Welcome, Guest. Please login or register.

Autor Subiect: POSTULATUL  (Citit de 940 ori)

0 Membri şi 1 Vizitator vizualizează acest subiect.

Offline atanasu

  • Senior
  • ****
  • Mesaje postate: 1895
  • Popularitate: +19/-173
POSTULATUL
« : Iulie 11, 2020, 06:26:00 p.m. »
Aici poate voi posta cele promise inainte dar nu stiu cand vor fi gata daca vor mai fi pentruca mi-am gasit o eroare si nu stiu daca o pot rezolva . Daca nu reusesc  raman cele facute acum un an pe un alt fir.
Updste: Cred ca dracul nu este asa de negru ca cel purtat de diavolul covidului si sper ca azi sa reusesc sa postez integral demonstratia fiindca am gasit eroarea facuta. Deocamdata postez partea introductiva ca sa nu se plictiseasca cei care intra si citesc:

Materialul bibliografic de referinta :

Elementele lui Euclid :
https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/bookI.html

si firul Postulatul sau Teorema lui Euclid? de la
https://forum.scientia.ro/index.php/topic,5255.0.html

Vom folosi in demonstratie axioma lui Arhimede care este data in Euclid , cartea  X, teorema(propozitia) I in care se folseste doar definitia 4 din cartea V. Axioma lui Arhimede este de fapt prima  axioma de continuitate a lui Hilbert si care in formularea din Euclid este :

« Two unequal magnitudes being set out, if from the greater there is subtracted a magnitude greater than its half, and from that which is left a magnitude greater than its half, and if this process is repeated continually, then there will be left some magnitude less than the lesser magnitude set out. And the theorem can similarly be proven even if the parts subtracted are halves »

Tradusa in romana este :
« Fiind date doua marimi inegale, daca din cea mai mare se scade o parte mai mare decat jumatate si din rest in continuare o parte mai mare  decat jumatate si daca acest proces se repeta indefinit se va ajunge la o marime mai mica decat cea mai mica din cele doua luate prin ipoteza »

Definitia 4 din cartea V este singura utilizata in demonstrarea acestei axiome a continuitatii si are formularea :
« Magnitudes are said to have a ratio to one another which can, when multiplied, exceed one another »

adica: « Marimile au un raport una cu cealalta daca multiplicate se pot depasi una pe cealalta. »
Aceasta definitie poate fi numita axioma de comparabilitate a marimilor geometrice.
Desigur trebuie sa subliniem ca toate acestea se refera la marimi de acelasi tip adica drepte, unghiuri rectilinii, suprafete, volome dar nu sunt comparabile o arie cu un volum sau unghiurile curbilinii (pe care le-am folosit in demonstratia facuta mai demult si indicata aici la bibliografie) cu unghiurile rectilinii.

Pe baza axiomei de continuitate a lui Hilbert respetiv Teoremei1 din cartea X  din Eementele lui Euclid se deuce o alta teorema importanta numita axioma lui Aristotel despre care chiar Aristotel vorbeste in lucrarea sa De Caelo .
Importanta matematica a acestei teoreme(axioma) a fost luminata de Proclus in secolul V e.n. Si care este implicata de teorema P1 din cartea X a « Elementelor »
Proculus vorbeste de axioma lui Aristotel in acesti termeni : Daca latturile unui unghi oarecare mai mic decat Pi se prelungesc oricat, atunci si distanta dintre ele(perpendiculara de la un punct de pe una pe cealalta)creste oricat de mult, adica este oricat de mare si pomenesc de acest lucru desi nu folosesc axioma lui Aristotel ci direct  axioma lui Arhimede (cartea X  P1 din Elemente)
dar cred ca aceasta axioma aristoteliana combinata cu definitia lui Poseidonis privind dreptele paralele ar putea sa rezolve deasemeni problema Postulatului.
« Ultima Modificare: Iulie 13, 2020, 08:02:40 a.m. de atanasu »

Offline atanasu

  • Senior
  • ****
  • Mesaje postate: 1895
  • Popularitate: +19/-173
Re: POSTULATUL
« Răspuns #1 : Iulie 13, 2020, 07:00:08 p.m. »
Asa cum am spus azi dimineata intr-o completare la postarea nterioara sunt in masura sa prezint demonstratia unicittii paralelei dusa printr-un punct exterior unei drepta la acea dreapta. esi di greseala am facut inca un fir cu denumiea acestuia vom ontinua discutia daca va fi cazul la firul acesta,
Asadar demonstratia este:

Fie o dreapta  l  care imparte un plan p  in doua.
In jumatatea superioara adica de nord  a planului pe care o vom denumi partea de deasupra dreptei l luam un punct oarecare necoliniar cu l  numit O
Din acel punct coboram pe l o perpendiculara care intalneste dreapta l in punctul A.
Stim ca perpendiculara OA pe l este unica.
In punctul O ridicam pe segmentul de dreapta OA o dreapta m si o prelungim in directia est
Stim din teorema P27 cartea I din Elemente ca dreptele perpendiculare pe o aceiasi secanta sunt paralele, adica m este paralela cu l.

Ducem din O in unghiul drept format intre semidreapta m si segmentul OA un segment de dreapta OB , B fiind un punct arbitrar ales pe semidreapta l aflata la est de OA.
Luam pe l din punctul B inspre est un punct B1 astfel ca BB1= OB astfel ca triunghiul  OBB1 este isoscel cu unghiurile adiacente laturei OB1 egale si cu marimea mai mica decat unghiul exterior OBA(beta), respectiv beta1<= beta/2
Ducem din O intre semidreapta m si segmentul OB1 o oblica oarecare q care face cu de dreapta m un unghi theta ales sa fie cat de mic adica oricum mult mai mic decat unghiul  beta.
Este evident ca segmentele OB si OB1 care se intersecteaza cu semidreapta l  apartin unor drepte de tip f adica neparalele cu l.
Putem considera ca dreapta q ar putea fi o dreapta paralela cu dreapta l si vom urmari posibilitatea existentei ei.
Daca repetam constructia initiala in care prelungim indefinit segmentul BB1 cu segmente  B1B2, ...Bi-1Bi....Bn-1Bn egale respectiv cu segmentele  OB1...OBi-1...OBn-1 avansand astfel oricat de mult pe dreapta l, punctul de tip Bi indeparatandu-se  oricat de mult de A si segmentele de tip Bi-1Bi crescand oricat de mult si unghiul beta se injumatateste la fiecare constructie a unui nou triunghi astfel ca in triunghiul OBn-1Bn unghiul Betan<= Beta/2^n atunci, oricat de mic ar fi theta fata de unghiul initial beta aplicand P1 din Cartea X a lui Euclid obtinem ca se poate ajunge ca teta sa fie mai mare decat betan,
va urma
« Ultima Modificare: Iulie 13, 2020, 11:07:41 p.m. de atanasu »

Offline Cosmin_Visan

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 343
  • Popularitate: +1/-33
Re: POSTULATUL
« Răspuns #2 : Iulie 14, 2020, 11:29:41 a.m. »
Si geometria tot de la constiinta porneste, si anume de la qualia de spatiu. Iar in qualia de spatiu exista anumite intuitii despre cum anume ar trebui sa fie lucrurile. Dar nu-s intotdeauna asa. Exista anumite subtilitati care distrug intuitiile de suprafata.

Am mai pus exemplu asta. Aici ai intersectii fara puncte de intersectii, desi o intuitie de suprafata a qualiei de spatiu ti-ar zice ca e logic ca daca ai intersectie ai si punct de intersectie.



Ca orice qualie, qualia de spatiu a evoluat ca sa rezolve anumite probleme evolutioniste. O geometrie adecvata ar fi o geometrie care tine cont de acele probleme evolutioniste. Geometriile pe care le avem acum sunt doar pseudo-geometrii, care iau in considerare doar anumite aspecte ale qualiei de spatiu, acelea de suprafata, cele mai facile. Dar altceva e spatiul defapt daca ai intra in profunzime, si alte geometrii s-ar naste daca i s-ar intelege originea evolutionista.

