Diverse > Probleme de perspicacitate

Re: Joculete ...

<< < (12/12)

Coesite:
Nu ma puneti pe mine sa calculez! Asta nu e un sfat ci e o avertizare =))

paul:
Buna seara,am venit si eu "la sala", ca sa fac alaturi de voi un pic de gimnastica a mintii.Problema propusa de Adi este foarte interesanta pentru ca imbina perspicacitatea cu cunostinte aprofundate de mecanica (la nivel de liceu).De-abia ieri am gasit acest topic si de aceea l-am citit oarecum, "pe diagonala". Am retinut remarca lui Laurentiu ca multimea valorilor de timp care satisfac intocmai enuntul problemei este o multime vida si sunt intru-totul de acord cu el.Deasemenea, ideea lui de a  trata problema "in complex" mi-a placut, chiar daca nu am avut timp pt. a verifica rigurozitatea matematica a demonstratiilor. Iar acum ,sa revenim la problema.
Eu am mers pe urmatorul rationament: Putem reduce complexitatea problemei (munca este pt. tractoare), daca observam ca, dupa un anumit interval de timp, t1, acele ceasornicului se suprapun.(Sa consideram ca punctul zero al problemei este la ora 24:00:00) In 12 ore, acele se suprapun de 11 ori, la intervale egale de timp, deci in 24 ore se vor suprapune de 22 ori.Pentru linistea mea, am facut calculele, luand in considerare viteza unghiulara a fiecarui ac si punand conditia de superpozitie si am ajuns la acelasi rezultat pe care l-am intuit:t1=12x3600/11 secunde. Dupa trecerea acestui interval de timp, problema "revine le zero" adica acele ceasornicului se vor suprapune din nou, ca la momentul initial al analizei.Daca in acest interval de timp conditia (riguroasa) din enunt nu va fi satisfacuta, ea nu va fi satisfacuta niciodata. Am pus conditia ca acul orar sa faca cu cel minutar un unghi de 2 pi/3, am exprimat vitezele unghulare ale acelor in rad./s si din rezolvarea ecuatiei  am determinat T1=4x3600/11 secunde. In acest moment,secundarul se va afla intr-o pozitie determinata de restul impartirii lui T1 la 60 (eliminam rotatiile intregi ale secundarului) obtinand restul de 9/11 minute ce corespunde unui unghi al secundarului in raport cu ora 12 de 9/12x2pi (rad). Unghiul format in acest moment intre minutar si secundar va fi 10pi/11 (rad) . Aceasta valoare difera de 2pi/3, deci conditia din enunt nu este indeplinita. Dar mai avrm o situatie care va trebui verificata (un fel de capcana pt. tocilari), pozitia acelor poate fi alta, orarul intre 12 si 1, secundarul intre 4 si 5, minutarul intre 8 si 9. Aplicand aceeasi metoda, obtinem timpul minim necesar ca acul minutar sa se gaseasca intre orele 8 si 19, iar unghiul cu acul orar sa fie de 2pi/3. Notam acest timp cu T2 si avem T2=8x3600/11 secunde.Vom determina din nou restul impartirii lui T2 la 60 pentru a gasi pozitia secundarului. Vom gasi T2=43+7/11 (minute) .Unghiul corespunzator acestor 7/11 minute va fi 7/11x2pi (rad).  Unghiul dintre minutar si secundar in acest al doilea caz va fi de 2pi/11 (rad) unghi care difera de 2pi/3. Acum putem spune cu certitudine ca niciodata conditia din enunt nu va fi satisfacuta.
Daca avem totusi un ceas electromecanic ale caror ace se deplaseaza doar cand a trecut ora, respectiv minutul si secunda ( un fel de functie parte intreaga), conditia din enunt va fi indeplinita (n-am verificat, afirm doar intuitiv), de 2x11x2=44 ori in 24 ore.
Daca ceasul are ace care se misca uniform (nesacadat), putem deasemenea sa spunem de cate ori, in 24 ore, cadranul este impartit in parti aproape egale. Am remarcat mai sus ca problema apare datorita "secundarului". Daca "fortam"  secundarul sa faca un unghi de aprox. 2pi/3 cu acul orar, minutarul nu poate sa aiba abatere de mai mult de un minut, adica nu mai mult de 2pi/60 (rad.) Facand aceasta concesie, vom gasi in 24 ore, 44 momente in care conditia initiala este aproape satisfacuta.

IT:
Confirm raspunsul lui Paul la problema exacta (120 de grade) pe care l-am verificat in Mathematica (vedeti fisierul 120grade.nb.txt atasat).

