Matematica asta...
Am o problema: Sa se calculeze limita sirului: a(n) = (1-2/n^2)^n
La prima vedere nu e asa greu.. dar e nedeterminare de tipul 1^infinit
Ma poate ajuta cineva? :(
Pe ce clasa esti in primul rand?(dupa problema data presupun ca pe clasa a11a).
Limita este chiar 1 conform urmatoarelor:Fie [tex]a_n[/tex] un sir de numere reale astfel incat [tex]a_n=(1+x_n)^{y_n};\lim_{n\to\infty} x_n=0 & \lim_{n\to\infty} y_n=\infty[/tex].Facem urmatorul lucru :[tex]a_n=[(1+x_n)^{\frac{1}{x_n}}]^{x_n y_n}[/tex] asta fiind o scriere echivalenta pt [tex]a_n[/tex].Acum se mai cunoaste faptul ca [tex]\lim_{n\to\infty} (1+x_n)^{\frac{1}{x_n}}=e[/tex] ,deci limita ta revine la a calcula [tex] \lim_{n\to\infty} x_n y_n [/tex],iar la tine [tex] x_n=-\frac{1}{n^2},y_n=n [/tex] ,deci [tex] \lim_{n\to\infty} x_n y_n =0 => \lim_{n\to\infty} a_n =e^0 =1[/tex].Ce e cu rosu e de tinut minte:D
ms mult.... is anul I la facultatea de matematica si informatica (spec. info) .. :| dar limitele nu sunt punctul meu forte :(
la ce universitate?si eu vreau anu asta sa intru tot la mate-info ,dar pe specializare mate,adica la anul
De ce este considerat cazul 1^(infinit) o nedeterminare?
Probabil ca e ceva in legatura cu rigoarea matematica, eu privesc limitele mai mult dintr-un punct de vedere "fizic".
As fi zis ca 1^(infinit) =1
Pentru ca 1*1*1*1.... = 1 indiferent de numarul de termeni. Deci unde e problema, de ce nu e limita 1 pur si simplu?
O explicatie "on the back of the envelope" ar fi asa: 0,99999999999999^infinit = 0, pe cand 1,00000000000001^infinit = infinit.
Citat din: mircea_p din Octombrie 18, 2009, 01:32:20 AM
De ce este considerat cazul 1^(infinit) o nedeterminare?
Probabil ca e ceva in legatura cu rigoarea matematica, eu privesc limitele mai mult dintr-un punct de vedere "fizic".
As fi zis ca 1^(infinit) =1
Pentru ca 1*1*1*1.... = 1 indiferent de numarul de termeni. Deci unde e problema, de ce nu e limita 1 pur si simplu?
Pentru ca (1+ceva_mic)^(1/ceva_mic) face numarul e, iar nu 1.
Citat din: Mihnea din Octombrie 18, 2009, 01:45:39 AM
O explicatie "on the back of the envelope" ar fi asa: 0,99999999999999^infinit = 0, pe cand 1,00000000000001^infinit = infinit.
Ah, da, si asta,. Foarte clara explicatia, Mihnea. Arata ca de fapt conteaza de care parte a lui 1 te afli. Iar exemplu meu arata ca depinde si sub ce forma de infinit se gasete exponentul.
Mircea_p, asa cum ai gandit tu (gresit) puteai sa gandesti si despre 0*infinit.
Notatia 1infinit nu se refera la 1*1*1*1*... de o infinitate de ori (inmultire al carei rezultat este intr-adevar 1), ci la limita cand x --> x0 din f(x)g(x), daca limita cand x --> x0 din f(x) este 1 si limita cand x --> x0 din g(x) este infinit.
Corecta definitie, Mihnea. Ajuta la clarificarea notiunii.
@mircea_p:cred ca esti de acord ca [tex]\frac{n+1}{n}[/tex] se apropie de 1 ca n este din ce in ce mai mare ,e apropierea asta inseamna ca pt orice [tex]\eps>0[/tex] exista un [tex]n_{\eps} \in\mathbb{N}[/tex] a.i. [tex]\frac{n+1}{n} \in (1-\eps,1+\eps)[/tex] ,in cazul de fata fiind chiar in [tex](1,1+\eps)[/tex],deoarece [tex] 1+\frac{1}{n}>1,\forall n[/tex] natural nenul .Asta se traduce matematic prin [tex]\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=1 [/tex].Notand cu [tex]x_n=\frac{n+1}{n}[/tex] ,se verifica simplu ca sirul [tex] y_n=x_n^n[/tex] este strict crescator (de exemplu folosind binomul lui Newton),adica [tex]y_n>y_2 ,\forall n>2[/tex],iar [tex]y_2=1,5^2=2,25 =>y_n>2,25[/tex],si dupa cum ti-am demonstrat [tex] x_n[/tex] este "aproape 1",nu 1,ci foarte aproape de 1 ,iar ridicand asta la n ,adica[tex] \lim_{n\to\infty} x_n^n=e[/tex],care este aproximativ egal cu 2,71828.Sper ca este mai clar acum .
Multumesc pentru toate raspunsurile.
Nu am zis ca nu sant de acord cu nedeterminarea. Asa am invatat si eu la liceu.
Nu e o "critica a paradigmei matematice actuale" ci doar o curiozitate. Nu voiam o demonstratie matematica ca nu am dreptate (nu ma indoiam de asta) ci mai degraba una intuitiva.
Cred ca e vorba mai degraba de un abuz de limbaj. Nu este 1 la infinit ci (ceva care tinde la 1)^(infinit).
Citat din: laurentiu din Octombrie 17, 2009, 04:46:46 PM
la ce universitate?si eu vreau anu asta sa intru tot la mate-info ,dar pe specializare mate,adica la anul
eu sunt la uvt (universitatea de vest timisoara) :-? bafta ;)
Citat din: mircea_p din Octombrie 18, 2009, 03:55:58 PM
Nu voiam o demonstratie matematica ca nu am dreptate (nu ma indoiam de asta) ci mai degraba una intuitiva.
Cred ca explicatia lui Mihnea tocmai asta ofera, intuitivitate.
Citat din: mircea_p din Octombrie 18, 2009, 03:55:58 PM
Cred ca e vorba mai degraba de un abuz de limbaj. Nu este 1 la infinit ci (ceva care tinde la 1)^(infinit).
Corect. Si mai precis, (ceva care tinde la 1)^(ceva care tinde la infinit). De aceea astea se pun in ghilimele: "1^infinit".