Offline atanasu

  • Senior
  • ****
  • Mesaje postate: 1895
  • Popularitate: +19/-173
Re: POSTULATUL
« Răspuns #3 : Iulie 14, 2020, 07:34:03 p.m. »
Continuarea demonstratiei pana la final dar postand-o de la inceput :

Fie o dreapta  l  care imparte un plan p  in doua.
In jumatatea superioara adica de nord  a planului pe care o vom denumi partea de deasupra dreptei l luam un punct oarecare necoliniar cu l  numit O
Din acel punct coboram pe l o perpendiculara care intalneste dreapta l in punctul A.
Stim ca perpendiculara OA pe l este unica.
In punctul O ridicam pe segmentul de dreapta OA o dreapta m si o prelungim in directia est
Stim din teorema P27 cartea I din Elemente ca dreptele perpendiculare pe o aceiasi secanta sunt paralele, adica m este paralela cu l.
Ducem din O in unghiul drept format intre semidreapta m si segmentul OA un segment de dreapta OB , B fiind un punct arbitrar ales pe semidreapta l aflata la est de OA.
Luam pe l din punctul B inspre est un punct B1 astfel ca BB1= OB si triunghiul  OBB1 este isoscel cu unghiurile adiacente laturei OB1 egale si cu marimea mai mica decat unghiul exterior OBA(beta), respectiv beta1<= beta/2
Ducem din O intre semidreapta m si segmentul OB1 o oblica oarecare q care face cu dreapta m un unghi theta ales sa fie cat de mic adica oricum mult mai mic decat unghiul  beta.
Este evident ca segmentele OB si OB1 care se intersecteaza cu semidreapta l  apartin unor drepte de tip f adica neparalele cu l.
Putem considera ca dreapta q ar putea fi o dreapta paralela cu dreapta l si vom urmari posibilitatea existentei ei.
Daca repetam constructia initiala in care prelungim indefinit segmentul BB1 cu segmente  B1B2, ...Bi-1Bi....Bn-1Bn egale respectiv cu segmentele  OB1...OBi-1...OBn-1 avansand astfel oricat de mult pe dreapta l, punctul de tip Bi indeparatandu-se  oricat de mult de A si segmentele de tip Bi-1Bi crescand oricat de mult si unghiul beta se injumatateste in baza teoremi Sacheri-Legendre la fiecare constructie a unui nou triunghi, astfel ca in triunghiul OBn-1Bn unghiul Betan<= Beta/2^n atunci, oricat de mic ar fi theta fata de unghiul initial beta aplicand P1 din Cartea X a lui Euclid obtinem ca se poate ajunge ca teta sa fie mai mare decat betan,
In acelasi timp daca notam cu O unghiul facut de  AO cu BO si unghiurile din  triunghiurile isoscele formate pri constructie le notam cu O1(unghiul BOB1), respectiv O2(unghiul B1OB2) si asa mai departe pana la unghiul Bn-1OBn din triunghiul isoscel Bn-1OBn(laturile OBn-1 si Bn-1Bn egale intre ele) atunci putem scrie ca unghiul drept facut de  AO cu semidreapta m este format din suma unhiurilor O,O1, O2 pana la On si un unghi rest pana la valoarea de unghi drept facut de  BnO cu semidreapta m pe care sa-l notam cu Gaman si care evident este cu atat mi mic cu cat segmentul de drepta oblic OBn se deplaseaza mai departe de OA.
Adica suma unghiurilor O+ O1+ O2+...Oi+ ....On +Gaman= Pi/2.
La limita aceasta suma este egala cu unghiul O plus un unghi reprezentand suma  unghiurilor Oi care fiind vorba de suma unei progresii geometrice cu primul termen 1/2 si ratia 1/2 adica unu multiplicata cu o marime egala sau mai mica decat beta
In acelasi timp geometric Gaman este nul daca suma unghiurilor in triunghi este Pi si este din ce in ce mai mic pe masura ce OBn se deplaseaza indefinit pe semidreapta l  indiferent de ce valoare ar avea deficitul de Pi in suma unghiurilor triunghiului conform
teoremei Sacheri -Legendre.
Asadar indiferent de cat de mica ar fi valoarea lui theta, in conformitate cu axioma Archimede unghiul Gaman poate fi mai mic decat ea si atunci acea dreapta q devine o dreapta de tip f fiind inglobata in triunghiul AOPn si asa la infinit reezultand imposibilitatea existentei acesteia ca paralela la l pana ce nu s-ar confunda cu m unghiul theta fiind atunci nul.
Desigur ca daca q paraseste statutul geometric al liniei drepte atunci putem intra in alte geometrii de exemplu hiperbolice dar acest aspect nu-l discutam acum
Cred ca in acest sens trebuie sa intelegem semnificatia data de inaintasi sintagmei  de « natura liniei drepte »din care decurge de fapt postulatul V care deci este doar o teorema conforma cu natura liniei drepte.


 

« Ultima Modificare: Iulie 14, 2020, 11:40:55 p.m. de atanasu »

Offline Electron

  • Veteran
  • *****
  • Mesaje postate: 8404
  • Popularitate: +245/-217
Re: POSTULATUL
« Răspuns #4 : Iulie 15, 2020, 10:54:10 a.m. »
Continuarea demonstratiei pana la final dar postand-o de la inceput :

Fie o dreapta  l  care imparte un plan p  in doua.
In jumatatea superioara adica de nord  a planului pe care o vom denumi partea de deasupra dreptei l luam un punct oarecare necoliniar cu l  numit O
Din acel punct coboram pe l o perpendiculara care intalneste dreapta l in punctul A.
Stim ca perpendiculara OA pe l este unica.
In punctul O ridicam pe segmentul de dreapta OA o dreapta m si o prelungim in directia est
Stim din teorema P27 cartea I din Elemente ca dreptele perpendiculare pe o aceiasi secanta sunt paralele, adica m este paralela cu l.
Ducem din O in unghiul drept format intre semidreapta m si segmentul OA un segment de dreapta OB , B fiind un punct arbitrar ales pe semidreapta l aflata la est de OA.
Luam pe l din punctul B inspre est un punct B1 astfel ca BB1= OB si triunghiul  OBB1 este isoscel cu unghiurile adiacente laturei OB1 egale si cu marimea mai mica decat unghiul exterior OBA(beta), respectiv beta1<= beta/2
Ducem din O intre semidreapta m si segmentul OB1 o oblica oarecare q care face cu dreapta m un unghi theta ales sa fie cat de mic adica oricum mult mai mic decat unghiul  beta.
Este evident ca segmentele OB si OB1 care se intersecteaza cu semidreapta l  apartin unor drepte de tip f adica neparalele cu l.
Putem considera ca dreapta q ar putea fi o dreapta paralela cu dreapta l si vom urmari posibilitatea existentei ei.
Daca repetam constructia initiala in care prelungim indefinit segmentul BB1 cu segmente  B1B2, ...Bi-1Bi....Bn-1Bn egale respectiv cu segmentele  OB1...OBi-1...OBn-1 avansand astfel oricat de mult pe dreapta l, punctul de tip Bi indeparatandu-se  oricat de mult de A si segmentele de tip Bi-1Bi crescand oricat de mult si unghiul beta se injumatateste in baza teoremi Sacheri-Legendre la fiecare constructie a unui nou triunghi, astfel ca in triunghiul OBn-1Bn unghiul Betan<= Beta/2^n atunci, oricat de mic ar fi theta fata de unghiul initial beta aplicand P1 din Cartea X a lui Euclid obtinem ca se poate ajunge ca teta sa fie mai mare decat betan,
In acelasi timp daca notam cu O unghiul facut de  AO cu BO si unghiurile din  triunghiurile isoscele formate pri constructie le notam cu O1(unghiul BOB1), respectiv O2(unghiul B1OB2) si asa mai departe pana la unghiul Bn-1OBn din triunghiul isoscel Bn-1OBn(laturile OBn-1 si Bn-1Bn egale intre ele) atunci putem scrie ca unghiul drept facut de  AO cu semidreapta m este format din suma unhiurilor O,O1, O2 pana la On si un unghi rest pana la valoarea de unghi drept facut de  BnO cu semidreapta m pe care sa-l notam cu Gaman si care evident este cu atat mi mic cu cat segmentul de drepta oblic OBn se deplaseaza mai departe de OA.
Adica suma unghiurilor O+ O1+ O2+...Oi+ ....On +Gaman= Pi/2.
La limita aceasta suma este egala cu unghiul O plus un unghi reprezentand suma  unghiurilor Oi care fiind vorba de suma unei progresii geometrice cu primul termen 1/2 si ratia 1/2 adica unu multiplicata cu o marime egala sau mai mica decat beta
In acelasi timp geometric Gaman este nul daca suma unghiurilor in triunghi este Pi si este din ce in ce mai mic pe masura ce OBn se deplaseaza indefinit pe semidreapta l  indiferent de ce valoare ar avea deficitul de Pi in suma unghiurilor triunghiului conform
teoremei Sacheri -Legendre.
Asadar indiferent de cat de mica ar fi valoarea lui theta, in conformitate cu axioma Archimede unghiul Gaman poate fi mai mic decat ea si atunci acea dreapta q devine o dreapta de tip f fiind inglobata in triunghiul AOPn si asa la infinit reezultand imposibilitatea existentei acesteia ca paralela la l pana ce nu s-ar confunda cu m unghiul theta fiind atunci nul.
Desigur ca daca q paraseste statutul geometric al liniei drepte atunci putem intra in alte geometrii de exemplu hiperbolice dar acest aspect nu-l discutam acum
Cred ca in acest sens trebuie sa intelegem semnificatia data de inaintasi sintagmei  de « natura liniei drepte »din care decurge de fapt postulatul V care deci este doar o teorema conforma cu natura liniei drepte.
No comment.  :-X


e-
Don't believe everything you think.