In legatura cu problema aproximativa, solutia e 44 cu conditia sa lasam secundarul liber ceea ce e echivalent cu faptul de a spune ca minutarul poate sa faca unghi de 117-123 cu orarul (pentru ca 6 grade ale minutarului reprezinta 60 de secunde).
In cazul aceasta, orele aproximative sunt in care se intampla fenomenul sunt:
~ 0h 21m 41.3099999999296s
~ 0h 43m 23.119999999856s
~ 1h 26m 46.7399999997096s
~ 1h 49m 28.9899999996346s
~ 2h 32m 52.3799999994862s
~ 2h 54m 34.0699999994158s
~ 3h 37m 57.6699999992662s
~ 3h 59m 39.4799999991958s
~ 4h 44m 3.55999999904346s
~ 5h 5m 45.2599999989723s
~ 5h 49m 8.64999999882444s
~ 6h 10m 50.4099999987524s
~ 6h 54m 14.0199999986054s
~ 7h 15m 55.8299999985324s
~ 8h 0m 19.8399999983837s
~ 8h 22m 1.52999999830928s
~ 9h 5m 24.9599999981656s
~ 9h 27m 6.75999999809026s
~ 10h 10m 30.3799999979475s
~ 10h 32m 12.1899999978712s
~ 11h 16m 36.1099999977246s
~ 11h 38m 17.7999999976491s
~ 12h 21m 41.3099999975047s
~ 12h 43m 23.1199999974311s
~ 13h 26m 46.7399999972847s
~ 13h 49m 28.9899999972097s
~ 14h 32m 52.3799999970613s
~ 14h 54m 34.0699999969908s
~ 15h 37m 57.6699999968413s
~ 15h 59m 39.4799999967708s
~ 16h 44m 3.55999999661852s
~ 17h 5m 45.2599999965474s
~ 17h 49m 8.6499999963995s
~ 18h 10m 50.4099999963275s
~ 18h 54m 14.0199999961805s
~ 19h 15m 55.8299999961075s
~ 20h 0m 19.8399999959587s
~ 20h 22m 1.52999999588434s
~ 21h 5m 24.9599999957406s
~ 21h 27m 6.75999999566532s
~ 22h 10m 30.3799999955225s
~ 22h 32m 12.1899999954463s
~ 23h 16m 36.1099999952997s
~ 23h 38m 17.7999999952242s
-----------------------------
Total aparitii: 44



In cazul in care strangem intervalul la 118-122 grade, sunt doar 32 de cazuri in care se intampla evenimentul cautat, si asta la orele:
~ 0h 21m 41.4799999999296s
~ 0h 43m 23.289999999856s
~ 2h 32m 52.5499999994862s
~ 2h 54m 34.2399999994157s
~ 3h 37m 57.8399999992662s
~ 3h 59m 39.6399999991957s
~ 5h 5m 45.4299999989723s
~ 5h 49m 8.81999999882443s
~ 6h 10m 50.5799999987524s
~ 6h 54m 14.1899999986054s
~ 8h 0m 19.9999999983837s
~ 8h 22m 1.69999999830928s
~ 9h 5m 25.1199999981656s
~ 9h 27m 6.92999999809025s
~ 11h 16m 36.2799999977246s
~ 11h 38m 17.9699999976492s
~ 12h 21m 41.4799999975046s
~ 12h 43m 23.2899999974311s
~ 14h 32m 52.5499999970612s
~ 14h 54m 34.2399999969908s
~ 15h 37m 57.8399999968413s
~ 15h 59m 39.6399999967708s
~ 17h 5m 45.4299999965474s
~ 17h 49m 8.81999999639949s
~ 18h 10m 50.5799999963274s
~ 18h 54m 14.1899999961805s
~ 20h 0m 20.0099999959588s
~ 20h 22m 1.69999999588434s
~ 21h 5m 25.1199999957406s
~ 21h 27m 6.92999999566531s
~ 23h 16m 36.2799999952997s
~ 23h 38m 17.9699999952242s

Mai departe, la un interval de 119-121 de grade, raspunsurile sunt:
~ 0h 21m 41.6499999999296s
~ 2h 32m 52.7199999994861s
~ 2h 54m 34.4099999994157s
~ 5h 49m 8.98999999882443s
~ 6h 10m 50.7399999987523s
~ 9h 5m 25.2899999981656s
~ 9h 27m 7.09999999809025s
~ 11h 38m 18.1399999976492s
~ 12h 21m 41.6499999975046s
~ 14h 32m 52.7199999970612s
~ 14h 54m 34.4099999969908s
~ 17h 49m 8.98999999639949s
~ 18h 10m 50.7399999963274s
~ 21h 5m 25.2899999957407s
~ 21h 27m 7.09999999566531s
~ 23h 38m 18.1399999952243s
---------------------------
Total aparitii: 16

Am facut calculele cu programul C# atasat. Tin sa spun ca e posibil ca rezultatele pentru +-2 grade si +-1 sa fie gresite, din cauza discretizarii problemei. Totusi e putin probabil sa fie asa avand in vedere ca am folosit un pas de 0.01 secunde.

paul:

--- Citat ---Confirm raspunsul lui Paul la problema exacta (120 de grade) pe care l-am verificat in Mathematica (vedeti fisierul 120grade.nb.txt atasat).
--- Terminare citat ---
Multumesc sectorului IT pentru ca a confirmat "experimental"  predictiile mele teoretice, atat in ceea ce priveste "problema exacta " cat si in ceea ce priveste problema "aproximativa ".  Multumesc inca o data, domnule IT.

laurentiu:
Acum demonstratia(care difera putin de ce gandisem initial,dar foloseste tot numere complexe):
Consider ceasul un disc de raza 1 in planul complex.Consider ca intr-o unitate de timp orarul parcurge un arc de lungime a,atunci minutarul va parcurge un arc de lungime 12*a iar secundarul un arc de lungime 60*12*a.
Sa notam .
- pozitia orarului;-pozitia minutarului;-pozitia secundarului ,dupa timpul t.
Avem
Fie .La momentul t cele 3 limbi ale ceasului impart cadranul in unghiuri de 120 grade(radieni) in 2 cazuri:

analizez doar primul caz ,celalalt fiind analog .
;ceea ce e echivalent cu <=>
de aici continuand calculele=> adica nu poate fi egal cu ,deci niciodata cele 3 limbi ale ceasului nu vor imparti discul care reprez ceasul in 3 arce congruente(adica limbile sa faca in acelasi timp unghiuri de 120 de grade).

Navigare

[0] Indexul de Mesaje

[*] Pagina precedentă

Du-te la versiunea completă