Welcome, Guest. Please login or register.

Autor Subiect: Probleme de matematica  (Citit de 105609 ori)

0 Membri şi 1 Vizitator vizualizează acest subiect.

Offline Adi

  • Global Moderator
  • *****
  • Mesaje postate: 11298
  • Popularitate: +15/-7
    • Site personal Adrian Buzatu
Re: Probleme de matematica
« Răspuns #165 : Iunie 04, 2010, 08:54:36 p.m. »
Excelent, Constantin.a!
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro

ICS

  • Vizitator
Re: Probleme de matematica
« Răspuns #166 : Iunie 04, 2010, 09:34:09 p.m. »
Sa se rezolve in mutimea numerelor intregi ecuatia x(x+1)+y(y+1)=z(z+1) unde x,y,z sunt numere diferite de zero si prime intre ele.

Ai nevoie de ea, sau stii solutia si vrei sa vezi daca o stim noi?
Am incercat sa o rezolv de exemplu ca pe o ecuatie de gradul 2 in z si sa pun conditia ca discriminantul sa fie un patrat perfect si in acest fel am ajuns la rezolvarea unei ecuatii de form a2+b2=c2+1 si aceasta ecuatie nu stiu sa o rezolv in multimea numerelor intregi.Are cineva vreo idee?

Offline Adi

  • Global Moderator
  • *****
  • Mesaje postate: 11298
  • Popularitate: +15/-7
    • Site personal Adrian Buzatu
Re: Probleme de matematica
« Răspuns #167 : Iunie 04, 2010, 09:48:34 p.m. »
Aha. Din pacate eu nu am nici o idee, in afara de aceea de a pune la intamplare numere si a vedea care merge, doar doar de s-ar gasi o solutie.
Pagina personala: http://adrianbuzatu.ro

ICS

  • Vizitator
Re: Probleme de matematica
« Răspuns #168 : Iunie 04, 2010, 10:03:24 p.m. »
Aha. Din pacate eu nu am nici o idee, in afara de aceea de a pune la intamplare numere si a vedea care merge, doar doar de s-ar gasi o solutie.
Eu as vrea o solutie generala in functie de unul sau doi parametri...

Sigma2

  • Vizitator
Re: Probleme de matematica
« Răspuns #169 : Iunie 06, 2010, 06:45:17 p.m. »
Mai intai vom observa ca 2 numere consecutive sunt prime intre ele

x=-1       y=1       z=-2
' '           y=2       z=-3
''            y=3       z=-4
.....................................
''             y=k      z=-(k+1)   k=nr natural, nenul
Solutiile ecuatiei vor fi tripletele   de forma(-1,k, -(k+1)) si (-1-(k+1),k).In finalul exercitiului se va de monstra unicitatea solutiei.

x=-2       y=-1        z=1
x=-3       y=-1        z=2
x=-4       y=-1        z=3
------------------------
x=-k       y=-1         z=k-1
Deci si tripletele  (-k,-1,k-1) si(-k,k-1,-1)  sunt solutii pt ecuatia data.(se va demonstra unicitatea solutiei si in acest caz).

x=1      y=-1   z=-2
x=2        ''      z=-3
.................................
x=k        y=-1  z=-(k+1)
S-a obtinut o noua solutie
(k.-1,-(k+1)) si (k,-(k+1),,-1)   unicitatea
asemanator se obtine si tripletul  (-1,-(k+1),k}


Unicitatea solutiei (la pct 1)  aven(-1,k, -(k+1))
se fac inlocuirile in relatia data
0+k*(k+1)=-(k+1)*(-k)
Presupunem pri absurd ca exista z=/=-(k+1) care sa satisfaca relatia data
Fie z=p. p=nr intreg
Relatia devine
0+k*(k+1)=p*(p+1)  => calcule=.>k+p=-1  =>p=-1-k  adica z=-1-k.Contradictie cu presupunerea  (z=/=-(k+1))
Deoarece x,y, z acopera intreaga multime  Z, s-a demonstrat unicitatea solutiei, => problema a fost rezolvata.