Offline atanasu

  • Senior
  • ****
  • Mesaje postate: 1895
  • Popularitate: +19/-173
Re: POSTULATUL
« Răspuns #5 : Iulie 04, 2022, 09:56:28 a.m. »
Dragi colegi si competitori,
Dupa 16 aprilie nu am mai avut acces la computerul meu din cauza unor pobleme de hard in cele din urma azi rezolvate, asa ca pot sa public  acum ceva exact la timp, pentruca
in perioada defectiunii tehnice avand mai mult timp, am terminat studiul problemei deschise pe forum in 2018 in acea discutie ampla, utila dar din pacate nu intotdeauna politicoase cu Electron care daca si-a propus a si reusit sa ma enerveze lucru de care desigur ca eu sunt vinovat caci de mine depinde sa ma las sau nu enervat.
Electron  insa a cam disparut de aici dupa ultima postare facuta  red ca chiar  pe acest fir al carui sens eu nu l-am inteles , mi-a scapat!? Oricum sper sa fie sanatos si poate revine ca sa combata cele ce voi preznta azi sau maine, dat fiind ca incepand de maine  am de comemorat niste aniversari importante pentru mine si inteleg sa o fac astfel .

Tema va fi finlizata  si nu cred ca voi mai avea ce sa adaug ci doar sa raspund unor comentarii si critici serioase daca vor fi....

Poate revine Electron , poate ca Zec se va osteni sau poate Abel. Cine stie?

Firul cel mai potrvit este acesta iar titlul lucrarii finale este:
Pe urmele lui Adrien- Marie Legendre:  Si totusi inca despre al cincilea postulat!

Offline atanasu

  • Senior
  • ****
  • Mesaje postate: 1895
  • Popularitate: +19/-173
Re: POSTULATUL
« Răspuns #6 : Iulie 05, 2022, 08:31:31 a.m. »

                                                    POSTULATUL - FINAL
                                       Si totusi despre al cincilea postulat
Elemente de documentare si incercari originale pe urmele inaintasilor care sunt destul de multi


Asadar aici ma voi referi si la tot ce din punctul meu de vedere epuizeaza aceasa tema si anume contributiile celor din antichitate, evul mediu si epoca moderna, terminand cu Legendre(1823) si cele incepute si incercate de mine cu mult timp in urma si finalizate incepnd de acum catiiva ani (2018)  pentru a merge pe urmele si in apararea lui Legendre.cu finalizare, sper eu ca deplina, in  vara acestui an, 2022.                                   
Aici voi transcrie  toate demonstratiile incercate de mine pentru a mege pe urmele si in apararea lui Adrien-Marie Legendre.
Dar totodata voi prezenta si cateva elemente geometrice de baza de care am tinut cont, ele fiind desigur referite anterior (Euclid and so on) iar daca este o propunere personala voi mentiona acest aspect.
Aceste texte sunt preluate din forumul Scientia de pe firul „Postulatul sau Teorema lui Euclid” unde in anii 2018 -2019 am incercat sa dau o demonstratie pentru postulat ca fiind o teorema de geometrie neutrala adica tot ce nu implica potulatul 5 care a fost folosit de Euclid abia de la P 29 din Cartea I-a a Elementelor.

I. Demonstratiile date de mine din 2018 continuate si finalizate pana in prezent la care adaug si unele elementele auxiliare, pregatitoare si ajutatoare necesare, anterioare si chiar si ulterioare acestora

a) Elemente auxiliare:

a1)Bibliografie  euclidiana

https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/bookI.html
http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Euc.+1&redirect=true
http://www.trigofacile.com/maths/euclide/index.htm
dar si Legendre(sec 19)  si Marvin Greensberg(sec 21)
 O teorema foarte importanta presupun ca data de Legendre cu o demonstratie data intr-un manual bun de geometrie neutrala: https://www.math.ust.hk/~mabfchen/Math4221/Neutral%20Geometry.pdf , care  cred ca are introduse si contributii ale unui matematician american si ma refer la  Marvin Jay Greenberg(1936-2017) pentruca in manual exista si demonsratatia foarte eleganta a axiomei lui Aristotel data de Marvin Lee Greensberg in http://math.ucr.edu/~res/math133/neutral-Aristotle.pdf
Teorema respectiva este: Daca un triunghi are suma unghiurilor Pi  toate celelalte au aceiasi suma si la 4/pg11 din linkul de mai sus,  are trei pasi si anume : Daca exista un triunghi  cu suma unghiurilor de Pi atunci exista un dreptunghi(1) si daca exista un dreptunghi atunci fiecare triunghi dreptunghic are suma unghiurilor Pi(2) si daca este asa atunci si toate triunghiurile au suma unghiurilor Pi.(3)
a2) Postari pe  firul „Postulatul sau Teorema lui Euclid pe forumul Scientia
Postarile pot implica si unele corecturi mai recente, nemai fiind chiar la fel cu cele  de pe forum dar circumscriu geometric problema asa cum am tratat-o.
Astfel(vezi postarea 487): .... un corp care se roteste in jurul unui punct parcurge  circumferinta corespunzatoare, iar raza cu care este legat de centru  parcurge toate unghiurile la centru  care in cazul unei rotiri complete sunt toata multimea numerelor reale din intervalul [0,2Pi] si daca este legat de centrul de rotatie cu un fir intins si obligat sa se miste pe o sina d dupa schema: O centru, A piciorul perpendicularei dusa din O pe o dreapta d care este sina respectiva, oricat de departe pe dreapta(sina) d ar ajunge, unghiul dintre fir si o perpendiculara  pe OA,  d1 dusa prin O, si deci paralela cu d, nu poate sa fie Pi/2 ci doar oricat de aproape de Pi/2 cu cat capatul firului de pe d ajunge mai departe pe sina d. Acest adevar este consecinta teoremei Legendre-Saccheri care spune ca  suma unghiurilor intrun triunghi nu poate depasi Pi.         

Pe figura noastra lung utilizata  se ia un punct O din care se duce o dreapta d1 si la o distanta oarecare de O printr-un punct A si perpendiculara pe OA in A, o dreapta d paralela cu d1, am analizat trasarea a doua tipuri de drepte :
- Drepte de tip "f" care unesc O cu un punct Ai de pe dreapta d, drepte care se pot duce de la O catre d adica catre orice punct Ai de pe d sau invers de la orice punct Ai catre O. 
In ambele cazuri dreapta f are o restrictie data de constructie si anume extremitatea ei Ai este pe dreapta d iar O nu este astfel si deci niciodata nu se va suprapune cu dreapta d1 si nici nu va putea fi paralela cu d ci doar intersectata cu aceasta.
Daca nu ar exista decat astfel de drepte postulatul lui Playfair ar fi adevarat fara nici-o discutie.
- Drepte care pleaca din O si nu stim unde ajung daca le-am prelungi la infinit, ele nefiind dirijate in mod cert si demonstrabil spre vreun punct apartinand dreptei d si deci neintersectand prin constructie dreapta d.
Aceste drepte intra in categoria dreptelor libere duse dintr-un punct si rotindu-se in jurul acestuia  si despre care stim ca in timpul acestei rotiri sunt libere sa se suprapuna peste dreapta d1 sau sa intersecteze sau sa nu intersecteze dreapta d adica sa fie alte paralalele la d decat d1 contrazicand astfel postulatul unicitatii paralelei al lui Playfair.
Ele au fost numite cu indicativul generic : drepte de tip "q" care din punct de vedere al axiomelor geometriei neutrale in lipsa postulatului 5 sau al lui Playfair sunt  libere fata de pozitia de paralelism cu dreapta d.
Eforturile noastre au fost conduse in a demonstra ca  de fapt existenta dreptelor de tip „q” este doar o supozitie infirmabila, acestea dovedindu-se in cele din urma ca neputand a fi decat drepte doar de tip „f”, neparalele cu drepta d si confirmand adevarul postulatului devenit astfel teorema in geometria neutrala.

