greu sa vad cum postulatul al 5-lea al lui Euclid poate fi considerat si adevarat si fals.
--- Terminare citat ---
Definitiile sunt aceleasi in geometriile neeuclidiene ca si in cea euclidiana. Diferenta care face a 5-a axioma sa fie corecta sau nu, tine de forma spatiului respectiv. Adica, in spatiile euclidiene (numite si "plate" sau cu o "curbura zero"), axioma a 5-a a lui Euclid este adevarata. Dar in spatii cu curbura diferita de zero (curbura poate fi pozitiva - ex 2D: sfera; sau poate fi negativa - ex 2D: saua) aceasta axioma nu mai e adevarata.
De retinut ca definitia "paralelei" este bazata pe proprietatea de a nu se intersecta cu dreapta de referinta (in acelasi spatiu bidimensional). Daca se pastreaza unghiurile la intersectia cu alte drepte sau daca distanta dintre ele e constanta sau nu, astea sunt proprietati care se deduc pentru paralele, in fiecare (tip de) spatiu in parte. In spatiile euclidiene paralelele au proprietatile pe care le amintesti in plus fata de proprietatea din fefinitie, in alte spatii neeuclidiene, paralelele pot sa nu aiba aceste proprietati in plus.
Pentru un alt exemplu cre ilustreaza faptul ca proprietatile legate de unghiuri si distante nu se pastreaza neaparat, gandeste-te la proprietatea sumei unghiurilor unui triungi in spatiile euclidiene si in alte spatii. Tocmai forma diferita a spatiilor va face ca aceste proprietati legate de unghiuri si distante sa se modifice.
e-
Mihnea Maftei:
Multumesc pentru raspuns.
Totusi, in spatiile neeuclidiene nu se foloseste o alta definitie a "dreptei"? Sau cum se difineste dreapta in general?
Electron:
Dreapta in general se defineste constructiv (si intuitiv): prin doua puncte date, putem duce (cel putin) o dreapta. Dreapta nu are grosime, si are proprietatea ca pentru orice doua puncte de pe ea, dreapta le uneste pe "drumul cel mai scurt posibil". (Intuitiv: dreapta merge "mereu inainte" nu coteste nici la stanga nici la dreapta).
e-
zec:
Modelul lui Lobacevsky este un model de geometrie in plan construit doar intrun semiplan.Pentru informatii consideram o dreapta d care imparte un plan in 2 si in unul din semiplane definim o dreapta AB astfel semicercul cu centrul pe dreapta d iara aceasta constructie are loc atata timp cat mediatoarea se intersecteaza cu dreapta d(se poate vedea d ca Ox) iara in caz ca mediatoarea e paralela consideram dreapta AB dreapta perpendiculara pe d.Nu tine neaparat de forma spatiului ci mai degraba de limitarea lui.Modelele de geometrie neeuclidiana au loc pe subspatii ale lui .
Navigare
[#] Pagina următoare
Du-te la versiunea completă