ICS

  • Vizitator
Re: Probleme de matematica
« Răspuns #170 : Iunie 07, 2010, 08:50:09 a.m. »
Mai intai vom observa ca 2 numere consecutive sunt prime intre ele

x=-1       y=1       z=-2
' '           y=2       z=-3
''            y=3       z=-4
.....................................
''             y=k      z=-(k+1)   k=nr natural, nenul
Solutiile ecuatiei vor fi tripletele   de forma(-1,k, -(k+1)) si (-1-(k+1),k).In finalul exercitiului se va de monstra unicitatea solutiei.

x=-2       y=-1        z=1
x=-3       y=-1        z=2
x=-4       y=-1        z=3
------------------------
x=-k       y=-1         z=k-1
Deci si tripletele  (-k,-1,k-1) si(-k,k-1,-1)  sunt solutii pt ecuatia data.(se va demonstra unicitatea solutiei si in acest caz).

x=1      y=-1   z=-2
x=2        ''      z=-3
.................................
x=k        y=-1  z=-(k+1)
S-a obtinut o noua solutie
(k.-1,-(k+1)) si (k,-(k+1),,-1)   unicitatea
asemanator se obtine si tripletul  (-1,-(k+1),k}


Unicitatea solutiei (la pct 1)  aven(-1,k, -(k+1))
se fac inlocuirile in relatia data
0+k*(k+1)=-(k+1)*(-k)
Presupunem pri absurd ca exista z=/=-(k+1) care sa satisfaca relatia data
Fie z=p. p=nr intreg
Relatia devine
0+k*(k+1)=p*(p+1)  => calcule=.>k+p=-1  =>p=-1-k  adica z=-1-k.Contradictie cu presupunerea  (z=/=-(k+1))
Deoarece x,y, z acopera intreaga multime  Z, s-a demonstrat unicitatea solutiei, => problema a fost rezolvata.
Observ ca prin rationamentul de mai sus rezulta ca orice solutie presupune ca obligatoriu ori x=-1,ori y=-1,ori z=-1.Eu cred ca solutiile prezentate mai sus nu sunt decat o mica parte din solutii deoarece -1 este o valoare care apare constant....prin metoda mea rezulta si ca x=-7,y=5 si z=8 este o solutie a ecuatiei,mai greu este sa gasesc o solutie care sa dea cele trei necunoscute in functie de doi parametri m si n care sa aiba valori astfel incat m2-n2+1 sa fie un patrat perfect.
« Ultima Modificare: Iunie 07, 2010, 08:51:49 a.m. de ICS »

Sigma2

  • Vizitator
Re: Probleme de matematica
« Răspuns #171 : Iunie 07, 2010, 06:18:52 p.m. »
da, ai dreptate si tripletul tau este solutie pt ecuatie, deci trebuie .gasita o metoda mai generala.nu inteleg totusi cum plecand de la ecuatia de grd 2 in z,
ai ajuns la \{m}^2-\{n^2+1= pp?(determinantul meu e oarecum diferit)

ICS

  • Vizitator
Re: Probleme de matematica
« Răspuns #172 : Iunie 09, 2010, 01:33:50 p.m. »
da, ai dreptate si tripletul tau este solutie pt ecuatie, deci trebuie .gasita o metoda mai generala.nu inteleg totusi cum plecand de la ecuatia de grd 2 in z,
ai ajuns la \{m}^2-\{n^2+1= pp?(determinantul meu e oarecum diferit)
Ecuatia initiala este de fapt o ecuatie in z si anume z2+z-x(x+1)-y(y+1)=0 al carei discriminant este 4y2+4y+4x2+4x+1=m2 si rezolvand aceasta ecuatie de gradul doi in y rezulta ca discriminantul m2-4x2-4x=n2 si in final rezolvand aceasta ecuatie de gradul doi in x rezulta discriminantul m2-n2+1 care trebuie sa fie un patrat perfect.Deci ar rezulta o ecuatie de forma m2-n2+1=p2 sau scrisa altfel n2+p2=m2+1 si daca gasim multimea numerelor intregi nenule si prime intre ele m,n,p atunci am rezolvat ecuatia x(x+1)+y(y+1)=z(z+1) astfel incat x,y,z sa fie numere nenule si prime intre ele.
« Ultima Modificare: Iunie 09, 2010, 01:35:58 p.m. de ICS »

Lumina

  • Vizitator
Re: Probleme de matematica
« Răspuns #173 : Iulie 21, 2010, 09:02:29 p.m. »
Nu se rezolva cu discriminant (delta....), ci mult mai finut  ;D