 - Ca exemplu de discutie la subiect voi indica o discutie cu un preopinent  care  la postarea        489 comenteaza ce spun eu, adica eu il intreb: „Sustii ca parcurgera dreptei d de catre Ai si deci OAi in interiorul unui triunghi ABC(ar fi mai corect de scris triunghiul OAAi, dar asa ABC ramane un triunghi virtual care este doar un triunghi oarecare dar precizat, cu marimile unghiurilor si ele bine precizate) si cea facuta in cazul unei infinitati de triunghiuri ABC pentru care odata atinsa latura AC(in cazul meu dreapta d), caruciorul se mai deplaseaza pe dreapta cu cat vrea el si apoi se reface triunghiul ABC, are ceva calitativ deosebit de primul caz?
Interlocutorul  raspunde: In primul caz triunghiul fiind bine definit nu este nici-o diferenta calitativa. Diferenta apare cand pretinzi ca in timpul  acestei alunecari a lui Ai pe d si deci rotiri a lui OAi in jurul lui O pastrand permanent intersectia cu d, vei acoperi cu unghiul BAC toate valorile in intervalul (0, Pi/2) deoarece facand asta te situezi cu o latura AC intr-un triunghi „precizat” (care o fi acela?).Aceasta este diferenta calitativa pe care o ignori.
Mai departe el spune ceva relevant: nici macar cand C junge la infinit  masura  lui AOAi(C)
nu devine Pi/2
Observatie importanta careia acum , in mai 2022 ii raspund astfel: evident caci OC(OAi) nu se suprapune niciodta pe d1. Daca se apeleaza la teorema Legendre -Saccheri se constata ca  IN ORICE TRIUNGHI ABC(Ai) unghiul OC(Ai)A  este mai mic decat Pi/2 oricat ar fi de aproape de aceasta valoare indeplinind conditia unei limite (1/n cand n tinde la infinit este oricat de mic dar ramanand pozitiv, sirul decrecator al lui 1/n fiind perfect similar ca forma(evolutie) cu sirul crescator si pozitiv al lui n si nu ar putea fi Pi/2 decat daca unghiul C(Ai)Od1 devine zero adica OAi se suprapune pe d1, Ai parasind dreapta d pntruca  doar atunci OAi ar deveni prin salt( o emergenta)  paralel cu d, ceea ce desigur ca geometric este imposibil.
Mai jos, adica la   492 interlocutorul neavand insa in fata acest raspuns al meu  insista cu ideia ca nici imposibilitatea depasirii valorii de Pi/2 de catre  unghiul AOC(adica de fapt  AOAi) si chiar daca masura acestui unghi este permanent crescatoare   odata cu deplasarea lui C(Ai)  pe  d din ce in ce mai departe de A, asta nu inseamna ca Pi/2 ar fi o limita superioara a masurii repectivului unghi(ma intreb azi: si atunci care ar fi dovada ca este o limita supeioara​?Azi pot spune in plus ca unghiul AOAn este permanent crescator dar ca oricat este de aproape de Pi/2 nu poate deveni niciodata Pi/2 cat timp Ai este pe dreapta decat daca ar trebui si in matematica in teoria limitelor aplicate la geometrie sa aceptam saltul infinitezimal ce intrerupe continuitatea geometrica de tip Dedekind.
Adaug acum si o remarca de la  498, unde interlocutorul adauga: „Ca sa fie adevarat ce sustii tu despre acoperirea completa a intervalului (0, Pi/2) e nevoie sa demonstrezi ca intradevar Pi/2 este limita superiora  a acelui unghi si ca eventuala limita nu este un alt unghi strict mai mic.(Nota mea azi  Asta da, ar merita demonstrat si desigur:  Cat timp unghiul AOAi este in triunghiul dreptunghic AOAi  in baza teormei Saccheri-Legendre nu poate egala unghiul Pi/2 dar poate creste oricat de mult ramanand sub aceasta valoare si deci valoarea este o limita superioara asta din constructie si din teoremele geometriei neutrale )

b) Demonstratii personale care azi in luna iunie 2022  pleaca de la demonstratiile date  la forumul Scientia  postarea 503 : Decembrie 24, 2018, de vazut si 86 unde se da I-P28 si III- P16 ) si  mai inainte si aici, scopul ei fiind sa dovedeasca imposibilitatea aparitiei unei drepte de tip q care de fapt sa nu fie una de tip f  si se vor incerca cateva procedee destul de apropiate.
Cadrul celor celor ce vor urma este asa numita geometrie neutrala(absoluta) in care postulatul cinci al lui Euclid nu este statuat si deci in care se pot duce prin orice punct din plan un numar indefinit de drepte paralele la orice dreapta din plan exterioara punctului. In acest cadru sunt valabile toate teoremele din Elemente cuprinse pana la teorema I-29 prima in care se invoca postulatul 5 cat si toate cele care urmand nu folosesc direct sau indirect  postulatul , fiind de fapt vorba despre geometia fara postulat intelegand insa ca aca va exista si teorema care este postulatul si atunci geometria euclidiana va fi in toate drepturile sale adica cu suma unghiurilor in triunghi de Pi sau cu teorema lui Pitagora adevarata.
Astfel mentionam  ca printre teoremele demonstrate in cele 13 carti ale Elementelor ( http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3atext%3a1999.01.0086 cat si https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/bookI.html) se afla si dupa teorema I.29  intre cele mai sus amintite unele care nu utilizeaza postulatul 5 nefiind  nici deduse prin folosirea acestuia,  si care fac asadar parte tot din cadrul geometriei neutrale. Noi in aceste discutii am folosit(mentionat)dintre acestea, teoremele III-16, X-1, X-2 si X-7.
Observam ca si Axiomatica lui Hilbert, ro.math.wikia.com/wiki/Axiomele_geometriei, intra tot in geometria neutrala  prin cele  19 postulate care sunt independente de postulatul lui Playfair care la Hilbert este al douazecilea si ultimul.

b1)Schita pe care se face rationamentul ce urmeaza a fost in diverse variante foarte mult utilizata in discutiile anterioare, dar o reiau in cele ce urmeaza, tot ce scriu netrebuind a fi neaparat urmarit in context cu discutiile anterioare, adica avand o existenta independenta.
In planul p, pe o dreapta oarecare d se coboara o perpendiculara dintr-un punct exterior O (P:I-12); Piciorul perpendicularei se noteaza cu A; se considera semidreapta d incepand cu punctul A in directia spre est a planului p;
Din O se ridica in aceiasi parte a planului in care se afla si d o perpendiculara pe OA in O( P:I-13) care se noteaza cu d1;
Pe semidrepta d se ia un punct mobil Ai care se deplaseaza oricat de departe de A si se uneste cu O. Segmentul  AAi+1 > AAi , orice valoare ar lua indicele i care poate creste oricat pe masura ce Ai se indeparteaza de A; 
Dreptele mobile OAi  se numesc drepte de tip f  ca avand un punct comun cu d.
Se duce sfertul de cerc cu centrul in O si de raza OA din A pana ce intersecteaza dreapta d1 in punctul B ;
Dreptele OAi intersecteaza circumferinta sfertului de cerc in Qi. La extremitatile sfertului de cerc Qi se confunda cu A si cu B. OQi este o raza mobila a sfertului de cerc. Odata cu miscarea lui Ai pe dreapta d, punctul Qi se misca pe circumferinta sferului de cerc de la A catre B. Unghiul AOQi pe care-l face raza  mobila pe semicerc  in miscarea ei in jurul centrului O, deplasandu-se continu  de la punctul A la B prin punctele pe care le-am  denumit Qi, variaza continuu si strict crescator in intervalul [0,Pi/2 radiani]; Datorita faptului ca Qi se misca continuu pe sfertul de cerc nu mai poate exista in unghiul AOAi nici-o raza care sa nu fie OQi.
Astfel pentru unghiul  AOQi este adevarata relatia 0=< AOQi <=Pi/2 iar pentru unghiul QiOB relatiile: QiOB=Pi/2- AOQi si Pi/2>=QiOB>=0
Aceasta raza mobila este suprapusa dreptei OAi si deci parcurge odata cu dreapta OAi toate unghiurile dintre dreapta OA si dreapta d1 pe care le parcurge si OAi cat timp Ai se misca pe d;
Se poate dar afirma ca atat timp cat segmentul OQi apartine segmentului OAi, si el intersecteaza   dreapta d in punctul  Ai  in mod continuu la fel cum intersecteaza si sfertul de cerc.
In analizele anterioare raza cercului era lasata libera sa alunece pe sfertul de cerc, motiv pentru care in final se suprapunea pe d1 si fiind dusa dinspre O spre d si nu invers nu puteam certifica in lipsa postulatului 5 ca intersecteaza dreapta d, adica faptul ca nu ar fi paralela cu dreapta d, insa in orice moment si atat timp cat se afla in interiorul unui unghi de tip AOAi era obligata sa intersecteze d.
Din acest motiv i-am spus dreapta q urmand sa vedem care este de fapt relatia ei cu dreapta d. 
Cu acest model este evident ca este tot dreapta f cat timp se afla in interiorul unghiului AOAi oricat de aproape ar fi acesta de Pi/2.
Atat in baza lui P:I-16(unghiul exterior este mai mare decat oricare din cele nealaturate) cat si a lui P:I-21, sirul unghiurilor AAiO este  descrescator si din considerente geometrice privind marimea unghiurilor in triunghi incepe cu Pi/2 si este marginit inferior cand Ai tinde la infinit pe drepta d. Deasemenea sirul unghiurilor AOAi este monoton crescator si marginit superior, de la 0 la Pi/2 and cand Ai parcurge dreapta d de la A la infinit.
Cele doua siruri sunt  convergente si din considerente geometrice sunt limitate primul de marginea inferioara zero si al doilea de cea superioara Pi/2 in sensul ca acestea sunt puncte ce marginesc  sirul respectiv si conform si teoremei lui Weierstrass admit o limita.
In cazul in care OQi se misca liber pe cerc el se poate suprapune nu numai pe dreapta OA ci in final si pe d1 si deci unghiul AOQi  pe care-l face cu OA  este monoton crescator marginit inferior si superior  de aceleasi numere dar le si atinge si ca valoare(interval inchis). Desigur ca in paralel si simultan QiOB care este diferenta dintre Pi/2 si QiOA este tot marginit si monotan  descrescator intre [Pl/2, 0] .
Rezulta ca daca OQi se misca solidar cu OAi ramand dreapta de tip f  el nu  poate sa atinga niciodata dreapta d1 pe care nici OAi nu o poate atinge din constructie si sa aduca unghiul AOQi la valoarea Pi/2 ajungand insa in mod similar cu OAi oricat de aproape de d1.                Daca se desprinde de OAi atunci poate in plus sa se suprapuna lui d1 si nimic mai mult devenind abia atunci si nicicum altfel paralalela cu d in virtutea paralelismul prin constructie a lui d1 cu d, dar de fapt nu se poate geometric desprinde niciodata si megand mereu la infinit pe dreapta d nu va putea fi altfel decat intersectata cu dreapta d si deci din O nu se poate duce decat o singura paralela si anume cea data conform P27 a lui Euclid, adica perpendiculara
pe secanta OA in O.
Rezulta ca paralela d1 la d dusa din O este unica.
Nota: Practic postulatul lui Euclid se aplica la infinit, pe aceasta schita AOAi ramanand permanent un triunghi si deci suma unghiurilor AiAO(Pi/2) plus AiOA(<Pi) este sub Pi si doar despartirea lui AiO de QiO ducand la disparitia triunghiului, ar conduce la iesirea din cadrul postulatului  care insa nu s-ar  face decat la confundarea lui Qi cu B si deci a razei cu d1 si ar putea rational permite aparitia unei noi paralele care deci am subliniat ca nu poate fi decat una confundata cu cea deja existenta , d1

b2) Transpusa mai algebric demonstratia de mai sus poat fi facuta si astfel:
Vom folosi in demonstratie axioma lui Arhimede care este data in Euclid , cartea  X, teorema(propozitia) I in care se folseste doar definitia 4 din cartea V.
Axioma lui Arhimede: - daca x este real atunci exista un n atfel incat  n<=x<n+1, adica orice numar real este intre doua numre intregi consecutive - este de fapt prima  axioma de continuitate a lui Hilbert si care in formularea din Euclid este :
« Fiind date doua marimi inegale, daca din cea mai mare se scade o parte mai mare decat jumatate si din rest in continuare o parte mai mare  decat jumatate si daca acest proces se repeta indefinit se va ajunge la o marime mai mica decat cea mai mica din cele doua luate prin ipoteza »
Definitia 4 din cartea V este singura utilizata in demonstrarea acestei axiome a continuitatii si are formularea :
« Magnitudes are said to have a ratio to one another which can, when multiplied, exceed one another » adica: « Marimile au un raport una cu cealalta daca multiplicate se pot depasi una pe cealalta. »
Aceasta definitie poate fi numita axioma de comparabilitate a marimilor geometrice.
Desigur trebuie sa subliniem ca toate acestea se refera la marimi de acelasi tip adica drepte, unghiuri rectilinii, suprafete, volume, dar nu sunt comparabile o arie cu un volum sau unghiurile curbilinii  cu unghiurile rectilinii.
Pe baza axiomei de continuitate a lui Hilbert respectiv Teoremei P1 din cartea X  din Elementele lui Euclid, se deduce o alta teorema importanta numita axioma lui Aristotel despre care chiar Aristotel vorbeste in lucrarea sa De Caelo unde spune ca un cerc de raza infinita creeaza un spatiu infinit si ca o coarda a unui astfel de cerc este de marime infinita si ca ajunge astfel depasind orice coarda care subantinde un acelasi arc de cerc ce evolueaza pe un cerc a carui raza merge la infinit (vezi si demonstratia lui Greenberg) .
Importanta matematica a acestei teoreme(axioma) care este implicata de teorema P1 din cartea X a « Elementelor » a fost luminata de Proclus in secolul V e.n.
Proculus vorbeste de axioma lui Aristotel in acesti termeni : Daca laturile unui unghi oarecare mai mic decat Pi se prelungesc oricat, atunci si distanta dintre ele(perpendiculara de la un punct de pe una pe cealalta)creste oricat de mult, adica este oricat de mare
Asadar:
« Fie o dreapta  l  care imparte un plan p  in doua.
In jumatatea superioara adica de nord  a planului pe care o vom denumi partea de deasupra dreptei l luam un punct oarecare necoliniar cu l  numit O
Din acel punct coboram pe l o perpendiculara care intalneste dreapta l in punctul A.
Stim ca perpendiculara OA pe l este unica.
In punctul O ridicam pe segmentul de dreapta OA o dreapta m si o prelungim in directia est
Stim din teorema P27 cartea I din Elemente ca dreptele perpendiculare pe o aceiasi secanta sunt paralele, adica m este paralela cu l.
Ducem din O in unghiul drept format intre semidreapta m si segmentul OA un segment de dreapta OB , B fiind un punct arbitrar ales pe semidreapta l aflata la est de OA.Luam pe l din punctul B in spre est un punct B1 astfel ca BB1= OB si triunghiul  OBB1 este isoscel cu unghiurile adiacente laturei OB1 egale si cu marimea mai mica decat unghiul exterior  OBA(beta), respectiv beta1<= beta/2
Ducem din O intre semidreapta m si segmentul OB1 o oblica oarecare q care face cu de dreapta m un unghi teta ales sa fie cat de mic adica oricum mult mai mic decat unghiul  beta.
Daca repetam constructia initiala in care prelungim indefinit segmentul BB1 cu segmente  B1B2, ...Bi-1Bi....Bn-1Bn egale respectiv cu segmentele  OB1...OBi-1...OBn-1 avansand astfel oricat de mult pe dreapta l, punctul de tip Bi indeparatandu-se  oricat de mult de A si segmentele de tip Bi-1Bi crescand oricat de mult, unghiul beta, cel putin se injumatateste la fiecare constructie a unui nou triunghi, astfel ca in triunghiul OBn-1Bn  unghiul betan <= beta/2^n, si oricat de mic ar fi teta fata de unghiul initial beta aplicand P1(postulatul lui Arhimede) din Cartea X a lui Euclid, observam  ca se poate ajunge ca betan sa fie mai mic decat teta
Este evident ca segmentele OB si OB1 care se intersecteaza cu semidreapta l  apartin unor drepte de tip f adica neparalele cu l.
Putem considera ca dreapta q ar putea fi o dreapta paralela cu dreapta l si vom urmari posibilitatea existentei ei.
Astfel daca notam cu O unghiul facut de  AO cu BO si unghiurile din  triunghiurile isoscele formate prin constructie aflate in vortexul O le notam cu O1(unghiul BOB1=unghiul BB1O=beta1), respectiv O2(unghiul B1OB2=beta2) si asa mai departe pana la On, unghiul Bn-1OBn=Bn-1BnO =betan din triunghiul isoscel Bn-1OBn(laturile OBn-1 si Bn-1Bn egale intre ele), atunci putem scrie ca unghiul drept facut de  AO cu semidreapta m este format din suma unhiurilor O,O1, O2 pana la On si un unghi rest pana la valoarea de unghi drept, facut de  BnO cu semidreapta m pe care sa-l notam cu gaman si care evident este cu atat mai mic cu cat punctul Bn de pe segmentul de drepta oblic OBn se deplaseaza mai departe de OA si geometric din constructie este obligat sa fie <=(On=betan)
Adica suma unghiurilor O+ O1+ O2+...Oi+ ....On +gaman= Pi/2.
La limita aceasta suma este egala cu unghiul O plus un unghi reprezentand suma  unghiurilor Oi care fiind vorba de suma unei progresii geometrice cu primul termen beta /2 si ratia 1/2 este unghiul O + unghiul beta* 1/2((1/2^n)-1)/ (1/2-1) +unghiul gaman = unghiul O +beta*((1/2^n)-1) +unghiul gaman
La limita adica daca n tinde la infinit (Bi ajunge oricat de departe pe dreapta l) si 
in acelasi timp geometric gaman tinde la zero neputand fi negativ, atunci suma unghiurilor in triunghi tinde la  Pi  indiferent de ce valoare ar avea defectul(deficitul) unghiular fata de Pi, in suma unghiurilor triunghiului, conform  teoremei Saccheri -Legendre.
Asadar indiferent de cat de mica ar fi valoarea unghiului teta, in conformitate cu axioma Archimede unghiul gaman poate fi mai mic decat el si atunci acea dreapta q devine o dreapta de tip f fiind inglobata in triunghiul AOPn si asa pana la infinit rezultand imposibilitatea existentei acesteia ca paralela la l pana ce nu s-ar confunda cu m, unghiul teta fiind atunci nul ceea ce este imposibil
Desigur ca daca q paraseste statutul geometric al linii drepte atunci putem intra in alte geometrii de exemplu hiperbolice dar acest aspect nu-l discutam aici.
Cred ca in acest sens trebuie sa intelegem semnificatia data de inaintasi sintagmei  de « natura liniei drepte »din care decurge de fapt postulatul V care deci este doar o teorema conforma cu natura liniei drepte care trebuie corect si complet definita in planul si spatiul euclidean si noi credem ca definitia cea mai exacta geometric si care o crterizeaa complet daca se coreleaza cu definitia 4 si primele doua postulate euclidiene din cartea I.
 QED? Eu cred ca DA si cred ca se rezolva si critica(vezi mai eparte) adusa de dl Stein demonstratiei lui Legendre.
b3) O alta varianta de demonstratie  facuta tot de mine si in care  se analizeaza situatiile permise de teorema Saccheri-Legendre  pentru cele doua posibilitati posibile si anume:
b3a) Suma unghiurilor in triunghi este Pi(defectul este zero) ;
b3b) Suma unghiurilor este mai mica adica exista un defect delta adica o valoare intre Pi si zero cu care aceasta suma este mai mica decat Pi
b3a) In cazul defectului zero unghiul PRQ se injumtateste mereu, respectiv in pasul n al repetarii constructiei devine 1/(2^n) PRQ adica acest sir de valori unghiulare scade permanent putand deveni oricat de mic, deci mai mic decat orice unghi θ   ca in teorema indicata in X1 din Euclid sau in teorema lui Aristotel si tinzand catre zero ceea implica faptul ca o dreapta de tip q(adica care nu ar intersecta niciodata dreapta l, cum am numit o a astfel de dreapta in discutia cu Electron) cum a putea fi in geometrie neutrala o dreapta de tipul razei s(dreapta n) se retrage permanent in unghiul RPm apropiindu-se si tinzand sa se suprapuna cu dreapta n ceea ce inseamna ca  in orice constructie geometrica in planul euclidean, adica plan in care suma unghiurilor triunghiului este egala cu Pi, nu se va incalca  postulatul 5 sub forma data de Playfair sau Hilbert, adica a unicitati perpendicularei situatie in care o demonstratie in geometria neutrala a constantei sumei unghiurilor in triunghi si a valorii de Pi ar transforma potulatul in teorema.
b3b) In cazul defectului nenul de o valoare oarcare delta in intevalul 0-Pi, sirul pe care il formeaza valorile unghiului PRQ si este:
PRQ; 1/2 PRQ – delta/2; 1/2(PRQ/2 – delta/2)-delta/2; ....
..(1/(2^n))PRQ -delta(1/2+1/2^2+...1/2^n) =1/(2^n))PRQ – delta*1/2*(1/(2^n)-1)/(1-1/2) = 1/(2^n))PRQ+delta (1-1/(2^n))
Cand n tinde la infinit limita unghiului  PRQ este delta, ceea ce inseamna ca dreapta PR nu poate face un unghi mai mic de delta cu raza r a dreptei l, domeniul  limitei unghiului RPm=delta, ramanand o zona in care stapaneste geometria neeulclidiana, respectiv hiperbolica adica domeniu plan in care se pot duce mai mult de o dreapta,  iar suma unghiurilor in triunghi  fiind  egala cu Pi-delta unde delta este valoarea unghiului defect  consecinta a teoremei Sacchieri-Legendre in care suma unghiurilor in triunghi este Pi -delta si unde delta este (Pi,0]  si deci  ele sa plece de la o valoare de Pi/4 -delta/2 si continuand cu constructia ca isoscele a triunghiurilor OAi-1Ai trecand prin valori obtinute prin adaugarea la unghiul OAi a unei  valoari egale cu jumatatea acestuia  astfel incat unghiul AOAn+1 sa tinda la o valore de 2x(Pi/4) care este limita progresiei geometrice cu ratia 0.5 AOAi a carei limita este Pi/2 adica care tinde la Pi/2 dar facand parte din mecanismul indicat anterior si deci punctul An+1 neputand parasi dreapta d doar va tinde la Pi/2, adica cum spuneam intervalul valorii unghiului este deschis dar marginit superior de Pi/2 . In acelasi timp unghiul OAiA scade  monoton cu deplasarea lui Ai spre infinit(n tinde la infinit) adica cu cresterea spre Pi/2 a unghiului AOAi desigur simultan cu scaderea spre zero a unghiului AiOB(B fiind pe d1).
Constatam ca in triunghiul An+1OAn situatia este aceiasi ca in triunghiul ale carui doua unghiuri scad constant atat ca suma cat si individual spre zero din finalul demonstratiei lui Legendre prezentata la 512. 
Cand am scris ca modul meu de a gandi  seamana cu al lui Legendre nu vazusem inca demonstratia acestuia dar intuitia imi spunea ca chiar este vorba de asa ceva.

c)Daca folosim cercul si P III 16 care limiteaza zona in care putem duce drepte de tip q
 
Am am aratat deja ca dreapta d1 perpendiculara in O pe OA este conform toremei P27 din cartea I a Elementelor lui Eulid paralela cu dreapta d si postulatul devine teorema daca demonstram ca din O nu mai poate fi dusa o alta paralela la dreapta d.
Astfel este evident ca ultimul pas de facut pentru a cobora postulatul 5 sau cel numit al paralelei sau al lui Playfair la rangul de teorema este demonstrarea faptului ca din punctul O in care s-a dus perpendiculara d1 pe secanta OA nu se mai poate duce nici-o alta paralela cu d, paralela numita generic q, ci doar secante denumite generic f  adica drepte ce plecand din O intersecteaza dreapta d intr-un punct cu atat mai departat de A cu cat unghiul facut de f cu OA este mai mare sau cel facut cu d1 este mai mic fara a fi niciodata zero cand desigur ca dreapta f s-ar confunda cu d1.
Printre solutiile propuse de noi este si introducerea  in discutie si a cercului,  respectiv utilizarea toremei III-16 din cartea a III-a a lui Euclid, care demonstreaza ca intre tangenta la un cerc si circumferinta acestuia nu se poate duce prin punctul de tangenta intre tangenta respectiva si circumferinta nici-o dreapta.
Pentru aceasta  am folosit o constructia auxiliara in pasi mentali  cu repetare acestora la  infinit, mentionand ca in domeniul in care vorbim de paralele  care conform definitiei lui Euclid sunt linii drepte care in plan nu se intalnesc niciodata iar aceasta proprietate se exprima  in cadrul „geometriei algebrice” conform teoremei lui Bezout  (vezi wikipedia) ca fiind vorba de „o intalnire intr-un punct aruncat la infinit”, aici dreptele fiind polinoame de gradul unu si deci  teorema Bezout dandu-le doar  o singura intersectie posibla care in cazul paralelismului este la infinit, cum spunem colocvial si in scoala dar totusi corect matematic, cum ca paralelele se intalnesc la infinit sau „niciodata”dupa Euclid.
Constructia este simpla si o dezvolta pe cea deja prezentata pentru demonstrarea paralelismului a doua perpendiculare pe o secanta, respectiv cu centrul in A si cu raza AO se duce sfertul de cerc de la O la punctul A1 de pe d(AA1=OA) notandu-se cu OQA1  respectivul sfert de cerc, Q fiind un punct oarecare aflat pe arcul respectiv intre O si A1.
Fata de aceasta figura se poate constata ca: 
-Toate dreptele  ce trec prin O si se afla in unghiul AOA1 din triunghiul OAA1 sunt de tip f adica  intersecteaza dreapta d intre A si A1 conform teoremei lui Pasch in domeniu neputand exista nici-o dreapta de natura lui q adica paralela cu d;
- Dreptele care trec prin O, se afla in segmentul de cerc marginit de coarda OA1 si  oblgatoriu intersecteaza cercul intr-un punct numit generic Q si pot fi atat de tip f  cat si de tip q;
- In restul suprafetei plane delimitate de dreptele d1(nord) , sfertul de cerc(vest) si d(sud) si nemarginita la est, conform teoremei III-16 nu pot exista linii drepte iar conform axiomei Arhimede orice dreapta OQ poate face cu d1 un unghi mai mic decat orice unghi pozitiv dar oricat de mic am dori lucru care consideram ca elimina pe masura ce micsoram unghiul OQd1 toate liniile OQ care ar putea fi preupuse a fi de tip q
In continuare, suplimentar  mai facem o constructie auxiliara completand figura cu un cerc cu centrul in A` deplasabil pe OA spre sud dincolo de A astfel incat se intra intr-un proces de deplasare a cercului de raza A`O oricat de mare spre infinit.
Acest cerc intersecteaza dreapta d in punctul  A`1 aflat daca dorim mai spre est decat oricare Ai  si desigur ca in triunghiul OAA`1 vor fi numai  drepte f  dar in acelasi timp circumferinta cercului pe msura ce se marste raza se apropie relativ din ce in ce mai mult de coarda OA`i iar cand raza tinde la infinit adica curbura cercului tinde la zero circumferinta tinde la dreapta d1.
In acelasi timp daca parcurgem un proces invers adica de reducere a razei OA spre zero circumferinta sfertului de cerc OA1 va tinde sa se confunde atat cu coarda OA1 cat si cu punctul O confundat la limita zero cu punctul A1 disparand si dreptele f care sunt pe plan tot timpul acestui proces cat si dreptele q care nu sunt nici-un moment decat ca o presupunere si la limita disparand total, ele de fapt neavand nici loc si nici timp pntru existenta .
Altfel spus daca reduc dimensiunea razei AO oricat de mult, voi restrange domeniul simplu conex din plan(semiplan) in care exista dreptele f si imagina dreptele q iar la limita cand punctele A si O se confunda prin disparitia cercului nu mai ramane decat o singura dreapta care nu are motiv sa dispara, respectiv dreapta d peste care s-a suprapus si d1. Si imi aduc aminte de ceva cred ca spus de Betrand Russell: Matematica? O palarie  din care scoti ca un scamator numerele.

Mai adaug aici pentru a ilustra dialogul pe care l-am avut cu un preopinent care fiind nu intotdeauna de buna credinta totusi de fapt m-a ajutat mult cu ontrazicerile sale cum se pare ca dl Stein nu a reusit sa-l ajute pe Legendre doar descurajandu-l si in  in iulie  2018 am scris:

„De fapt cereti sa demonstrez ca poate exista o dreapta plecata din O in interiorul unghiului drept AOAi si care de fapt nu intersecteaza cercul in continuitatea sa ci in niste ferestre ale acestei circumferinte si se duce la infinit fara sa se confunde  cu OB sau sa se intalneasca cu dreapta d sau ca in miscarea continua a dreptei f  pe cerc apar puncte prin care aceasta nu trece si le sare. 
Eu nu pot demonstra asa ceva pentruca  as contrazic insasi existenta dreptei ca dreapta ceea ce de exemplu geometria sferica isi permite sa o faca dar nu si geometria in care dreapta are rectitudine adica curbura zero. Desigur ca renunt la geometria euclidiana daca fac asa ceva si nu mi-am propus asta ci doar sa arat ca postulatul paralelelor este necesar geometriei care are toate celelalte caracteristici date de Euclid cu primele doua postulate in sens restrictiv. 
Atat si nimic mai mult.
Daca in loc de postulatul paralelelor postulez ca nu se poate ca simultan in aceiasi geometrie sa amestec principii euclidiene cu principii noneuclidiene accept ca nu-l pot demonstra numai in geometria neutrala. Dar atunci se pare ca am vorbit despre altceva decat se intelege ca am vorbit si atunci este vina mea.”
As putea adauga azi si  ca :cercul devine punctul O sau A confundate  si in interiorul unghiului drept nu mai pot ramane decat linii nondrepte(vezi PIII-16) care sa treaca prin O ca si toate liniile drepte de tip f care se  pot duce prin O in deschiderea unghiului drept dintre perpendiculara in O(A)  pe OC si OC). Evident ca liniile nondrepte se pot ingloba in geometriile neeuclidiene  si sa incerc sa dau o definitie personala a liniei drepte respectiv definirea „principiului rectitudinii” ( o inchipuita cireasa peste un inchipuit tort) pentru ca alaturi de ce spune Euclid, Arhimede si Aristotel, rectitudinea sa devina ceva evident, definitie  care cred ca ar fi  placut marilor geometrii greci adica Pitagora, Euclid si Arhimede
 dar si marelui filosof Aristotel.
Asar spun ca dreapta este linia care in plan accepta doar o unica perpendiculara oricare ar fi punctul din plan sau din spatiu considerat. In schimb daca este vorba de ridicat o perpendiculara in punct pe o dreapta in spatiul euclidian, se poate face acest lucru in orice cerc pe al carui plan este perpendiculara dreapta in punctul de intersetie dreapta -  plan ..
Cat depre: Dreapta este drumul cel mai scurt dintre doua puncte, aceasta afirmatie cred ca arhimedica este evidenta interpretand teorema din Euclid care demonstreaza faptul ca suma  oricaror  doua laturi in triunghi este intotdeauna mai mare decat a treia iar cele doua laturi devin o dreapta de lungime chiar suma lor, dreapta rezultata fiind perfect si fara rest suprapusa peste cea de a treia daca unghiul intre ele devine Pi

d) Vom face o alta demonstratie in care vom arata asemeni lui Legendre ca „exista un dreptunghi” ceea ce asigura ca exista suma unghiurilor in triunghi egala cu Pi si deci se confirma axioma   Playfair sau  al cincilea postulat al lui  Euclid.

Pentru asta vom folosi o alta constructie geometrica care este cea in care pe AAn construim un patrulater Saccheri, care putem demonstra ca este dreptunghi si deci aplica teorema Legendre de mai sus pentru toate dreptunghiurile rezultate:

Asadar referitor la patrulaterul Saccheri :

1) Fiind dat un patrulater Saccheri adica un patrulater ABCD in care prin ipoteza <A= <B= Pi/2, laturile AC=BD , rezulta imediat  ca celelalte doua unghiuri(D,C) sunt egale si conform T27, Euclid I, AC este paralela cu BD .

Vom demonstra ca si CD este paralela cu AB

In geometria neutrala(absoluta) nu stim cat sunt unghiurile egale D si C dar in baza teoremei Saccheri-Legendre(T: S-L) stim ca nu pot fi decat ascutite sau cel mult drepte, dealtfel si Saccheri le eliminse pe cele obtuze printr-o frumoasa demonstratie desi putem spune ca exista si ele in cazul geometriei eliptice dar nu ne intereseaza acest aspect.

Voi folosi postulatul(teorema mai corect  spus dupa cum demonstra si  Greenberg)  lui Aristotel si reducerea la absurd ca sa arat ca daca AC= BD atunci si CD este paralel cu AB.

Sa presupunem ca CD nu este paralela cu AB si in consecinta se va intalni cu dreapta ce contine segmentul AB fie de partea lui B fie de cea  a lui A.

Fie punctul de intersectie de partea lui B si sa-l notam cu B1 si dreapta C*D*B1  face un unghi ascutit CB1A cu dreapta  A∗B∗B1.
In respectivul unghi ascutit, segmentul DB perpendicular in B pe dreapta A*B∗B1 este mai aproape de varful B1 al unghiului decat segmentul CA  deasemenea perpendicular in A pe dreapta A*B*B1 si in baza postulatului (teoremei) lui Aristotel(Greenberg) rezulta ca AC>BD, segmentele AC si BD neputand fi egale
Se demonstreaza similar ca si daca intersectia celor doua drepte ar fi de partea lui AC  se poate ca BD >AD.
Ambele situatii contrazicand ipoteza constructiei patrulterului Saccheri in care  AC = BD rezulta ca si CD este paralel cu AB.
In acelasi timp pentru a arata ca patrulaterul ABCD este si dreptunghi observam
ca daca se prelungeste dreapta  CD si se considera ca intersecteaza dreapta AB in punctul B1 la est de  dreapta BD  atunci prin constructie unghiurile CDB si BDB1 adunate sunt Pi subantinzand o linie dreapta. In acelasi timp unghiul CDB conform Saccheri este ascutit iar unghiul BDB1 in triunghiul dreptunghic BDB1 (unghiul drept in B)  este conform teoremei Saccheri- Legendre tot ascutit desi ar trebui sa fie obtuz  ceea ce este imposibil in cazul in care C*D*B1 este o dreapta si deci o dreapta CD nu poate intersecta dreapta AB adica este paralela cu AB iar unghiurile din interiorul patrulaterului aflate in varful D si deci si C sunt de valoare Pi/2 neputand fi nici ascutite si nici obtuze dar suma lor putand fi Pi si este evident ca toate patrulaterele Saccheri  care se construiesc spre dreapta sau spre stanga(spre est sau spre vest) au limita superioara marginita de o paralela precum CD la un segment precum AB. In interiorul unghiului BDB1, B1 apartine dreptei CD, respectiv se afla la estul lui D formand dreapta C*D*D1, prelungirea lui CD care este paralela cu AB si deci rezulta ca toate  patulaterele de tip Saccheri  in geometrie neutrala sunt drepunghiuri si au laturile opuse paralele. 

In orisice caz  in dreptunghiul Saccheri rezultat  ca si in orice astfel de dreptunghi se vede ca perpendiculara comuna la cele doua laturi paralele opuse este  comuna datorita unicitatii perpendiularei ridicate si apoi coborate in punctul de pe paralela opusa  adica daca din B se ridica prpendiculara  B care este si perpendiculra in D pe CD ea fiind unica si perpendiculara din D pe AB cade tot in punctul B si deci se poate spune ca perpendiculara comuna intre doua paralele este de marime constanta si paralela cu orice alta perpendiculara similara (ajungand cumva la Posidonius din Apameia si la Aristotel care impiedeca paralelismul simultan a doua drepte concurente cu o a treia pentruca cea care nu stim daca este paralela cu a treia se poate indeparta oricat de prima care este paralela  cu a treia si deci ajunge in cele din urma la orice paralela cu prima adica si la cea de a treia.

II. Demonstratia publicata de Legendre in 1823

Este o demonstratie  publicata de Legendre in tratatul sau de Geometrie -Elements de geometrie, publicat in multe(12) editii de mare succes intre 1794-1823 si pe care eu o consider corecta si nu inteleg de ce nu a sustinut-o mai determinat!?. Poate ca ne va lamuri un geometru, profesor universitar din USA, respectiv Anna Riffe cu lucrarea ei in 2013, „The Impossible Postulat: An analysis of Adrien-Marie Legendre`s Attempt to Prove Euclid`s Fifth Postulate” in care citeza si pe criticul acestuia respectiv pe J.W.P.Stein in „Geometrie elementaire. Examen de quelques tentatives de theorie des paralleles, Annales de Mathematique Pures et Appliques,  vol.15, 1824-1825”.
Rezum in contiuare finalul demonstratiei lui Legndre prezentat si de Anna Riffe:
Fie un triunghi scalen ABC in care AB este latura cea mai mare si BC cea mai mica fara sa fie insa nici-o problema daca se ia si cazul AC=BC sau AC=AB. Se cere sa se demonstreze ca suma unghiurilor in acest triunghi este constanta si gala cu Pi .
Se utilizeaza urmatoarea constructie auxiliara : 
Se uneste varful A cu I, jumatatea laturii celei mai mici BC si AI se prelungeste pana in punctul C`astfel ca AC`= AB;
Se prelungeste  latura AB dincolo de B pana in punctul B`astfel ca AB`= 2AI si pe AB se ia punctul K astfel ca AK= AI;
Se unesc punctele C` cu B` si cu K formandu-se astfel triunghiurile egale C`AK si AIB avand unghiul A comun si laturile adiacente acestuia doua cate doua egale; 
Se observa ca si triunghiurile ACI, B`C`K sunt egale si deci unghiul ACB=unghiul KC`B` cat si unghiul CAI= C`B`K din care rezulta tinand cont de ce s-a observat pana acum ca suma unghiurilor triunghiului ABC este egala cu suma unghiurilor triunghiului A`(A) B`C` urmand sa aratam ca valoarea sumei este constanta si egala cu Pi.
In aceasta situatie observam ca datorita relatiilor geometrice deduse in constructia sa unghiul din B` este egal cu diferenta dintre unghiul din A si unghiul din A`(unghiul IAB) A`fiind  acelasi varf cu A`, adica suma celor doua unghiuri este A`+ B`=A si cum si latura B`C`<AC`rezulta ca si unghiul IAB<B`.In aceasta situatie se vede usor ca unghiul  IAB<IAC adica mai mic decat  unghiul A/2 si daca continuam sirul acestor constructii se ajunge la un triunghi AnBnCn urmat de An+1Bn+1Cn+1 in care:
An<A/2^n , An+1=A/2^(n+1) si An+Bn= An+1.
Atunci putem considera ca daca suma celor trei triunghiuri este aceiasi si sa spunem egala cu k(k<=Pi), la limita avand An, Bn si An+Bn=0 cand n=infinit si deci lim(An+Bn+Cn)=limCn iar limCn cand An si Bn tind la zero tinde la Pi caci linia BnAn tinde sa se sprapuna pe BnCn.
Deci k=Pi 
Se mai poate observa ca geometric cand unghiurile An si Bn tind la zero si dreptele CnAn si CnBn care le formeaza se astern peste dreapta AnBm. 
Deci odata in plus Cn=Pi=k 
QED
Nota mea: In apararea demonstratiei lui A.M. Legendre si deci contrazicandu-l pe J.W.P.Stein cel care a crezut ca demonstreaza eroarea lui Legendre si se pare  ca nici Legendre nu s-a putut apara de respectiva critica care consta in intoducerea si a elementului temporal in demonstratie in sensul ca Stein incearca sa arate ca limita zero la  care ajung unghiurile  An si Bn odata ce n ajunge la infinit iar  Cn devine Pi, consecinta a faptului ca simultan(dar mental) si linia franta ACnBn devine linia dreapta A*Cn*Bn iar triunghiul ACnBn pastrandu-si permanent suma unghiurilor constanta, devine segment de dreapta subintinzand un unghi de Pi si deci confirmand postulatul in geometrie neutrala permitand lui Legendre sa scrie QED, nu este simultana cu limita zero la care ar trebui sa ajunga si distanta de la Cn la dreapta AB si pentru asta face o constructie auxiliara introducand recursiv in discutie si bisectoarele unghiului A, unghiul creat permanent pin injumatatire de bisectoara n fiind desigur si el cu aceiasi limita zero dar considerand ca simultan latura Bn Cn nu tinde la zero odata ce unghiul A o face, ceea ce este eronat in opinia noastra pentruca daca din Cn de pe bisectoare se coboara o perpendiculara la AB, este evidnt ca aceasta fiind distanta de la bisectoare la latura unghiului biectat daca unghiul  se micsoreaza continuu si ditanta de la bisectoare la latura scade exact in aceiasi masura  si atunci cand unghiul devine zero adica absolut simultan si bisectoarea se confunda cu laturile si deci problema de simultaneitate ridicata de dl Stein este rezolvata in sensul pastrarii ca fiind valabila demonstratia lui Legendre care spre sfarsitul vietii avand niste probleme personale dificile nu a mai avut dorinta sa-si apere relizarea lasndu-ne totusi in 1823 putin timp inainte de moarte o fraza referitoare la realizarea sa matematica si posteritatii grija sa o confirme, ceea ce eu am incercat sa fac.
Fraza lasata noua de Legendre este: „Cu toate acestea este neindoielnic ca teorema referitoare la suma celor trei unghiuri in triunghi ar trebui considerata un adevar fundamental pe care este imposibil sa-l contesti si care este un trainic  exemplu de certitudine matematica”.